Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

2.5: La definición precisa de un límite

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Describir la definición épsilon-delta de un límite.
  • Aplicar la definición épsilon-delta para encontrar el límite de una función.
  • Describir las definiciones épsilon-delta de límites unilaterales e infinitos.
  • Utilice la definición épsilon-delta para probar las leyes de límite.

A estas alturas ya se ha avanzado de la definición muy informal de un límite en la introducción de este capítulo a la comprensión intuitiva de un límite. En este punto, debes tener un sentido intuitivo muy fuerte de lo que significa el límite de una función y cómo puedes encontrarla. En esta sección, convertimos esta idea intuitiva de un límite en una definición formal utilizando lenguaje matemático preciso. La definición formal de un límite es posiblemente una de las definiciones más desafiantes que encontrarás al principio de tu estudio del cálculo; sin embargo, merece la pena cualquier esfuerzo que hagas para conciliarlo con tu noción intuitiva de límite. Entender esta definición es la clave que abre la puerta a una mejor comprensión del cálculo.

Cuantificación de la cercanía

Antes de exponer la definición formal de un límite, debemos introducir algunas ideas preliminares. Recordemos que la distancia entre dos puntosa yb en una recta numérica viene dada por |a−b |.

  • La declaración |f(x)−L |<ε puede interpretarse como: La distancia entref(x) yL es menor queε.
  • La declaración0<|x−a|<δ puede interpretarse como:x≠a y la distancia entrex ya es menor queδ.

También es importante observar las siguientes equivalencias para el valor absoluto:

  • La declaración |f(x)−L|<ε es equivalente a la declaraciónL−ε<f(x)<L+ε.
  • El enunciado0<|x−a|<δ es equivalente al enunciadoa−δ<x<a+δ yx≠a.

Con estas aclaraciones, podemos exponer la definición formal épsilon-delta del límite.

Definición: Límites finitos (Formales)

Dejarf(x) ser definido para todox≠a lo largo de un intervalo abierto que contienea. LDéjese ser un número real. Entonces

\lim_{x→a}f(x)=L \nonumber

si, por cadaε>0, existe unδ>0, tal que si0<|x−a|<δ, entonces|f(x)−L|<ε.

Esta definición puede parecer bastante compleja desde un punto de vista matemático, pero se vuelve más fácil de entender si la desglosamos frase por frase. El enunciado en sí implica algo llamado cuantificador universal (para cada unoε>0), un cuantificador existencial (existe aδ>0), y, por último, una declaración condicional (si0<|x−a|<δ, entonces|f(x)−L|<ε). Echemos un vistazo a Table\PageIndex{1}, que desglosa la definición y traduce cada parte.

Mesa\PageIndex{1}
Definición Traducción
1. Para cadaε>0, 1. Por cada distancia positivaε deL,
2. existe unδ>0, 2. Hay una distancia positivaδ dea,
3. tal que 3. tal que
4. si0<|x−a|<δ, entonces|f(x)−L|<ε. 4. six está más cerca queδ aa yx≠a, entoncesf(x) está más cerca queε aL.

Podemos obtener un mejor manejo de esta definición observando la definición geométricamente. La figura\PageIndex{1} muestra los posibles valores deδ para varias elecciones deε>0 para una función dadaf(x), un númeroa y un límiteL ena. Observe que a medida que elegimos valores más pequeños deε (la distancia entre la función y el límite), siempre podemos encontrarδ uno lo suficientemente pequeño como para que si hemos elegido unx valor dentroδ dea, entonces el valor def(x) está dentroε del límite L.

Hay tres gráficas lado a lado que muestran posibles valores de delta, dadas elecciones sucesivamente más pequeñas de épsilon. Cada gráfica tiene una curva descendente cóncava decreciente en el cuadrante uno. Cada gráfica tiene el punto (a, L) marcado en la curva, donde L es el límite de la función en el punto donde x=a.A cada lado de L en el eje y, se marca una distancia épsilon, es decir, se dibuja una línea a través de la función en y = L + épsilon y L — épsilon. A medida que se eligen valores más pequeños de épsilon yendo de la gráfica uno a la gráfica tres, se pueden encontrar valores más pequeños de delta a la izquierda y derecha del punto a de manera que si hemos elegido un valor x dentro de delta de a, entonces el valor de f (x) está dentro de épsilon del límite L.
Figura\PageIndex{1}: Estas gráficas muestran posibles valores deδ, dadas elecciones sucesivamente más pequeñas deε.
Nota

Visite el siguiente applet para experimentar con la búsqueda de valores deδ para valores seleccionados deε:

Ejemplo\PageIndex{1} muestra cómo se puede utilizar esta definición para probar una declaración sobre el límite de una función específica en un valor especificado.

