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# 6.8E: Ejercicios para la Sección 6.8

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 2, responde ¿Verdadero o Falso? Si es cierto, demuestralo. Si es falso, encuentra la respuesta verdadera.

1) El tiempo de duplicación para$$y=e^{ct}$$ es$$\dfrac{\ln 2}{\ln c}$$.

2) Si inviertes$$500$$, una tasa anual de interés de$$3\%$$ rinde más dinero en el primer año que una tasa de interés$$2.5\%$$ continua.

Contestar
Cierto

3) Si dejas una$$100°C$$ olla de té a temperatura ambiente ($$25°C$$) y una olla idéntica en el refrigerador$$(5°C)$$, con$$k=0.02$$, el té en el refrigerador alcanza una temperatura bebible$$(70°C)$$ más de$$5$$ minutos antes del té a temperatura ambiente.

4) Si se le da una vida media de t años, la constante$$k$$ para$$y=e^{kt}$$ se calcula por$$k=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{t}$$.

Contestar
Falso;$$k=\dfrac{\ln 2}{t}$$

En los ejercicios 5 - 18, use$$y=y_0e^{kt}.$$

5) Si un cultivo de bacterias se duplica en$$3$$ horas, ¿cuántas horas se tarda en multiplicarse por$$10$$?

6) Si las bacterias aumentan por un factor de$$10$$ en$$10$$ horas, ¿cuántas horas se tarda en aumentar en$$100$$?

Contestar
$$20$$horas

7) ¿Qué edad tiene un cráneo que contiene una quinta parte de radiocarbono que un cráneo moderno? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es de$$5730$$ años.

8) Si una reliquia contiene$$90\%$$ tanto radiocarbono como material nuevo, ¿puede haber venido de la época de Cristo (hace aproximadamente$$2000$$ años)? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es de$$5730$$ años.

Contestar
No. La reliquia tiene aproximadamente$$871$$ años de antigüedad.

9) La población de El Cairo creció de$$5$$ un$$10$$ millón a otro en$$20$$ años. Utilizar un modelo exponencial para encontrar cuándo la población era$$8$$ de millones.

10) Las poblaciones de Nueva York y Los Ángeles están creciendo en$$1\%$$ y$$1.4\%$$ un año, respectivamente. Partiendo de$$8$$ millones (Nueva York) y$$6$$ millones (Los Ángeles), ¿cuándo son iguales las poblaciones?

Contestar
$$71.92$$años

11) Supongamos que el valor de$$1$$ en yenes japoneses disminuye al$$2\%$$ por año. A partir de$$1=¥250$$, ¿cuándo lo hará$$1=¥1$$?

12) El efecto de la publicidad decae exponencialmente. Si$$40\%$$ de la población recuerda un nuevo producto después de$$3$$ días, ¿cuánto tiempo lo$$20\%$$ recordará?

Contestar
$$5$$días$$6$$ horas$$27$$ minutos

13) Si$$y=1000$$ en$$t=3$$ y$$y=3000$$ en$$t=4$$, ¿qué estaba$$y_0$$ en$$t=0$$?

14) Si$$y=100$$ en$$t=4$$ y$$y=10$$ en$$t=8$$, ¿cuándo lo hace$$y=1$$?

Contestar
En$$t = 12$$

15) ¿Si un banco ofrece intereses anuales$$7.5\%$$ o intereses continuos de los$$7.25\%,$$ cuales tiene un mejor rendimiento anual?

16) ¿Qué tasa de interés continua tiene el mismo rendimiento que una tasa anual de$$9\%$$?

Contestar
$$8.618\%$$

17) Si depositas$$5000$$ a intereses$$8\%$$ anuales, ¿cuántos años puedes retirar$$500$$ (a partir del primer año) sin quedarte sin dinero?

18) Estás tratando de ahorrar$$50,000$$ en$$20$$ años para la colegiatura universitaria para tu hijo. Si el interés es un continuo ¿$$10\%,$$cuánto necesitas invertir inicialmente?

Contestar
6766.76

19) Se está enfriando un pavo que fue sacado del horno con una temperatura interna de$$165°F$$. Después de$$10$$ minutos de descansar el pavo en un$$70°F$$ departamento, la temperatura ha alcanzado$$155°F$$. ¿Cuál es la temperatura del pavo$$20$$ minutos después de sacarlo del horno?

20) Estás tratando de descongelarte algunas verduras que están a una temperatura de$$1°F$$. Para descongelar las verduras de manera segura, debes ponerlas en el refrigerador, que tiene una temperatura ambiente de$$44°F$$. Revisas tus verduras$$2$$ horas después de ponerlas en el refrigerador para encontrar que están ahora$$12°F$$. Trazar la curva de temperatura resultante y utilizarla para determinar cuándo alcanzan las verduras$$33°$$.

Contestar
$$9$$horas$$13$$ minutos

21) Eres arqueólogo y te dan un hueso que se dice que es de un Tyrannosaurus Rex. Sabes que estos dinosaurios vivieron durante la Era Cretácica (hace$$146$$ millones de años a$$65$$ millones de años), y encuentras por datación por radiocarbono que existe$$0.000001\%$$ la cantidad de radiocarbono. ¿Este hueso es del Cretácico?

22) El combustible gastado de un reactor nuclear contiene plutonio-239, que tiene una vida media de$$24,000$$ años. Si se sella$$1$$ barril que contiene$$10$$ kg de plutonio-239, ¿cuántos años deben pasar hasta que solo queden$$10$$ g de plutonio-239?

Contestar
$$239,179$$años

Para los ejercicios 23 - 26, utilice la siguiente tabla, que presenta a la población mundial por década.

 Años desde 1950 Población (millones) 0 2,556 10 3,039 20 3,706 30 4,453 40 5,279 50 6,083 60 6,849

Fuente: http:/www.factmonster.com/ipka/A0762181.html.

23) [T] La curva exponencial de mejor ajuste a los datos de la forma$$P(t)=ae^{bt}$$ viene dada por$$P(t)=2686e^{0.01604t}$$. Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos.

24) [T] Encuentra y grafica la derivada$$y′$$ de tu ecuación. ¿Dónde está aumentando y cuál es el significado de este incremento?

Contestar
$$P'(t)=43e^{0.01604t}$$. La población siempre va en aumento.

25) [T] Encuentra y grafica la segunda derivada de tu ecuación. ¿Dónde está aumentando y cuál es el significado de este incremento?

26) [T] Encuentra la fecha prevista cuando la población alcanza los$$10$$ mil millones. Usando sus respuestas anteriores sobre la primera y segunda derivada, explique por qué el crecimiento exponencial no tiene éxito en predecir el futuro.

Contestar
La población llega a$$10$$ mil millones de personas en$$2027$$.

Para los ejercicios 27 - 29, utilice la siguiente tabla, que muestra la población de San Francisco durante el siglo XIX.

 Años desde 1850 Población (miles) 0 21.00 10 56.80 20 149.5 30 234.0

Fuente: http:/www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm.

27) [T] La curva exponencial de mejor ajuste a los datos de la forma$$P(t)=ae^{bt}$$ viene dada por$$P(t)=35.26e^{0.06407t}$$. Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos.

28) [T] Encuentra y grafica la derivada$$y′$$ de tu ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Cuál es el significado de este incremento? ¿Hay un valor donde el incremento sea máximo?

Contestar
$$P'(t)=2.259e^{0.06407t}$$. La población siempre va en aumento.

29) [T] Encuentra y grafica la segunda derivada de tu ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Cuál es el significado de este incremento?