5.5: Sustitución
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- Utilice la sustitución para evaluar integrales indefinidas.
- Utilice la sustitución para evaluar integrales definidas.
El Teorema Fundamental del Cálculo nos dio un método para evaluar integrales sin usar sumas de Riemann. El inconveniente de este método, sin embargo, es que debemos poder encontrar un antiderivado, y esto no siempre es fácil. En esta sección examinamos una técnica, llamada integración por sustitución, para ayudarnos a encontrar antiderivados. Específicamente, este método nos ayuda a encontrar antiderivados cuando el integrando es el resultado de una derivada de regla de cadena.
Al principio, el enfoque del procedimiento de sustitución puede no parecer muy obvio. Sin embargo, se trata principalmente de una tarea visual, es decir, el integrando te muestra qué hacer; se trata de reconocer la forma de la función. Entonces, ¿qué se supone que vamos a ver? Buscamos un integrando de la forma\(f\big[g(x)\big]g′(x)\,dx\). Por ejemplo, en la integral
\[ ∫(x^2−3)^3 \, 2x \, dx. \label{eq1} \]
tenemos
\[ f(x)=x^3 \nonumber \]
y
\[g(x)=x^2−3.\nonumber \]
Entonces
\[ g'(x)=2x.\nonumber \]
y
\[ f[g(x)]g′(x)=(x^2−3)^3(2x),\nonumber \]
y vemos que nuestro integrando está en la forma correcta. El método se llama sustitución porque sustituimos parte del integrando con la variable\(u\) y parte del integrando con\(du\). También se le conoce como cambio de variables porque estamos cambiando variables para obtener una expresión con la que es más fácil trabajar para aplicar las reglas de integración.
Dejar\(u=g(x)\),, donde\(g′(x)\) es continuo a lo largo de un intervalo, dejar\(f(x)\) ser continuo sobre el rango correspondiente de\(g\), y dejar\(F(x)\) ser una antiderivada de\(f(x).\) Entonces,
\[ \begin{align*} ∫f[g(x)]g′(x)\,dx &=∫f(u)\,du \\[4pt] &=F(u)+C \\[4pt] &= F(g(x))+C \end{align*}\]
Dejar\(f\),\(g\),\(u\), y\(F\) ser como se especifica en el teorema. Entonces
\[ \dfrac{d}{dx}\big[F(g(x))\big]=F′(g(x))g′(x)=f[g(x)]g′(x). \nonumber \]
Integrando ambas partes con respecto a\(x\), vemos que
\[ ∫f[g(x)]g′(x)\,dx=F(g(x))+C. \nonumber \]
Si ahora sustituimos\(u=g(x)\), y\(du=g'(x)\,dx\), obtenemos
\[ ∫f[g(x)]g′(x)\,dx=∫f(u)\,du=F(u)+C=F(g(x))+C. \nonumber \]
□
Volviendo al problema que miramos originalmente, dejamos\(u=x^2−3\) y luego\(du=2x\,dx\).
Reescribe la integral (Ecuación\ ref {eq1}) en términos de\(u\):
\[ ∫(x^2−3)^3(2x\,dx)=∫u^3\,du. \nonumber \]
Usando la regla de potencia para integrales, tenemos
\[ ∫u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C. \nonumber \]
Sustituya la expresión original para\(x\) volver a la solución:
\[ \dfrac{u^4}{4}+C=\dfrac{(x^2−3)^4}{4}+C.\nonumber \]
Podemos generalizar el procedimiento en la siguiente Estrategia de Resolución de Problemas.
- Mire cuidadosamente el integrando y seleccione una expresión\(g(x)\) dentro del integrando para establecer igual a u.\(g(x)\) seleccionémos. tal que también\(g′(x)\) es parte del integrando.
- Sustituto\(u=g(x)\) y\(du=g′(x)dx.\) en la integral.
