6.4E: Ejercicios para la Sección 6.4

Para los ejercicios 1 - 3, encuentre la duración de las funciones en el intervalo dado.

1)$y=5x$ de$x=0$ a$x=2$

Contestar

$s = 2\sqrt{26}$unidades

2)$y=−\frac{1}{2}x+25$ de$x=1$ a$x=4$

3)$x=4y$ de$y=−1$ a$y=1$

Contestar

$s = 2\sqrt{17}$unidades

4) Elija una función$x=g(y)$ lineal arbitraria en cualquier intervalo de su elección$(y_1,y_2).$ Determine la longitud de la función y luego pruebe que la longitud es correcta usando geometría.

5) Encuentra el área de superficie del volumen generado cuando la curva$y=\sqrt{x}$ gira alrededor del$x$ eje -desde$(1,1)$ hasta$(4,2)$, como se ve aquí.

Contestar

$A = \frac{π}{6}(17\sqrt{17}−5\sqrt{5})$unidades ²

6) Encuentra el área de superficie del volumen generado cuando la curva$y=x^2$ gira alrededor del$y$ eje -desde$(1,1)$ hasta$(3,9)$.

Para los ejercicios 7 - 16, encuentre las longitudes de las funciones de$x$ sobre el intervalo dado. Si no se puede evaluar exactamente la integral, utilice la tecnología para aproximarla.

7)$y=x^{3/2}$ de$(0,0)$ a$(1,1)$

Contestar

$s= \frac{13\sqrt{13}−8}{27}$unidades

8)$y=x^{2/3}$ de$(1,1)$ a$(8,4)$

9)$y=\frac{1}{3}(x^2+2)^{3/2}$ de$x=0$ a$x=1$

Contestar

$s= \frac{4}{3}$unidades

10)$y=\frac{1}{3}(x^2−2)^{3/2}$ de$x=2$ a$x=4$

11) [T]$y=e^x$ en$x=0$ a$x=1$

Contestar

$s \approx 2.0035$unidades

12)$y=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1}{4x}$ de$x=1$ a$x=3$

13)$y=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{8x^2}$ de$x=1$ a$x=2$

Contestar

$s= \frac{123}{32}$unidades

14)$y=\dfrac{2x^{3/2}}{3}−\dfrac{x^{1/2}}{2}$ de$x=1$ a$x=4$

15)$y=\frac{1}{27}(9x^2+6)^{3/2}$ de$x=0$ a$x=2$

Contestar

$s=10$unidades

16) [T]$y=\sin x$ en$x=0$ a$x=π$

Para los ejercicios 17 - 26, encuentre las longitudes de las funciones de$y$ sobre el intervalo dado. Si no se puede evaluar exactamente la integral, utilice la tecnología para aproximarla.

17)$y=\dfrac{5−3x}{4}$ de$y=0$ a$y=4$

Contestar

$s= \frac{20}{3}$unidades

18)$x=\frac{1}{2}(e^y+e^{−y})$ de$y=−1$ a$y=1$

19)$x=5y^{3/2}$ de$y=0$ a$y=1$

Contestar

$s= \frac{1}{675}(229\sqrt{229}−8)$unidades

20) [T]$x=y^2$ de$y=0$ a$y=1$

21)$x=\sqrt{y}$ de$y=0$ a$y=1$

Contestar

$s= \frac{1}{8}(4\sqrt{5}+\ln(9+4\sqrt{5}))$unidades

22)$x=\frac{2}{3}(y^2+1)^{3/2}$ de$y=1$ a$y=3$

23) [T]$x=\tan y$ de$y=0$ a$y=\frac{3}{4}$

Contestar

$s \approx 1.201$unidades

24) [T]$x=\cos^2y$ de$y=−\frac{π}{2}$ a$y=\frac{π}{2}$

25) [T]$x=4^y$ de$y=0$ a$y=2$

Contestar

$s \approx 15.2341$unidades

26) [T]$x=\ln(y)$ en$y=\dfrac{1}{e}$ a$y=e$

Para los ejercicios 27 - 34, encuentra el área de superficie del volumen generado cuando las siguientes curvas giran alrededor del$x$ eje -eje. Si no puedes evaluar exactamente la integral, usa tu calculadora para aproximarla.

27)$y=\sqrt{x}$ de$x=2$ a$x=6$

Contestar

$A= \frac{49π}{3}$unidades ²

28)$y=x^3$ de$x=0$ a$x=1$

29)$y=7x$ de$x=−1$ a$x=1$

Contestar

$A = 70π\sqrt{2}$unidades ²

30) [T]$y=\frac{1}{x^2}$ de$x=1$ a$x=3$

31)$y=\sqrt{4−x^2}$ de$x=0$ a$x=2$

Contestar

$A = 8π$unidades ²

32)$y=\sqrt{4−x^2}$ de$x=−1$ a$x=1$

33)$y=5x$ de$x=1$ a$x=5$

Contestar

$A = 120π\sqrt{26}$unidades ²

34) [T]$y=\tan x$ de$x=−\frac{π}{4}$ a$x=\frac{π}{4}$

Para los ejercicios 35 - 42, encuentra el área de superficie del volumen generado cuando las siguientes curvas giran alrededor del$y$ eje -eje. Si no puedes evaluar exactamente la integral, usa tu calculadora para aproximarla.

