6.8: Crecimiento y Decaimiento Exponencial
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- Explicar el concepto de duplicar el tiempo.
- Utilice el modelo de decaimiento exponencial en aplicaciones, incluyendo la desintegración radiactiva y la ley de enfriamiento de Newton.
- Explicar el concepto de vida media.
Una de las aplicaciones más prevalentes de las funciones exponenciales involucra modelos de crecimiento y decaimiento. El crecimiento exponencial y el decaimiento aparecen en multitud de aplicaciones naturales. Desde el crecimiento de la población y el interés continuamente compuesto hasta la desintegración radiactiva y la ley de enfriamiento de Newton, las funciones exponenciales son ubicuas en la naturaleza. En esta sección, examinamos el crecimiento exponencial y la decadencia en el contexto de algunas de estas aplicaciones.
Modelo de Crecimiento Exponencial
Muchos sistemas exhiben un crecimiento exponencial. Estos sistemas siguen un modelo de la forma\(y=y_0e^{kt},\) donde\(y_0\) representa el estado inicial del sistema y\(k\) es una constante positiva, llamada constante de crecimiento. Observe que en un modelo de crecimiento exponencial, tenemos
\[ y′=ky_0e^{kt}=ky. \label{eq1} \]
Es decir, la tasa de crecimiento es proporcional al valor de la función actual. Esta es una característica clave del crecimiento exponencial. La ecuación\ ref {eq1} implica derivadas y se denomina ecuación diferencial.
Sistemas que exhiben incremento exponencial de crecimiento según el modelo matemático
\[y=y_0e^{kt} \nonumber \]
donde\(y_0\) representa el estado inicial del sistema y\(k>0\) es una constante, llamada constante de crecimiento.
El crecimiento poblacional es un ejemplo común de crecimiento exponencial. Considera una población de bacterias, por ejemplo. Parece plausible que la tasa de crecimiento poblacional sea proporcional al tamaño de la población. Después de todo, cuantas más bacterias haya para reproducirse, más rápido crece la población. La Figura\(\PageIndex{1}\) y la Tabla\(\PageIndex{1}\) representan el crecimiento de una población de bacterias con una población inicial de 200 bacterias y una constante de crecimiento de 0.02. Observe que después de solo 2 horas (120 minutos), ¡la población es 10 veces su tamaño original!
| Tiempo (min) | Tamaño de la población (no. de bacterias) |
|---|---|
| 10 | 244 |
| 20 | 298 |
| 30 | 364 |
| 40 | 445 |
| 50 | 544 |
| 60 | 664 |
| 70 | 811 |
| 80 | 991 |
| 90 | 1210 |
| 100 | 1478 |
| 110 | 1805 |
| 120 | 2205 |
Tenga en cuenta que estamos usando una función continua para modelar lo que es un comportamiento inherentemente discreto. En cualquier momento dado, la población del mundo real contiene un número entero de bacterias, aunque el modelo adquiere valores no enteros. Al usar modelos de crecimiento exponencial, siempre debemos tener cuidado de interpretar los valores de las funciones en el contexto del fenómeno que estamos modelando.
Considerar la población de bacterias descrita anteriormente. Esta población crece de acuerdo a la función\(f(t)=200e^{0.02t},\) donde t se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias están presentes en la población después de\(5\) horas (\(300\)minutos)? ¿Cuándo llega la población a\(100,000\) las bacterias?
Solución
Tenemos\(f(t)=200e^{0.02t}.\) Entonces
\[ f(300)=200e^{0.02(300)}≈80,686. \nonumber \]
Hay\(80,686\) bacterias en la población después de\(5\) horas.
Para encontrar cuándo la población alcanza\(100,000\) bacterias, resolvemos la ecuación
\[ \begin{align*} 100,000 &= 200e^{0.02t} \\[4pt] 500 &=e^{0.02t} \\[4pt] \ln 500 &=0.02 t \\[4pt] t &=\frac{\ln 500}{0.02}≈310.73. \end{align*} \nonumber \]
La población llega a\(100,000\) las bacterias después de\(310.73\) minutos.
Considera una población de bacterias que crece de acuerdo a la función\(f(t)=500e^{0.05t}\), donde\(t\) se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias están presentes en la población después de las 4 horas? ¿Cuándo llega la población a\(100\) millones de bacterias?
