5.1: Antiderivados e Integración Indefinida

Hemos pasado un tiempo considerable considerando las derivadas de una función y sus aplicaciones. En los siguientes capítulos, vamos a empezar a pensar en “la otra dirección”. Es decir, dada una función$f(x)$, vamos a considerar funciones$F(x)$ tales que$F'(x) = f(x)$. Existen numerosas razones por las que esto resultará útil: estas funciones nos ayudarán a calcular áreas, volúmenes, masa, fuerza, presión, trabajo y mucho más.

Dada una función$y=f(x)$, una ecuación diferencial es aquella que incorpora$y$,$x$, y las derivadas de$y$. Por ejemplo, una ecuación diferencial simple es:

$$y' = 2x.\]

Resolver una ecuación diferencial equivale a encontrar una función$y$ que satisfaga la ecuación dada. Tómate un momento y considera esa ecuación; ¿puedes encontrar una función$y$ tal que$y' = 2x$?

¿Puedes encontrar otro?

¿Y otro más?

Ojalá uno pudiera llegar a al menos una solución:$y = x^2$. “Encontrar otro” puede haber parecido imposible hasta que uno se da cuenta de que una función como$y=x^2+1$ también tiene un derivado de$2x$. Una vez que se hace ese descubrimiento, encontrar “otro más” no es difícil; la función$y = x^2 + 123,456,789$ también tiene un derivado de$2x$. La ecuación diferencial$y' = 2x$ tiene muchas soluciones. Esto nos lleva a algunas definiciones.

Definición$\PageIndex{1}$: Antiderivatives and Indefinite Integrals

Que$f(x)$ se dé una función. Un antiderivado de$f(x)$ es una función$F(x)$ tal que$F'(x) = f(x)$.

El conjunto de todos los antiderivados de$f(x)$ es la integral indefinida de$f$, denotada por

$$\ int f (x)\ dx.\]

Toma nota sobre nuestra definición: nos referimos a una antiderivada de$f$, a diferencia de la antiderivada de$f$, ya que siempre hay un número infinito de ellas. A menudo usamos letras mayúsculas para denotar antiderivados.

Conocer un antiderivado de nos$f$ permite encontrar infinitamente más, simplemente añadiendo una constante. Esto no sólo nos da más antiderivados, nos da todos ellos.

Teorema$\PageIndex{1}$: Antiderivative Forms

Dejar$F(x)$ y$G(x)$ ser antiderivados de$f(x)$. Entonces existe una constante$C$ tal que

$$G (x) = F (x) + C.\]

Dada una función$f$ y uno de sus antiderivados$F$, sabemos que todos los antiderivados de$f$ tienen la forma$F(x) + C$ para alguna constante$C$. Usando Definición$\PageIndex{1}$, podemos decir que

$$\ int f (x)\ dx = F (x) + C.\]

Analicemos esta notación integral indefinida.

Figura$\PageIndex{1}$: Entendiendo la notación integral indefinida.

La figura$\PageIndex{1}$ muestra la notación típica de la integral indefinida. El símbolo de integración$\int$,, es en realidad una “S alargada”, que representa “tomar la suma”. Posteriormente veremos cómo se relacionan las sumas y los antiderivados.

La función de la que queremos encontrar una antiderivada se llama integrando. Contiene el diferencial de la variable que estamos integrando con respecto a. El$\int$ símbolo y el diferencial no$dx$ son “libros” con una función intercalada entre ellos; más bien, el símbolo$\int$ significa “encontrar todos los antiderivados de lo que sigue”, y la función$f(x)$ y$dx$ se multiplican entre sí; el$dx$ no “simplemente se sienta ahí”.

Practicemos usando esta notación.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Evaluating indefinite integrals

Evaluar$\displaystyle \int \sin x\ dx.$

Solución

Se nos pide encontrar todas las funciones de$F(x)$ tal manera que$F'(x) = \sin x$. Algún pensamiento nos llevará a una solución:$F(x) = -\cos x$, porque$\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$.

