7.1E: Ejercicios para la Sección 7.1

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Al utilizar la técnica de integración por partes, se debe elegir cuidadosamente qué expresión es\(u\). Para cada uno de los siguientes problemas, utilice las pautas de esta sección para elegir\(u\). No evaluar las integrales.

1)\(\displaystyle ∫x^3e^{2x}\,dx\)

Contestar: \( u=x^3\)

2)\(\displaystyle ∫x^3\ln(x)\,dx\)

3)\(\displaystyle ∫y^3\cos y\,dy\)

Contestar: \(u=y^3\)

4)\(\displaystyle ∫x^2\arctan x\,dx\)

5)\(\displaystyle ∫e^{3x}\sin(2x)\,dx\)

Contestar: \(u=\sin(2x)\)

En los ejercicios 6 - 37, encuentra la integral utilizando el método más simple. No todos los problemas requieren integración por partes.

6)\(\displaystyle ∫v\sin v\,dv\)

7)\(\displaystyle ∫\ln x\,dx\) (Pista:\(\displaystyle ∫\ln x\,dx\) es equivalente a\(\displaystyle ∫1⋅\ln(x)\,dx.)\)

Contestar: \(\displaystyle ∫\ln x\,dx \quad = \quad−x+x\ln x+C\)

8)\(\displaystyle ∫x\cos x\,dx\)

9)\(\displaystyle ∫\tan^{−1}x\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫\tan^{−1}x\,dx\quad = \quad x\tan^{−1}x−\tfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\)

10)\(\displaystyle ∫x^2e^x\,dx\)

11)\(\displaystyle ∫x\sin(2x)\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫x\sin(2x)\,dx \quad = \quad −\tfrac{1}{2}x\cos(2x)+\tfrac{1}{4}\sin(2x)+C\)

12)\(\displaystyle ∫xe^{4x}\,dx\)

13)\(\displaystyle ∫xe^{−x}\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫xe^{−x}\,dx \quad = \quad e^{−x}(−1−x)+C\)

14)\(\displaystyle ∫x\cos 3x\,dx\)

15)\(\displaystyle ∫x^2\cos x\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫x^2\cos x\,dx \quad = \quad 2x\cos x+(−2+x^2)\sin x+C\)

16)\(\displaystyle ∫x\ln x\,dx\)

17)\(\displaystyle ∫\ln(2x+1)\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫\ln(2x+1)\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{2}(1+2x)(−1+\ln(1+2x))+C\)

18)\(\displaystyle ∫x^2e^{4x}\,dx\)

19)\(\displaystyle ∫e^x\sin x\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫e^x\sin x\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{2}e^x(−\cos x+\sin x)+C\)

20)\(\displaystyle ∫e^x\cos x\,dx\)

21)\(\displaystyle ∫xe^{−x^2}\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫xe^{−x^2}\,dx \quad = \quad −\frac{e^{−x^2}}{2}+C\)

22)\(\displaystyle ∫x^2e^{−x}\,dx\)

23)\(\displaystyle ∫\sin(\ln(2x))\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫\sin(\ln(2x))\,dx \quad = \quad −\tfrac{1}{2}x\cos[\ln(2x)]+\tfrac{1}{2}x\sin[\ln(2x)]+C\)

24)\(\displaystyle ∫\cos(\ln x)\,dx\)

25)\(\displaystyle ∫(\ln x)^2\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫(\ln x)^2\,dx \quad = \quad 2x−2x\ln x+x(\ln x)^2+C\)

26)\(\displaystyle ∫\ln(x^2)\,dx\)

27)\(\displaystyle ∫x^2\ln x\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫x^2\ln x\,dx \quad = \quad −\frac{x^3}{9}+\tfrac{1}{3}x^3\ln x+C\)

28)\(\displaystyle ∫\sin^{−1}x\,dx\)

29)\(\displaystyle ∫\cos^{−1}(2x)\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫\cos^{−1}(2x)\,dx \quad = \quad −\tfrac{1}{2}\sqrt{1−4x^2}+x\cos^{−1}(2x)+C\)

30)\(\displaystyle ∫x\arctan x\,dx\)

