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6.4E: Ejercicios para la Sección 6.4

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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Para los ejercicios 1 - 3, encuentre la duración de las funciones en el intervalo dado.

1)$$y=5x$$ de$$x=0$$ a$$x=2$$

Contestar
$$s = 2\sqrt{26}$$unidades

2)$$y=−\frac{1}{2}x+25$$ de$$x=1$$ a$$x=4$$

3)$$x=4y$$ de$$y=−1$$ a$$y=1$$

Contestar
$$s = 2\sqrt{17}$$unidades

4) Elija una función$$x=g(y)$$ lineal arbitraria en cualquier intervalo de su elección$$(y_1,y_2).$$ Determine la longitud de la función y luego pruebe que la longitud es correcta usando geometría.

5) Encuentra el área de superficie del volumen generado cuando la curva$$y=\sqrt{x}$$ gira alrededor del$$x$$ eje -desde$$(1,1)$$ hasta$$(4,2)$$, como se ve aquí.

Contestar
$$A = \frac{π}{6}(17\sqrt{17}−5\sqrt{5})$$unidades 2

6) Encuentra el área de superficie del volumen generado cuando la curva$$y=x^2$$ gira alrededor del$$y$$ eje -desde$$(1,1)$$ hasta$$(3,9)$$.

Para los ejercicios 7 - 16, encuentre las longitudes de las funciones de$$x$$ sobre el intervalo dado. Si no se puede evaluar exactamente la integral, utilice la tecnología para aproximarla.

7)$$y=x^{3/2}$$ de$$(0,0)$$ a$$(1,1)$$

Contestar
$$s= \frac{13\sqrt{13}−8}{27}$$unidades

8)$$y=x^{2/3}$$ de$$(1,1)$$ a$$(8,4)$$

9)$$y=\frac{1}{3}(x^2+2)^{3/2}$$ de$$x=0$$ a$$x=1$$

Contestar
$$s= \frac{4}{3}$$unidades

10)$$y=\frac{1}{3}(x^2−2)^{3/2}$$ de$$x=2$$ a$$x=4$$

11) [T]$$y=e^x$$ en$$x=0$$ a$$x=1$$

Contestar
$$s \approx 2.0035$$unidades

12)$$y=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1}{4x}$$ de$$x=1$$ a$$x=3$$

13)$$y=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{8x^2}$$ de$$x=1$$ a$$x=2$$

Contestar
$$s= \frac{123}{32}$$unidades

14)$$y=\dfrac{2x^{3/2}}{3}−\dfrac{x^{1/2}}{2}$$ de$$x=1$$ a$$x=4$$

15)$$y=\frac{1}{27}(9x^2+6)^{3/2}$$ de$$x=0$$ a$$x=2$$

Contestar
$$s=10$$unidades

16) [T]$$y=\sin x$$ en$$x=0$$ a$$x=π$$

Para los ejercicios 17 - 26, encuentre las longitudes de las funciones de$$y$$ sobre el intervalo dado. Si no se puede evaluar exactamente la integral, utilice la tecnología para aproximarla.

17)$$y=\dfrac{5−3x}{4}$$ de$$y=0$$ a$$y=4$$

Contestar
$$s= \frac{20}{3}$$unidades

18)$$x=\frac{1}{2}(e^y+e^{−y})$$ de$$y=−1$$ a$$y=1$$

19)$$x=5y^{3/2}$$ de$$y=0$$ a$$y=1$$

Contestar
$$s= \frac{1}{675}(229\sqrt{229}−8)$$unidades

20) [T]$$x=y^2$$ de$$y=0$$ a$$y=1$$

21)$$x=\sqrt{y}$$ de$$y=0$$ a$$y=1$$

Contestar
$$s= \frac{1}{8}(4\sqrt{5}+\ln(9+4\sqrt{5}))$$unidades

22)$$x=\frac{2}{3}(y^2+1)^{3/2}$$ de$$y=1$$ a$$y=3$$

23) [T]$$x=\tan y$$ de$$y=0$$ a$$y=\frac{3}{4}$$

Contestar
$$s \approx 1.201$$unidades

24) [T]$$x=\cos^2y$$ de$$y=−\frac{π}{2}$$ a$$y=\frac{π}{2}$$

25) [T]$$x=4^y$$ de$$y=0$$ a$$y=2$$

Contestar
$$s \approx 15.2341$$unidades

26) [T]$$x=\ln(y)$$ en$$y=\dfrac{1}{e}$$ a$$y=e$$

Para los ejercicios 27 - 34, encuentra el área de superficie del volumen generado cuando las siguientes curvas giran alrededor del$$x$$ eje -eje. Si no puedes evaluar exactamente la integral, usa tu calculadora para aproximarla.

