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LibreTexts Español

6.4E: Ejercicios para la Sección 6.4

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    116184
    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
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    Para los ejercicios 1 - 3, encuentre la duración de las funciones en el intervalo dado.

    1)\( y=5x\) de\( x=0\) a\( x=2\)

    Contestar
    \(s = 2\sqrt{26}\)unidades

    2)\( y=−\frac{1}{2}x+25\) de\( x=1\) a\( x=4\)

    3)\( x=4y\) de\( y=−1\) a\( y=1\)

    Contestar
    \( s = 2\sqrt{17}\)unidades

    4) Elija una función\( x=g(y)\) lineal arbitraria en cualquier intervalo de su elección\( (y_1,y_2).\) Determine la longitud de la función y luego pruebe que la longitud es correcta usando geometría.

    5) Encuentra el área de superficie del volumen generado cuando la curva\( y=\sqrt{x}\) gira alrededor del\(x\) eje -desde\( (1,1)\) hasta\( (4,2)\), como se ve aquí.

    Contestar
    \(A = \frac{π}{6}(17\sqrt{17}−5\sqrt{5})\)unidades 2

    6) Encuentra el área de superficie del volumen generado cuando la curva\( y=x^2\) gira alrededor del\(y\) eje -desde\( (1,1)\) hasta\( (3,9)\).

    Para los ejercicios 7 - 16, encuentre las longitudes de las funciones de\(x\) sobre el intervalo dado. Si no se puede evaluar exactamente la integral, utilice la tecnología para aproximarla.

    7)\( y=x^{3/2}\) de\( (0,0)\) a\( (1,1)\)

    Contestar
    \(s= \frac{13\sqrt{13}−8}{27}\)unidades

    8)\( y=x^{2/3}\) de\( (1,1)\) a\( (8,4)\)

    9)\( y=\frac{1}{3}(x^2+2)^{3/2}\) de\( x=0\) a\( x=1\)

    Contestar
    \(s= \frac{4}{3}\)unidades

    10)\( y=\frac{1}{3}(x^2−2)^{3/2}\) de\( x=2\) a\( x=4\)

    11) [T]\( y=e^x\) en\( x=0\) a\( x=1\)

    Contestar
    \(s \approx 2.0035\)unidades

    12)\( y=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1}{4x}\) de\( x=1\) a\( x=3\)

    13)\( y=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{8x^2}\) de\( x=1\) a\( x=2\)

    Contestar
    \(s= \frac{123}{32}\)unidades

    14)\( y=\dfrac{2x^{3/2}}{3}−\dfrac{x^{1/2}}{2}\) de\( x=1\) a\( x=4\)

    15)\( y=\frac{1}{27}(9x^2+6)^{3/2}\) de\( x=0\) a\( x=2\)

    Contestar
    \(s=10\)unidades

    16) [T]\( y=\sin x\) en\( x=0\) a\( x=π\)

    Para los ejercicios 17 - 26, encuentre las longitudes de las funciones de\(y\) sobre el intervalo dado. Si no se puede evaluar exactamente la integral, utilice la tecnología para aproximarla.

    17)\( y=\dfrac{5−3x}{4}\) de\( y=0\) a\( y=4\)

    Contestar
    \(s= \frac{20}{3}\)unidades

    18)\( x=\frac{1}{2}(e^y+e^{−y})\) de\( y=−1\) a\( y=1\)

    19)\( x=5y^{3/2}\) de\( y=0\) a\( y=1\)

    Contestar
    \(s= \frac{1}{675}(229\sqrt{229}−8)\)unidades

    20) [T]\( x=y^2\) de\( y=0\) a\( y=1\)

    21)\( x=\sqrt{y}\) de\( y=0\) a\( y=1\)

    Contestar
    \(s= \frac{1}{8}(4\sqrt{5}+\ln(9+4\sqrt{5}))\)unidades

    22)\( x=\frac{2}{3}(y^2+1)^{3/2}\) de\( y=1\) a\( y=3\)

    23) [T]\( x=\tan y\) de\( y=0\) a\( y=\frac{3}{4}\)

    Contestar
    \(s \approx 1.201\)unidades

    24) [T]\( x=\cos^2y\) de\( y=−\frac{π}{2}\) a\( y=\frac{π}{2}\)

    25) [T]\( x=4^y\) de\( y=0\) a\( y=2\)

    Contestar
    \(s \approx 15.2341\)unidades

    26) [T]\( x=\ln(y)\) en\( y=\dfrac{1}{e}\) a\( y=e\)

    Para los ejercicios 27 - 34, encuentra el área de superficie del volumen generado cuando las siguientes curvas giran alrededor del\(x\) eje -eje. Si no puedes evaluar exactamente la integral, usa tu calculadora para aproximarla.