Ejemplo\PageIndex{1}: Proving a Statement about the Limit of a Specific Function

\displaystyle \lim_{x→1} \;(2x+1)=3Demuéstralo.

Solución

Vamosε>0.

La primera parte de la definición comienza “Para cadaε>0” Esto significa que debemos probar que lo que sigue es cierto sin importar el valor positivo de queε se elija. Al decir “Vamos”ε>0, señalamos nuestra intención de hacerlo.

Escogeδ=\frac{ε}{2}.

La definición continúa con “existe una”δ>0. La frase “existe” en una declaración matemática es siempre una señal para una búsqueda del tesoro. En otras palabras, debemos ir a buscarδ. Entonces, ¿de dóndeδ=ε/2 salió exactamente? Hay dos enfoques básicos para rastrearδ. Un método es puramente algebraico y el otro es geométrico.

Comenzamos abordando el problema desde un punto de vista algebraico. Ya que en última instancia queremos|(2x+1)−3|<ε, comenzamos por manipular esta expresión:|(2x+1)−3|<ε es equivalente a|2x−2|<ε, que a su vez es equivalente a|2||x−1|<ε. Por último, esto equivale a|x−1|<ε/2. Así, parecería queδ=ε/2 es apropiado.

También podemos encontrarδ a través de métodos geométricos. La figura\PageIndex{2} demuestra cómo se hace esto.

Gráfico de F de X es igual a 2 X más 1, una línea recta que se eleva desde el origen a la izquierda a través de Y es igual a 3 menos épsilon, Y es igual a 3 e Y es igual a 3 más épsilon. Por debajo de Y es igual a 3, X es 1; por debajo de 3 menos épsilon, X es 1 menos épsilon dividido por 2; por debajo de 3 más épsilon, X es 1 más épsilon dividido por 2.
Figura\PageIndex{2}: Esta gráfica muestra cómo nos encontramosδ geométricamente.

Asumir0<|x−1|<δ. Cuando seδ ha elegido, nuestro objetivo es demostrar que si0<|x−1|<δ, entonces|(2x+1)−3|<ε. Para probar cualquier enunciado de la forma “Si esto, entonces aquello”, comenzamos asumiendo “esto” y tratando de obtener “eso”.

Por lo tanto,

|(2x+1)−3|=|2x−2|propiedad de valor absoluto

=|2(x−1)|

=|2||x−1||2|=2

=2|x−1|

<2⋅δ aquí es donde usamos la suposición de que0<|x−1|<δ

=2⋅\frac{ε}{2}=εaquí es donde usamos nuestra elección deδ=ε/2

Análisis

En esta parte de la prueba, empezamos con|(2x+1)−3| y utilizamos nuestra suposición0<|x−1|<δ en una parte clave de la cadena de desigualdades para llegar|(2x+1)−3| a ser menos que ε. Podríamos haber manipulado fácilmente la supuesta desigualdad0<|x−1|<δ para llegar de la|(2x+1)−3|<ε siguiente manera:

0<|x−1|<δ⇒|x−1|<δ

⇒−δ<x−1<δ

⇒−\frac{ε}{2}<x−1<\frac{ε}{2}

⇒−ε<2x−2<ε

⇒|2x−2|<ε

⇒|(2x+1)−3|<ε.

Por lo tanto,\displaystyle \lim_{x→1} \;(2x+1)=3. (Una vez concluida la prueba, declaramos lo que hemos logrado.)

Después de eliminar todas las observaciones, aquí hay una versión final de la prueba:

Vamosε>0.

Escogeδ=ε/2.

Asumir0<|x−1|<δ.

