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# 2.1E: Ejercicios para la Sección 2.1

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Para los ejercicios 1 - 3, puntos$$P(1,2)$$ y$$Q(x,y)$$ están en la gráfica de la función$$f(x)=x^2+1$$.

1) [T] Complete la siguiente tabla con los valores apropiados:$$y$$ -coordenada de$$Q$$, el punto$$Q(x,y)$$, y la pendiente de la línea secante que pasa por puntos$$P$$ y$$Q$$. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos.

$$x$$ $$y$$ $$Q(x,y)$$ $$m_{sec}$$
\ (x\)” style="text-align:center; ">1.1 \ (y\)” style="text-align:center; ">a. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">e. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">i.
\ (x\)” style="text-align:center; ">1.01 \ (y\)” style="text-align:center; ">b. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">f. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">j.
\ (x\)” style="text-align:center; ">1.001 \ (y\)” style="text-align:center; ">c. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">g. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">k.
\ (x\)” style="text-align:center; ">1.0001 \ (y\)” style="text-align:center; ">d. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">h. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">l.
Contestar
a. 2.2100000
b. 2.0201000
c. 2.0020010
d. 2.0002000
e. (1.1000000, 2.2100000)
f. (1.0100000, 2.0201000)
g. (1.0010000, 2.0020010)
h. (1.0001000, 2.0002000)
i. 2. 1000000
j. 2.0100000
k. 2.0010000
l. 2.0001000

2) Utilice los valores de la columna derecha de la tabla en el ejercicio anterior para adivinar el valor de la pendiente de la línea tangente a$$f$$ at$$x=1$$.

3) Utilice el valor del ejercicio anterior para encontrar la ecuación de la línea tangente en el punto$$P$$. Gráfica$$f(x)$$ y línea tangente.

Contestar
$$y=2x$$

Para los ejercicios 4-6, puntos$$P(1,1)$$ y$$Q(x,y)$$ están en la gráfica de la función$$f(x)=x^3$$.

4) [T] Complete la siguiente tabla con los valores apropiados:$$y$$ -coordenada de$$Q$$, el punto$$Q(x,y)$$, y la pendiente de la línea secante que pasa por puntos$$P$$ y$$Q$$. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos.

$$x$$ $$y$$ $$Q(x,y)$$ $$m_{sec}$$
\ (x\)” style="text-align:center; ">1.1 \ (y\)” style="text-align:center; ">a. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">e. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">i.
\ (x\)” style="text-align:center; ">1.01 \ (y\)” style="text-align:center; ">b. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">f. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">j.
\ (x\)” style="text-align:center; ">1.001 \ (y\)” style="text-align:center; ">c. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">g. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">k.
\ (x\)” style="text-align:center; ">1.0001 \ (y\)” style="text-align:center; ">d. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">h. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">l.2

5) Utilice los valores de la columna derecha de la tabla en el ejercicio anterior para adivinar el valor de la pendiente de la línea tangente a$$f$$ at$$x=1$$.

Contestar
$$3$$

6) Utilice el valor del ejercicio anterior para encontrar la ecuación de la línea tangente en el punto$$P$$. Gráfica$$f(x)$$ y línea tangente.

Para los ejercicios 7 - 9, puntos$$P(4,2)$$ y$$Q(x,y)$$ están en la gráfica de la función$$f(x)=\sqrt{x}$$.

7) [T] Complete la siguiente tabla con los valores apropiados:$$y$$ -coordenada de$$Q$$, el punto$$Q(x,y)$$, y la pendiente de la línea secante que pasa por puntos$$P$$ y$$Q$$. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos.

$$x$$ $$y$$ $$Q(x,y)$$ $$m_{sec}$$
\ (x\)” style="text-align:center; ">4.1 \ (y\)” style="text-align:center; ">a. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">e. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">i.
\ (x\)” style="text-align:center; ">4.01 \ (y\)” style="text-align:center; ">b. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">f. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">j.
\ (x\)” style="text-align:center; ">4.001 \ (y\)” style="text-align:center; ">c. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">g. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">k.
\ (x\)” style="text-align:center; ">4.0001 \ (y\)” style="text-align:center; ">d. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">h. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">l.
Contestar
a. 2.0248457
b. 2.0024984
c. 2.0002500
d. 2.0000250
e. (4.1000000,2.0248457)
f. (4.0100000,2.0024984)
g. (4.0010000,2.0002500)
h. (4.00010000,2.0000250)
i. 0. 24845673
j. 0.24984395
k. 0.24998438
l. 0.24999844

8) Utilice los valores de la columna derecha de la tabla en el ejercicio anterior para adivinar el valor de la pendiente de la línea tangente a$$f$$ at$$x=4$$.