31)\(\displaystyle ∫x^2\sin x\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫x^2\sin x\,dx \quad = \quad −(−2+x^2)\cos x+2x\sin x+C\)

32)\(\displaystyle ∫x^3\cos x\,dx\)

33)\(\displaystyle ∫x^3\sin x\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫x^3\sin x\,dx \quad = \quad −x(−6+x^2)\cos x+3(−2+x^2)\sin x+C\)

34)\(\displaystyle ∫x^3e^x\,dx\)

35)\(\displaystyle ∫x\sec^{−1}x\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫x\sec^{−1}x\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{2}x\left(−\sqrt{1−\frac{1}{x^2}}+x⋅\sec^{−1}x\right)+C\)

36)\(\displaystyle ∫x\sec^2x\,dx\)

37)\(\displaystyle ∫x\cosh x\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫x\cosh x\,dx \quad = \quad −\cosh x+x\sinh x+C\)

En los ejercicios 38 - 46, computar las integrales definidas. Utilice una utilidad gráfica para confirmar sus respuestas.

38)\(\displaystyle ∫^1_{1/e}\ln x\,dx\)

39)\(\displaystyle ∫^1_0xe^{−2x}\,dx\) (Exprese la respuesta en forma exacta.)

Contestar: \(\displaystyle ∫^1_0xe^{−2x}\,dx \quad = \quad \frac{1}{4}−\frac{3}{4e^2}\)

40)\(\displaystyle ∫^1_0e^{\sqrt{x}}\,dx \quad (\text{let}\, u=\sqrt{x})\)

41)\(\displaystyle ∫^e_1\ln(x^2)\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫^e_1\ln(x^2)\,dx \quad = \quad 2\)

42)\(\displaystyle ∫^π_0x\cos x\,dx\)

43)\(\displaystyle ∫^π_{−π}x\sin x\,dx\) (Exprese la respuesta en forma exacta.)

Contestar: \(\displaystyle ∫^π_{−π}x\sin x\,dx \quad = \quad 2\pi\)

44)\(\displaystyle ∫^3_0\ln(x^2+1)\,dx\) (Exprese la respuesta en forma exacta.)

45)\(\displaystyle ∫^{π/2}_0x^2\sin x\,dx\) (Exprese la respuesta en forma exacta.)

Contestar: \(\displaystyle ∫^{π/2}_0x^2\sin x\,dx \quad = \quad −2+π\)

46)\(\displaystyle ∫^1_0x5^x\,dx\) (Exprese la respuesta usando cinco dígitos significativos.)

47) Evaluar\(\displaystyle ∫\cos x\ln(\sin x)\,dx\)

Contestar: \(\displaystyle ∫\cos x\ln(\sin x)\,dx \quad = \quad −\sin(x)+\ln[\sin(x)]\sin x+C\)

En los ejercicios 48 - 50, derivar las siguientes fórmulas utilizando la técnica de integración por partes. Supongamos que\(n\) es un entero positivo. Estas fórmulas se denominan fórmulas de reducción porque el exponente en el\(x\) término se ha reducido en uno en cada caso. La segunda integral es más simple que la integral original.

48)\(\displaystyle ∫x^ne^x\,dx=x^ne^x−n∫x^{n−1}e^x\,dx\)

49)\(\displaystyle ∫x^n\cos x\,dx=x^n\sin x−n∫x^{n−1}\sin x\,dx\)

Contestar: Las respuestas varían

50)\(\displaystyle ∫x^n\sin x\,dx=\) ______

51) Integrar\(\displaystyle ∫2x\sqrt{2x−3}\,dx\) usando dos métodos:

a. Usando piezas, dejando\(dv=\sqrt{2x−3}\,dx\)

b. Sustitución, dejar\(u=2x−3\)

Contestar: a.\(\displaystyle ∫2x\sqrt{2x−3}\,dx \quad = \quad \tfrac{2}{5}(1+x)(−3+2x)^{3/2}+C\)
b.\(\displaystyle ∫2x\sqrt{2x−3}\,dx \quad = \quad \tfrac{2}{5}(1+x)(−3+2x)^{3/2}+C\)

En los ejercicios 52 - 57, indique si utilizaría la integración por partes para evaluar la integral. Si es así, identificar\(u\) y\(dv\). Si no es así, describa la técnica utilizada para realizar la integración sin realmente hacer el problema.