- Contestar
-
Utilice el proceso del ejemplo anterior.
- Contestar
-
Hay\(81,377,396\) bacterias en la población después de\(4\) horas. La población alcanza\(100\) millones de bacterias después de\(244.12\) minutos.
Ahora volvamos nuestra atención a una aplicación financiera: el interés compuesto. El interés que no se compone se llama interés simple. Los intereses simples se pagan una vez, al término del período de tiempo especificado (generalmente\(1\) año). Entonces, si ponemos\($1000\) en una cuenta de ahorro ganando intereses\(2%\) simples por año, entonces al final del año tenemos
\[ 1000(1+0.02)=$1020. \nonumber \]
Los intereses compuestos se pagan varias veces al año, dependiendo del período compuesto. Por lo tanto, si el banco compone los intereses cada\(6\) mes, acredita la mitad de los intereses del año a la cuenta después de\(6\) meses. Durante el segundo semestre del año, la cuenta gana intereses no sólo sobre el inicial\($1000\), sino también sobre los intereses devengados durante el primer semestre del año. Matemáticamente hablando, al final del año, tenemos
\[ 1000 \left(1+\dfrac{0.02}{2}\right)^2=$1020.10. \nonumber \]
De igual manera, si el interés se agrava cada\(4\) mes, tenemos
\[ 1000 \left(1+\dfrac{0.02}{3}\right)^3=$1020.13, \nonumber \]
y si el interés se compone diariamente (\(365\)veces al año), tenemos\($1020.20\). Si ampliamos este concepto, para que el interés se agrava continuamente, después de\(t\) años tenemos
\[ 1000\lim_{n→∞} \left(1+\dfrac{0.02}{n}\right)^{nt}. \nonumber \]
Ahora manipulemos esta expresión para que tengamos una función de crecimiento exponencial. Recordemos que el número se\(e\) puede expresar como un límite:
\[ e=\lim_{m→∞}\left(1+\dfrac{1}{m}\right)^m. \nonumber \]
En base a esto, queremos que la expresión dentro de los paréntesis tenga la forma\((1+1/m)\). Vamos\(n=0.02m\). Tenga en cuenta\(n→∞, m→∞\) que también. Entonces conseguimos
\[ 1000\lim_{n→∞}\left(1+\dfrac{0.02}{n}\right)^{nt}=1000\lim_{m→∞}\left(1+\dfrac{0.02}{0.02m}\right)^{0.02mt}=1000\left[\lim_{m→∞}\left(1+\dfrac{1}{m}\right)^m\right]^{0.02t}. \nonumber \]
Reconocemos el límite dentro de los corchetes como el número\(e\). Entonces, el saldo en nuestra cuenta bancaria después de\(t\) años viene dado por\(1000 e^{0.02t}\). Generalizando este concepto, vemos que si una cuenta bancaria con saldo inicial de\($P\) gana intereses a una tasa de\(r%\), compuesta continuamente, entonces el saldo de la cuenta después de\(t\) años es
\[ \text{Balance}\;=Pe^{rt}. \nonumber \]
A un estudiante de 25 años se le ofrece la oportunidad de invertir algo de dinero en una cuenta de retiro que paga intereses\(5%\) anuales compuestos continuamente. ¿Cuánto necesita invertir la estudiante hoy para tener\($1\) millones cuando se jubila a la edad\(65\)? ¿Y si pudiera ganar intereses\(6%\) anuales compuestos continuamente en su lugar?
Solución
Tenemos
\[ 1,000,000=Pe^{0.05(40)} \nonumber \]
\[ P=135,335.28. \nonumber \]
Ella debe invertir\($135,335.28\) a\(5%\) intereses.
Si, en cambio, ella es capaz de ganar\(6%,\) entonces la ecuación se convierte
\[ 1,000,000=Pe^{0.06(40)} \nonumber \]
\[ P=90,717.95. \nonumber \]
En este caso, solo necesita invertir\($90,717.95.\) Esto es aproximadamente dos tercios de la cantidad en la que necesita invertir\(5%\). El hecho de que el interés se compense continuamente magnifica enormemente el efecto del\(1%\) incremento de la tasa de interés.
