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# 14.2E: Ejercicios para la Sección 14.2

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1) Utilizar las leyes de límite para funciones de dos variables para evaluar cada límite a continuación, dado que$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y) = 5$$ y$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}g(x,y) = 2$$.

1. $$\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}\left[f(x,y) + g(x,y)\right]$$
2. $$\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}\left[f(x,y) g(x,y)\right]$$
3. $$\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}\left[ \dfrac{7f(x,y)}{g(x,y)}\right]$$
4. $$\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}\left[\dfrac{2f(x,y) - 4g(x,y)}{f(x,y) - g(x,y)}\right]$$
Responder
1. $$\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}\left[f(x,y) + g(x,y)\right] = \displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y) + \displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}g(x,y)= 5 + 2 = 7$$
2. $$\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}\left[f(x,y) g(x,y)\right] =\left(\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)\right) \left(\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}g(x,y)\right) = 5(2) = 10$$
3. $$\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}\left[ \dfrac{7f(x,y)}{g(x,y)}\right] = \frac{7\left(\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)\right)}{\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}g(x,y)}=\frac{7(5)}{2} = 17.5$$
4. $$\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}\left[\dfrac{2f(x,y) - 4g(x,y)}{f(x,y) - g(x,y)}\right] = \frac{2\left(\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)\right) - 4 \left(\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}g(x,y)\right)}{\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y) - \displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}g(x,y)}= \frac{2(5) - 4(2)}{5 - 2} = \frac{2}{3}$$

En los ejercicios 2 - 4, encuentra el límite de la función.

2)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(1,2)}x$$

3)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(1,2)}\frac{5x^2y}{x^2+y^2}$$

Responder
$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(1,2)}\frac{5x^2y}{x^2+y^2} = 2$$

4) Mostrar que el límite$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{5x^2y}{x^2+y^2}$$ existe y es el mismo a lo largo de las trayectorias:$$y$$ -eje y$$x$$ -eje, y a lo largo$$y=x$$.

En los ejercicios 5 - 19, evaluar los límites a los valores indicados de$$x$$ y$$y$$. Si el límite no existe, indíquelo y explique por qué no existe el límite.

5)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{4x^2+10y^2+4}{4x^2−10y^2+6}$$

Responder
$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{4x^2+10y^2+4}{4x^2−10y^2+6} = \frac{2}{3}$$

6)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(11,13)}\sqrt{\frac{1}{xy}}$$

7)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,1)}\frac{y^2\sin x}{x}$$

Responder
$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,1)}\frac{y^2\sin x}{x} = 1$$

8)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\sin(\frac{x^8+y^7}{x−y+10})$$

9)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(π/4,1)}\frac{y\tan x}{y+1}$$

Responder
$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(π/4,1)}\frac{y\tan x}{y+1}=\frac{1}{2}$$

10)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,π/4)}\frac{\sec x+2}{3x−\tan y}$$

11)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(2,5)}(\frac{1}{x}−\frac{5}{y})$$

Responder
$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(2,5)}(\frac{1}{x}−\frac{5}{y}) = −\frac{1}{2}$$

12)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(4,4)}x\ln y$$

13)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(4,4)}e^{−x^2−y^2}$$

Responder
$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(4,4)}e^{−x^2−y^2} = e^{−32}$$

14)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\sqrt{9−x^2−y^2}$$

15)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(1,2)}(x^2y^3−x^3y^2+3x+2y)$$

Responder
$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(1,2)}(x^2y^3−x^3y^2+3x+2y) = 11$$

16)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(π,π)}x\sin(\frac{x+y}{4})$$

17)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{xy+1}{x^2+y^2+1}$$

Responder
$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{xy+1}{x^2+y^2+1} = 1$$

18)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}−1}$$

19)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\ln(x^2+y^2)$$

Responder
El límite no existe porque cuando$$x$$ y$$y$$ ambos se acercan a cero, la función se acerca$$\ln 0$$, que es indefinida (se acerca al infinito negativo).

