2.4E: Ejercicios para la Sección 2.4

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Para los ejercicios 1 a 8, determine el/los punto (s), en su caso, en el que cada función es discontinua. Clasifica cualquier discontinuidad como salto, removible, infinita u otra.

1)$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

Contestar: La función se define para todos$x$ en el intervalo$(0,∞)$.

2)$f(x)=\dfrac{2}{x^2+1}$

3)$f(x)=\dfrac{x}{x^2−x}$

Contestar: Discontinuidad removible en$x=0$; discontinuidad infinita en$x=1$.

4)$g(t)=t^{−1}+1$

5)$f(x)=\dfrac{5}{e^x−2}$

Contestar: Discontinuidad infinita en$x=\ln 2$

6)$f(x)=\dfrac{|x−2|}{x−2}$

7)$H(x)=\tan 2x$

Contestar: Infinitas discontinuidades en$x=\dfrac{(2k+1)π}{4}$, para$k=0,\,±1,\,±2,\,±3,\,…$

8)$f(t)=\dfrac{t+3}{t^2+5t+6}$

Para los ejercicios 9 - 14, decida si la función continua en el punto dado. Si es discontinua, ¿qué tipo de discontinuidad es?

9)$\dfrac{2x^2−5x+3}{x−1}$ en$x=1$

Contestar: No. Se trata de una discontinuidad removible.

10)$h(θ)=\dfrac{\sin θ−\cos θ}{\tan θ}$ en$θ=π$

11)$g(u)=\begin{cases}\dfrac{6u^2+u−2}{2u−1}, & \text{if }u≠ \frac{1}{2} \\ \frac{7}{2}, & \text{if }u= \frac{1}{2} \end{cases}$, en$u=\frac{1}{2}$

Contestar: Sí. Es continuo.

12)$f(y)=\dfrac{\sin(πy)}{\tan(πy)}$, en$y=1$

13)$f(x)=\begin{cases}x^2−e^x, & \text{if } x<0\\x−1, & \text{if }x≥0\end{cases}$, en$x=0$

Contestar: Sí. Es continuo.

14)$f(x)=\begin{cases}x\sin(x), & \text{if }x≤π\\ x\tan(x), & \text{if }x>π\end{cases}$, en$x=π$

En los ejercicios 15 - 19, encuentra el (los) valor (s) de$k$ que hace que cada función sea continua durante el intervalo dado.

15)$f(x)=\begin{cases}3x+2, & \text{if }x<k\\2x−3, & \text{if }k≤x≤8\end{cases}$

Contestar: $k=−5$

16)$f(θ)=\begin{cases}\sin θ, & \text{if }0≤θ<\frac{π}{2}\\ \cos(θ+k), & \text{if }\frac{π}{2}≤θ≤π\end{cases}$

17)$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2+3x+2}{x+2}, & \text{if }x≠−2\\ k, & \text{if }x=−2\end{cases}$

Contestar: $k=−1$

18)$f(x)=\begin{cases}e^{kx}, & \text{if }0≤x<4\\x+3, & \text{if }4≤x≤8\end{cases}$

19)$f(x)=\begin{cases}\sqrt{kx}, & \text{if }0≤x≤3\\x+1, & \text{if }3<x≤10\end{cases}$

Contestar: $k=\frac{16}{3}$

En los ejercicios 20 - 21, utilice el Teorema del Valor Intermedio (IVT).

20) Dejar$h(x)=\begin{cases}3x^2−4, & \text{if }x≤2\\5+4x, & \text{if }x>2\end{cases}$ A lo largo del intervalo$[0,4]$, no hay valor de$x$ tal que$h(x)=10$, aunque$h(0)<10$ y$h(4)>10$. Explique por qué esto no contradice la IVT.

21) Una partícula que se mueve a lo largo de una línea por el tiempo$t$ tiene una función de posición$s(t)$, que es continua. Asumir$s(2)=5$ y$s(5)=2$. Otra partícula se mueve de tal manera que su posición viene dada por$h(t)=s(t)−t$. Explique por qué debe haber un valor$c$ para$2<c<5$ tal que$h(c)=0$.

Contestar: Dado que ambos$s$ y$y=t$ son continuos en todas partes, entonces$h(t)=s(t)−t$ es continuo en todas partes y, en particular, es continuo a lo largo del intervalo cerrado [$2,5$]. También,$h(2)=3>0$ y$h(5)=−3<0$. Por lo tanto, por la IVT, hay un valor$x=c$ tal que$h(c)=0$.

22) [T] Usa la declaración “El coseno de$t$ es igual a$t$ cubos”.

a. Escribir una ecuación matemática de la declaración.

b. Demostrar que la ecuación en la parte a. tiene al menos una solución real.

c. Use una calculadora para encontrar un intervalo de longitud$0.01$ que contenga una solución.

23) Aplicar la IVT para determinar si$2^x=x^3$ tiene una solución en uno de los intervalos [$1.25,1.375$] o [$1.375,1.5$]. Explica brevemente tu respuesta para cada intervalo.