Por lo tanto,

\ (\ begin {alinear*} | (2x+1) −3| &= |2x−2|\\ [4pt]
&=|2 (x−1) |\\ [4pt]
&=|2||x−1|\\ [4pt]
&=2|x−1|\\ [4pt]
&<2δ\ [4pt]
&=2⋅\ frac ε} {2}\\ [4pt]
&=ε. \ end {alinear*}\)

Por lo tanto,\displaystyle \lim_{x→1} \;(2x+1)=3.

La siguiente Estrategia de Resolución de Problemas resume el tipo de prueba que elaboramos en Ejemplo\PageIndex{1}.

Estrategia de resolución de problemas: demostrarlo\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=L for a Specific Function f(x)
  1. Comencemos la prueba con la siguiente declaración: Vamosε>0.
  2. A continuación, necesitamos obtener un valor paraδ. Después de haber obtenido este valor, hacemos la siguiente declaración, rellenando el espacio en blanco con nuestra elección deδ: Elijaδ= _______.
  3. El siguiente enunciado en la prueba debe ser (en este punto, rellenamos nuestro valor dado paraa): Asumir0<|x−a|<δ.
  4. A continuación, con base en esta suposición, necesitamos mostrar eso|f(x)−L|<ε, dóndef(x) yL están nuestra funciónf(x) y nuestro límiteL. En algún momento, necesitamos usar0<|x−a|<δ.
  5. Concluimos nuestra prueba con la declaración: Por lo tanto,\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=L.
Ejemplo\PageIndex{2}: Proving a Statement about a Limit

Completa la prueba de que\displaystyle \lim_{x→−1}\;(4x+1)=−3 rellenando los espacios en blanco.

Vamos _____.

Elijaδ= _______.

Supongamos0<|x −_______|.

Así, |________−________|=_____________________________________ε.

Solución

Comenzamos rellenando los espacios en blanco donde las elecciones son especificadas por la definición. Por lo tanto, tenemos

Vamosε>0.

Elijaδ =_______.

Asumir0<|x−(−1)|<δ. (o equivalentemente,0<|x+1|<δ.)

Así,|(4x+1)−(−3)|=|4x+4|=|4||x+1|<4δ _______ε.

Centrándonos en la línea final de la prueba, vemos que debemos elegirδ=\frac{ε}{4}.

Ahora completamos la redacción final de la prueba:

Vamosε>0.

Escogeδ=\frac{ε}{4}.

Asumir0<|x−(−1)|<δ (o equivalentemente,0<|x+1|<δ.)

Por lo tanto,|(4x+1)−(−3)|=|4x+4|=|4||x+1|<4δ=4(ε/4)=ε.

Ejercicio\PageIndex{1}

Completa la prueba de que\displaystyle \lim_{x→2}\;(3x−2)=4 rellenando los espacios en blanco.

Vamos _______.

Elijaδ =_______.

Supongamos0<|x− ____|< ____.

Por lo tanto,

|_______−____|= ______________________________ε.

Por lo tanto,\displaystyle \lim_{x→2}\;(3x−2)=4.

Pista

Siga el esquema en la Estrategia de Resolución de Problemas que elaboramos en su totalidad en Ejemplo\PageIndex{2}.

Contestar

Dejarε>0; elegirδ=\frac{ε}{3}; asumir0<|x−2|<δ.

Por lo tanto,|(3x−2)−4|=|3x−6|=|3|⋅|x−2|<3⋅δ=3⋅(ε/3)=ε.

Por lo tanto,\displaystyle \lim_{x→2}(3x−2)=4.

En Ejemplos\PageIndex{1} y\PageIndex{2}, las pruebas fueron bastante sencillas, ya que las funciones con las que estábamos trabajando eran lineales. En Ejemplo\PageIndex{3}, vemos cómo modificar la prueba para acomodar una función no lineal.

Ejemplo\PageIndex{3}: Proving a Statement about the Limit of a Specific Function (Geometric Approach)

\displaystyle \lim_{x→2}x^2=4Demuéstralo.

Solución

1. Vamosε>0. La primera parte de la definición comienza “Para cada”ε>0, por lo que debemos demostrar que lo que sigue es cierto sin importar el valor positivo de queε se elija. Al decir “Vamos”ε>0, señalamos nuestra intención de hacerlo.