Supongamos que en lugar de invertir a la edad\(25\sqrt{b^2−4ac}\), el estudiante espera hasta la edad\(35\). ¿En cuánto tendría que invertir\(5%\)? \(6%\)¿A?
- Pista
-
Utilice el proceso del ejemplo anterior.
- Contestar
-
A\(5%\) los intereses, debe invertir\($223,130.16\). A\(6%\) intereses, debe invertir\($165,298.89.\)
Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo que tarda en duplicarse la cantidad permanece constante. En otras palabras, se necesita la misma cantidad de tiempo para que una población de bacterias crezca de\(100\) a\(200\) bacterias que a crecer de\(10,000\) a\(20,000\) bacterias. Esta vez se llama el tiempo de duplicación. Para calcular el tiempo de duplicación, queremos saber cuándo la cantidad alcanza el doble de su tamaño original. Así que tenemos
\[ \begin{align*} 2y_0 &=y_0e^{kt} \\[4pt] 2 &=e^{kt} \\[4pt] \ln 2 &=kt \\[4pt] t &=\dfrac{\ln 2}{k}. \end{align*} \nonumber \]
Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo de duplicación es la cantidad de tiempo que tarda la cantidad en duplicarse. Está dado por
\[\text{Doubling time}=\dfrac{\ln 2}{k}. \nonumber \]
Supongamos que una población de peces crece exponencialmente. Un estanque se abastece inicialmente con\(500\) peces. Después de\(6\) meses, hay\(1000\) peces en el estanque. El dueño permitirá que sus amigos y vecinos pesquen en su estanque después de que llegue la población de peces\(10,000\). ¿Cuándo se permitirá pescar a los amigos del dueño?
Solución
Sabemos que la población de peces tarda\(6\) meses en duplicar su tamaño. Entonces, si\(t\) representa tiempo en meses, por la fórmula de doble tiempo, tenemos\(6=(\ln 2)/k\). Entonces,\(k=(\ln 2)/6\). Así, la población está dada por\(y=500e^{((\ln 2)/6)t}\). Para averiguar cuándo llega la población a los\(10,000\) peces, debemos resolver la siguiente ecuación:
\[ \begin{align*} 10,000 &=500e^{(\ln 2/6)t} \\[4pt] 20 &=e^{(\ln 2/6)t} \\[4pt] \ln 20 &=\left(\frac{\ln 2}{6}\right)t \\[4pt] t &=\frac{6(\ln 20)}{\ln 2} \\[4pt] &≈25.93. \end{align*} \nonumber \]
Los amigos del dueño tienen que esperar\(25.93\) meses (un poco más de\(2\) años) para pescar en el estanque.
Supongamos que la población de peces en Ejemplo tarda\(9\) meses en llegar\(\PageIndex{3}\) a\(1000\) los peces. En estas circunstancias, ¿cuánto tiempo tienen que esperar los amigos del dueño?
- Pista
-
Utilice el proceso del ejemplo anterior.
- Contestar
-
\(38.90\)meses
Modelo de decaimiento exponencial
Las funciones exponenciales también se pueden usar para modelar poblaciones que se encogen (de enfermedades, por ejemplo), o compuestos químicos que se descomponen con el tiempo. Decimos que tales sistemas exhiben decaimiento exponencial, más que crecimiento exponencial. El modelo es casi el mismo, excepto que hay un signo negativo en el exponente. Así, para alguna constante positiva\(k\), tenemos
\[ y=y_0e^{−kt}. \nonumber \]
Al igual que con el crecimiento exponencial, existe una ecuación diferencial asociada a la decadencia exponencial. Tenemos
\[ y′=−ky_0e^{−kt}=−ky. \nonumber \]
Los sistemas que exhiben decaimiento exponencial se comportan de acuerdo con el modelo
\[y=y_0e^{−kt}, \nonumber \]
donde\(y_0\) representa el estado inicial del sistema y\(k>0\) es una constante, llamada constante de decaimiento.
La figura\(\PageIndex{2}\) muestra una gráfica de una función de decaimiento exponencial representativa.