Contestar: La función$f(x)=2^x−x^3$ es continua a lo largo del intervalo [$1.25,1.375$] y tiene signos opuestos en los puntos finales.

24) Considerar la gráfica de la función que$y=f(x)$ se muestra en la siguiente gráfica.

$Diagrama que ilustra el teorema del valor intermedio. Hay una función curva continua genérica que se muestra a lo largo del intervalo [a, b]. Se marcan los puntos fa. y fb. y se dibujan líneas punteadas desde a, b, fa., y fb. hasta los puntos (a, fa.) y (b, fb.). Un tercer punto, c, se traza entre a y b. Dado que la función es continua, hay un valor para fc. a lo largo de la curva, y se dibuja una línea de c a (c, fc.) y de (c, fc.) a fc., que se etiqueta como z en el eje y.$

a. Buscar todos los valores para los cuales la función es discontinua.

b. para cada valor de la parte a., exponer por qué no se aplica la definición formal de continuidad.

c. Clasificar cada discontinuidad como salto, removible o infinita.

25) Vamos$f(x)=\begin{cases}3x, & \text{if }x>1\\ x^3, & \text{if }x<1\end{cases}$.

a. bosquejar la gráfica de$f$.

b. ¿Es posible encontrar un valor$k$ tal que$f(1)=k$, que haga$f(x)$ continuo para todos los números reales? Explique brevemente.

Contestar

Un gráfico de la función por partes dada que contiene dos segmentos. El primero, x^3, existe para x < 1 y termina con un círculo abierto en (1,1). El segundo, 3x, existe para x 1. Seres con un círculo abierto en (1,3)." style="width: 423px; height: 431px;" width="423px" height="431px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_04_202.jpeg">

b. No es posible redefinir$f(1)$ ya que la discontinuidad es una discontinuidad de salto.

26) Dejar$f(x)=\dfrac{x^4−1}{x^2−1}$ para$x≠−1,1$.

a. bosquejar la gráfica de$f$.

b. ¿Es posible encontrar valores$k_1$ y$k_2$ tal que$f(−1)=k$ y$f(1)=k_2$, y que haga$f(x)$ continuos para todos los números reales? Explique brevemente.

27) Esbozar la gráfica de la función$y=f(x)$ con propiedades i. a vii.

i. El dominio de$f$ is ($−∞,+∞$).

ii. $f$tiene una discontinuidad infinita en$x=−6$.

iii. $f(−6)=3$

iv. $\displaystyle \lim_{x→−3^−}f(x)=\lim_{x→−3^+}f(x)=2$

v.$f(−3)=3$

vi. $f$se deja continuo pero no a la derecha continua en$x=3$.

vii. $\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=−∞$y$\displaystyle \lim_{x→+∞}f(x)=+∞$

Contestar

Las respuestas pueden variar; vea el siguiente ejemplo:

3." style="width: 419px; height: 422px;" width="419px" height="422px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_04_207.jpeg">

28) Esbozar la gráfica de la función$y=f(x)$ con propiedades i. a iv.

i. El dominio de$f$ es [$0,5$].

ii. $\displaystyle \lim_{x→1^+}f(x)$y$\displaystyle \lim_{x→1^−}f(x)$ existen y son iguales.

iii. $f(x)$se deja continuo pero no continuo en$x=2$, y derecho continuo pero no continuo en$x=3$.

iv. $f(x)$tiene una discontinuidad removible en$x=1$, una discontinuidad de salto en$x=2$, y se mantienen los siguientes límites:$\displaystyle \lim_{x→3^−}f(x)=−∞$ y$\displaystyle \lim_{x→3^+}f(x)=2$.

En los ejercicios 29 - 30, supongamos que$y=f(x)$ está definido para todos$x$. Para cada descripción, esboce una gráfica con la propiedad indicada.

29) Discontinuo en$x=1$ con$\displaystyle \lim_{x→−1}f(x)=−1$ y$\displaystyle \lim_{x→2}f(x)=4$

Contestar

Las respuestas pueden variar; vea el siguiente ejemplo:

La gráfica de una función por partes con dos partes. La primera parte es una curva creciente que existe para x < 1. Termina en (1,1). La segunda parte es una línea creciente que existe para x 1. Comienza en (1,3)." style="width: 423px; height: 431px;" width="423px" height="431px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_04_205.jpeg">

30) Discontinuo$x=2$ pero continuo en otros lugares con$\displaystyle \lim_{x→0}f(x)=\frac{1}{2}$

Determinar si cada una de las afirmaciones dadas es verdadera. Justifica tu respuesta con una explicación o contraejemplo.

31)$f(t)=\dfrac{2}{e^t−e^{−t}}$ es continuo en todas partes.

Contestar: Falso. Es continuo sobre ($−∞,0$) ($0,∞$).

32) Si los límites izquierdo y derecho de$f(x)$ como$x→a$ existen y son iguales, entonces$f$ no pueden ser discontinuos en$x=a$.