2. Sin pérdida de generalidad, asumaε≤4. Dos preguntas se presentan: ¿Por qué queremosε≤4 y por qué está bien hacer esta suposición? En respuesta a la primera pregunta: Más adelante, en el proceso de resolver paraδ, descubriremos queδ implica la cantidad\sqrt{4−ε}. En consecuencia, necesitamosε≤4. En respuesta a la segunda pregunta: Si podemos encontrarδ>0 que “funciona” paraε≤4, entonces “funcionará” para cualquieraε>4 también. Hay que tener en cuenta que, aunque siempre está bien poner un límite superior en ε, nunca está bien poner un límite inferior (que no sea cero) encendidoε.

3. Escogeδ=\min\{2−\sqrt{4−ε},\sqrt{4+ε}−2\}. La figura\PageIndex{3} muestra cómo hicimos esta elección deδ.

Esta gráfica muestra cómo encontrar delta geométricamente para un épsilon dado para la prueba anterior. Primero, la función f (x) = x^2 se extrae de [-1, 3]. En el eje y, se marca el límite propuesto 4, y se dibuja la línea y=4 para intersectar con la función at (2,4). Para un épsilon dado, el punto 4 + épsilon y el 4 — épsilon están marcados en el eje y por encima y por debajo del 4. A partir de estos puntos se dibujan líneas azules para intersectar con la función, donde se dibujan líneas rosadas desde el punto de intersección hasta el eje x. Estas líneas aterrizan a ambos lados de x=2. A continuación, resolvemos para estos valores x, que aquí tienen que ser positivos. El primero es x^2 = 4 — épsilon, que simplifica a x = sqrt (4-épsilon). El siguiente es x^2 = 4 + épsilon, que simplifica a x = sqrt (4 + épsilon). Delta es la menor de las dos distancias, por lo que es el min de (2 — sqrt (4 — épsilon) y sqrt (4 + épsilon) — 2).
Figura\PageIndex{3}: Esta gráfica muestra cómo encontramos δ geométricamente para una ε dada para la prueba en Ejemplo\PageIndex{3}.

4. Debemos mostrar: Si0<|x−2|<δ, entonces|x^2−4|<ε, así debemos comenzar asumiendo

0<|x−2|<δ.

Realmente no necesitamos0<|x−2| (en otras palabras,x≠2) para esta prueba. Ya que0<|x−2|<δ⇒|x−2|<δ, está bien caer0<|x−2|.

|x−2|<δ.

Por lo tanto,

−δ<x−2<δ.

Recordemos esoδ=\min\{2−\sqrt{4−ε},\sqrt{4+ε}−2\}. Así,δ≥2−\sqrt{4−ε} y consecuentemente−(2−\sqrt{4−ε})≤−δ. También utilizamosδ≤\sqrt{4+ε}−2 aquí. Podríamos preguntarnos en este punto: ¿Por qué2−\sqrt{4−ε} sustituimosδ en el lado izquierdo de la desigualdad y\sqrt{4+ε}−2 en el lado derecho de la desigualdad? Si nos fijamos en Figura\PageIndex{3}, vemos que2−\sqrt{4−ε} corresponde a la distancia a la izquierda de2 en elx eje -y\sqrt{4+ε}−2 corresponde a la distancia a la derecha. Por lo tanto,

−(2−\sqrt{4−ε})≤−δ<x−2<δ≤\sqrt{4+ε}−2.

Simplificamos la expresión de la izquierda:

−2+\sqrt{4−ε}<x−2<\sqrt{4+ε}−2.

Luego, agregamos 2 a todas las partes de la desigualdad:

\sqrt{4−ε}<x<\sqrt{4+ε}.

Cuadramos todas las partes de la desigualdad. Está bien hacerlo, ya que todas las partes de la desigualdad son positivas:

4−ε<x^2<4+ε.

Restamos4 de todas las partes de la desigualdad:

−ε<x^2−4<ε.

Por último,

|x^2−4|<ε.

5. Por lo tanto,

\displaystyle \lim_{x→2}x^2=4.

Ejercicio\PageIndex{2}

Encuentra δ correspondiente aε>0 para una prueba de que\displaystyle \lim_{x→9}\sqrt{x}=3.