- Ahora deberíamos poder evaluar la integral con respecto a\(u\). Si la integral no puede ser evaluada tenemos que volver atrás y seleccionar una expresión diferente para usar como\(u\).
- Evaluar la integral en términos de\(u\).
- Escribir el resultado en términos de\(x\) y la expresión\(g(x).\)
Use la sustitución para encontrar el antiderivado de\(\displaystyle ∫6x(3x^2+4)^4\,dx.\)
Solución
El primer paso es elegir una expresión para\(u\). Elegimos\(u=3x^2+4\) porque entonces\(du=6x\,dx\) y ya tenemos\(du\) en el integrand. Escribe la integral en términos de\(u\):
\[ ∫6x(3x^2+4)^4\,dx=∫u^4\,du. \nonumber \]
Recuerda que\(du\) es la derivada de la expresión elegida para\(u\), independientemente de lo que esté dentro del integrando. Ahora podemos evaluar la integral con respecto a\(u\):
\[ ∫u^4\,du=\dfrac{u^5}{5}+C=\dfrac{(3x^2+4)^5}{5}+C.\nonumber \]
Análisis
Podemos verificar nuestra respuesta tomando la derivada del resultado de la integración. Deberíamos obtener el integrando. Escogiendo un valor para\(C\) de\(1\),\(y=\dfrac{1}{5}(3x^2+4)^5+1.\) dejamos Tenemos
\[ y=\dfrac{1}{5}(3x^2+4)^5+1,\nonumber \]
por lo
\[ \begin{align*} y′ &=\left(\dfrac{1}{5}\right)5(3x^2+4)^46x \\[4pt] &=6x(3x^2+4)^4.\end{align*}\]
Esta es exactamente la expresión con la que empezamos dentro del integrando.
Use la sustitución para encontrar el antiderivado de\(\displaystyle ∫3x^2(x^3−3)^2\,dx.\)
- Pista
-
Let\(u=x^3−3.\)
- Contestar
-
\(\displaystyle ∫3x^2(x^3−3)^2\,dx=\dfrac{1}{3}(x^3−3)^3+C \)
A veces necesitamos ajustar las constantes en nuestra integral si no coinciden exactamente con las expresiones que estamos sustituyendo.
Use la sustitución para encontrar el antiderivado de\[ ∫z\sqrt{z^2−5}\,dz. \nonumber \]
Solución
Reescribir la integral como\(\displaystyle ∫z(z^2−5)^{1/2}\,dz.\) Let\(u=z^2−5\) y\(du=2z\,dz.\) Ahora tenemos un problema porque\(du=2z\,dz\) y la expresión original solo tiene\(z\,dz.\) Tenemos que alterar nuestra expresión para\(du\) o la integral en\(u\) será el doble de grande de lo que debería ser. Si multiplicamos ambos lados de la\(du\) ecuación por\(\dfrac{1}{2}\). podemos resolver este problema. Por lo tanto,
\[ u=z^2−5\nonumber \]
\[ du=2z\,dz \nonumber \]
\[ \dfrac{1}{2}du=\dfrac{1}{2}(2z)\,dz=z\,dz. \nonumber \]
Escribe la integral en términos de\(u\), pero tira del\(\dfrac{1}{2}\) exterior del símbolo de integración:
\[ ∫z(z^2−5)^{1/2}\,dz=\dfrac{1}{2}∫u^{1/2}\,du.\nonumber \]
Integrar la expresión en\(u\):
\[ \begin{align*} \dfrac{1}{2}∫u^{1/2}\,du &= \left(\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{u^{3/2}}{\dfrac{3}{2}}+C \\[4pt] &= \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)u^{3/2}+C \\[4pt] &=\dfrac{1}{3}u^{3/2}+C \\[4pt] &=\dfrac{1}{3}(z^2−5)^{3/2}+C \end{align*}\]
Use la sustitución para encontrar el antiderivado de\(\displaystyle ∫x^2(x^3+5)^9\,dx.\)
- Pista
-
Multiplique la ecuación du por\(\dfrac{1}{3}\).