Veamos una aplicación física de decaimiento exponencial. La ley de enfriamiento de Newton dice que un objeto se enfría a una velocidad proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno. En otras palabras, si\(T\) representa la temperatura del objeto y\(T_a\) representa la temperatura ambiente en una habitación, entonces
\[T′=−k(T−T_a). \nonumber \]
Tenga en cuenta que este no es del todo el modelo adecuado para la decadencia exponencial. Queremos que la derivada sea proporcional a la función, y esta expresión tiene el\(T_a\) término adicional. Afortunadamente, podemos hacer un cambio de variables que resuelva este problema. Vamos\(y(t)=T(t)−T_a\). Entonces\(y′(t)=T′(t)−0=T′(t)\), y nuestra ecuación se convierte
\[ y′=−ky. \nonumber \]
De nuestro trabajo anterior, sabemos que esta relación entre\(y\) y su derivada conduce a una decadencia exponencial. Por lo tanto,
\[ y=y_0e^{−kt}, \nonumber \]
y vemos que
\[ T−T_a=(T_0−T_a)e^{−kt} \nonumber \]
\[ T=(T_0−T_a)e^{−kt}+T_a \nonumber \]
donde\(T_0\) representa la temperatura inicial. Apliquemos esta fórmula en el siguiente ejemplo.
Según baristas experimentados, la temperatura óptima para servir café es entre\(155°F\) y\(175°F\). Supongamos que el café se vierte a una temperatura de\(200°F\), y después de\(2\) minutos en una\(70°F\) habitación se ha enfriado a\(180°F\). ¿Cuándo es el café lo suficientemente frío como para servirlo? ¿Cuándo el café está demasiado frío para servirlo? Respuestas redondas al medio minuto más cercano.
Solución
Tenemos
\[ \begin{align*} T &=(T_0−T_a)e^{−kt}+T_a \\[4pt] 180 &=(200−70)e^{−k(2)}+70 \\[4pt] 110 &=130e^{−2k} \\[4pt] \dfrac{11}{13} &=e^{−2k} \\[4pt] \ln \dfrac{11}{13} &=−2k \\[4pt] \ln 11−\ln 13 &=−2k \\[4pt] k &=\dfrac{\ln 13−\ln 11}{2} \end{align*}\]
Entonces, el modelo es
\[T=130e^{(\ln 11−\ln 13/2)t}+70. \nonumber \]
El café llega\(175°F\) cuando
\[ \begin{align*} 175 &=130e^{(\ln 11−\ln 13/2)t}+70 \\[4pt]105 &=130e^{(\ln 11−\ln 13/2)t} \\[4pt] \dfrac{21}{26} &=e^{(\ln 11−\ln 13/2)t} \\[4pt] \ln \dfrac{21}{26} &=\dfrac{\ln 11−\ln 13}{2}t \\[4pt] \ln 21−\ln 26 &=\left(\dfrac{\ln 11−\ln 13}{2}\right)t \\[4pt] t &=\dfrac{2(\ln 21−\ln 26)}{\ln 11−\ln 13}\\[4pt] &≈2.56. \end{align*}\]
El café se puede servir unos\(2.5\) minutos después de que se vierte. El café llega\(155°F\) a
\[ \begin{align*} 155 &=130e^{(\ln 11−\ln 13/2)t}+70 \\[4pt] 85 &=130e^{(\ln 11−\ln 13)t} \\[4pt] \dfrac{17}{26} &=e^{(\ln 11−\ln 13)t} \\[4pt] \ln 17−\ln 26 &=\left(\dfrac{\ln 11−\ln 13}{2}\right)t \\[4pt] t &=\dfrac{2(\ln 17−\ln 26)}{\ln 11−\ln 13} \\[4pt] &≈5.09.\end{align*}\]
El café está demasiado frío para servirlo unos\(5\) minutos después de que se vierte.
Supongamos que la habitación es más cálida\((75°F)\) y, después de\(2\) minutos, el café se ha enfriado solo a\(185°F.\) ¿Cuándo el café primero está lo suficientemente frío como para servirlo? ¿Cuándo el café está demasiado frío para servirlo? Respuestas redondas al medio minuto más cercano.
- Pista
-
Utilice el proceso del ejemplo anterior.
- Contestar
-
El café es primero lo suficientemente frío como para servir unos\(3.5\) minutos después de que se vierte. El café está demasiado frío para servir unos\(7\) minutos después de que se vierte.
