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# 6.7E: Ejercicios para la Sección 6.7

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 3, encuentra la derivada$$\dfrac{dy}{dx}$$.

1)$$y=\ln(2x)$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x}$$

2)$$y=\ln(2x+1)$$

3)$$y=\dfrac{1}{\ln x}$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = −\dfrac{1}{x(\ln x)^2}$$

En los ejercicios 4 - 5, encuentra la integral indefinida.

4)$$\displaystyle ∫\frac{dt}{3t}$$

5)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{1+x}$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{dx}{1+x} = \ln|x+1|+C$$

En los ejercicios 6 - 15, encuentra la derivada$$\dfrac{dy}{dx}.$$ (Puedes usar una calculadora para trazar la función y la derivada para confirmar que es correcta).

6) [T]$$y=\dfrac{\ln x}{x}$$

7) [T]$$y=x\ln x$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = \ln(x)+1$$

8) [T]$$y=\log_{10}x$$

9) [T]$$y=\ln(\sin x)$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = \cot x$$

10) [T]$$y=\ln(\ln x)$$

11) [T]$$y=7\ln(4x)$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = \frac{7}{x}$$

12) [T]$$y=\ln\big((4x)^7\big)$$

13) [T]$$y=\ln(\tan x)$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = \csc x\sec x$$

14) [T]$$y=\ln(\tan 3x)$$

15) [T]$$y=\ln(\cos^2x)$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = −2\tan x$$

En los ejercicios 16 - 25, encuentra la integral definida o indefinida.

16)$$\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{3+x}$$

17)$$\displaystyle ∫^1_0\frac{dt}{3+2t}$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^1_0\frac{dt}{3+2t} = \tfrac{1}{2}\ln\left(\tfrac{5}{3}\right)$$

18)$$\displaystyle ∫^2_0\frac{x}{x^2+1}\, dx$$

19)$$\displaystyle ∫^2_0\frac{x^3}{x^2+1}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^2_0\frac{x^3}{x^2+1}\,dx = 2−\tfrac{1}{2}\ln(5)$$

20)$$\displaystyle ∫^e_2\frac{dx}{x\ln x}$$

21)$$\displaystyle ∫^e_2\frac{dx}{(x\ln x)^2}$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^e_2\frac{dx}{(x\ln x)^2} = \frac{1}{\ln(2)}−1$$

22)$$\displaystyle ∫\frac{\cos x}{\sin x}\, dx$$

23)$$\displaystyle ∫^{π/4}_0\tan x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^{π/4}_0\tan x\,dx = \tfrac{1}{2}\ln(2)$$

24)$$\displaystyle ∫\cot(3x)\,dx$$

25)$$\displaystyle ∫\frac{(\ln x)^2}{x}\, dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\frac{(\ln x)^2}{x}\, dx = \tfrac{1}{3}(\ln x)^3$$

En los ejercicios 26 - 35, computar$$\dfrac{dy}{dx}$$ diferenciando$$\ln y$$.

26)$$y=\sqrt{x^2+1}$$

27)$$y=\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2−1}$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x^3}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2−1}}$$

28)$$y=e^{\sin x}$$

29)$$y=x^{−1/x}$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = x^{−2−(1/x)}(\ln x−1)$$

30)$$y=e^{ex}$$

31)$$y=x^e$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = ex^{e−1}$$

32)$$y=x^{(ex)}$$

33)$$y=\sqrt{x}\sqrt[3]{x}\sqrt[6]{x}$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = 1$$

34)$$y=x^{−1/\ln x}$$

35)$$y=e^{−\ln x}$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = −\dfrac{1}{x^2}$$

En los ejercicios 36 - 40, evaluar por cualquier método.

36)$$\displaystyle ∫^{10}_5\dfrac{dt}{t}−∫^{10x}_{5x}\dfrac{dt}{t}$$

37)$$\displaystyle ∫^{e^π}_1\dfrac{dx}{x}+∫^{−1}_{−2}\dfrac{dx}{x}$$

Contestar
$$π−\ln(2)$$

38)$$\dfrac{d}{dx}\left[\displaystyle ∫^1_x\dfrac{dt}{t}\right]$$

39)$$\dfrac{d}{dx}\left[\displaystyle ∫^{x^2}_x\dfrac{dt}{t}\right]$$

Contestar
$$\dfrac{1}{x}$$

40)$$\dfrac{d}{dx}\Big[\ln(\sec x+\tan x)\Big]$$

En los ejercicios 41 - 44, usa la función$$\ln x$$. Si no puede encontrar puntos de intersección analíticamente, use una calculadora.

41) Encontrar el área de la región encerrada por$$x=1$$ y por$$y=5$$ encima$$y=\ln x$$.

Contestar
$$(e^5−6)\text{ units}^2$$

42) [T] Encuentra la longitud del arco de$$\ln x$$ desde$$x=1$$ hasta$$x=2$$.

43) Encuentra el área entre$$\ln x$$ y el$$x$$ eje de$$x=1$$ a$$x=2$$.

Contestar
$$\ln(4)−1) \text{ units}^2$$

44) Encuentra el volumen de la forma creada al girar esta curva de$$x=1$$ a$$x=2$$ alrededor del$$x$$ eje, como se muestra aquí.

45) [T] Encuentra el área de superficie de la forma creada al girar la curva en el ejercicio anterior de$$x=1$$ a$$x=2$$ alrededor del$$x$$ eje.

Contestar
$$2.8656 \text{ units}^2$$

Si no puedes encontrar puntos de intersección analíticamente en los siguientes ejercicios, usa una calculadora.

46) Encuentra el área del cuarto de círculo hiperbólico encerrado por$$x=2$$ y$$y=2$$ arriba$$y=1/x.$$

47) [T] Encuentra la longitud del arco de$$y=1/x$$ desde$$x=1$$ hasta$$x=4$$.

Contestar
$$s = 3.1502$$unidades

48) Encuentra el área debajo$$y=1/x$$ y por encima del$$x$$ eje -desde$$x=1$$ hasta$$x=4$$.

49)$$\dfrac{d}{dx}\Big[\ln(x+\sqrt{x^2+1})\Big]=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

50)$$\dfrac{d}{dx}\Big[\ln\left(\frac{x−a}{x+a}\right)\Big]=\dfrac{2a}{(x^2−a^2)}$$

51)$$\dfrac{d}{dx}\Big[\ln\left(\frac{1+\sqrt{1−x^2}}{x}\right)\Big]=−\dfrac{1}{x\sqrt{1−x^2}}$$

52)$$\dfrac{d}{dx}\Big[\ln(x+\sqrt{x^2−a^2})\Big]=\dfrac{1}{\sqrt{x^2−a^2}}$$

53)$$\displaystyle ∫\frac{dx}{x\ln(x)\ln(\ln x)}=\ln|\ln(\ln x)|+C$$