- Contestar
-
\(\displaystyle ∫x^2(x^3+5)^9\,dx = \dfrac{(x^3+5)^{10}}{30}+C \)
Utilizar la sustitución para evaluar la integral\(\displaystyle ∫\dfrac{\sin t}{\cos^3t}\,dt.\)
Solución
Sabemos que la derivada de\(\cos t\) es\(−\sin t\), así que establecemos\(u=\cos t\). Entonces\(du=−\sin t\,dt.\)
Sustituyendo a la integral, tenemos
\[ ∫\dfrac{\sin t}{\cos^3t}\,dt=−∫\dfrac{du}{u^3}.\nonumber \]
Evaluando la integral, obtenemos
\[ −∫\dfrac{du}{u^3}=−∫u^{−3}\,du=−\left(−\dfrac{1}{2}\right)u^{−2}+C.\nonumber \]
Volviendo la respuesta en términos de t, obtenemos
\[ ∫\dfrac{\sin t}{\cos^3t}\,dt=\dfrac{1}{2u^2}+C=\dfrac{1}{2\cos^2t}+C.\nonumber \]
Utilizar la sustitución para evaluar la integral\( \displaystyle ∫\dfrac{\cos t}{\sin^2t}\,dt.\)
- Pista
-
Utilice el proceso de Ejemplo\(\PageIndex{3}\) para resolver el problema.
- Contestar
-
\(\displaystyle ∫\dfrac{\cos t}{\sin^2t}\,dt = −\dfrac{1}{\sin t}+C\)
Utilizar la sustitución para evaluar la integral indefinida\(\displaystyle ∫\cos^3t\sin t\,dt. \)
- Pista
-
Utilice el proceso de Ejemplo\(\PageIndex{3}\) para resolver el problema.
- Contestar
-
\(\displaystyle ∫\cos^3t\sin t\,dt = −\dfrac{\cos^4t}{4}+C \)
A veces necesitamos manipular una integral de maneras que son más complicadas que simplemente multiplicar o dividir por una constante. Necesitamos eliminar todas las expresiones dentro del integrando que están en términos de la variable original. Cuando hayamos terminado,\(u\) debería ser la única variable en el integrando. En algunos casos, esto significa resolver para la variable original en términos de\(u\). Esta técnica debería quedar clara en el siguiente ejemplo.
Use la sustitución para encontrar el antiderivado de\[ ∫\dfrac{x}{\sqrt{x−1}}\,dx. \nonumber \]
Solución
Si lo dejamos\(u=x−1,\) entonces\(du=dx\). Pero esto no tiene en cuenta el\(x\) en el numerador del integrando. Tenemos que expresarnos\(x\) en términos de\(u.\) Si\(u=x−1\), entonces\(x=u+1.\) Ahora podemos reescribir la integral en términos de\(u:\)
\[ ∫\dfrac{x}{\sqrt{x−1}}\,dx=∫\dfrac{u+1}{\sqrt{u}}\,du=∫\left(\sqrt{u}+\dfrac{1}{\sqrt{u}}\right)\,du=∫\left(u^{1/2}+u^{−1/2}\right)\,du.\nonumber \]
Entonces integramos de la manera habitual, reemplazamos\(u\) con la expresión original, y facetamos y simplificamos el resultado. Por lo tanto,
\[ \begin{align*} ∫(u^{1/2}+u^{−1/2})\,du &=\dfrac{2}{3}u^{3/2}+2u^{1/2}+C \\[4pt] &= \dfrac{2}{3}(x−1)^{3/2}+2(x−1)^{1/2}+C \\[4pt] &= (x−1)^{1/2}\left[\dfrac{2}{3}(x−1)+2\right]+C \\[4pt] &= (x−1)^{1/2}\left(\dfrac{2}{3}x−\dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{3}\right) \\[4pt] &= (x−1)^{1/2}\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}\right) \\[4pt] &= \dfrac{2}{3}(x−1)^{1/2}(x+2)+C. \end{align*}\]
Sustitución por Integrales Definitivas
La sustitución también se puede usar con integrales definidas. Sin embargo, el uso de la sustitución para evaluar una integral definida requiere un cambio a los límites de la integración. Si cambiamos variables en el integrando, los límites de la integración también cambian.