Pista

Dibuja una gráfica similar a la del Ejemplo\PageIndex{3}.

Contestar

Escogeδ=\text{min}\{9−(3−ε)^2,\;(3+ε)^2−9\}.

El enfoque geométrico para demostrar que el límite de una función adquiere un valor específico funciona bastante bien para algunas funciones. Además, la penetración en la definición formal del límite que proporciona este método es invaluable. Sin embargo, también podemos acercarnos a las pruebas límite desde un punto de vista puramente algebraico. En muchos casos, un enfoque algebraico puede no solo proporcionarnos una visión adicional de la definición, sino que también puede resultar más simple. Además, un enfoque algebraico es la principal herramienta utilizada en pruebas de declaraciones sobre límites. Por ejemplo\PageIndex{4}, tomamos un enfoque puramente algebraico.

Ejemplo\PageIndex{4}:Proving a Statement about the Limit of a Specific Function (Algebraic Approach)

Demostrar que\displaystyle \lim_{x→−1}\;(x^2−2x+3)=6.

Solución

Usemos nuestro esquema de la Estrategia de Resolución de Problemas:

1. Vamosε>0.

2. Escogeδ=\text{min}\{1,ε/5\}. Esta elección deδ puede parecer extraña a primera vista, pero se obtuvo echando un vistazo a nuestra desigualdad máxima deseada:∣(x^2−2x+3)−6∣<ε. Esta desigualdad equivale a|x+1|⋅|x−3|<ε. En este punto, la tentación simplemente de elegirδ=\frac{ε}{x−3} es muy fuerte. Desafortunadamente, nuestra elección deδ debe depender solo de ε y de ninguna otra variable. Si podemos reemplazar|x−3| por un valor numérico, nuestro problema puede resolverse. Este es el lugar dondeδ≤1 entra en juego el asumir. La elección deδ≤1 aquí es arbitraria. Podríamos haber usado con la misma facilidad cualquier otro número positivo. En algunas pruebas, puede ser necesario un mayor cuidado en esta elección. Ahora, desdeδ≤1 y|x+1|<δ≤1, somos capaces de demostrar eso|x−3|<5. En consecuencia,|x+1|⋅|x−3|<|x+1|⋅5. En este punto nos damos cuenta de que también necesitamosδ≤ε/5. Así, elegimosδ=\text{min}\{1,ε/5\}.

3. Asumir0<|x+1|<δ. Por lo tanto,

|x+1|<1\text{ and }|x+1|<\frac{ε}{5}. \nonumber

Ya que|x+1|<1, podemos concluir que−1<x+1<1. Así, restando4 de todas las partes de la desigualdad, obtenemos−5<x−3<−1. En consecuencia,|x−3|<5. Esto nos da

\left|(x^2−2x+3)−6\right|=|x+1|⋅|x−3|<\frac{ε}{5}⋅5=ε.\nonumber

Por lo tanto,

\lim_{x→−1}\;(x^2−2x+3)=6.\nonumber

Ejercicio\PageIndex{3}

Complete la prueba de que\displaystyle \lim_{x→1}x^2=1.

Dejarε>0; elegirδ=\text{min}\{1,ε/3\}; asumir0<|x−1|<δ.

Ya que|x−1|<1, podemos concluir que−1<x−1<1. Por lo tanto,1<x+1<3. De ahí,|x+1|<3.

Pista

Use Ejemplo\PageIndex{4} como guía.

Contestar

∣x^2−1∣=|x−1|⋅|x+1|<ε/3⋅3=ε

Encontrarás que, en general, cuanto más compleja sea una función, más probable es que el enfoque algebraico sea el más fácil de aplicar. El enfoque algebraico también es más útil para probar afirmaciones sobre límites.

Demostrar leyes de límite

Ahora demostramos cómo utilizar la definición épsilon-delta de un límite para construir una prueba rigurosa de una de las leyes de límite. La desigualdad triangular se utiliza en un punto clave de la prueba, por lo que primero revisamos esta propiedad clave de valor absoluto.

Definición: La desigualdad del triángulo

El triángulo de desigualdad afirma que sia yb son números reales, entonces|a+b|≤|a|+|b|.

