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# 5.8: Capítulo 5 Ejercicios de revisión

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 4, responde Verdadero o Falso. Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo. Asumir todas las funciones$$f$$ y$$g$$ son continuas sobre sus dominios.

1) Si$$f(x)>0,\;f′(x)>0$$ para todos$$x$$, entonces la regla de la derecha subestima la integral$$\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx.$$ Usa una gráfica para justificar tu respuesta.

Contestar
Falso

2)$$\displaystyle ∫^b_af(x)^2\,dx=∫^b_af(x)\,dx$$

3) Si$$f(x)≤g(x)$$ por todos$$x∈[a,b]$$, entonces$$\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx≤∫^b_ag(x)\,dx.$$

Contestar
Cierto

4) Todas las funciones continuas tienen un antiderivado.

En los ejercicios 5 - 8, evaluar las sumas de Riemann$$L_4$$ y$$R_4$$ para las funciones dadas en el intervalo especificado. Compara tu respuesta con la respuesta exacta, cuando sea posible, o usa una calculadora para determinar la respuesta.

5)$$y=3x^2−2x+1)$$ sobre$$[−1,1]$$

Contestar
$$L_4=5.25, \;R_4=3.25,$$respuesta exacta: 4

6)$$y=\ln(x^2+1)$$ sobre$$[0,e]$$

7)$$y=x^2\sin x$$ sobre$$[0,π]$$

Contestar
$$L_4=5.364,\;R_4=5.364,$$respuesta exacta:$$5.870$$

8)$$y=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$$ sobre$$[1,4]$$

En los ejercicios 9 - 12, evaluar las integrales.

9)$$\displaystyle ∫^1_{−1}(x^3−2x^2+4x)\,dx$$

Contestar
$$−\frac{4}{3}$$

10)$$\displaystyle ∫^4_0\frac{3t}{\sqrt{1+6t^2}}\,dt$$

11)$$\displaystyle ∫^{π/2}_{π/3}2\sec(2θ)\tan(2θ)\,dθ$$

Contestar
$$1$$

12)$$\displaystyle ∫^{π/4}_0e^{\cos^2x}\sin x\cos x\,dx$$

En los ejercicios 13 - 16, encuentra el antiderivado.

13)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{(x+4)^3}$$

Contestar
$$−\dfrac{1}{2(x+4)^2}+C$$

14)$$\displaystyle ∫x\ln(x^2)\,dx$$

15)$$\displaystyle ∫\frac{4x^2}{\sqrt{1−x^6}}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle \frac{4}{3}\sin^{−1}(x^3)+C$$

16)$$\displaystyle ∫\frac{e^{2x}}{1+e^{4x}}\,dx$$

En los ejercicios 17 - 20, encuentra la derivada.

17)$$\displaystyle \frac{d}{dt}∫^t_0\frac{\sin x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$$

Contestar
$$\dfrac{\sin t}{\sqrt{1+t^2}}$$

18)$$\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{x^3}_1\sqrt{4−t^2}\,dt$$

19)$$\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{\ln(x)}_1(4t+e^t)\,dt$$

Contestar
$$4\dfrac{\ln x}{x}+1$$

20)$$\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{\cos x}_0e^{t^2}\,dt$$

En los ejercicios 21 - 23, considere el costo promedio histórico por gigabyte de RAM en una computadora.

 Año Cambio de 5 años ($) 1980 $$0$$ 1985 $$−5,468,750$$ 1990 $$-755,495$$ 1995 $$−73,005$$ 2000 $$−29,768$$ 2005 $$−918$$ 2010 $$−177$$ 21) Si el costo promedio por gigabyte de RAM en 2010 es$$12$$, encuentra el costo promedio por gigabyte de RAM en 1980. Contestar $$6,328,113$$ Solución:$6,328,113

22) El costo promedio por gigabyte de RAM puede ser aproximado por la función$$C(t)=8,500,000(0.65)^t$$, donde$$t$$ se mide en años desde 1980, y$$C$$ es costo en dólares estadounidenses. Encuentra el costo promedio por gigabyte de RAM para el periodo de 1980 a 2010.

23) Encuentra el costo promedio de$$1$$ GB RAM de 2005 a 2010.

Contestar
$$73.36$$

24) La velocidad de una bala de un rifle puede aproximarse por$$v(t)=6400t^2−6505t+2686,$$ donde$$t$$ es segundos después del disparo y v es la velocidad medida en pies por segundo. Esta ecuación solo modela la velocidad para el primer medio segundo después del disparo:$$0≤t≤0.5.$$ ¿Cuál es la distancia total que recorre la bala en$$0.5$$ segundos?

25) ¿Cuál es la velocidad promedio de la bala durante el primer medio segundo?

Contestar
$$\frac{19117}{12}$$pies/seg, o aproximadamente$$1593$$ pies/seg

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