5.8: Capítulo 5 Ejercicios de revisión
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
En los ejercicios 1 - 4, responde Verdadero o Falso. Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo. Asumir todas las funcionesf y g son continuas sobre sus dominios.
1) Si f(x)>0,\;f′(x)>0 para todos x, entonces la regla de la derecha subestima la integral\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx. Usa una gráfica para justificar tu respuesta.
- Contestar
- Falso
2)\displaystyle ∫^b_af(x)^2\,dx=∫^b_af(x)\,dx
3) Si f(x)≤g(x) por todos x∈[a,b], entonces\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx≤∫^b_ag(x)\,dx.
- Contestar
- Cierto
4) Todas las funciones continuas tienen un antiderivado.
En los ejercicios 5 - 8, evaluar las sumas de Riemann L_4 y R_4 para las funciones dadas en el intervalo especificado. Compara tu respuesta con la respuesta exacta, cuando sea posible, o usa una calculadora para determinar la respuesta.
5) y=3x^2−2x+1) sobre [−1,1]
- Contestar
- L_4=5.25, \;R_4=3.25,respuesta exacta: 4
6) y=\ln(x^2+1) sobre [0,e]
7) y=x^2\sin x sobre [0,π]
- Contestar
- L_4=5.364,\;R_4=5.364,respuesta exacta: 5.870
8) y=\sqrt{x}+\frac{1}{x} sobre [1,4]
En los ejercicios 9 - 12, evaluar las integrales.
9)\displaystyle ∫^1_{−1}(x^3−2x^2+4x)\,dx
- Contestar
- −\frac{4}{3}
10)\displaystyle ∫^4_0\frac{3t}{\sqrt{1+6t^2}}\,dt
11)\displaystyle ∫^{π/2}_{π/3}2\sec(2θ)\tan(2θ)\,dθ
- Contestar
- 1
12)\displaystyle ∫^{π/4}_0e^{\cos^2x}\sin x\cos x\,dx
En los ejercicios 13 - 16, encuentra el antiderivado.
13)\displaystyle ∫\frac{dx}{(x+4)^3}
- Contestar
- −\dfrac{1}{2(x+4)^2}+C
14)\displaystyle ∫x\ln(x^2)\,dx
15)\displaystyle ∫\frac{4x^2}{\sqrt{1−x^6}}\,dx
- Contestar
- \displaystyle \frac{4}{3}\sin^{−1}(x^3)+C
16)\displaystyle ∫\frac{e^{2x}}{1+e^{4x}}\,dx
En los ejercicios 17 - 20, encuentra la derivada.
17)\displaystyle \frac{d}{dt}∫^t_0\frac{\sin x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx
- Contestar
- \dfrac{\sin t}{\sqrt{1+t^2}}
18)\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{x^3}_1\sqrt{4−t^2}\,dt
19)\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{\ln(x)}_1(4t+e^t)\,dt
- Contestar
- 4\dfrac{\ln x}{x}+1
20)\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{\cos x}_0e^{t^2}\,dt
En los ejercicios 21 - 23, considere el costo promedio histórico por gigabyte de RAM en una computadora.
Año | Cambio de 5 años ($) |
1980 | 0 |
1985 | −5,468,750 |
1990 | -755,495 |
1995 | −73,005 |
2000 | −29,768 |
2005 | −918 |
2010 | −177 |
21) Si el costo promedio por gigabyte de RAM en 2010 es$12, encuentra el costo promedio por gigabyte de RAM en 1980.
- Contestar
- $6,328,113
Solución: $6,328,113
22) El costo promedio por gigabyte de RAM puede ser aproximado por la función C(t)=8,500,000(0.65)^t, donde t se mide en años desde 1980, y C es costo en dólares estadounidenses. Encuentra el costo promedio por gigabyte de RAM para el periodo de 1980 a 2010.
23) Encuentra el costo promedio de1 GB RAM de 2005 a 2010.
- Contestar
- $73.36
24) La velocidad de una bala de un rifle puede aproximarse por v(t)=6400t^2−6505t+2686, donde t es segundos después del disparo y v es la velocidad medida en pies por segundo. Esta ecuación solo modela la velocidad para el primer medio segundo después del disparo: 0≤t≤0.5. ¿Cuál es la distancia total que recorre la bala en0.5 segundos?
25) ¿Cuál es la velocidad promedio de la bala durante el primer medio segundo?
- Contestar
- \frac{19117}{12}pies/seg, o aproximadamente1593 pies/seg