14.5: La regla de cadena para funciones multivariables
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
- Declarar las reglas de cadena para una o dos variables independientes.
- Utilice diagramas de árbol como ayuda para comprender la regla de la cadena para varias variables independientes e intermedias.
- Realizar diferenciación implícita de una función de dos o más variables.
En el cálculo de una sola variable, encontramos que una de las reglas de diferenciación más útiles es la regla de cadena, que nos permite encontrar la derivada de la composición de dos funciones. Lo mismo es cierto para el cálculo multivariable, pero esta vez tenemos que lidiar con más de una forma de la regla de la cadena. En esta sección, estudiamos extensiones de la regla de la cadena y aprendemos a tomar derivadas de composiciones de funciones de más de una variable.
Reglas de cadena para una o dos variables independientes
Recordemos que la regla de la cadena para la derivada de un compuesto de dos funciones puede escribirse en la forma
ddx(f(g(x)))=f′(g(x))g′(x).
En esta ecuación, ambosf(x) yg(x) son funciones de una variable. Ahora supongamos quef es una función de dos variables yg es una función de una variable. O tal vez ambas son funciones de dos variables, o incluso más. ¿Cómo calcularíamos la derivada en estos casos? El siguiente teorema nos da la respuesta para el caso de una variable independiente.
Supongamos quex=g(t) yy=h(t) son funciones diferenciables det yz=f(x,y) es una función diferenciable dex yy. Entoncesz=f(x(t),y(t)) es una función diferenciable det y
dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt,
donde se evalúan los derivados ordinariost y los derivados parciales se evalúan en(x,y).
La prueba de este teorema utiliza la definición de diferenciabilidad de una función de dos variables. Supongamos quef es diferenciable en el puntoP(x0,y0), dondex0=g(t0) yy0=h(t0) para un valor fijo det0. Deseamos demostrar quez=f(x(t),y(t)) es diferenciable ent=t0 y que la Ecuación\ ref {cadena1} se mantiene en ese punto también.
Ya quef es diferenciable enP, sabemos que
z(t)=f(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)+E(x,y),
donde
lim(x,y)→(x0,y0)E(x,y)√(x−x0)2+(y−y0)2=0.
Luego restamosz0=f(x0,y0) de ambos lados de esta ecuación:
z(t)−z(t0)=f(x(t),y(t))−f(x(t0),y(t0))=fx(x0,y0)(x(t)−x(t0))+fy(x0,y0)(y(t)−y(t0))+E(x(t),y(t)).
A continuación, dividimos ambos lados port−t0:
z(t)−z(t0)t−t0=fx(x0,y0)x(t)−x(t0)t−t0+fy(x0,y0)y(t)−y(t0)t−t0+E(x(t),y(t))t−t0.
Entonces tomamos el límite comot acercamientost0:
limt→t0z(t)−z(t0)t−t0=fx(x0,y0)limt→t0(x(t)−x(t0)t−t0)+fy(x0,y0)limt→t0(y(t)−y(t0)t−t0)+limt→t0E(x(t),y(t))t−t0.
El lado izquierdo de esta ecuación es igual adz/dt, lo que lleva a
dzdt=fx(x0,y0)dxdt+fy(x0,y0)dydt+limt→t0E(x(t),y(t))t−t0.
El último término puede ser reescrito como
limt→t0E(x(t),y(t))t−t0=limt→t0E(x,y)√(x−x0)2+(y−y0)2√(x−x0)2+(y−y0)2t−t0)=limt→t0(E(x,y)√(x−x0)2+(y−y0)2)limt→t0(√(x−x0)2+(y−y0)2t−t0).
A medida(x(t0),y(t0)), quet0,(x(t),y(t)) set aproxima se aproxima para que podamos reescribir el último producto como
lim(x,y)→(x0,y0)E(x,y)√(x−x0)2+(y−y0)2lim(x,y)→(x0,y0)(√(x−x0)2+(y−y0)2t−t0).