27)$$y=\sqrt{x}$$ de$$x=2$$ a$$x=6$$

Contestar
$$A= \frac{49π}{3}$$unidades 2

28)$$y=x^3$$ de$$x=0$$ a$$x=1$$

29)$$y=7x$$ de$$x=−1$$ a$$x=1$$

Contestar
$$A = 70π\sqrt{2}$$unidades 2

30) [T]$$y=\frac{1}{x^2}$$ de$$x=1$$ a$$x=3$$

31)$$y=\sqrt{4−x^2}$$ de$$x=0$$ a$$x=2$$

Contestar
$$A = 8π$$unidades 2

32)$$y=\sqrt{4−x^2}$$ de$$x=−1$$ a$$x=1$$

33)$$y=5x$$ de$$x=1$$ a$$x=5$$

Contestar
$$A = 120π\sqrt{26}$$unidades 2

34) [T]$$y=\tan x$$ de$$x=−\frac{π}{4}$$ a$$x=\frac{π}{4}$$

Para los ejercicios 35 - 42, encuentra el área de superficie del volumen generado cuando las siguientes curvas giran alrededor del$$y$$ eje -eje. Si no puedes evaluar exactamente la integral, usa tu calculadora para aproximarla.

35)$$y=x^2$$ de$$x=0$$ a$$x=2$$

Contestar
$$A= \frac{π}{6}(17\sqrt{17}−1)$$unidades 2

36)$$y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$$ de$$x=0$$ a$$x=1$$

37)$$y=x+1$$ de$$x=0$$ a$$x=3$$

Contestar
$$A = 9\sqrt{2}π$$unidades 2

38) [T]$$y=\dfrac{1}{x}$$ de$$x=\dfrac{1}{2}$$ a$$x=1$$

39)$$y=\sqrt[3]{x}$$ de$$x=1$$ a$$x=27$$

Contestar
$$A = \frac{10\sqrt{10}π}{27}(73\sqrt{73}−1)$$unidades 2

40) [T]$$y=3x^4$$ de$$x=0$$ a$$x=1$$

41) [T]$$y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$$ de$$x=1$$ a$$x=3$$

Contestar
$$A \approx 25.645$$unidades 2

42) [T]$$y=\cos x$$ de$$x=0$$ a$$x=\frac{π}{2}$$

43) La base de una lámpara se construye girando un cuarto de círculo$$y=\sqrt{2x−x^2}$$ alrededor del$$y$$ eje de$$x=1$$ a$$x=2$$, como se ve aquí. Cree una integral para el área de superficie de esta curva y cómplala.

Contestar
$$A = 2π$$unidades 2

44) Una bombilla es una esfera con radio$$1/2$$ pulg. Con la parte inferior cortada para encajar exactamente en un cilindro de radio$$1/4$$ pulg. y longitud$$1/3$$ pulg., como se ve aquí. La esfera se corta en la parte inferior para encajar exactamente en el cilindro, por lo que el radio del corte está$$1/4$$ adentro. Encuentra el área de superficie (sin incluir la parte superior o inferior del cilindro).

45) [T] Una pantalla se construye girando$$y=1/x$$ alrededor del$$x$$ eje -desde$$y=1$$ hasta$$y=2$$, como se ve aquí. Determine la cantidad de material que necesitaría para construir esta pantalla de lámpara, es decir, el área de superficie, con una precisión de cuatro decimales.

Contestar
$$10.5017$$unidades 2

46) [T] Un ancla arrastra detrás de una embarcación según la función$$y=24e^{−x/2}−24$$, donde$$y$$ representa la profundidad debajo de la embarcación y$$x$$ es la distancia horizontal del ancla desde la parte trasera de la embarcación. Si el ancla está a$$23$$ pies por debajo del bote, ¿cuánta cuerda tienes que tirar para llegar al ancla? Redondee su respuesta a tres decimales.

47) [T] Estás construyendo un puente que abarcará$$10$$ pies. Se pretende agregar cuerda decorativa en forma de$$y=5|\sin((xπ)/5)|$$, donde$$x$$ está la distancia en pies desde un extremo del puente. Descubre cuánta cuerda necesitas comprar, redondeada al pie más cercano.

Contestar
$$23$$ft

Para el ejercicio 48, encuentra la longitud exacta del arco para los siguientes problemas durante el intervalo dado.

48)$$y=\ln(\sin x)$$ de$$x=\frac{π}{4}$$ a$$x=\frac{3π}{4}$$. (Pista: Recordar identidades trigonométricas.)

49) Dibujar gráficas de$$y=x^2, y=x^6$$, y$$y=x^{10}$$. Para$$y=x^n$$, a medida que$$n$$ aumenta, formular una predicción sobre la longitud del arco desde$$(0,0)$$ hasta$$(1,1)$$. Ahora, computa las longitudes de estas tres funciones y determina si tu predicción es correcta.

Contestar
$$2$$

50) Comparar las longitudes de la parábola$$x=y^2$$ y la línea$$x=by$$ de$$(0,0)$$ a$$(b^2,b)$$ medida que$$b$$ aumenta. ¿Qué notas?

51) Resolver para la longitud de$$x=y^2$$ desde$$(0,0)$$ hasta$$(1,1)$$. Demuestre que$$x=\dfrac{y^2}{2}$$ de$$(0,0)$$ a$$(2,2)$$ es el doble de largo. Grafica ambas funciones y explica por qué esto es así.

Contestar
Las respuestas pueden variar

52) [T] ¿Cuál es más largo entre$$(1,1)$$ y$$\left(2,\frac{1}{2}\right)$$: la hipérbola$$y=\dfrac{1}{x}$$ o la gráfica de$$x+2y=3$$?

53) Explicar por qué el área superficial$$y=1/x$$ es infinita cuando se gira alrededor del$$x$$ eje para$$1≤x<∞,$$ pero el volumen es finito.

Contestar
Para más información, busca Cuerno de Gabriel.