35)$y=x^2$ de$x=0$ a$x=2$

Contestar

$A= \frac{π}{6}(17\sqrt{17}−1)$unidades ²

36)$y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$ de$x=0$ a$x=1$

37)$y=x+1$ de$x=0$ a$x=3$

Contestar

$A = 9\sqrt{2}π$unidades ²

38) [T]$y=\dfrac{1}{x}$ de$x=\dfrac{1}{2}$ a$x=1$

39)$y=\sqrt[3]{x}$ de$x=1$ a$x=27$

Contestar

$A = \frac{10\sqrt{10}π}{27}(73\sqrt{73}−1)$unidades ²

40) [T]$y=3x^4$ de$x=0$ a$x=1$

41) [T]$y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ de$x=1$ a$x=3$

Contestar

$A \approx 25.645$unidades ²

42) [T]$y=\cos x$ de$x=0$ a$x=\frac{π}{2}$

43) La base de una lámpara se construye girando un cuarto de círculo$y=\sqrt{2x−x^2}$ alrededor del$y$ eje de$x=1$ a$x=2$, como se ve aquí. Cree una integral para el área de superficie de esta curva y cómplala.

Contestar

$A = 2π$unidades ²

44) Una bombilla es una esfera con radio$1/2$ pulg. Con la parte inferior cortada para encajar exactamente en un cilindro de radio$1/4$ pulg. y longitud$1/3$ pulg., como se ve aquí. La esfera se corta en la parte inferior para encajar exactamente en el cilindro, por lo que el radio del corte está$1/4$ adentro. Encuentra el área de superficie (sin incluir la parte superior o inferior del cilindro).

45) [T] Una pantalla se construye girando$y=1/x$ alrededor del$x$ eje -desde$y=1$ hasta$y=2$, como se ve aquí. Determine la cantidad de material que necesitaría para construir esta pantalla de lámpara, es decir, el área de superficie, con una precisión de cuatro decimales.

Contestar

$10.5017$unidades ²

46) [T] Un ancla arrastra detrás de una embarcación según la función$y=24e^{−x/2}−24$, donde$y$ representa la profundidad debajo de la embarcación y$x$ es la distancia horizontal del ancla desde la parte trasera de la embarcación. Si el ancla está a$23$ pies por debajo del bote, ¿cuánta cuerda tienes que tirar para llegar al ancla? Redondee su respuesta a tres decimales.

47) [T] Estás construyendo un puente que abarcará$10$ pies. Se pretende agregar cuerda decorativa en forma de$y=5|\sin((xπ)/5)|$, donde$x$ está la distancia en pies desde un extremo del puente. Descubre cuánta cuerda necesitas comprar, redondeada al pie más cercano.

Contestar

$23$ft

Para el ejercicio 48, encuentra la longitud exacta del arco para los siguientes problemas durante el intervalo dado.

48)$y=\ln(\sin x)$ de$x=\frac{π}{4}$ a$x=\frac{3π}{4}$. (Pista: Recordar identidades trigonométricas.)

49) Dibujar gráficas de$y=x^2, y=x^6$, y$y=x^{10}$. Para$y=x^n$, a medida que$n$ aumenta, formular una predicción sobre la longitud del arco desde$(0,0)$ hasta$(1,1)$. Ahora, computa las longitudes de estas tres funciones y determina si tu predicción es correcta.

Contestar

$2$

50) Comparar las longitudes de la parábola$x=y^2$ y la línea$x=by$ de$(0,0)$ a$(b^2,b)$ medida que$b$ aumenta. ¿Qué notas?

51) Resolver para la longitud de$x=y^2$ desde$(0,0)$ hasta$(1,1)$. Demuestre que$x=\dfrac{y^2}{2}$ de$(0,0)$ a$(2,2)$ es el doble de largo. Grafica ambas funciones y explica por qué esto es así.

Contestar

Las respuestas pueden variar

52) [T] ¿Cuál es más largo entre$(1,1)$ y$\left(2,\frac{1}{2}\right)$: la hipérbola$y=\dfrac{1}{x}$ o la gráfica de$x+2y=3$?

53) Explicar por qué el área superficial$y=1/x$ es infinita cuando se gira alrededor del$x$ eje para$1≤x<∞,$ pero el volumen es finito.

Contestar

Para más información, busca Cuerno de Gabriel.

Colaboradores

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