    27)\( y=\sqrt{x}\) de\( x=2\) a\( x=6\)

    Contestar
    \(A= \frac{49π}{3}\)unidades 2

    28)\( y=x^3\) de\( x=0\) a\( x=1\)

    29)\( y=7x\) de\( x=−1\) a\( x=1\)

    Contestar
    \(A = 70π\sqrt{2}\)unidades 2

    30) [T]\( y=\frac{1}{x^2}\) de\( x=1\) a\( x=3\)

    31)\( y=\sqrt{4−x^2}\) de\( x=0\) a\( x=2\)

    Contestar
    \(A = 8π\)unidades 2

    32)\( y=\sqrt{4−x^2}\) de\( x=−1\) a\( x=1\)

    33)\( y=5x\) de\( x=1\) a\( x=5\)

    Contestar
    \(A = 120π\sqrt{26}\)unidades 2

    34) [T]\( y=\tan x\) de\( x=−\frac{π}{4}\) a\( x=\frac{π}{4}\)

    Para los ejercicios 35 - 42, encuentra el área de superficie del volumen generado cuando las siguientes curvas giran alrededor del\(y\) eje -eje. Si no puedes evaluar exactamente la integral, usa tu calculadora para aproximarla.

    35)\( y=x^2\) de\( x=0\) a\( x=2\)

    Contestar
    \(A= \frac{π}{6}(17\sqrt{17}−1)\)unidades 2

    36)\( y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\) de\( x=0\) a\( x=1\)

    37)\( y=x+1\) de\( x=0\) a\( x=3\)

    Contestar
    \(A = 9\sqrt{2}π\)unidades 2

    38) [T]\( y=\dfrac{1}{x}\) de\( x=\dfrac{1}{2}\) a\( x=1\)

    39)\( y=\sqrt[3]{x}\) de\( x=1\) a\( x=27\)

    Contestar
    \(A = \frac{10\sqrt{10}π}{27}(73\sqrt{73}−1)\)unidades 2

    40) [T]\( y=3x^4\) de\( x=0\) a\( x=1\)

    41) [T]\( y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) de\( x=1\) a\( x=3\)

    Contestar
    \(A \approx 25.645\)unidades 2

    42) [T]\( y=\cos x\) de\( x=0\) a\( x=\frac{π}{2}\)

    43) La base de una lámpara se construye girando un cuarto de círculo\( y=\sqrt{2x−x^2}\) alrededor del\(y\) eje de\( x=1\) a\( x=2\), como se ve aquí. Cree una integral para el área de superficie de esta curva y cómplala.

    Contestar
    \(A = 2π\)unidades 2

    44) Una bombilla es una esfera con radio\(1/2\) pulg. Con la parte inferior cortada para encajar exactamente en un cilindro de radio\(1/4\) pulg. y longitud\(1/3\) pulg., como se ve aquí. La esfera se corta en la parte inferior para encajar exactamente en el cilindro, por lo que el radio del corte está\(1/4\) adentro. Encuentra el área de superficie (sin incluir la parte superior o inferior del cilindro).

    45) [T] Una pantalla se construye girando\( y=1/x\) alrededor del\(x\) eje -desde\( y=1\) hasta\( y=2\), como se ve aquí. Determine la cantidad de material que necesitaría para construir esta pantalla de lámpara, es decir, el área de superficie, con una precisión de cuatro decimales.

    Contestar
    \(10.5017\)unidades 2

    46) [T] Un ancla arrastra detrás de una embarcación según la función\( y=24e^{−x/2}−24\), donde\( y\) representa la profundidad debajo de la embarcación y\( x\) es la distancia horizontal del ancla desde la parte trasera de la embarcación. Si el ancla está a\( 23\) pies por debajo del bote, ¿cuánta cuerda tienes que tirar para llegar al ancla? Redondee su respuesta a tres decimales.

    47) [T] Estás construyendo un puente que abarcará\( 10\) pies. Se pretende agregar cuerda decorativa en forma de\( y=5|\sin((xπ)/5)|\), donde\( x\) está la distancia en pies desde un extremo del puente. Descubre cuánta cuerda necesitas comprar, redondeada al pie más cercano.

    Contestar
    \( 23\)ft

    Para el ejercicio 48, encuentra la longitud exacta del arco para los siguientes problemas durante el intervalo dado.

    48)\( y=\ln(\sin x)\) de\( x=\frac{π}{4}\) a\( x=\frac{3π}{4}\). (Pista: Recordar identidades trigonométricas.)

    49) Dibujar gráficas de\(y=x^2, y=x^6\), y\(y=x^{10}\). Para\( y=x^n\), a medida que\( n\) aumenta, formular una predicción sobre la longitud del arco desde\( (0,0)\) hasta\( (1,1)\). Ahora, computa las longitudes de estas tres funciones y determina si tu predicción es correcta.

    Contestar
    \(2\)

    50) Comparar las longitudes de la parábola\(x=y^2\) y la línea\(x=by\) de\((0,0)\) a\((b^2,b)\) medida que\(b\) aumenta. ¿Qué notas?

    51) Resolver para la longitud de\(x=y^2\) desde\((0,0)\) hasta\((1,1)\). Demuestre que\( x=\dfrac{y^2}{2}\) de\((0,0)\) a\((2,2)\) es el doble de largo. Grafica ambas funciones y explica por qué esto es así.

    Contestar
    Las respuestas pueden variar

    52) [T] ¿Cuál es más largo entre\((1,1)\) y\(\left(2,\frac{1}{2}\right)\): la hipérbola\(y=\dfrac{1}{x}\) o la gráfica de\(x+2y=3\)?

    53) Explicar por qué el área superficial\(y=1/x\) es infinita cuando se gira alrededor del\(x\) eje para\( 1≤x<∞,\) pero el volumen es finito.

    Contestar
    Para más información, busca Cuerno de Gabriel.

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