33) Si una función no es continua en un punto, entonces no se define en ese punto.

Contestar: Falso. Considerar$f(x)=\begin{cases}x, & \text{if }x≠0\\ 4, & \text{if }x=0\end{cases}$.

34) Según la IVT,$\cos x−\sin x−x=2$ tiene una solución sobre el intervalo [$−1,1$].

35) Si$f(x)$ es continuo tal que$f(a)$ y$f(b)$ tienen signos opuestos, entonces$f(x)=0$ tiene exactamente una solución en [$a,b$].

Contestar: Falso. Considerar$f(x)=\cos(x)$ en [$−π,2π$].

36) La función$f(x)=\dfrac{x^2−4x+3}{x^2−1}$ es continua a lo largo del intervalo [$0,3$].

37) Si$f(x)$ es continuo en todas partes y$f(a),f(b)>0$, entonces no hay raíz de$f(x)$ en el intervalo [$a,b$].

Contestar: Falso. ¡El IVT no funciona a la inversa! Considerar$(x−1)^2$ sobre el intervalo [$−2,2$].

[T] Los siguientes problemas consideran la forma escalar de la ley de Coulomb, que describe la fuerza electrostática entre dos cargas puntuales, como los electrones. Está dada por la ecuación$F(r)=k_e\dfrac{|q_1q_2|}{r^2}$, donde$k_e$ está la constante de Coulomb,$q_i$ son las magnitudes de las cargas de las dos partículas, y$r$ es la distancia entre las dos partículas.

38) Para simplificar el cálculo de un modelo con muchas partículas que interactúan, después de algún valor umbral$r=R$, nos aproximamos$F$ como cero.

a. Explicar el razonamiento físico detrás de esta suposición.

b. ¿Cuál es la ecuación de fuerza?

c. Evaluar la fuerza$F$ usando tanto la ley de Coulomb como nuestra aproximación, asumiendo que dos protones con una magnitud de carga de$1.6022×10^{−19}$ culombos (C), y la constante de Coulomb$k_e=8.988×10^9Nm^2/C^2$ están a 1 m de distancia. Además, supongamos$R<1$ m. ¿Cuánta inexactitud genera nuestra aproximación? ¿Es razonable nuestra aproximación?

d. ¿Hay algún valor finito de R para el cual este sistema permanezca continuo en R?

39) En lugar de hacer la fuerza$0$ en$R$, dejamos que la fuerza sea$10−20$ para$r≥R$. Asumir dos protones, que tienen una magnitud de carga$1.6022×10^{−19}\;C$, y la constante Coulomb$k_e=8.988×10^9\;Nm^2/C^2$. ¿Hay algún valor$R$ que pueda hacer que este sistema sea continuo? Si es así, encuéntralo.

Contestar: $R=0.0001519$m

Recordemos la discusión sobre naves espaciales del abridor de capítulos. Los siguientes problemas consideran el lanzamiento de un cohete desde la superficie de la Tierra. La fuerza de gravedad sobre el cohete viene dada por$F(d)=−mk/d^2$, donde m es la masa del cohete,$d$ es la distancia del cohete desde el centro de la Tierra, y$k$ es una constante.

40) [T] Determinar el valor y las unidades de$k$ dado que la masa del cohete en la Tierra es de 3 millones de kg. (Pista: La distancia desde el centro de la Tierra a su superficie es de 6378 km.)

41) [T] Después de que$D$ haya pasado cierta distancia, el efecto gravitacional de la Tierra se vuelve bastante despreciable, por lo que podemos aproximar la función de fuerza por$F(d)=\begin{cases}−\dfrac{mk}{d^2}, & \text{if }d<D\\ 10,000, & \text{if }d≥D\end{cases}$. Encontrar la condición$D$ necesaria para que la función de fuerza permanezca continua.

Contestar: $D=63.78$km

42) A medida que el cohete se aleja de la superficie de la Tierra, hay una distancia D donde el cohete arroja parte de su masa, ya que ya no necesita el exceso de almacenamiento de combustible. Podemos escribir esta función como$F(d)=\begin{cases} −\dfrac{m_1k}{d^2}, & \text{if }d<D \\ −\dfrac{m_2k}{d^2}, & \text{if }d≥D\end{cases}$. ¿Hay algún valor de$D$ tal que esta función sea continua, asumiendo$m_1≠m_2$?

En los Ejercicios 43 - 44, demostrar que cada función es continua en todas partes.

43)$f(θ)=\sin θ$

Contestar: Para todos los valores de$a$,$f(a)$ se define,$\displaystyle \lim_{θ→a}f(θ)$ existe, y$\displaystyle \lim_{θ→a}f(θ)=f(a)$. Por lo tanto,$f(θ)$ es continuo en todas partes.

44)$g(x)=|x|$

45) ¿Dónde es$f(x)=\begin{cases} 0, & \text{if } x \text{ is irrational}\\ 1, & \text{if }x\text{ is rational}\end{cases}$ continuo?

Contestar: En ninguna parte