Dejar\(u=g(x)\) y dejar\(g'\) ser continuo en un intervalo\([a,b]\), y dejar\(f\) ser continuo en el rango de\(u=g(x).\) Entonces,
\[∫^b_af(g(x))g′(x)\,dx=∫^{g(b)}_{g(a)}f(u)\,du. \nonumber \]
Aunque no vamos a probar formalmente este teorema, aquí lo justificamos con algunos cálculos. De la regla de sustitución para integrales indefinidas, si\(F(x)\) es un antiderivado de\(f(x),\) tenemos
\[ ∫f(g(x))g′(x)\,dx=F(g(x))+C. \nonumber \]
Entonces
\[\begin{align*} ∫^b_af[g(x)]g′(x)\,dx &= F(g(x))\bigg|^{x=b}_{x=a} \\[4pt] &=F(g(b))−F(g(a)) \\[4pt] &= F(u) \bigg|^{u=g(b)}_{u=g(a)} \\[4pt] &=∫^{g(b)}_{g(a)}f(u)\,du \end{align*}\]
y tenemos el resultado deseado.
Usar sustitución para evaluar\[ ∫^1_0x^2(1+2x^3)^5\,dx. \nonumber \]
Solución
Vamos\(u=1+2x^3\), entonces\(du=6x^2\,dx\). Dado que la función original incluye un factor de\(x^2\) y\(du=6x^2\,dx\), multiplicar ambos lados de la\(du\) ecuación por\(1/6.\) Entonces,
\[ \begin{align*} du &=6x^2\,dx \\[4pt] \text{becomes}\quad \dfrac{1}{6}du &=x^2\,dx. \end{align*}\]
Para ajustar los límites de integración, tenga en cuenta que cuándo\(x=0,u=1+2(0)=1,\) y cuándo\(x=1,\;u=1+2(1)=3.\)
Entonces
\[ ∫^1_0x^2(1+2x^3)^5dx=\dfrac{1}{6}∫^3_1u^5\,du. \nonumber \]
Evaluando esta expresión, obtenemos
\[ \begin{align*} \dfrac{1}{6}∫^3_1u^5\,du &=\left(\dfrac{1}{6}\right)\left(\dfrac{u^6}{6}\right)\Big|^3_1 \\[4pt] &=\dfrac{1}{36}\big[(3)^6−(1)^6\big] \\[4pt] &=\dfrac{182}{9}. \end{align*}\]
Utilizar la sustitución para evaluar la integral definida\(\displaystyle ∫^0_{−1}y(2y^2−3)^5\,dy. \)
- Pista
-
Usa los pasos de Ejemplo\(\PageIndex{5}\) para resolver el problema.
- Contestar
-
\(\displaystyle ∫^0_{−1}y(2y^2−3)^5\,dy = \dfrac{91}{3}\)
Usar sustitución para evaluar\(\displaystyle ∫^1_0x^2 \cos \left(\dfrac{π}{2}x^3\right)\,dx. \)
- Pista
-
Utilice el proceso de Ejemplo\(\PageIndex{5}\) para resolver el problema.