9) Utilice el valor del ejercicio anterior para encontrar la ecuación de la línea tangente en el punto$$P$$.

Contestar
$$y=\frac{x}{4}+1$$

Para los ejercicios 10 - 12, los puntos$$P(1.5,0)$$ y$$Q(ϕ,y)$$ están en la gráfica de la función$$f(ϕ)=\cos(πϕ)$$.

10) [T] Complete la siguiente tabla con los valores apropiados:$$y$$ -coordenada de$$Q$$, el punto$$Q(ϕ,y)$$, y la pendiente de la línea secante que pasa por puntos$$P$$ y$$Q$$. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos.

$$x$$ $$y$$ $$Q(ϕ,y)$$ $$m_{sec}$$
\ (x\)” style="text-align:center; ">1.4 \ (y\)” style="text-align:center; ">a. \ (Q (ϕ, y)\)” style="text-align:center; ">e. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">i.
\ (x\)” style="text-align:center; ">1.49 \ (y\)” style="text-align:center; ">b. \ (Q (ϕ, y)\)” style="text-align:center; ">f. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">j.
\ (x\)” style="text-align:center; ">1.499 \ (y\)” style="text-align:center; ">c. \ (Q (ϕ, y)\)” style="text-align:center; ">g. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">k.
\ (x\)” style="text-align:center; ">1.4999 \ (y\)” style="text-align:center; ">d. \ (Q (ϕ, y)\)” style="text-align:center; ">h. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">l.

11) Utilice los valores de la columna derecha de la tabla en el ejercicio anterior para adivinar el valor de la pendiente de la línea tangente a f at$$ϕ=1.5$$.

Contestar
$$π$$

12) Utilice el valor del ejercicio anterior para encontrar la ecuación de la línea tangente en el punto$$P$$.

Para los ejercicios 13 - 15, puntos$$P(−1,−1)$$ y$$Q(x,y)$$ están en la gráfica de la función$$f(x)=\frac{1}{x}$$.

13) [T] Complete la siguiente tabla con los valores apropiados:$$y$$ -coordenada de$$Q$$, el punto$$Q(x,y)$$, y la pendiente de la línea secante que pasa por puntos$$P$$ y$$Q$$. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos.

$$x$$ $$y$$ $$Q(x,y)$$ $$m_{sec}$$
\ (x\)” style="text-align:center; ">-1.05 \ (y\)” style="text-align:center; ">a. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">e. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">i.
\ (x\)” style="text-align:center; ">-1.01 \ (y\)” style="text-align:center; ">b. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">f. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">j.
\ (x\)” style="text-align:center; ">-1.005 \ (y\)” style="text-align:center; ">c. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">g. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">k.
\ (x\)” style="text-align:center; ">-1.001 \ (y\)” style="text-align:center; ">d. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">h. \ (m_ {seg}\)” style="text-align:center; ">l.
Contestar
a. −0.95238095
b. −0.99009901
c. −0.99502488
d. −0.99900100
e. (−1; .0500000, −0; .95238095)
f. (−1; .0100000, −0; .9909901)
g. (−1; .0050000, −0; .99502488)
h. (1.0010000, −0; .99900100)
i. −0.95238095
j. −0.99009901
k. −0.99502488
l. −0.99900100

14) Utilice los valores de la columna derecha de la tabla en el ejercicio anterior para adivinar el valor de la pendiente de la línea tangente a$$f$$ at$$x=−1$$.

15) Utilice el valor del ejercicio anterior para encontrar la ecuación de la línea tangente en el punto$$P$$.

Contestar
$$y=−x−2$$

Para los ejercicios 16 - 17, la función de posición de una pelota caída desde lo alto de un edificio de 200 metros de altura viene dada por$$s(t)=200−4.9t^2$$, donde la posición$$s$$ se mide en metros y el tiempo$$t$$ se mide en segundos. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos.