52)\(\displaystyle ∫x\ln x\,dx\)

53)\(\displaystyle ∫\frac{\ln^2x}{x}\,dx\)

Contestar: No utilice integración por partes. Elige\(u\) ser\(\ln x\), y la integral es de la forma\(\displaystyle ∫u^2\,du.\)

54)\(\displaystyle ∫xe^x\,dx\)

55)\(\displaystyle ∫xe^{x^2−3}\,dx\)

Contestar: No utilice integración por partes. Dejar\(u=x^2−3\), y la integral se puede poner en la forma\(∫e^u\,du\).

56)\(\displaystyle ∫x^2\sin x\,dx\)

57)\(\displaystyle ∫x^2\sin(3x^3+2)\,dx\)

Contestar: No utilice integración por partes. Elige\(u\) ser\(u=3x^3+2\) y la integral se puede poner en la forma\(\displaystyle ∫\sin(u)\,du.\)

En los ejercicios 58-59, esboza la región delimitada arriba por la curva, el\(x\) eje -y\(x=1\), y encuentra el área de la región. Proporcionar la forma exacta o respuestas redondas al número de lugares indicados.

58)\(y=2xe^{−x}\) (Respuesta aproximada a cuatro decimales.)

59)\(y=e^{−x}\sin(πx)\) (Respuesta aproximada a cinco decimales.)

Contestar: El área debajo de la gráfica es\(0.39535 \, \text{units}^2.\)

En los ejercicios 60 - 61, encuentra el volumen generado al rotar la región delimitada por las curvas dadas alrededor de la línea especificada. Exprese las respuestas en forma exacta o aproximada al número de decimales indicados.

60)\(y=\sin x,\,y=0,\,x=2π,\,x=3π;\) sobre el\(y\) eje -( Exprese la respuesta en forma exacta.)

61)\(y=e^{−x}, \,y=0,\,x=−1, \, x=0;\) sobre\(x=1\) (Exprese la respuesta en forma exacta.)

Contestar: \(V = 2πe \, \text{units}^3\)

62) Una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta tiene una velocidad de\(v(t)=t^2e^{−t}\) después de\(t\) segundos. ¿Qué tan lejos viaja en los primeros 2 seg? (Supongamos que las unidades están en pies y expresa la respuesta en forma exacta.)

63) Encuentra el área bajo la gráfica de\(y=\sec^3x\) de\(x=0\) a\(x=1\). (Redondear la respuesta a dos dígitos significativos.)

Contestar: \(A= 2.05 \, \text{units}^2\)

64) Encuentra el área entre\(y=(x−2)e^x\) y el\(x\) eje de\(x=2\) a\(x=5\). (Exprese la respuesta en forma exacta.)

65) Encuentra el área de la región encerrada por la curva\(y=x\cos x\) y el\(x\) eje para\(\frac{11π}{2}≤x≤\frac{13π}{2}.\) (Exprese la respuesta en forma exacta.)

Contestar: \(A = 12π \, \text{units}^2\)

66) Encuentra el volumen del sólido generado al girar la región delimitada por la curva\(y=\ln x\), el\(x\) eje -y la línea vertical\(x=e^2\) alrededor del\(x\) eje. (Exprese la respuesta en forma exacta.)

67) Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región delimitada por la curva\(y=4\cos x\) y el \(x\)eje -,\(\frac{π}{2}≤x≤\frac{3π}{2},\) alrededor del\(x\) eje -eje. (Exprese la respuesta en forma exacta.)

Contestar: \(V = 8π^2 \, \text{units}^3\)

68) Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región en el primer cuadrante delimitado por\(y=e^x\) y el\(x\) eje -eje, desde\(x=0\) hasta\(x=\ln(7)\), alrededor del\(y\) eje -eje. (Exprese la respuesta en forma exacta.)

69) ¿Cuál es el volumen de la torta Bundt que viene de girar\( y=\sin x\) alrededor del\(y\) eje de\( x=0\) a\( x=π\)?

Contestar: \(V = 2π^2\)unidades ³