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# 7.1E: Ejercicios para la Sección 7.1

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

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$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Al utilizar la técnica de integración por partes, se debe elegir cuidadosamente qué expresión es$$u$$. Para cada uno de los siguientes problemas, utilice las pautas de esta sección para elegir$$u$$. No evaluar las integrales.

1)$$\displaystyle ∫x^3e^{2x}\,dx$$

Contestar
$$u=x^3$$

2)$$\displaystyle ∫x^3\ln(x)\,dx$$

3)$$\displaystyle ∫y^3\cos y\,dy$$

Contestar
$$u=y^3$$

4)$$\displaystyle ∫x^2\arctan x\,dx$$

5)$$\displaystyle ∫e^{3x}\sin(2x)\,dx$$

Contestar
$$u=\sin(2x)$$

En los ejercicios 6 - 37, encuentra la integral utilizando el método más simple. No todos los problemas requieren integración por partes.

6)$$\displaystyle ∫v\sin v\,dv$$

7)$$\displaystyle ∫\ln x\,dx$$ (Pista:$$\displaystyle ∫\ln x\,dx$$ es equivalente a$$\displaystyle ∫1⋅\ln(x)\,dx.)$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\ln x\,dx \quad = \quad−x+x\ln x+C$$

8)$$\displaystyle ∫x\cos x\,dx$$

9)$$\displaystyle ∫\tan^{−1}x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\tan^{−1}x\,dx\quad = \quad x\tan^{−1}x−\tfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$$

10)$$\displaystyle ∫x^2e^x\,dx$$

11)$$\displaystyle ∫x\sin(2x)\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫x\sin(2x)\,dx \quad = \quad −\tfrac{1}{2}x\cos(2x)+\tfrac{1}{4}\sin(2x)+C$$

12)$$\displaystyle ∫xe^{4x}\,dx$$

13)$$\displaystyle ∫xe^{−x}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫xe^{−x}\,dx \quad = \quad e^{−x}(−1−x)+C$$

14)$$\displaystyle ∫x\cos 3x\,dx$$

15)$$\displaystyle ∫x^2\cos x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫x^2\cos x\,dx \quad = \quad 2x\cos x+(−2+x^2)\sin x+C$$

16)$$\displaystyle ∫x\ln x\,dx$$

17)$$\displaystyle ∫\ln(2x+1)\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\ln(2x+1)\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{2}(1+2x)(−1+\ln(1+2x))+C$$

18)$$\displaystyle ∫x^2e^{4x}\,dx$$

19)$$\displaystyle ∫e^x\sin x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫e^x\sin x\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{2}e^x(−\cos x+\sin x)+C$$

20)$$\displaystyle ∫e^x\cos x\,dx$$

21)$$\displaystyle ∫xe^{−x^2}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫xe^{−x^2}\,dx \quad = \quad −\frac{e^{−x^2}}{2}+C$$

22)$$\displaystyle ∫x^2e^{−x}\,dx$$

23)$$\displaystyle ∫\sin(\ln(2x))\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\sin(\ln(2x))\,dx \quad = \quad −\tfrac{1}{2}x\cos[\ln(2x)]+\tfrac{1}{2}x\sin[\ln(2x)]+C$$

24)$$\displaystyle ∫\cos(\ln x)\,dx$$

25)$$\displaystyle ∫(\ln x)^2\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫(\ln x)^2\,dx \quad = \quad 2x−2x\ln x+x(\ln x)^2+C$$

26)$$\displaystyle ∫\ln(x^2)\,dx$$

27)$$\displaystyle ∫x^2\ln x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫x^2\ln x\,dx \quad = \quad −\frac{x^3}{9}+\tfrac{1}{3}x^3\ln x+C$$

28)$$\displaystyle ∫\sin^{−1}x\,dx$$

29)$$\displaystyle ∫\cos^{−1}(2x)\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\cos^{−1}(2x)\,dx \quad = \quad −\tfrac{1}{2}\sqrt{1−4x^2}+x\cos^{−1}(2x)+C$$

30)$$\displaystyle ∫x\arctan x\,dx$$

31)$$\displaystyle ∫x^2\sin x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫x^2\sin x\,dx \quad = \quad −(−2+x^2)\cos x+2x\sin x+C$$