16) [T] Calcular la velocidad promedio de la pelota en los intervalos de tiempo dados.

a. [4.99,5]

b. [5,5.01]

c. [4.999,5]

d. [5,5.001]

17) Usa el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea de la pelota a la$$t=5$$ seg.

Contestar
$$−49$$m/seg (la velocidad de la bola es de 49 m/seg hacia abajo)

Para los ejercicios 18 - 19, considere una piedra arrojada al aire desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 15 m/seg. Su altura en metros a tiempo t segundos es$$h(t)=15t−4.9t^2$$.

18) [T] Calcular la velocidad promedio de la piedra en los intervalos de tiempo dados.

a. [1,1.05]

b. [1,1.01]

c. [1,1.005]

d. [1,1.001]

19) Utilice el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea de la piedra a la$$t=1$$ sec.

Contestar
$$5.2$$m/seg

Para los ejercicios 20 - 21, considere un cohete disparado al aire que luego regresa a la Tierra. La altura del cohete en metros viene dada por$$h(t)=600+78.4t−4.9t^2$$, donde$$t$$ se mide en segundos.

20) [T] Calcular la velocidad promedio del cohete en los intervalos de tiempo dados.

a. [9,9.01]

b. [8.99,9]

c. [9,9.001]

d. [8.999,9]

21) Utilice el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea del cohete a la$$t=9$$ seg.

Contestar
$$-9.8$$m/seg

Para los ejercicios, considera a un atleta corriendo un guión de 40 m. La posición del deportista viene dada por$$d(t)=\frac{t^3}{6}+4t$$, donde$$d$$ está la posición en metros y$$t$$ es el tiempo transcurrido, medido en segundos.

22) [T] Calcular la velocidad promedio del corredor en los intervalos de tiempo dados.

a. [1.95,2.05]

b. [1.995,2.005]

c. [1.9995,2.0005]

d. [2,2.00001]

23) Utilice el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea del corredor a la$$t=2$$ sec.

Contestar
$$6$$m/seg

Para los ejercicios 24 - 25, considere la función$$f(x)=|x|$$.

24) Esbozar la gráfica de$$f$$ sobre el intervalo [$$−1,2$$] y sombrear la región por encima del$$x$$ eje.

25) Utilice el ejercicio anterior para encontrar el valor exacto del área entre el$$x$$ eje -eje y la gráfica de$$f$$ sobre el intervalo [$$−1,2$$] usando rectángulos. Para los rectángulos, use las unidades cuadradas, y aproxime tanto por encima como por debajo de las líneas. Usa la geometría para encontrar la respuesta exacta.

Contestar
Bajo, 1$$unit^2$$; sobre: 4$$unit^2$$.
El área exacta de los dos triángulos es$$\frac{1}{2}(1)(1)+\frac{1}{2}(2)(2)=2.5 units^2$$.

Para los ejercicios 26 - 27, considere la función$$f(x)=\sqrt{1−x^2}$$. (Pista: Esta es la mitad superior de un círculo de radio 1 colocado en ($$0,0$$).)

26) Esbozar la gráfica de f a lo largo del intervalo [$$−1,1$$].

27) Utilice el ejercicio anterior para encontrar el área exacta entre el$$x$$ eje -eje y la gráfica de$$f$$ sobre el intervalo [$$−1,1$$] usando rectángulos. Para los rectángulos, use cuadrados 0.4 por 0.4 unidades, y aproxime tanto por encima como por debajo de las líneas. Usa la geometría para encontrar la respuesta exacta.

Contestar
Bajo,$$0.96 \;\text{units}^2$$; sobre,$$1.92 \;\text{units}^2$$).
El área exacta del semicírculo con radio 1 es$$\frac{π(1)^2}{2}=\frac{π}{2} \;\text{units}^2$$

Para los ejercicios 28 - 29, considere la función$$f(x)=−x^2+1$$.

28) Esbozar la gráfica de$$f$$ sobre el intervalo [$$−1,1$$].

29) Aproximar el área de la región entre el$$x$$ eje y la gráfica de$$f$$ sobre el intervalo [$$−1,1$$].

Contestar
Aproximadamente$$1.3333333 \;\text{units}^2$$

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