La integral indefinida de$\sin x$ es así$-\cos x$, más una constante de integración. Entonces:

$$\ int\ sin x\ dx = -\ cos x + C.\]

Una pregunta común es “¿Qué pasó con el$dx$?” La respuesta no iluminada es “No te preocupes por ello. Simplemente se va”. Un entendimiento completo incluye lo siguiente.

Este proceso de antidiferenciación realmente está resolviendo una cuestión diferencial. El integral

$$\ int\ sin x\ dx\]

nos presenta un diferencial,$dy = \sin x\ dx$. Se pregunta: “¿Qué es$y$?” Encontramos muchas soluciones, todas de la forma$y = -\cos x+C$.

Dejar$dy = \sin x\ dx$, reescribir

$$\ int\ sin x\ dx\ quad\ texto {as}\ quad\ int dy.\]

Esto es preguntar: “¿Qué funciones tienen un diferencial de la forma$dy$?” La respuesta es “Funciones de la forma$y+C$, donde$C$ es una constante”. ¿Qué es$y$? Tenemos muchas opciones, todas difieren por una constante; la elección más simple es$y = -\cos x$.

Entender todo esto es más importante más adelante ya que tratamos de encontrar antiderivados de funciones más complicadas. En esta sección, simplemente exploraremos las reglas de la integración indefinida, y uno puede tener éxito por ahora respondiendo “¿Qué pasó con el$dx$?” con “Se fue”.

Practicemos una vez más antes de establecer reglas de integración.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Evaluating indefinite integrals

Evaluar$\int (3x^2 + 4x+5)\ dx$.

Solución

Buscamos una función$F(x)$ cuya derivada sea$3x^2+4x+5$. Al tomar derivados, podemos considerar las funciones término por término, así que probablemente podamos hacerlo aquí.

¿De qué funciones tiene un derivado$3x^2$? Algún pensamiento nos llevará a un cúbico, específicamente$x^3+C_1$, donde$C_1$ es una constante.

¿De qué funciones tiene un derivado$4x$? Aquí el$x$ término se eleva a la primera potencia, por lo que probablemente busquemos una cuadrática. Algún pensamiento debería llevarnos a$2x^2+C_2$, donde$C_2$ es una constante.

Por último, ¿de qué funciones tiene un derivado$5$? Funciones de la forma$5x+C_3$, donde$C_3$ es una constante.

Nuestra respuesta parece ser

$$\ int (3x^2+4x+5)\ dx = x^3+C_1+2x^2+C_2+2+5X+C_3.\]

No necesitamos tres constantes separadas de integración; combinarlas como una constante, dando la respuesta final de

$$\ int (3x^2+4x+5)\ dx = x^3+2x^2+5x+C.\]

Es fácil verificar nuestra respuesta; tomar la derivada de$x^3+2x^3+5x+C$ y ver que efectivamente obtenemos$3x^2+4x+5$.

Este último paso de “verificar nuestra respuesta” es importante tanto práctica como teóricamente. En general, tomar derivados es más fácil que encontrar antiderivados por lo que revisar nuestro trabajo es fácil y vital a medida que aprendemos.

También vemos que tomar la derivada de nuestra respuesta devuelve la función en el integrando. Así podemos decir que:

$$\ frac {d} {dx}\ izquierda (\ int f (x)\ dx\ derecha) = f (x).\]

La diferenciación “deshace” el trabajo realizado por la antidiferenciación.

El teorema 27 dio una lista de las derivadas de las funciones comunes que habíamos aprendido en ese momento. Reafirmamos parte de esa lista aquí para enfatizar la relación entre derivados y antiderivados. Esta lista también será útil como glosario de antiderivados comunes a medida que aprendamos.

