2.4E: Ejercicios para la Sección 2.4
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Para los ejercicios 1 a 8, determine el/los punto (s), en su caso, en el que cada función es discontinua. Clasifica cualquier discontinuidad como salto, removible, infinita u otra.
1)f(x)=1√x
- Contestar
- La función se define para todosx en el intervalo(0,∞).
2)f(x)=2x2+1
3)f(x)=xx2−x
- Contestar
- Discontinuidad removible enx=0; discontinuidad infinita enx=1.
4)g(t)=t−1+1
5)f(x)=5ex−2
- Contestar
- Discontinuidad infinita enx=ln2
6)f(x)=|x−2|x−2
7)H(x)=tan2x
- Contestar
- Infinitas discontinuidades enx=(2k+1)π4, parak=0,±1,±2,±3,…
8)f(t)=t+3t2+5t+6
Para los ejercicios 9 - 14, decida si la función continua en el punto dado. Si es discontinua, ¿qué tipo de discontinuidad es?
9)2x2−5x+3x−1 enx=1
- Contestar
- No. Se trata de una discontinuidad removible.
10)h(θ)=sinθ−cosθtanθ enθ=π
11)g(u)={6u2+u−22u−1,if u≠1272,if u=12, enu=12
- Contestar
- Sí. Es continuo.
12)f(y)=sin(πy)tan(πy), eny=1
13)f(x)={x2−ex,if x<0x−1,if x≥0, enx=0
- Contestar
- Sí. Es continuo.
14)f(x)={xsin(x),if x≤πxtan(x),if x>π, enx=π
En los ejercicios 15 - 19, encuentra el (los) valor (s) dek que hace que cada función sea continua durante el intervalo dado.
15)f(x)={3x+2,if x<k2x−3,if k≤x≤8
- Contestar
- k=−5
16)f(θ)={sinθ,if 0≤θ<π2cos(θ+k),if π2≤θ≤π
17)f(x)={x2+3x+2x+2,if x≠−2k,if x=−2
- Contestar
- k=−1
18)f(x)={ekx,if 0≤x<4x+3,if 4≤x≤8
19)f(x)={√kx,if 0≤x≤3x+1,if 3<x≤10
- Contestar
- k=163
En los ejercicios 20 - 21, utilice el Teorema del Valor Intermedio (IVT).
20) Dejarh(x)={3x2−4,if x≤25+4x,if x>2 A lo largo del intervalo[0,4], no hay valor dex tal queh(x)=10, aunqueh(0)<10 yh(4)>10. Explique por qué esto no contradice la IVT.
21) Una partícula que se mueve a lo largo de una línea por el tiempot tiene una función de posicións(t), que es continua. Asumirs(2)=5 ys(5)=2. Otra partícula se mueve de tal manera que su posición viene dada porh(t)=s(t)−t. Explique por qué debe haber un valorc para2<c<5 tal queh(c)=0.
- Contestar
- Dado que amboss yy=t son continuos en todas partes, entoncesh(t)=s(t)−t es continuo en todas partes y, en particular, es continuo a lo largo del intervalo cerrado [2,5]. También,h(2)=3>0 yh(5)=−3<0. Por lo tanto, por la IVT, hay un valorx=c tal queh(c)=0.
22) [T] Usa la declaración “El coseno det es igual at cubos”.
a. Escribir una ecuación matemática de la declaración.
b. Demostrar que la ecuación en la parte a. tiene al menos una solución real.
c. Use una calculadora para encontrar un intervalo de longitud0.01 que contenga una solución.
23) Aplicar la IVT para determinar si2x=x3 tiene una solución en uno de los intervalos [1.25,1.375] o [1.375,1.5]. Explica brevemente tu respuesta para cada intervalo.
- Contestar
- La funciónf(x)=2x−x3 es continua a lo largo del intervalo [1.25,1.375] y tiene signos opuestos en los puntos finales.