- Contestar
-
\(\displaystyle ∫^1_0x^2 \cos \left(\dfrac{π}{2}x^3\right)\,dx = \dfrac{2}{3π}≈0.2122\)
Usar sustitución para evaluar\[ ∫^1_0xe^{4x^2+3}\,dx. \nonumber \]
Solución
Vamos\(u=4x^3+3.\) Entonces,\(du=8x\,dx.\) Para ajustar los límites de integración, observamos que cuando\(x=0,\,u=3\), y cuando\(x=1,\,u=7\). Así que nuestra sustitución da
\[\begin{align*} ∫^1_0xe^{4x^2+3}\,dx &= \dfrac{1}{8}∫^7_3e^u\,du \\[4pt] &=\dfrac{1}{8}e^u\Big|^7_3 \\[4pt] &=\dfrac{e^7−e^3}{8} \\[4pt] &≈134.568 \end{align*}\]
La sustitución puede ser solo una de las técnicas necesarias para evaluar una integral definida. Todas las propiedades y reglas de integración se aplican de forma independiente, y las funciones trigonométricas pueden necesitar ser reescritas usando una identidad trigonométrica antes de que podamos aplicar la sustitución. También, tenemos la opción de sustituir la expresión original para\(u\) después de que encontremos la antiderivada, lo que significa que no tenemos que cambiar los límites de la integración. Estos dos enfoques se muestran en Ejemplo\(\PageIndex{7}\).
Usar sustitución para evaluar\[∫^{π/2}_0\cos^2θ\,dθ. \nonumber \]
Solución
Primero usemos una identidad trigonométrica para reescribir la integral. La identidad\(\cos^2θ=\dfrac{1+\cos 2θ}{2}\) trigonométrica nos permite reescribir la integral como
\[∫^{π/2}_0\cos^2θ\,dθ=∫^{π/2}_0\dfrac{1+\cos2θ}{2}\,dθ. \nonumber \]
Entonces,
\[ \begin{align*} ∫^{π/2}_0\left(\dfrac{1+\cos2θ}{2}\right)\,dθ &=∫^{π/2}_0\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos 2θ\right)\,dθ \\[4pt] &=\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0\,dθ+∫^{π/2}_0\cos2θ\,dθ. \end{align*}\]
Podemos evaluar la primera integral tal como es, pero necesitamos hacer una sustitución para evaluar la segunda integral. Deja\(u=2θ.\) Entonces,\(du=2\,dθ,\) o\(\dfrac{1}{2}\,du=dθ\). Además, cuando\(θ=0,\,u=0,\) y cuando\(θ=π/2,\,u=π.\) Expresando la segunda integral en términos de\(u\), tenemos
\[ \begin{align*}\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0\,dθ+\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0 \cos 2θ\,dθ &=\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0\,dθ+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)∫^π_0 \cos u \,du \\[4pt] &=\dfrac{θ}{2}\,\bigg|^{θ=π/2}_{θ=0}+\dfrac{1}{4}\sin u\,\bigg|^{u=θ}_{u=0} \\[4pt] &=\left(\dfrac{π}{4}−0\right)+(0−0)=\dfrac{π}{4} \end{align*}\]
Conceptos clave
- La sustitución es una técnica que simplifica la integración de funciones que son el resultado de una derivada de regla de cadena. El término 'sustitución' se refiere a cambiar variables o sustituir la variable\(u\) y\(du\) para expresiones apropiadas en el integrando.
- Al usar la sustitución por una integral definida, también tenemos que cambiar los límites de la integración.
Ecuaciones Clave
- Sustitución con Integrales Indefinidas\[∫f[g(x)]g′(x)\,dx=∫f(u)\,du=F(u)+C=F(g(x))+C \nonumber \]
- Sustitución con Integrales Definitivas\[∫^b_af(g(x))g'(x)\,dx=∫^{g(b)}_{g(a)}f(u)\,du \nonumber \]
Glosario
- cambio de variables
- la sustitución de una variable, tal como\(u\), por una expresión en el integrando
- integración por sustitución
- una técnica de integración que permite la integración de funciones que son el resultado de una derivada de regla de cadena