Teorema$\PageIndex{2}$: Derivatives and Antiderivatives

Reglas comunes de diferenciación

Reglas comunes de integración indefinida

$\frac{d}{dx}\big(cf(x) \big) = c\cdot f'(x)$ $\frac{d}{dx}\big(f(x)\pm g(x) \big) =f'(x)\pm g'(x)$ $\frac{d}{dx}\big(C \big) = 0$ $\frac{d}{dx}\big(x \big) = 1$ $\frac{d}{dx}\big(x^n \big) = n\cdot x^{n-1}$ $\frac{d}{dx}\big(\sin x \big) = \cos x$ $\frac{d}{dx}\big(\cos x \big) = -\sin x$ $\frac{d}{dx}\big(\tan x \big) = \sec^2 x$ $\frac{d}{dx}\big(\csc x \big) = -\csc x\cot x$ $\frac{d}{dx}\big(\sec x \big) = \sec x\tan x$ $\frac{d}{dx}\big(\cot x \big) = -\csc^2 x$ $\frac{d}{dx}\big(e^ x \big) = e^x$ $\frac{d}{dx}\big(a^x \big) = \ln a\cdot a^x$ $\frac{d}{dx}\big(\ln x \big) = \frac1 x$

$\int c\cdot f(x)\ dx = c\cdot \int f(x)\ dx$ $\int \big(f(x)\pm g(x)\big)\ dx =\int f(x)\ dx\pm \int g(x)\ dx$ $\int 0\ dx = C$ $\int 1\ dx = \int dx = x+C$ $\int x^n\ dx =\frac{1}{n+1}x^{n+1}+ C$ $\int \cos x\ dx = \sin x+C$ $\int \sin x\ dx = -\cos x+C$ $\int \sec^2 x\ dx = \tan x+C$ $\int \csc x\cot x\ dx = -\csc x+C$ $\int \sec x\tan x\ dx = \sec x+C$ $\int \csc^2 x\ dx = -\cot x+C$ $\int e^x\ dx = e^x+C$ $\int a^x\ dx = \frac{1}{\ln a}\cdot a^x+C$ $\int \frac{1}x\ dx = \ln |x|+C$

Destacamos algunos puntos importantes del Teorema$\PageIndex{2}$:

• Dice la regla #1$\int c\cdot f(x)\ dx = c\cdot \int f(x)\ dx$. Esta es la Regla Múltiple Constante: podemos ignorar temporalmente las constantes al encontrar antiderivadas, tal como lo hicimos al calcular derivadas (es decir,$\frac{d}{dx}\big(3x^2\big)$ es tan fácil de calcular como$\frac{d}{dx}\big(x^2\big)$). Un ejemplo:

$$\ int 5\ cos x\ dx = 5\ cdot\ int\ cos x\ dx = 5\ cdot (\ sin x+c) = 5\ sin x + C.$$
En el último paso podemos considerar la constante como también multiplicada por 5, pero “5 veces una constante” sigue siendo una constante, así que solo escribimos "$C$,”.

• La Regla #2 es la Regla de Suma/Diferencia: podemos dividir integrales cuando el integrando contiene términos que se agregan/restan, como hicimos en Ejemplo$\PageIndex{2}$. Entonces:

$$\begin{align} \int(3x^2+4x+5)\ dx &= \int 3x^2\ dx + \int 4x\ dx + \int 5\ dx \\ &= 3\int x^2\ dx + 4\int x\ dx + \int 5 \ dx\\ &= 3\cdot \frac13x^3 + 4\cdot \frac12x^2+5x+C\\ &= x^3+2x^2+5x+C \end{align}$$
En la práctica generalmente no escribimos todos estos pasos, pero los demostramos aquí para su integridad.

• La Regla #5 es la Regla de Poder de la integración indefinida. Hay dos cosas importantes a tener en cuenta:
  1. Observe la restricción que$n\neq -1$. Esto es importante:$\int \frac{1}{x}\ dx \neq$ "$\frac{1}{0}x^0+C$“; más bien, ver Regla #14.
  2. Presentamos la antidiferenciación como la “operación inversa” de diferenciación. Aquí hay una cita útil para recordar: “Las operaciones inversas hacen las cosas opuestas en el orden opuesto”.
     Al tomar una derivada usando la Regla de Poder, primero multiplicamos por el poder, luego restamos 1 del poder. Para encontrar el antiderivado, haz las cosas opuestas en el orden opuesto: primero agrega uno al poder, luego divide segundo por el poder.
• Obsérvese que la Regla #14 incorpora el valor absoluto de$x$. Los ejercicios trabajarán al lector a través de por qué es así; por ahora, conocer el valor absoluto es importante y no se puede ignorar.

