2: Límites
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- 2.0: Preludio a los límites
- Comenzamos este capítulo examinando por qué los límites son tan importantes. Luego, continuamos describiendo cómo encontrar el límite de una función en un punto dado. No todas las funciones tienen límites en todos los puntos, y discutimos lo que esto significa y cómo podemos saber si una función tiene o no un límite a un valor particular. La última sección de este capítulo presenta la definición más precisa de un límite y muestra cómo probar si una función tiene un límite.
- 2.1: Una vista previa de Cálculo
- A medida que nos embarcamos en nuestro estudio del cálculo, veremos cómo su desarrollo surgió de soluciones comunes a problemas prácticos en áreas como la física de ingeniería, como el problema de los viajes espaciales planteados en el abridor de capítulos. Dos problemas clave llevaron a la formulación inicial del cálculo: (1) el problema de la tangente, o cómo determinar la pendiente de una línea tangente a una curva en un punto; y (2) el problema del área, o cómo determinar el área bajo una curva.
- 2.2: El límite de una función
- Se puede utilizar una tabla de valores o gráfica para estimar un límite. Si el límite de una función en un punto no existe, aún es posible que existan los límites de izquierda y derecha en ese punto. Si los límites de una función desde la izquierda y la derecha existen y son iguales, entonces el límite de la función es ese valor común. Podemos usar límites para describir el comportamiento infinito de una función en un punto.
- 2.3: Las leyes de límite
- En esta sección, establecemos leyes para el cálculo de límites y aprendemos a aplicarlas. En el Proyecto Estudiantil al final de esta sección, tienes la oportunidad de aplicar estas leyes de limitación para derivar la fórmula para el área de un círculo adaptando un método ideado por el matemático griego Arquímedes. Comenzamos por replantear dos resultados límite útiles de la sección anterior. Estos dos resultados, junto con las leyes de límites, sirven de base para calcular muchos límites.
- 2.4: Continuidad
- Para que una función sea continua en un punto, debe definirse en ese punto, su límite debe existir en el punto, y el valor de la función en ese punto debe ser igual al valor del límite en ese punto. Las discontinuidades pueden clasificarse como removibles, saltos o infinitas. Una función es continua a lo largo de un intervalo abierto si es continua en cada punto del intervalo. Es continuo a lo largo de un intervalo cerrado si es continuo en cada punto de su interior y es continuo en sus puntos finales.
- 2.5: La definición precisa de un límite
- En esta sección, convertimos esta idea intuitiva de un límite en una definición formal utilizando lenguaje matemático preciso. La definición formal de un límite es posiblemente una de las definiciones más desafiantes que encontrarás al principio de tu estudio del cálculo; sin embargo, merece la pena cualquier esfuerzo que hagas para conciliarlo con tu noción intuitiva de límite. Entender esta definición es la clave que abre la puerta a una mejor comprensión del cálculo.
Miniaturas: La función\(f(x)=1/(x−a)^n\) tiene límites infinitos en\(a\). (CC BY; OpenStax)