6.8E: Ejercicios para la Sección 6.8

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 116176

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En los ejercicios 1 - 2, responde ¿Verdadero o Falso? Si es cierto, demuestralo. Si es falso, encuentra la respuesta verdadera.

1) El tiempo de duplicación para$y=e^{ct}$ es$\dfrac{\ln 2}{\ln c}$.

2) Si inviertes$$500$, una tasa anual de interés de$3\%$ rinde más dinero en el primer año que una tasa de interés$2.5\%$ continua.

Contestar: Cierto

3) Si dejas una$100°C$ olla de té a temperatura ambiente ($25°C$) y una olla idéntica en el refrigerador$(5°C)$, con$k=0.02$, el té en el refrigerador alcanza una temperatura bebible$(70°C)$ más de$5$ minutos antes del té a temperatura ambiente.

4) Si se le da una vida media de t años, la constante$k$ para$y=e^{kt}$ se calcula por$k=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{t}$.

Contestar: Falso;$k=\dfrac{\ln 2}{t}$

En los ejercicios 5 - 18, use$y=y_0e^{kt}.$

5) Si un cultivo de bacterias se duplica en$3$ horas, ¿cuántas horas se tarda en multiplicarse por$10$?

6) Si las bacterias aumentan por un factor de$10$ en$10$ horas, ¿cuántas horas se tarda en aumentar en$100$?

Contestar: $20$horas

7) ¿Qué edad tiene un cráneo que contiene una quinta parte de radiocarbono que un cráneo moderno? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es de$5730$ años.

8) Si una reliquia contiene$90\%$ tanto radiocarbono como material nuevo, ¿puede haber venido de la época de Cristo (hace aproximadamente$2000$ años)? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es de$5730$ años.

Contestar: No. La reliquia tiene aproximadamente$871$ años de antigüedad.

9) La población de El Cairo creció de$5$ un$10$ millón a otro en$20$ años. Utilizar un modelo exponencial para encontrar cuándo la población era$8$ de millones.

10) Las poblaciones de Nueva York y Los Ángeles están creciendo en$1\%$ y$1.4\%$ un año, respectivamente. Partiendo de$8$ millones (Nueva York) y$6$ millones (Los Ángeles), ¿cuándo son iguales las poblaciones?

Contestar: $71.92$años

11) Supongamos que el valor de$$1$ en yenes japoneses disminuye al$2\%$ por año. A partir de$$1=¥250$, ¿cuándo lo hará$$1=¥1$?

12) El efecto de la publicidad decae exponencialmente. Si$40\%$ de la población recuerda un nuevo producto después de$3$ días, ¿cuánto tiempo lo$20\%$ recordará?

Contestar: $5$días$6$ horas$27$ minutos

13) Si$y=1000$ en$t=3$ y$y=3000$ en$t=4$, ¿qué estaba$y_0$ en$t=0$?

14) Si$y=100$ en$t=4$ y$y=10$ en$t=8$, ¿cuándo lo hace$y=1$?

Contestar: En$t = 12$

15) ¿Si un banco ofrece intereses anuales$7.5\%$ o intereses continuos de los$7.25\%,$ cuales tiene un mejor rendimiento anual?

16) ¿Qué tasa de interés continua tiene el mismo rendimiento que una tasa anual de$9\%$?

Contestar: $8.618\%$

17) Si depositas$$5000$ a intereses$8\%$ anuales, ¿cuántos años puedes retirar$$500$ (a partir del primer año) sin quedarte sin dinero?

18) Estás tratando de ahorrar$$50,000$ en$20$ años para la colegiatura universitaria para tu hijo. Si el interés es un continuo ¿$10\%,$cuánto necesitas invertir inicialmente?

Contestar: 6766.76

19) Se está enfriando un pavo que fue sacado del horno con una temperatura interna de$165°F$. Después de$10$ minutos de descansar el pavo en un$70°F$ departamento, la temperatura ha alcanzado$155°F$. ¿Cuál es la temperatura del pavo$20$ minutos después de sacarlo del horno?

20) Estás tratando de descongelarte algunas verduras que están a una temperatura de$1°F$. Para descongelar las verduras de manera segura, debes ponerlas en el refrigerador, que tiene una temperatura ambiente de$44°F$. Revisas tus verduras$2$ horas después de ponerlas en el refrigerador para encontrar que están ahora$12°F$. Trazar la curva de temperatura resultante y utilizarla para determinar cuándo alcanzan las verduras$33°$.

Contestar: $9$horas$13$ minutos

21) Eres arqueólogo y te dan un hueso que se dice que es de un Tyrannosaurus Rex. Sabes que estos dinosaurios vivieron durante la Era Cretácica (hace$146$ millones de años a$65$ millones de años), y encuentras por datación por radiocarbono que existe$0.000001\%$ la cantidad de radiocarbono. ¿Este hueso es del Cretácico?

22) El combustible gastado de un reactor nuclear contiene plutonio-239, que tiene una vida media de$24,000$ años. Si se sella$1$ barril que contiene$10$ kg de plutonio-239, ¿cuántos años deben pasar hasta que solo queden$10$ g de plutonio-239?

Contestar: $239,179$años

Para los ejercicios 23 - 26, utilice la siguiente tabla, que presenta a la población mundial por década.

Años desde 1950	Población (millones)
0	2,556
10	3,039
20	3,706
30	4,453
40	5,279
50	6,083
60	6,849

Fuente: http:/www.factmonster.com/ipka/A0762181.html.

23) [T] La curva exponencial de mejor ajuste a los datos de la forma$P(t)=ae^{bt}$ viene dada por$P(t)=2686e^{0.01604t}$. Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos.

24) [T] Encuentra y grafica la derivada$y′$ de tu ecuación. ¿Dónde está aumentando y cuál es el significado de este incremento?

Contestar: $P'(t)=43e^{0.01604t}$. La población siempre va en aumento.

25) [T] Encuentra y grafica la segunda derivada de tu ecuación. ¿Dónde está aumentando y cuál es el significado de este incremento?

26) [T] Encuentra la fecha prevista cuando la población alcanza los$10$ mil millones. Usando sus respuestas anteriores sobre la primera y segunda derivada, explique por qué el crecimiento exponencial no tiene éxito en predecir el futuro.

Contestar: La población llega a$10$ mil millones de personas en$2027$.

Para los ejercicios 27 - 29, utilice la siguiente tabla, que muestra la población de San Francisco durante el siglo XIX.

Años desde 1850	Población (miles)
0	21.00
10	56.80
20	149.5
30	234.0

Fuente: http:/www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm.

27) [T] La curva exponencial de mejor ajuste a los datos de la forma$P(t)=ae^{bt}$ viene dada por$P(t)=35.26e^{0.06407t}$. Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos.

28) [T] Encuentra y grafica la derivada$y′$ de tu ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Cuál es el significado de este incremento? ¿Hay un valor donde el incremento sea máximo?

Contestar: $P'(t)=2.259e^{0.06407t}$. La población siempre va en aumento.

29) [T] Encuentra y grafica la segunda derivada de tu ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Cuál es el significado de este incremento?

Colaboradores

Template:ContribOpenStaxCalc