Dado que el primer límite es igual a cero, solo necesitamos mostrar que el segundo límite es finito:
lim(x,y)→(x0,y0)√(x−x0)2+(y−y0)2t−t+0=lim(x,y)→(x0,y0)√(x−x0)2+(y−y0)2(t−t0)2=lim(x,y)→(x0,y0)√(x−x0t−t0)2+(y−y0t−t0)2=√[lim(x,y)→(x0,y0)(x−x0t−t0)]2+[lim(x,y)→(x0,y0)(y−y0t−t0)]2.
Dado quex(t) yy(t) son ambas funciones diferenciables det, ambos límites dentro del último radical existen. Por lo tanto, este valor es finito. Esto prueba la regla de la cadena ent=t0; el resto del teorema se desprende de la suposición de que todas las funciones son diferenciables en todos sus dominios.
□
Un examen más detallado de la Ecuación\ ref {cadena1} revela un patrón interesante. El primer término en la ecuación es∂f∂x⋅dxdt y el segundo término es∂f∂y⋅dydt. Recordemos que al multiplicar fracciones, se puede utilizar la cancelación. Si tratamos estos derivados como fracciones, entonces cada producto “simplifica” a algo parecido∂f/dt. Las variablesx yy que desaparecen en esta simplificación suelen denominarse variables intermedias: son variables independientes para la funciónf, pero son variables dependientes para la variablet. Dos términos aparecen en el lado derecho de la fórmula, yf es una función de dos variables. Este patrón también funciona con funciones de más de dos variables, como vemos más adelante en esta sección.
Calculardz/dt para cada una de las siguientes funciones:
- z=f(x,y)=4x2+3y2,x=x(t)=sint,y=y(t)=cost
- z=f(x,y)=√x2−y2,x=x(t)=e2t,y=y(t)=e−t
Solución
a. Para usar la regla de la cadena, necesitamos cuatro cantidades∂z/∂x,∂z/∂y,dx/dt, ydy/dt:
- ∂z∂x=8x
- dxdt=cost
- ∂z∂y=6y
- dydt=−sint
Ahora, sustituimos cada uno de estos en la Ecuación\ ref {cadena1}:
\ [\ begin {align*}\ dfrac {dz} {dt} &=\ dfrac {\ z parcial} {\ parcial x}\ cdot\ dfrac {dx} {dt} +\ dfrac {\ z parcial} {\ parcial y}\ cdot\ dfrac {dy} {dt}\\ [4pt]
& =( 8x) (\ cos t) + (6y) (−\ sin t)\\ [4pt]
&=8x\ cos t−6y\ sin t.\ end {align*}\]
Esta respuesta tiene tres variables en ella. Para reducirlo a una variable, utilice el hecho de quex(t)=sint yy(t)=cost. Obtenemos
\ [\ begin {align*}\ dfrac {dz} {dt} &=8x\ cos t−6y\ sin t\\ [4pt]
&=8 (\ sin t)\ cos t−6 (\ cos t)\ sin t\\ [4pt]
&=2\ sin t\ cos t.\ end {align*}\]
Esta derivada también se puede calcular sustituyendo primerox(t) yf(x,y), luegoy(t) diferenciando con respecto at:
\ [\ begin {align*} z =f (x, y) &=f\ grande (x (t), y (t)\ grande)\\ [4pt]
&=4 (x (t)) ^2+3 (y (t)) ^2\\ [4pt]
&=4\ sen ^2 t+3\ cos^2 t.\ end {align*}\]
Entonces
\ [\ begin {align*}\ dfrac {dz} {dt} &=2 (4\ sin t) (\ cos t) +2 (3\ cos t) (−\ sin t)\\ [4pt]
&=8\ sin t\ cos t−6\ sin t\ cos t\ [4pt]
&=2\ sin t\ cos t,\ end {align*}\]
que es la misma solución. Sin embargo, puede que no siempre sea así de fácil diferenciar en esta forma.
b. Para usar la regla de la cadena, nuevamente necesitamos cuatro cantidades,∂z/∂x,∂z/dy,dx/dt, ydy/dt:
- ∂z∂x=x√x2−y2
- dxdt=2e2t
- ∂z∂y=−y√x2−y2
- dxdt=−e−t.
