6.8E: Ejercicios para la Sección 6.8
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1) El tiempo de duplicación para\(y=e^{ct}\) es\(\dfrac{\ln 2}{\ln c}\).
2) Si inviertes\($500\), una tasa anual de interés de\(3\%\) rinde más dinero en el primer año que una tasa de interés\(2.5\%\) continua.
- Contestar
- Cierto
3) Si dejas una\(100°C\) olla de té a temperatura ambiente (\(25°C\)) y una olla idéntica en el refrigerador\((5°C)\), con\(k=0.02\), el té en el refrigerador alcanza una temperatura bebible\((70°C)\) más de\(5\) minutos antes del té a temperatura ambiente.
4) Si se le da una vida media de t años, la constante\(k\) para\(y=e^{kt}\) se calcula por\(k=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{t}\).
- Contestar
- Falso;\(k=\dfrac{\ln 2}{t}\)
En los ejercicios 5 - 18, use\(y=y_0e^{kt}.\)
5) Si un cultivo de bacterias se duplica en\(3\) horas, ¿cuántas horas se tarda en multiplicarse por\(10\)?
6) Si las bacterias aumentan por un factor de\(10\) en\(10\) horas, ¿cuántas horas se tarda en aumentar en\(100\)?
- Contestar
- \(20\)horas
7) ¿Qué edad tiene un cráneo que contiene una quinta parte de radiocarbono que un cráneo moderno? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es de\(5730\) años.
8) Si una reliquia contiene\(90\%\) tanto radiocarbono como material nuevo, ¿puede haber venido de la época de Cristo (hace aproximadamente\(2000\) años)? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es de\(5730\) años.
- Contestar
- No. La reliquia tiene aproximadamente\(871\) años de antigüedad.
9) La población de El Cairo creció de\(5\) un\(10\) millón a otro en\(20\) años. Utilizar un modelo exponencial para encontrar cuándo la población era\(8\) de millones.
10) Las poblaciones de Nueva York y Los Ángeles están creciendo en\(1\%\) y\(1.4\%\) un año, respectivamente. Partiendo de\(8\) millones (Nueva York) y\(6\) millones (Los Ángeles), ¿cuándo son iguales las poblaciones?
- Contestar
- \(71.92\)años
11) Supongamos que el valor de\($1\) en yenes japoneses disminuye al\(2\%\) por año. A partir de\($1=¥250\), ¿cuándo lo hará\($1=¥1\)?
12) El efecto de la publicidad decae exponencialmente. Si\(40\%\) de la población recuerda un nuevo producto después de\(3\) días, ¿cuánto tiempo lo\(20\%\) recordará?
- Contestar
- \(5\)días\(6\) horas\(27\) minutos
13) Si\(y=1000\) en\(t=3\) y\(y=3000\) en\(t=4\), ¿qué estaba\(y_0\) en\(t=0\)?
14) Si\(y=100\) en\(t=4\) y\(y=10\) en\(t=8\), ¿cuándo lo hace\(y=1\)?
- Contestar
- En\(t = 12\)
15) ¿Si un banco ofrece intereses anuales\(7.5\%\) o intereses continuos de los\(7.25\%,\) cuales tiene un mejor rendimiento anual?
16) ¿Qué tasa de interés continua tiene el mismo rendimiento que una tasa anual de\(9\%\)?
- Contestar
- \(8.618\%\)
17) Si depositas\($5000\) a intereses\(8\%\) anuales, ¿cuántos años puedes retirar\($500\) (a partir del primer año) sin quedarte sin dinero?
18) Estás tratando de ahorrar\($50,000\) en\(20\) años para la colegiatura universitaria para tu hijo. Si el interés es un continuo ¿\(10\%,\)cuánto necesitas invertir inicialmente?
- Contestar
- 6766.76
19) Se está enfriando un pavo que fue sacado del horno con una temperatura interna de\(165°F\). Después de\(10\) minutos de descansar el pavo en un\(70°F\) departamento, la temperatura ha alcanzado\(155°F\). ¿Cuál es la temperatura del pavo\(20\) minutos después de sacarlo del horno?
20) Estás tratando de descongelarte algunas verduras que están a una temperatura de\(1°F\). Para descongelar las verduras de manera segura, debes ponerlas en el refrigerador, que tiene una temperatura ambiente de\(44°F\). Revisas tus verduras\(2\) horas después de ponerlas en el refrigerador para encontrar que están ahora\(12°F\). Trazar la curva de temperatura resultante y utilizarla para determinar cuándo alcanzan las verduras\(33°\).
- Contestar
- \(9\)horas\(13\) minutos
21) Eres arqueólogo y te dan un hueso que se dice que es de un Tyrannosaurus Rex. Sabes que estos dinosaurios vivieron durante la Era Cretácica (hace\(146\) millones de años a\(65\) millones de años), y encuentras por datación por radiocarbono que existe\(0.000001\%\) la cantidad de radiocarbono. ¿Este hueso es del Cretácico?
22) El combustible gastado de un reactor nuclear contiene plutonio-239, que tiene una vida media de\(24,000\) años. Si se sella\(1\) barril que contiene\(10\) kg de plutonio-239, ¿cuántos años deben pasar hasta que solo queden\(10\) g de plutonio-239?
- Contestar
- \(239,179\)años
Para los ejercicios 23 - 26, utilice la siguiente tabla, que presenta a la población mundial por década.
| Años desde 1950 | Población (millones) |
| 0 | 2,556 |
| 10 | 3,039 |
| 20 | 3,706 |
| 30 | 4,453 |
| 40 | 5,279 |
| 50 | 6,083 |
| 60 | 6,849 |
Fuente: http:/www.factmonster.com/ipka/A0762181.html.
23) [T] La curva exponencial de mejor ajuste a los datos de la forma\(P(t)=ae^{bt}\) viene dada por\(P(t)=2686e^{0.01604t}\). Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos.
24) [T] Encuentra y grafica la derivada\(y′\) de tu ecuación. ¿Dónde está aumentando y cuál es el significado de este incremento?
- Contestar
- \(P'(t)=43e^{0.01604t}\). La población siempre va en aumento.
25) [T] Encuentra y grafica la segunda derivada de tu ecuación. ¿Dónde está aumentando y cuál es el significado de este incremento?
26) [T] Encuentra la fecha prevista cuando la población alcanza los\(10\) mil millones. Usando sus respuestas anteriores sobre la primera y segunda derivada, explique por qué el crecimiento exponencial no tiene éxito en predecir el futuro.
- Contestar
- La población llega a\(10\) mil millones de personas en\(2027\).
Para los ejercicios 27 - 29, utilice la siguiente tabla, que muestra la población de San Francisco durante el siglo XIX.
| Años desde 1850 | Población (miles) |
| 0 | 21.00 |
| 10 | 56.80 |
| 20 | 149.5 |
| 30 | 234.0 |
Fuente: http:/www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm.
27) [T] La curva exponencial de mejor ajuste a los datos de la forma\(P(t)=ae^{bt}\) viene dada por\(P(t)=35.26e^{0.06407t}\). Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos.
28) [T] Encuentra y grafica la derivada\(y′\) de tu ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Cuál es el significado de este incremento? ¿Hay un valor donde el incremento sea máximo?
- Contestar
- \(P'(t)=2.259e^{0.06407t}\). La población siempre va en aumento.
29) [T] Encuentra y grafica la segunda derivada de tu ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Cuál es el significado de este incremento?