Así como los sistemas que exhiben crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación constante, los sistemas que exhiben decaimiento exponencial tienen una vida media constante. Para calcular la vida media, queremos saber cuándo la cantidad alcanza la mitad de su tamaño original. Por lo tanto, tenemos
\(\dfrac{y_0}{2}=y_0e^{−kt}\)
\(\dfrac{1}{2}=e^{−kt}\)
\(−\ln 2=−kt\)
\(t=\dfrac{\ln 2}{k}\).
Nota: Esta es la misma expresión que se nos ocurrió para duplicar el tiempo.
Si una cantidad decae exponencialmente, la vida media es la cantidad de tiempo que tarda la cantidad en reducirse a la mitad. Está dado por
\[\text{Half-life}=\dfrac{\ln 2}{k}. \nonumber \]
Una de las aplicaciones más comunes de un modelo de decaimiento exponencial es la datación por carbono. El carbono-14 se descompone (emite una partícula radiactiva) a una velocidad exponencial regular y consistente. Por lo tanto, si sabemos cuánto carbono-14 estaba originalmente presente en un objeto y cuánto carbono-14 queda, podemos determinar la edad del objeto. La vida media del carbono-14 es de aproximadamente 5730 años, es decir, después de tantos años, la mitad del material se ha convertido del carbono-14 original al nuevo nitrógeno-14 no radiactivo. Si hoy tenemos 100 g de carbono-14, ¿cuánto queda en 50 años? Si un artefacto que originalmente contenía 100 g de carbono-14 ahora contiene 10 g de carbono-14, ¿qué edad tiene? Redondear la respuesta a los cien años más cercanos.
Solución
Tenemos
\[ 5730=\dfrac{\ln 2}{k} \nonumber \]
\[ k=\dfrac{\ln 2}{5730}.\nonumber \]
Entonces, el modelo dice
\[ y=100e^{−(\ln 2/5730)t}.\nonumber \]
En\(50\) años, tenemos
\[y=100e^{−(\ln 2/5730)(50)}≈99.40\nonumber \]
Por lo tanto, en\(50\) años, queda\(99.40\) g de carbono-14.
Para determinar la edad del artefacto, debemos resolver
\[ \begin{align*} 10 &=100e^{−(\ln 2/5730)t} \\[4pt] \dfrac{1}{10} &= e^{−(\ln 2/5730)t} \\ t &≈19035. \end{align*}\]
El artefacto tiene aproximadamente\(19,000\) años.
Si tenemos 100 g de carbono-14 , cuanto queda después de 500 años? Si un artefacto que originalmente contenía 100 g de carbono-14 ahora contiene 20 g de carbono-14, ¿cuántos años tiene? Redondear la respuesta a los cien años más cercanos.
- Pista
-
Utilice el proceso del ejemplo anterior.
- Contestar
-
Un total de 94.13 g de carbono-14 permanece después de 500 años. El artefacto tiene aproximadamente 13.300 años de antigüedad.
Conceptos clave
- El crecimiento exponencial y la decadencia exponencial son dos de las aplicaciones más comunes de las funciones exponenciales.
- Los sistemas que exhiben crecimiento exponencial siguen un modelo de la forma\(y=y_0e^{kt}\).
- En crecimiento exponencial, la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente. En otras palabras,\(y′=ky\).
- Los sistemas que exhiben crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación constante, el cual viene dado por\((\ln 2)/k\).
- Los sistemas que exhiben decaimiento exponencial siguen un modelo de la forma\(y=y_0e^{−kt}.\)
- Los sistemas que exhiben decaimiento exponencial tienen una vida media constante, que viene dada por\((\ln 2)/k.\)
Glosario
- tiempo de duplicación
- si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo de duplicación es la cantidad de tiempo que tarda la cantidad en duplicarse, y viene dada por\((\ln 2)/k\)
- decaimiento exponencial
- sistemas que exhiben decaimiento exponencial siguen un modelo de la forma\(y=y_0e^{−kt}\)
- crecimiento exponencial
- sistemas que exhiben crecimiento exponencial siguen un modelo de la forma\(y=y_0e^{kt}\)
- vida media
- si una cantidad decae exponencialmente, la vida media es la cantidad de tiempo que tarda la cantidad en reducirse a la mitad. Está dado por\((\ln 2)/k\)