Problemas de Valor Inicial

En la Sección 2.3 vimos que la derivada de una función de posición daba una función de velocidad, y la derivada de una función de velocidad describe la aceleración. Ahora podemos ir “por el otro lado”: la antiderivada de una función de aceleración da una función de velocidad, etc. Si bien solo hay una derivada de una función dada, hay infinitas antiderivadas. Por lo tanto no podemos preguntar “¿Cuál es la velocidad de un objeto cuya aceleración es$-32$ ft/s$^2$?” , ya que hay más de una respuesta.

Podemos encontrar la respuesta si brindamos más información con la pregunta, como se hace en el siguiente ejemplo. A menudo la información adicional viene en forma de un valor inicial, un valor de la función que se conoce de antemano.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Solving initial value problems

La aceleración debida a la gravedad de un objeto que cae es de$-32$ pies/s$^2$. En el momento$t=3$, un objeto que caía tenía una velocidad de$-10$ pies/s. Encuentra la ecuación de la velocidad del objeto.

Solución

Queremos conocer una función de velocidad,$v(t)$. Sabemos dos cosas:

1. La aceleración, es decir,$v'(t)= -32$, y
2. la velocidad en un momento específico, es decir,$v(3) = -10$.

Utilizando la primera pieza de información, sabemos que$v(t)$ es un antiderivado de$v'(t)=-32$. Entonces comenzamos por encontrar la integral indefinida de$-32$:

$$\ int (-32)\ dt = -32t+C=V (t).\]

Ahora usamos el hecho de que$v(3)=-10$ para encontrar$C$:

$$\begin{align} v(t) &= -32t+C \\ v(3) &= -10 \\ -32(3)+C &= -10\\ C &= 86 \end{align}$$

Por lo tanto$v(t)= -32t+86$. Podemos usar esta ecuación para entender el movimiento del objeto: cuando$t=0$, el objeto tenía una velocidad de $v (0) = 86$ pies/s Dado que la velocidad es positiva, el objeto se movía hacia arriba.

¿Cuándo empezó a bajar el objeto? Inmediatamente después$v(t) = 0$:

$$-32t+86 = 0\ quad\ Rightarrow\ quad t =\ frac {43} {16}\ aprox 2.69\ texto {s}.\]

Reconocer que somos capaces de determinar bastante sobre la trayectoria del objeto conociendo solo su aceleración y su velocidad en un solo punto en el tiempo.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Solving initial value problems

Encontrar$f(t)$, dado eso$f''(t) = \cos t$,$f'(0) = 3$ y$f(0) = 5$.

Solución

Comenzamos por encontrar$f'(t)$, que es un antiderivado de$f''(t)$:

$$\ int f "(t)\ dt =\ int\ cos t\ dt =\ sin t + C = f' (t).\]

Entonces$f'(t) = \sin t+C$ para el valor correcto de$C$. Se nos da eso$f'(0) = 3$, entonces:

$$f' (0) = 3\ quad\ Rightarrow\ quad\ sin 0+C = 3\ quad\ Rightarrow\ quad C=3.\]

Usando el valor inicial, hemos encontrado$f'(t) = \sin t+ 3.$

Ahora nos encontramos$f(t)$ integrando de nuevo.

$$f (t) =\ int f' (t)\ dt =\ int (\ sin t+3)\ dt = -\ cos t + 3t + C.\]

Se nos da eso$f(0) = 5$, entonces

$$\begin{align} -\cos 0 + 3(0) + C &= 5 \\ -1 + C &= 5\\ C &= 6 \end{align}$$

Por lo tanto$f(t) = -\cos t + 3t + 6$.

En esta sección se introdujeron los antiderivados y la integral indefinida. Encontramos que son necesarios a la hora de encontrar una función dada la información sobre su (s) derivada (s). Por ejemplo, encontramos una función de posición dada una función de velocidad.

En la siguiente sección, veremos cómo la posición y la velocidad están inesperadamente relacionadas por las áreas de ciertas regiones en una gráfica de la función de velocidad. Entonces, en la Sección 5.4, veremos cómo las áreas y los antiderivados están estrechamente ligados entre sí.

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