Prueba

Demostramos la siguiente ley límite: Si\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=L y\displaystyle \lim_{x→a}g(x)=M, entonces\displaystyle \lim_{x→a}\;(f(x)+g(x))=L+M.

Vamosε>0.

Eligeδ_1>0 para que si0<|x−a|<δ_1, entonces|f(x)−L|<ε/2.

Eligeδ_2>0 para que si0<|x−a|<δ_2, entonces|g(x)−M|<ε/2.

Escogeδ=\text{min}\{δ_1,δ_2\}.

Asumir0<|x−a|<δ.

Por lo tanto,

0<|x−a|<δ_1y0<|x−a|<δ_2.

Por lo tanto,

\ [\ begin {align*} | (f (x) +g (x)) − (L+M) |&=| (f (x) −L) + (g (x) −M) |\\ [4pt]
&≤|f (x) −l|+|G (x) −M|\\ [4pt]
&<\ frac {ε} {2} +\ frac {ε} {2} =ε\ end {align*}. \ nonumber\]

Ahora exploramos lo que significa que un límite no exista. El límite\displaystyle \lim_{x→a}f(x) no existe si no hay un número realL para el cual\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=L. Así, para todos los números realesL,\displaystyle \lim_{x→a}f(x)≠L. Para entender lo que esto significa, miramos cada parte de la definición de\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=L junto con su opuesto. Una traducción de la definición se da en la Tabla\PageIndex{2}.

Mesa\PageIndex{2}. Traducción de la definición de\lim_{x→a}f(x)=L y su opuesto
Definición Opuesto
1. Para cadaε>0, 1. Existeε>0 para que
2. existe unaδ>0, por lo que 2. por cadaδ>0,
3. si0<|x−a|<δ, entonces|f(x)−L|<ε. 3. Hay unax satisfactoria0<|x−a|<δ para que|f(x)−L|≥ε.

Por último, podemos exponer lo que significa que un límite no exista. El límite\displaystyle \lim_{x→a}f(x) no existe si por cada número realL, existe un número real paraε>0 que para todosδ>0, haya unx satisfactorio0<|x−a|<δ, así que eso|f(x)−L|≥ε. Apliquemos esto en Ejemplo\PageIndex{5} para mostrar que no existe un límite.

Ejemplo\PageIndex{5}: Showing That a Limit Does Not Exist

Demostrar que\displaystyle \lim_{x→0}\frac{|x|}{x} no existe. La gráfica def(x)=|x|/x se muestra aquí:

Una gráfica de una función con dos segmentos. El primero existe para x<0, y es una línea sin pendiente que termina en el eje y en un círculo abierto en (0, -1). El segundo existe para x0, y es una línea sin pendiente que comienza en el eje y en un círculo abierto (1,0)." src="https://math.libretexts.org/@api/dek...2355/2.5.3.png">

Solución

Supongamos queL es candidato a un límite. Escogeε=1/2.

Vamosδ>0. L≥0O bienL<0. SiL≥0, entonces vamosx=−δ/2.

Por lo tanto,

|x−0|=∣−\frac{δ}{2}−0∣=\frac{δ}{2}<δ

y

\left|\frac{∣−\frac{δ}{2}∣}{−\frac{δ}{2}}−L\right|=|−1−L|=L+1≥1>\frac{1}{2}=ε.

Por otro lado, siL<0, entonces vamosx=δ/2. Por lo tanto,

|x−0|=∣\frac{δ}{2}−0∣=\frac{δ}{2}<δ

y

\left|\frac{∣\frac{δ}{2}∣}{\frac{δ}{2}}−L\right|=|1−L|=|L|+1≥1>\frac{1}{2}=ε.

Así, por cualquier valor deL,\displaystyle \lim_{x→0}\frac{|x|}{x}≠L.

Límites unilaterales

Así como primero obtuvimos una comprensión intuitiva de los límites y luego pasamos a una definición más rigurosa de un límite, ahora revisamos los límites unilaterales. Para ello, modificamos la definición épsilon-delta de un límite para dar definiciones formales épsilon-delta para límites de derecha e izquierda en un punto. Estas definiciones sólo requieren ligeras modificaciones a partir de la definición del límite. En la definición del límite desde la derecha, la desigualdad0<x−a<δ reemplaza0<|x−a|<δ, lo que asegura que solo consideramos valores dex que son mayores que (a la derecha de)a. De igual manera, en la definición del límite desde la izquierda, la desigualdad−δ<x−a<0 reemplaza0<|x−a|<δ, lo que asegura que solo consideramos valores dex que son menores que (a la izquierda de)a.