32)$$\displaystyle ∫x^3\cos x\,dx$$

33)$$\displaystyle ∫x^3\sin x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫x^3\sin x\,dx \quad = \quad −x(−6+x^2)\cos x+3(−2+x^2)\sin x+C$$

34)$$\displaystyle ∫x^3e^x\,dx$$

35)$$\displaystyle ∫x\sec^{−1}x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫x\sec^{−1}x\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{2}x\left(−\sqrt{1−\frac{1}{x^2}}+x⋅\sec^{−1}x\right)+C$$

36)$$\displaystyle ∫x\sec^2x\,dx$$

37)$$\displaystyle ∫x\cosh x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫x\cosh x\,dx \quad = \quad −\cosh x+x\sinh x+C$$

En los ejercicios 38 - 46, computar las integrales definidas. Utilice una utilidad gráfica para confirmar sus respuestas.

38)$$\displaystyle ∫^1_{1/e}\ln x\,dx$$

39)$$\displaystyle ∫^1_0xe^{−2x}\,dx$$ (Exprese la respuesta en forma exacta.)

Contestar
$$\displaystyle ∫^1_0xe^{−2x}\,dx \quad = \quad \frac{1}{4}−\frac{3}{4e^2}$$

40)$$\displaystyle ∫^1_0e^{\sqrt{x}}\,dx \quad (\text{let}\, u=\sqrt{x})$$

41)$$\displaystyle ∫^e_1\ln(x^2)\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^e_1\ln(x^2)\,dx \quad = \quad 2$$

42)$$\displaystyle ∫^π_0x\cos x\,dx$$

43)$$\displaystyle ∫^π_{−π}x\sin x\,dx$$ (Exprese la respuesta en forma exacta.)

Contestar
$$\displaystyle ∫^π_{−π}x\sin x\,dx \quad = \quad 2\pi$$

44)$$\displaystyle ∫^3_0\ln(x^2+1)\,dx$$ (Exprese la respuesta en forma exacta.)

45)$$\displaystyle ∫^{π/2}_0x^2\sin x\,dx$$ (Exprese la respuesta en forma exacta.)

Contestar
$$\displaystyle ∫^{π/2}_0x^2\sin x\,dx \quad = \quad −2+π$$

46)$$\displaystyle ∫^1_0x5^x\,dx$$ (Exprese la respuesta usando cinco dígitos significativos.)

47) Evaluar$$\displaystyle ∫\cos x\ln(\sin x)\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\cos x\ln(\sin x)\,dx \quad = \quad −\sin(x)+\ln[\sin(x)]\sin x+C$$

En los ejercicios 48 - 50, derivar las siguientes fórmulas utilizando la técnica de integración por partes. Supongamos que$$n$$ es un entero positivo. Estas fórmulas se denominan fórmulas de reducción porque el exponente en el$$x$$ término se ha reducido en uno en cada caso. La segunda integral es más simple que la integral original.

48)$$\displaystyle ∫x^ne^x\,dx=x^ne^x−n∫x^{n−1}e^x\,dx$$

49)$$\displaystyle ∫x^n\cos x\,dx=x^n\sin x−n∫x^{n−1}\sin x\,dx$$

Contestar
Las respuestas varían

50)$$\displaystyle ∫x^n\sin x\,dx=$$ ______

51) Integrar$$\displaystyle ∫2x\sqrt{2x−3}\,dx$$ usando dos métodos:

a. Usando piezas, dejando$$dv=\sqrt{2x−3}\,dx$$

b. Sustitución, dejar$$u=2x−3$$

Contestar
a.$$\displaystyle ∫2x\sqrt{2x−3}\,dx \quad = \quad \tfrac{2}{5}(1+x)(−3+2x)^{3/2}+C$$
b.$$\displaystyle ∫2x\sqrt{2x−3}\,dx \quad = \quad \tfrac{2}{5}(1+x)(−3+2x)^{3/2}+C$$

En los ejercicios 52 - 57, indique si utilizaría la integración por partes para evaluar la integral. Si es así, identificar$$u$$ y$$dv$$. Si no es así, describa la técnica utilizada para realizar la integración sin realmente hacer el problema.