En los ejercicios 20 - 21, complete el enunciado.

20) Un punto$$(x_0,y_0)$$ en una región plana$$R$$ es un punto interior de$$R$$ si _________________.

21) Un punto$$(x_0,y_0)$$ en una región plana$$R$$ se denomina punto límite de$$R$$ si ___________.

Responder
Cada disco abierto centrado en$$(x_0,y_0)$$ contiene puntos dentro$$R$$ y fuera$$R$$.

En los ejercicios 22 - 25, utilizar técnicas algebraicas para evaluar el límite.

22)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(2,1)}\frac{x−y−1}{\sqrt{x−y}−1}$$

23)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{x^4−4y^4}{x^2+2y^2}$$

Responder
$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{x^4−4y^4}{x^2+2y^2} = 0$$

24)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{x^3−y^3}{x−y}$$

25)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{x^2−xy}{\sqrt{x}−\sqrt{y}}$$

Responder
$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{x^2−xy}{\sqrt{x}−\sqrt{y}} = 0$$

En los ejercicios 26 - 27, evaluar los límites de las funciones de tres variables.

26)$$\displaystyle \lim_{(x,y,z)→(1,2,3)}\frac{xz^2−y^2z}{xyz−1}$$

27)$$\displaystyle \lim_{(x,y,z)→(0,0,0)}\frac{x^2−y^2−z^2}{x^2+y^2−z^2}$$

Responder
El límite no existe.

En los ejercicios 28 - 31, evaluar el límite de la función determinando el valor que la función se aproxima a lo largo de los caminos indicados. Si el límite no existe, explique por qué no.

28)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{xy+y^3}{x^2+y^2}$$

a. A lo largo del$$x$$ eje$$(y=0)$$

b. A lo largo del$$y$$ eje$$(x=0)$$

c. A lo largo del camino$$y=2x$$

29) Evaluar$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{xy+y^3}{x^2+y^2}$$ utilizando los resultados del problema anterior.

Responder
El límite no existe. La función se acerca a dos valores diferentes a lo largo de diferentes caminos.

30)$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}$$

a. A lo largo del$$x$$ eje$$(y=0)$$

b. A lo largo del$$y$$ eje$$(x=0)$$

c. A lo largo del camino$$y=x^2$$

31) Evaluar$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}$$ utilizando los resultados del problema anterior.

Responder
El límite no existe porque la función se acerca a dos valores diferentes a lo largo de los caminos.

En los ejercicios 32 - 35, discutir la continuidad de cada función. Encuentra la región más grande en el$$xy$$ plano -en el que cada función es continua.

32)$$f(x,y)=\sin(xy)$$

33)$$f(x,y)=\ln(x+y)$$

Responder
La función$$f$$ es continua en la región$$y>−x.$$

34)$$f(x,y)=e^{3xy}$$

35)$$f(x,y)=\dfrac{1}{xy}$$

Responder
La función$$f$$ es continua en todos los puntos del$$xy$$ plano, excepto en los puntos de los$$y$$ ejes$$x$$ - y -.

En los ejercicios 36 - 38, determinar la región en la que la función es continua. Explica tu respuesta.

36)$$f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}$$

37)$$f(x,y)=$$$$\begin{cases}\dfrac{x^2y}{x^2+y^2} & if(x,y)≠(0,0)\\0 & if(x,y)=(0,0)\end{cases}$$

Pista:
Mostrar que la función se acerca a diferentes valores a lo largo de dos caminos diferentes.
Responder
La función es continua en$$(0,0)$$ ya que el límite de la función at$$(0,0)$$ es$$0$$, el mismo valor de$$f(0,0).$$

38)$$f(x,y)=\dfrac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$$

39) Determinar si$$g(x,y)=\dfrac{x^2−y^2}{x^2+y^2}$$ es continuo en$$(0,0)$$.

Responder
La función es discontinua en$$(0,0).$$ El límite$$(0,0)$$ en no existe y$$g(0,0)$$ no existe.

