5.8: Capítulo 5 Ejercicios de revisión

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En los ejercicios 1 - 4, responde Verdadero o Falso. Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo. Asumir todas las funciones$f$ y$ g$ son continuas sobre sus dominios.

1) Si$ f(x)>0,\;f′(x)>0$ para todos$ x$, entonces la regla de la derecha subestima la integral$\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx.$ Usa una gráfica para justificar tu respuesta.

Contestar: Falso

2)$\displaystyle ∫^b_af(x)^2\,dx=∫^b_af(x)\,dx$

3) Si$ f(x)≤g(x)$ por todos$ x∈[a,b]$, entonces$\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx≤∫^b_ag(x)\,dx.$

Contestar: Cierto

4) Todas las funciones continuas tienen un antiderivado.

En los ejercicios 5 - 8, evaluar las sumas de Riemann$ L_4$ y$ R_4$ para las funciones dadas en el intervalo especificado. Compara tu respuesta con la respuesta exacta, cuando sea posible, o usa una calculadora para determinar la respuesta.

5)$ y=3x^2−2x+1)$ sobre$ [−1,1]$

Contestar: $ L_4=5.25, \;R_4=3.25,$respuesta exacta: 4

6)$ y=\ln(x^2+1)$ sobre$ [0,e]$

7)$ y=x^2\sin x$ sobre$ [0,π]$

Contestar: $ L_4=5.364,\;R_4=5.364,$respuesta exacta:$ 5.870$

8)$ y=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$ sobre$ [1,4]$

En los ejercicios 9 - 12, evaluar las integrales.

9)$\displaystyle ∫^1_{−1}(x^3−2x^2+4x)\,dx$

Contestar: $ −\frac{4}{3}$

10)$\displaystyle ∫^4_0\frac{3t}{\sqrt{1+6t^2}}\,dt$

11)$\displaystyle ∫^{π/2}_{π/3}2\sec(2θ)\tan(2θ)\,dθ$

Contestar: $1$

12)$\displaystyle ∫^{π/4}_0e^{\cos^2x}\sin x\cos x\,dx$

En los ejercicios 13 - 16, encuentra el antiderivado.

13)$\displaystyle ∫\frac{dx}{(x+4)^3}$

Contestar: $ −\dfrac{1}{2(x+4)^2}+C$

14)$\displaystyle ∫x\ln(x^2)\,dx$

15)$\displaystyle ∫\frac{4x^2}{\sqrt{1−x^6}}\,dx$

Contestar: $\displaystyle \frac{4}{3}\sin^{−1}(x^3)+C$

16)$\displaystyle ∫\frac{e^{2x}}{1+e^{4x}}\,dx$

En los ejercicios 17 - 20, encuentra la derivada.

17)$\displaystyle \frac{d}{dt}∫^t_0\frac{\sin x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$

Contestar: $ \dfrac{\sin t}{\sqrt{1+t^2}}$

18)$\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{x^3}_1\sqrt{4−t^2}\,dt$

19)$\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{\ln(x)}_1(4t+e^t)\,dt$

Contestar: $ 4\dfrac{\ln x}{x}+1$

20)$\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{\cos x}_0e^{t^2}\,dt$

En los ejercicios 21 - 23, considere el costo promedio histórico por gigabyte de RAM en una computadora.

Año	Cambio de 5 años ($)
1980	$0$
1985	$−5,468,750$
1990	$-755,495$
1995	$−73,005$
2000	$−29,768$
2005	$−918$
2010	$−177$

21) Si el costo promedio por gigabyte de RAM en 2010 es$$12$, encuentra el costo promedio por gigabyte de RAM en 1980.

Contestar: $$6,328,113$

Solución: $6,328,113

22) El costo promedio por gigabyte de RAM puede ser aproximado por la función$ C(t)=8,500,000(0.65)^t$, donde$ t$ se mide en años desde 1980, y$ C$ es costo en dólares estadounidenses. Encuentra el costo promedio por gigabyte de RAM para el periodo de 1980 a 2010.

23) Encuentra el costo promedio de$1$ GB RAM de 2005 a 2010.

Contestar: $$73.36$

24) La velocidad de una bala de un rifle puede aproximarse por$ v(t)=6400t^2−6505t+2686,$ donde$ t$ es segundos después del disparo y v es la velocidad medida en pies por segundo. Esta ecuación solo modela la velocidad para el primer medio segundo después del disparo:$ 0≤t≤0.5.$ ¿Cuál es la distancia total que recorre la bala en$0.5$ segundos?

25) ¿Cuál es la velocidad promedio de la bala durante el primer medio segundo?

Contestar: $ \frac{19117}{12}$pies/seg, o aproximadamente$1593$ pies/seg