Definición: Límites unilaterales (Formales)

Límite desde la Derecha: Dejarf(x) definirse a lo largo de un intervalo abierto de la forma(a,b) dondea<b. Entonces

\lim_{x→a^+}f(x)=L \nonumber

si por cadaε>0, existe unaδ>0, tal que si0<x−a<δ, entonces|f(x)−L|<ε.

Límite desde la Izquierda: Dejarf(x) definirse a lo largo de un intervalo abierto de la forma(b,c) dondeb<c. Entonces,

\lim_{x→c^−}f(x)=L \nonumber

si por cadaε>0, existeδ>0 tal que si −δ<x−c<0, entonces|f(x)−L|<ε.

Ejemplo\PageIndex{6}: Proving a Statement about a Limit From the Right

Demostrar que

\lim_{x→4^+}\sqrt{x−4}=0.\nonumber

Solución

Vamosε>0.

Escogeδ=ε^2. Ya que en última instancia queremos∣\sqrt{x−4}−0∣<ε, manipulamos esta desigualdad para obtener\sqrt{x−4}<ε o, de manera equivalente0<x−4<ε^2, hacerδ=ε^2 una elección clara. También podemos determinarδ geométricamente, como se muestra en la Figura\PageIndex{4}.

Gráfica de la mitad superior de una parábola horizontal que se abre a la derecha, con ápice en el eje X en X igual a 4. También se muestra la línea Y igual a 0 más épsilon, intersecando la parábola. Una línea vertical cae desde la intersección hasta el eje X, alcanzando el eje en X es igual a épsilon cuadrado más 4. La distancia de ese lugar a 4 está etiquetada como delta, y es igual a épsilon al cuadrado.
Figura\PageIndex{4}: Esta gráfica muestra cómo encontramos δ para la prueba en Ejemplo\PageIndex{6}.

Asumir0<x−4<δ. Por lo tanto,0<x−4<ε^2. De ahí,0<\sqrt{x−4}<ε. Por último,\left|\sqrt{x−4}−0\right|<ε. Por lo tanto,\displaystyle \lim_{x→4^+}\sqrt{x−4}=0.

Ejercicio\PageIndex{4}

Encontrarδ correspondiente aε para una prueba de que\displaystyle \lim_{x→1^−}\sqrt{1−x}=0.

Pista

Dibuja la gráfica y usa Ejemplo\PageIndex{6} como guía de resolución.

Contestar

δ=ε^2

Límites Infinitos

Concluimos el proceso de convertir nuestras ideas intuitivas de diversos tipos de límites a definiciones formales rigurosas, persiguiendo una definición formal de límites infinitos. Para tener\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=+∞, queremos que los valores de la función se hagan cadaf(x) vez más grandes a medida que sex aproximaa. En lugar del requisito de que|f(x)−L|<ε para arbitrariamente pequeñoε cuando0<|x−a|<δ para lo suficientemente pequeñoδ, queremosf(x)>M para arbitrariamente grande positivoM cuando0<|x−a|<δ para lo suficientemente pequeñoδ. La figura\PageIndex{5} ilustra esta idea mostrando el valor deδ para valores sucesivamente mayores deM.

Dos gráficas una al lado de la otra. Cada gráfica contiene dos curvas sobre el eje x separadas por una asíntota en x=a. Las curvas de la izquierda van al infinito como x va a a y a 0 como x va al infinito negativo. Las curvas de la derecha van al infinito como x va a a y a 0 como x va al infinito. La primera gráfica tiene un valor M mayor a cero marcado en el eje y y una línea horizontal dibujada a partir de ahí (Y=m) para intersectar con ambas curvas. Las líneas se dibujan hacia abajo desde los puntos de intersección hasta el eje x. Delta es la menor de las distancias entre el punto a y estos nuevos puntos en el eje x. Las mismas líneas se dibujan en la segunda gráfica, pero esta M es mayor, y las distancias desde las intersecciones del eje x hasta el punto a son menores.