40) Crear una gráfica utilizando software de gráficos para determinar dónde no existe el límite. Determinar la región del plano de coordenadas en la que$$f(x,y)=\dfrac{1}{x^2−y}$$ es continuo.

41) Determinar la región del$$xy$$ -plano en la que la función compuesta$$g(x,y)=\arctan(\frac{xy^2}{x+y})$$ es continua. Usa la tecnología para apoyar tu conclusión.

Responder
Dado que la función$$\arctan x$$ es continua sobre$$(−∞,∞), g(x,y)=\arctan(\frac{xy^2}{x+y})$$ es continua donde$$z=\dfrac{xy^2}{x+y}$$ es continua. La función interna$$z$$ es continua en todos los puntos del$$xy$$ plano -excepto donde$$y=−x.$$ Así,$$g(x,y)=\arctan(\frac{xy^2}{x+y})$$ es continua en todos los puntos del plano de coordenadas excepto en los puntos en los que$$y=−x.$$

42) Determinar la región del$$xy$$ -plano en el que$$f(x,y)=\ln(x^2+y^2−1)$$ es continuo. Usa la tecnología para apoyar tu conclusión. (Pista: ¡Elige el rango de valores para$$x$$ y$$y$$ con cuidado!)

43) ¿En qué puntos del espacio es$$g(x,y,z)=x^2+y^2−2z^2$$ continuo?

Responder
Todos los puntos$$P(x,y,z)$$ en el espacio

44) ¿En qué puntos del espacio es$$g(x,y,z)=\dfrac{1}{x^2+z^2−1}$$ continuo?

45) Mostrar que$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{1}{x^2+y^2}$$ no existe en$$(0,0)$$ trazando la gráfica de la función.

Responder

La gráfica aumenta sin límite como$$x$$ y$$y$$ ambos se acercan a cero.

46) [T] Evaluar$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{−xy^2}{x^2+y^4}$$ trazando la función usando un CAS. Determinar analíticamente el límite a lo largo de la trayectoria$$x=y^2.$$

47) [T]

a. Utilice un CAS para dibujar un mapa de contorno de$$z=\sqrt{9−x^2−y^2}$$.

b. ¿Cuál es el nombre de la forma geométrica de las curvas de nivel?

c. Dar la ecuación general de las curvas de nivel.

d. ¿Cuál es el valor máximo de$$z$$?

e. ¿Cuál es el dominio de la función?

f. ¿Cuál es el rango de la función?

Responder

a.

b. Las curvas de nivel son círculos centrados en$$(0,0)$$ con radio$$9−c$$.
c.$$x^2+y^2=9−c$$
d.$$z=3$$
e.$$\{(x,y)∈R^2∣x^2+y^2≤9\}$$
f.$$\{z|0≤z≤3\}$$

48) Verdadero o Falso: Si evaluamos$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}f(x)$$ a lo largo de varios caminos y cada vez que el límite es$$1$$, podemos concluir que$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}f(x)=1.$$

49) Usa coordenadas polares para encontrar También$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{\sin\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$ puedes encontrar el límite usando la regla de L'Hôpital.

Responder
$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{\sin\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}} = 1$$

50) Usa coordenadas polares para encontrar$$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\cos(x^2+y^2).$$

51) Discutir la continuidad de$$f(g(x,y))$$ dónde$$f(t)=1/t$$ y$$g(x,y)=2x−5y.$$

Responder
$$f(g(x,y))$$es continuo en todos los puntos$$(x,y)$$ que no están en la línea$$2x−5y=0.$$

52) Dado$$f(x,y)=x^2−4y,$$ hallazgo$$\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h,y)−f(x,y)}{h}.$$

53) Dado$$f(x,y)=x^2−4y,$$ hallazgo$$\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(1+h,y)−f(1,y)}{h}$$.

Responder
$$\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(1+h,y)−f(1,y)}{h} = 2$$