24) Considerar la gráfica de la función quey=f(x) se muestra en la siguiente gráfica.
a. Buscar todos los valores para los cuales la función es discontinua.
b. para cada valor de la parte a., exponer por qué no se aplica la definición formal de continuidad.
c. Clasificar cada discontinuidad como salto, removible o infinita.
25) Vamosf(x)={3x,if x>1x3,if x<1.
a. bosquejar la gráfica def.
b. ¿Es posible encontrar un valork tal quef(1)=k, que hagaf(x) continuo para todos los números reales? Explique brevemente.
- Contestar
-
a.
1. Seres con un círculo abierto en (1,3)." style="width: 423px; height: 431px;" width="423px" height="431px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_04_202.jpeg">
b. No es posible redefinirf(1) ya que la discontinuidad es una discontinuidad de salto.
26) Dejarf(x)=x4−1x2−1 parax≠−1,1.
a. bosquejar la gráfica def.
b. ¿Es posible encontrar valoresk1 yk2 tal quef(−1)=k yf(1)=k2, y que hagaf(x) continuos para todos los números reales? Explique brevemente.
27) Esbozar la gráfica de la funcióny=f(x) con propiedades i. a vii.
i. El dominio def is (−∞,+∞).
ii. ftiene una discontinuidad infinita enx=−6.
iii. f(−6)=3
iv. lim
v.f(−3)=3
vi. fse deja continuo pero no a la derecha continua enx=3.
vii. \displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=−∞y\displaystyle \lim_{x→+∞}f(x)=+∞
- Contestar
-
Las respuestas pueden variar; vea el siguiente ejemplo:
3." style="width: 419px; height: 422px;" width="419px" height="422px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_04_207.jpeg">
28) Esbozar la gráfica de la funcióny=f(x) con propiedades i. a iv.
i. El dominio def es [0,5].
ii. \displaystyle \lim_{x→1^+}f(x)y\displaystyle \lim_{x→1^−}f(x) existen y son iguales.
iii. f(x)se deja continuo pero no continuo enx=2, y derecho continuo pero no continuo enx=3.
iv. f(x)tiene una discontinuidad removible enx=1, una discontinuidad de salto enx=2, y se mantienen los siguientes límites:\displaystyle \lim_{x→3^−}f(x)=−∞ y\displaystyle \lim_{x→3^+}f(x)=2.
En los ejercicios 29 - 30, supongamos quey=f(x) está definido para todosx. Para cada descripción, esboce una gráfica con la propiedad indicada.
29) Discontinuo enx=1 con\displaystyle \lim_{x→−1}f(x)=−1 y\displaystyle \lim_{x→2}f(x)=4
- Contestar
-
Las respuestas pueden variar; vea el siguiente ejemplo:
1. Comienza en (1,3)." style="width: 423px; height: 431px;" width="423px" height="431px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_04_205.jpeg">
30) Discontinuox=2 pero continuo en otros lugares con\displaystyle \lim_{x→0}f(x)=\frac{1}{2}
Determinar si cada una de las afirmaciones dadas es verdadera. Justifica tu respuesta con una explicación o contraejemplo.
31)f(t)=\dfrac{2}{e^t−e^{−t}} es continuo en todas partes.
- Contestar
- Falso. Es continuo sobre (−∞,0) (0,∞).
32) Si los límites izquierdo y derecho def(x) comox→a existen y son iguales, entoncesf no pueden ser discontinuos enx=a.
33) Si una función no es continua en un punto, entonces no se define en ese punto.
- Contestar
- Falso. Considerarf(x)=\begin{cases}x, & \text{if }x≠0\\ 4, & \text{if }x=0\end{cases}.
34) Según la IVT,\cos x−\sin x−x=2 tiene una solución sobre el intervalo [−1,1].
35) Sif(x) es continuo tal quef(a) yf(b) tienen signos opuestos, entoncesf(x)=0 tiene exactamente una solución en [a,b].
- Contestar
- Falso. Considerarf(x)=\cos(x) en [−π,2π].
36) La funciónf(x)=\dfrac{x^2−4x+3}{x^2−1} es continua a lo largo del intervalo [0,3].