Figura\PageIndex{5}: Estas gráficas representan valores deδ paraM para mostrar eso\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=+∞.

Definición: Límites Infinitos (Formal)

Letf(x) be defined for all x≠a in an open interval containing a. Then, we have an infinite limit

\lim_{x→a}f(x)=+∞ \nonumber

si por cadaM>0, there exists δ>0 such that if 0<|x−a|<δ, then f(x)>M.

Letf(x) be defined for all x≠a in an open interval containing a. Then, we have a negative infinite limit

\lim_{x→a}f(x)=−∞ \nonumber

si por cadaM>0, there exists δ>0 such that if 0<|x−a|<δ, then f(x)<−M.

Ejemplo\PageIndex{7}: Proving a Statement about an Infinite Limit

Demostrar que\displaystyle \lim_{x→3}\frac{1}{(x-3)^2}=\infty.

Solución

Utilizamos un enfoque muy similar a nuestra anterior Estrategia de Resolución de Problemas. Primero encontramos un apropiadoδ>0. Entonces escribimos nuestra prueba.

Paso 1: Primero encontramos un apropiadoδ>0.

1. MSea cualquier número real tal queM>0.

2. Vamosf(x) = \dfrac{1}{(x-3)^2} > M. Entonces resolvemos para la expresiónx - 3.

Multiplicar ambos lados de la desigualdad por la cantidad positiva(x - 3)^2 y dividir ambos lados por la cantidad positiva nosM da:

\frac{1}{M} > (x-3)^2 \nonumber

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos,

\sqrt{\frac{1}{M}} > |x - 3|. \qquad \quad\left(\text{Remember that }\sqrt{x^2} = |x|.\right)\nonumber

Reescribir esta declaración nos da,0 < |x-3| < \sqrt{\dfrac{1}{M}}. De esto elegimosδ = \sqrt{\dfrac{1}{M}}.

Paso 2: Ahora escribimos una prueba.

3. Dejemosδ = \sqrt{\dfrac{1}{M}} y asuma0 < |x-3| < δ = \sqrt{\dfrac{1}{M}}.

Por lo tanto,

|x-3| < \sqrt{\frac{1}{M}}. \nonumber

Al cuadrar ambos lados nos da,

(x-3)^2 < \frac{1}{M}. \nonumber

Tomando el recíproco de ambas partes (y recordando que esto invertirá la dirección de la desigualdad),

\dfrac{1}{(x-3)^2} > M. \nonumber

Por lo tanto, hemos demostrado que

\lim_{x→3}\frac{1}{(x-3)^2}=\infty.\nonumber

Se necesitará una prueba muy similar para un límite que sea igual a-\infty.

Tenga en cuenta que a menudo será necesario tomar un enfoque de límite unilateral con este tipo de límite. Por ejemplo, para probar:\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x} = \infty.

Conceptos clave

  • La noción intuitiva de un límite puede convertirse en una definición matemática rigurosa conocida como la definición épsilon-delta del límite.
  • La definición épsilon-delta puede ser utilizada para probar declaraciones sobre límites.
  • La definición épsilon-delta de un límite puede modificarse para definir límites unilaterales.
  • Una definición similar de un límite infinito se puede utilizar para probar declaraciones sobre límites infinitos.

Glosario

épsilon-delta definición del límite
\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=Lsi por cadaε>0, existeδ>0 tal que si0<|x−a|<δ, entonces|f(x)−L|<ε
desigualdad triangular
Sia yb son números reales, entonces|a+b|≤|a|+|b|
definición formal de un límite infinito
\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=\inftysi por cadaM>0, existeδ>0 tal que si0<|x−a|<δ, entoncesf(x)>M
\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=-\infty si por cadaM>0, existeδ>0 tal que si0<|x−a|<δ, entoncesf(x)<-M

Colaboradores y Atribuciones

  • Template:ContribOpenStaxCalc
  • Paul Seeburger (Monroe Community College), added Example \PageIndex{7} and entries for infinite limits under Key Concepts and the Glossary.

This page titled 2.5: La definición precisa de un límite is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang (OpenStax) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.

Support Center

How can we help?