7.8: Capítulo 7 Ejercicios de revisión

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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En los ejercicios 1 - 4, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1)$\displaystyle ∫e^x\sin(x)\,dx$ no puede ser integrado por partes.

2)$\displaystyle ∫\frac{1}{x^4+1}\,dx$ no se pueden integrar usando fracciones parciales.

Contestar: Falso

3) En la integración numérica, aumentar el número de puntos disminuye el error.

4) La integración por partes siempre puede producir la integral.

Contestar: Falso

En los ejercicios 5 - 10, evaluar la integral utilizando el método especificado.

5)$\displaystyle ∫x^2\sin(4x)\,dx,$ utilizando integración por partes

6)$\displaystyle ∫\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,dx,$ mediante sustitución trigonométrica

Contestar: $\displaystyle ∫\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,dx = −\frac{\sqrt{x^2+16}}{16x}+C$

7)$\displaystyle ∫\sqrt{x}\ln x\,dx,$ utilizando integración por partes

8)$\displaystyle ∫\frac{3x}{x^3+2x^2−5x−6}\,dx,$ usando fracciones parciales

Contestar: $\displaystyle ∫\frac{3x}{x^3+2x^2−5x−6}\,dx = \frac{1}{10}\big(4\ln|2−x|+5\ln|x+1|−9\ln|x+3|\big)+C$

9)$\displaystyle ∫\frac{x^5}{(4x^2+4)^{5/2}}\,dx,$ mediante sustitución trigonométrica

10)$\displaystyle ∫\frac{\sqrt{4−\sin^2(x)}}{\sin^2(x)}\cos(x)\,dx,$ usando una tabla de integrales o un CAS

Contestar: $\displaystyle ∫\frac{\sqrt{4−\sin^2(x)}}{\sin^2(x)}\cos(x)\,dx = −\frac{\sqrt{4−\sin^2(x)}}{\sin(x)}−\frac{x}{2}+C$

En los ejercicios 11 - 15, integre usando cualquier método que elija.

11)$\displaystyle ∫\sin^2 x\cos^2 x\,dx$

12)$\displaystyle ∫x^3\sqrt{x^2+2}\,dx$

Contestar: $\displaystyle ∫x^3\sqrt{x^2+2}\,dx = \frac{1}{15}(x^2+2)^{3/2}(3x^2−4)+C$

13)$\displaystyle ∫\frac{3x^2+1}{x^4−2x^3−x^2+2x}\,dx$

14)$\displaystyle ∫\frac{1}{x^4+4}\,dx$

Contestar: $\displaystyle ∫\frac{1}{x^4+4}\,dx = \frac{1}{16}\ln(\frac{x^2+2x+2}{x^2−2x+2})−\frac{1}{8}\tan^{−1}(1−x)+\frac{1}{8}\tan^{−1}(x+1)+C$

15)$\displaystyle ∫\frac{\sqrt{3+16x^4}}{x^4}\,dx$

En los ejercicios 16 - 18, aproxime las integrales usando la regla del punto medio, la regla trapezoidal y la regla de Simpson usando cuatro subintervalos, redondeando a tres decimales.

16) [T]$\displaystyle ∫^2_1\sqrt{x^5+2}\,dx$

Contestar: $M_4=3.312,$
$T_4=3.354,$
$S_4=3.326$

17) [T]$\displaystyle ∫^{\sqrt{π}}_0e^{−\sin(x^2)}\,dx$

18) [T]$\displaystyle ∫^4_1\frac{\ln(1/x)}{x}\,dx$

Contestar: $M_4=−0.982,$
$T_4=−0.917,$
$S_4=−0.952$

En los ejercicios 19 - 20, evaluar las integrales, si es posible.

19) ¿$\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{x^n}\,dx,$para qué valores de$n$ esta integral converge o diverge?

20)$\displaystyle ∫^∞_1\frac{e^{−x}}{x}\,dx$

Contestar: aproximadamente 0.2194

En los ejercicios 21 - 22, considere la función gamma dada por$\displaystyle Γ(a)=∫^∞_0e^{−y}y^{a−1}\,dy.$

21) Demostrar que$\displaystyle Γ(a)=(a−1)Γ(a−1).$

22) Extender para mostrar que$\displaystyle Γ(a)=(a−1)!,$ asumir$a$ es un entero positivo.

El auto más rápido del mundo, el Bugati Veyron, puede alcanzar una velocidad máxima de 408 km/h La gráfica representa su velocidad.

$Esta cifra tiene una gráfica en el primer cuadrante. Aumenta hasta donde x es aproximadamente 03:00 mm:ss y luego cae empinada. La altura máxima de la gráfica, aquí se produce la caída es de aproximadamente 420 km/h.$

23) [T] Utilice la gráfica para estimar la velocidad cada 20 segundos y ajustar a una gráfica de la forma$v(t)=ae^{bx}\sin(cx)+d.$ (Pista: Considere las unidades de tiempo.)

24) [T] Usando su función del problema anterior, encuentre exactamente hasta dónde viajó el Bugati Veyron en los 1 min 40 seg incluidos en la gráfica.

Contestar: Las respuestas pueden variar. Ej.:$9.405$ km