5.8: Capítulo 5 Ejercicios de revisión
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
En los ejercicios 1 - 4, responde Verdadero o Falso. Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo. Asumir todas las funcionesf yg son continuas sobre sus dominios.
1) Sif(x)>0,f′(x)>0 para todosx, entonces la regla de la derecha subestima la integral∫baf(x)dx. Usa una gráfica para justificar tu respuesta.
- Contestar
- Falso
2)∫baf(x)2dx=∫baf(x)dx
3) Sif(x)≤g(x) por todosx∈[a,b], entonces∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx.
- Contestar
- Cierto
4) Todas las funciones continuas tienen un antiderivado.
En los ejercicios 5 - 8, evaluar las sumas de RiemannL4 yR4 para las funciones dadas en el intervalo especificado. Compara tu respuesta con la respuesta exacta, cuando sea posible, o usa una calculadora para determinar la respuesta.
5)y=3x2−2x+1) sobre[−1,1]
- Contestar
- L4=5.25,R4=3.25,respuesta exacta: 4
6)y=ln(x2+1) sobre[0,e]
7)y=x2sinx sobre[0,π]
- Contestar
- L4=5.364,R4=5.364,respuesta exacta:5.870
8)y=√x+1x sobre[1,4]
En los ejercicios 9 - 12, evaluar las integrales.
9)∫1−1(x3−2x2+4x)dx
- Contestar
- −43
10)∫403t√1+6t2dt
11)∫π/2π/32sec(2θ)tan(2θ)dθ
- Contestar
- 1
12)∫π/40ecos2xsinxcosxdx
En los ejercicios 13 - 16, encuentra el antiderivado.
13)∫dx(x+4)3
- Contestar
- −12(x+4)2+C
14)∫xln(x2)dx
15)∫4x2√1−x6dx
- Contestar
- 43sin−1(x3)+C
16)∫e2x1+e4xdx
En los ejercicios 17 - 20, encuentra la derivada.
17)ddt∫t0sinx√1+x2dx
- Contestar
- sint√1+t2
18)ddx∫x31√4−t2dt
19)ddx∫ln(x)1(4t+et)dt
- Contestar
- 4lnxx+1
20)ddx∫cosx0et2dt
En los ejercicios 21 - 23, considere el costo promedio histórico por gigabyte de RAM en una computadora.
Año | Cambio de 5 años ($) |
1980 | 0 |
1985 | −5,468,750 |
1990 | −755,495 |
1995 | −73,005 |
2000 | −29,768 |
2005 | −918 |
2010 | −177 |
21) Si el costo promedio por gigabyte de RAM en 2010 es$12, encuentra el costo promedio por gigabyte de RAM en 1980.
- Contestar
- $6,328,113
Solución: $6,328,113
22) El costo promedio por gigabyte de RAM puede ser aproximado por la funciónC(t)=8,500,000(0.65)t, dondet se mide en años desde 1980, yC es costo en dólares estadounidenses. Encuentra el costo promedio por gigabyte de RAM para el periodo de 1980 a 2010.
23) Encuentra el costo promedio de1 GB RAM de 2005 a 2010.
- Contestar
- $73.36
24) La velocidad de una bala de un rifle puede aproximarse porv(t)=6400t2−6505t+2686, dondet es segundos después del disparo y v es la velocidad medida en pies por segundo. Esta ecuación solo modela la velocidad para el primer medio segundo después del disparo:0≤t≤0.5. ¿Cuál es la distancia total que recorre la bala en0.5 segundos?
25) ¿Cuál es la velocidad promedio de la bala durante el primer medio segundo?
- Contestar
- 1911712pies/seg, o aproximadamente1593 pies/seg