52)$$\displaystyle ∫x\ln x\,dx$$

53)$$\displaystyle ∫\frac{\ln^2x}{x}\,dx$$

Contestar
No utilice integración por partes. Elige$$u$$ ser$$\ln x$$, y la integral es de la forma$$\displaystyle ∫u^2\,du.$$

54)$$\displaystyle ∫xe^x\,dx$$

55)$$\displaystyle ∫xe^{x^2−3}\,dx$$

Contestar
No utilice integración por partes. Dejar$$u=x^2−3$$, y la integral se puede poner en la forma$$∫e^u\,du$$.

56)$$\displaystyle ∫x^2\sin x\,dx$$

57)$$\displaystyle ∫x^2\sin(3x^3+2)\,dx$$

Contestar
No utilice integración por partes. Elige$$u$$ ser$$u=3x^3+2$$ y la integral se puede poner en la forma$$\displaystyle ∫\sin(u)\,du.$$

En los ejercicios 58-59, esboza la región delimitada arriba por la curva, el$$x$$ eje -y$$x=1$$, y encuentra el área de la región. Proporcionar la forma exacta o respuestas redondas al número de lugares indicados.

58)$$y=2xe^{−x}$$ (Respuesta aproximada a cuatro decimales.)

59)$$y=e^{−x}\sin(πx)$$ (Respuesta aproximada a cinco decimales.)

Contestar
El área debajo de la gráfica es$$0.39535 \, \text{units}^2.$$

En los ejercicios 60 - 61, encuentra el volumen generado al rotar la región delimitada por las curvas dadas alrededor de la línea especificada. Exprese las respuestas en forma exacta o aproximada al número de decimales indicados.

60)$$y=\sin x,\,y=0,\,x=2π,\,x=3π;$$ sobre el$$y$$ eje -( Exprese la respuesta en forma exacta.)

61)$$y=e^{−x}, \,y=0,\,x=−1, \, x=0;$$ sobre$$x=1$$ (Exprese la respuesta en forma exacta.)

Contestar
$$V = 2πe \, \text{units}^3$$

62) Una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta tiene una velocidad de$$v(t)=t^2e^{−t}$$ después de$$t$$ segundos. ¿Qué tan lejos viaja en los primeros 2 seg? (Supongamos que las unidades están en pies y expresa la respuesta en forma exacta.)

63) Encuentra el área bajo la gráfica de$$y=\sec^3x$$ de$$x=0$$ a$$x=1$$. (Redondear la respuesta a dos dígitos significativos.)

Contestar
$$A= 2.05 \, \text{units}^2$$

64) Encuentra el área entre$$y=(x−2)e^x$$ y el$$x$$ eje de$$x=2$$ a$$x=5$$. (Exprese la respuesta en forma exacta.)

65) Encuentra el área de la región encerrada por la curva$$y=x\cos x$$ y el$$x$$ eje para$$\frac{11π}{2}≤x≤\frac{13π}{2}.$$ (Exprese la respuesta en forma exacta.)

Contestar
$$A = 12π \, \text{units}^2$$

66) Encuentra el volumen del sólido generado al girar la región delimitada por la curva$$y=\ln x$$, el$$x$$ eje -y la línea vertical$$x=e^2$$ alrededor del$$x$$ eje. (Exprese la respuesta en forma exacta.)

67) Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región delimitada por la curva$$y=4\cos x$$ y el $$x$$eje -,$$\frac{π}{2}≤x≤\frac{3π}{2},$$ alrededor del$$x$$ eje -eje. (Exprese la respuesta en forma exacta.)

Contestar
$$V = 8π^2 \, \text{units}^3$$

68) Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región en el primer cuadrante delimitado por$$y=e^x$$ y el$$x$$ eje -eje, desde$$x=0$$ hasta$$x=\ln(7)$$, alrededor del$$y$$ eje -eje. (Exprese la respuesta en forma exacta.)

69) ¿Cuál es el volumen de la torta Bundt que viene de girar$$y=\sin x$$ alrededor del$$y$$ eje de$$x=0$$ a$$x=π$$?

Contestar
$$V = 2π^2$$unidades 3

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