37) Sif(x) es continuo en todas partes yf(a),f(b)>0, entonces no hay raíz def(x) en el intervalo [a,b].
- Contestar
- Falso. ¡El IVT no funciona a la inversa! Considerar(x−1)^2 sobre el intervalo [−2,2].
[T] Los siguientes problemas consideran la forma escalar de la ley de Coulomb, que describe la fuerza electrostática entre dos cargas puntuales, como los electrones. Está dada por la ecuaciónF(r)=k_e\dfrac{|q_1q_2|}{r^2}, dondek_e está la constante de Coulomb,q_i son las magnitudes de las cargas de las dos partículas, yr es la distancia entre las dos partículas.
38) Para simplificar el cálculo de un modelo con muchas partículas que interactúan, después de algún valor umbralr=R, nos aproximamosF como cero.
a. Explicar el razonamiento físico detrás de esta suposición.
b. ¿Cuál es la ecuación de fuerza?
c. Evaluar la fuerzaF usando tanto la ley de Coulomb como nuestra aproximación, asumiendo que dos protones con una magnitud de carga de1.6022×10^{−19} culombos (C), y la constante de Coulombk_e=8.988×10^9Nm^2/C^2 están a 1 m de distancia. Además, supongamosR<1 m. ¿Cuánta inexactitud genera nuestra aproximación? ¿Es razonable nuestra aproximación?
d. ¿Hay algún valor finito de R para el cual este sistema permanezca continuo en R?
39) En lugar de hacer la fuerza0 enR, dejamos que la fuerza sea10−20 parar≥R. Asumir dos protones, que tienen una magnitud de carga1.6022×10^{−19}\;C, y la constante Coulombk_e=8.988×10^9\;Nm^2/C^2. ¿Hay algún valorR que pueda hacer que este sistema sea continuo? Si es así, encuéntralo.
- Contestar
- R=0.0001519m
Recordemos la discusión sobre naves espaciales del abridor de capítulos. Los siguientes problemas consideran el lanzamiento de un cohete desde la superficie de la Tierra. La fuerza de gravedad sobre el cohete viene dada porF(d)=−mk/d^2, donde m es la masa del cohete,d es la distancia del cohete desde el centro de la Tierra, yk es una constante.
40) [T] Determinar el valor y las unidades dek dado que la masa del cohete en la Tierra es de 3 millones de kg. (Pista: La distancia desde el centro de la Tierra a su superficie es de 6378 km.)
41) [T] Después de queD haya pasado cierta distancia, el efecto gravitacional de la Tierra se vuelve bastante despreciable, por lo que podemos aproximar la función de fuerza porF(d)=\begin{cases}−\dfrac{mk}{d^2}, & \text{if }d<D\\ 10,000, & \text{if }d≥D\end{cases}. Encontrar la condiciónD necesaria para que la función de fuerza permanezca continua.
- Contestar
- D=63.78km
42) A medida que el cohete se aleja de la superficie de la Tierra, hay una distancia D donde el cohete arroja parte de su masa, ya que ya no necesita el exceso de almacenamiento de combustible. Podemos escribir esta función comoF(d)=\begin{cases} −\dfrac{m_1k}{d^2}, & \text{if }d<D \\ −\dfrac{m_2k}{d^2}, & \text{if }d≥D\end{cases}. ¿Hay algún valor deD tal que esta función sea continua, asumiendom_1≠m_2?
En los Ejercicios 43 - 44, demostrar que cada función es continua en todas partes.
43)f(θ)=\sin θ
- Contestar
- Para todos los valores dea,f(a) se define,\displaystyle \lim_{θ→a}f(θ) existe, y\displaystyle \lim_{θ→a}f(θ)=f(a). Por lo tanto,f(θ) es continuo en todas partes.
44)g(x)=|x|
45) ¿Dónde esf(x)=\begin{cases} 0, & \text{if } x \text{ is irrational}\\ 1, & \text{if }x\text{ is rational}\end{cases} continuo?
- Contestar
- En ninguna parte