6.8E: Ejercicios para la Sección 6.8

Última actualización

30 oct 2022
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- 6.8: Crecimiento y Decaimiento Exponencial
- 6.9: Cálculo de las Funciones Hiperbólicas

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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En los ejercicios 1 - 2, responde ¿Verdadero o Falso? Si es cierto, demuestralo. Si es falso, encuentra la respuesta verdadera.

1) El tiempo de duplicación para $y=e^{ct}$ es $\dfrac{\ln 2}{\ln c}$ .

2) Si inviertes $$500$ , una tasa anual de interés de $3\%$ rinde más dinero en el primer año que una tasa de interés $2.5\%$ continua.

Contestar: Cierto

3) Si dejas una $100°C$ olla de té a temperatura ambiente ( $25°C$ ) y una olla idéntica en el refrigerador $(5°C)$ , con $k=0.02$ , el té en el refrigerador alcanza una temperatura bebible $(70°C)$ más de $5$ minutos antes del té a temperatura ambiente.

4) Si se le da una vida media de t años, la constante $k$ para $y=e^{kt}$ se calcula por $k=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{t}$ .

Contestar: Falso; $k=\dfrac{\ln 2}{t}$

En los ejercicios 5 - 18, use $y=y_0e^{kt}.$

5) Si un cultivo de bacterias se duplica en $3$ horas, ¿cuántas horas se tarda en multiplicarse por $10$ ?

6) Si las bacterias aumentan por un factor de $10$ en $10$ horas, ¿cuántas horas se tarda en aumentar en $100$ ?

Contestar: $20$ horas

7) ¿Qué edad tiene un cráneo que contiene una quinta parte de radiocarbono que un cráneo moderno? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es de $5730$ años.

8) Si una reliquia contiene $90\%$ tanto radiocarbono como material nuevo, ¿puede haber venido de la época de Cristo (hace aproximadamente $2000$ años)? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es de $5730$ años.

Contestar: No. La reliquia tiene aproximadamente $871$ años de antigüedad.

9) La población de El Cairo creció de $5$ un $10$ millón a otro en $20$ años. Utilizar un modelo exponencial para encontrar cuándo la población era $8$ de millones.

10) Las poblaciones de Nueva York y Los Ángeles están creciendo en $1\%$ y $1.4\%$ un año, respectivamente. Partiendo de $8$ millones (Nueva York) y $6$ millones (Los Ángeles), ¿cuándo son iguales las poblaciones?

Contestar: $71.92$ años

11) Supongamos que el valor de $$1$ en yenes japoneses disminuye al $2\%$ por año. A partir de $$1=¥250$ , ¿cuándo lo hará $$1=¥1$ ?

12) El efecto de la publicidad decae exponencialmente. Si $40\%$ de la población recuerda un nuevo producto después de $3$ días, ¿cuánto tiempo lo $20\%$ recordará?

Contestar: $5$ días $6$ horas $27$ minutos

13) Si $y=1000$ en $t=3$ y $y=3000$ en $t=4$ , ¿qué estaba $y_0$ en $t=0$ ?

14) Si $y=100$ en $t=4$ y $y=10$ en $t=8$ , ¿cuándo lo hace $y=1$ ?

Contestar: En $t = 12$

15) ¿Si un banco ofrece intereses anuales $7.5\%$ o intereses continuos de los $7.25\%,$ cuales tiene un mejor rendimiento anual?

16) ¿Qué tasa de interés continua tiene el mismo rendimiento que una tasa anual de $9\%$ ?

Contestar: $8.618\%$

17) Si depositas $$5000$ a intereses $8\%$ anuales, ¿cuántos años puedes retirar $$500$ (a partir del primer año) sin quedarte sin dinero?

18) Estás tratando de ahorrar $$50,000$ en $20$ años para la colegiatura universitaria para tu hijo. Si el interés es un continuo ¿ $10\%,$ cuánto necesitas invertir inicialmente?

Contestar: 6766.76

19) Se está enfriando un pavo que fue sacado del horno con una temperatura interna de $165°F$ . Después de $10$ minutos de descansar el pavo en un $70°F$ departamento, la temperatura ha alcanzado $155°F$ . ¿Cuál es la temperatura del pavo $20$ minutos después de sacarlo del horno?

20) Estás tratando de descongelarte algunas verduras que están a una temperatura de $1°F$ . Para descongelar las verduras de manera segura, debes ponerlas en el refrigerador, que tiene una temperatura ambiente de $44°F$ . Revisas tus verduras $2$ horas después de ponerlas en el refrigerador para encontrar que están ahora $12°F$ . Trazar la curva de temperatura resultante y utilizarla para determinar cuándo alcanzan las verduras $33°$ .

Contestar: $9$ horas $13$ minutos

21) Eres arqueólogo y te dan un hueso que se dice que es de un Tyrannosaurus Rex. Sabes que estos dinosaurios vivieron durante la Era Cretácica (hace $146$ millones de años a $65$ millones de años), y encuentras por datación por radiocarbono que existe $0.000001\%$ la cantidad de radiocarbono. ¿Este hueso es del Cretácico?

22) El combustible gastado de un reactor nuclear contiene plutonio-239, que tiene una vida media de $24,000$ años. Si se sella $1$ barril que contiene $10$ kg de plutonio-239, ¿cuántos años deben pasar hasta que solo queden $10$ g de plutonio-239?

Contestar: $239,179$ años

Para los ejercicios 23 - 26, utilice la siguiente tabla, que presenta a la población mundial por década.

Años desde 1950	Población (millones)
0	2,556
10	3,039
20	3,706
30	4,453
40	5,279
50	6,083
60	6,849

Fuente: http:/www.factmonster.com/ipka/A0762181.html.

23) [T] La curva exponencial de mejor ajuste a los datos de la forma $P(t)=ae^{bt}$ viene dada por $P(t)=2686e^{0.01604t}$ . Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos.

24) [T] Encuentra y grafica la derivada $y′$ de tu ecuación. ¿Dónde está aumentando y cuál es el significado de este incremento?

Contestar: $P'(t)=43e^{0.01604t}$ . La población siempre va en aumento.

25) [T] Encuentra y grafica la segunda derivada de tu ecuación. ¿Dónde está aumentando y cuál es el significado de este incremento?

26) [T] Encuentra la fecha prevista cuando la población alcanza los $10$ mil millones. Usando sus respuestas anteriores sobre la primera y segunda derivada, explique por qué el crecimiento exponencial no tiene éxito en predecir el futuro.

Contestar: La población llega a $10$ mil millones de personas en $2027$ .

Para los ejercicios 27 - 29, utilice la siguiente tabla, que muestra la población de San Francisco durante el siglo XIX.

Años desde 1850	Población (miles)
0	21.00
10	56.80
20	149.5
30	234.0

Fuente: http:/www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm.

27) [T] La curva exponencial de mejor ajuste a los datos de la forma $P(t)=ae^{bt}$ viene dada por $P(t)=35.26e^{0.06407t}$ . Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos.

28) [T] Encuentra y grafica la derivada $y′$ de tu ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Cuál es el significado de este incremento? ¿Hay un valor donde el incremento sea máximo?

Contestar: $P'(t)=2.259e^{0.06407t}$ . La población siempre va en aumento.

29) [T] Encuentra y grafica la segunda derivada de tu ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Cuál es el significado de este incremento?

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