Sustituimos cada uno de estos en la Ecuación\ ref {cadena1}:
\ [\ begin {align*}\ dfrac {dz} {dt} &=\ dfrac {\ parcial z} {\ parcial x}\ cdot\ dfrac {dx} {dt} +\ dfrac {\ parcial z} {\ parcial y}\ cdot\ dfrac {dy} {dt}\\ [4pt] &=\ izquierda (\ dfrac {x} {\ sqrt {x^2−y^2}}\ derecha) (2e^ {2t}) +\ izquierda (\ dfrac {−y} {\ sqrt {x^2−y^2}}\ derecha) (−e^ {−t})\\ [4pt]
&=\ dfrac {2xe^ {2t} −ye^ {−t}} { sqrt {x^2−y^2}}. \ end {align*}\ nonumber\]
Para reducir esto a una variable, utilizamos el hecho de quex(t)=e2t yy(t)=e−t. Por lo tanto,
\ [\ begin {align*}\ dfrac {dz} {dt} &=\ dfrac {2xe^2t+ye^ {−t}} {\ sqrt {x^2−y^2}}\\ [4pt]
&=\ dfrac {2 (e^ {2t}) e^ {2t} + (e^ {−t}) e^ −^ {t}} {\ sqrt {e^ {4t} −e^ {−2t}}}\\ [4pt]
&=\ dfrac {2e^ {4t} +e^ {−2t}} {\ sqrt {e^ {4t} −e^ {−2t}}}. \ end {align*}\ nonumber\]
Para eliminar exponentes negativos, multiplicamos la parte superior pore2t y la inferior por√e4t:
\ [\ begin {align*}\ dfrac {dz} {dt} &=\ dfrac {2e^ {4t} +e^ {−2t}} {\ sqrt {e^ {4t} −e^ {−2t}}} ⋅\ dfrac {e^ {2t}} {\ sqrt {e^ {4t}}\\ [4pt]
&=\ dfrac {2e^ {6t} +1} {\ sqrt {e^ {8t} −e^ {2t}}}\\ [4pt]
&=\ dfrac {2e^ {6t} +1} {\ sqrt {e^ {2t} (e^ {6t} −1)}}\\ [4pt]
&=\ dfrac {2e^ {6t} +1} {e^t\ sqrt {e^ {6t} −1}}. \ end {alinear*}\]
Nuevamente, esta derivada también se puede calcular sustituyendo primerox(t) yf(x,y), luegoy(t) diferenciando con respecto at:
z=f(x,y)=f(x(t),y(t))=√(x(t))2−(y(t))2=√e4t−e−2t=(e4t−e−2t)1/2.
Entonces
dzdt=12(e4t−e−2t)−1/2(4e4t+2e−2t)=2e4t+e−2t√e4t−e−2t.
Esta es la misma solución.
Calculardz/dt dadas las siguientes funciones. Expresar la respuesta final en términos det.
z=f(x,y)=x2−3xy+2y2,x=x(t)=3sin2t,y=y(t)=4cos2t
- Pista
-
Calcula∂z/∂x,∂z/dy,dx/dt, ydy/dt, luego usa Ecuación\ ref {cadena1}.
- Contestar
-
\ (\ begin {align*}\ dfrac {dz} {dt} &=\ dfrac {f} {x}\ dfrac {dx} {dt} +\ dfrac {f} {y}\ dfrac {dy} {dt}\\ [5pt]
& =( 2x−3y) (6\ cos 2t) + (−3x+4y) (−8\ sin 2t)\\ [5pt]
&=−92\ sin 2t\ cos 2t−72 (\ cos ^22t−\ sin^2 2t)\\ [5pt]
&=−46\ sin 4t−72\ cos 4t. \ end {alinear*}\)
A menudo es útil crear una representación visual de la Ecuación\ ref {cadena1} para la regla de la cadena. Esto se llama diagrama de árbol para la regla de cadena para funciones de una variable y proporciona una manera de recordar la fórmula (Figura14.5.1). Este diagrama se puede ampliar para funciones de más de una variable, como veremos muy pronto.

En este diagrama, la esquina más a la izquierda corresponde az=f(x,y). Ya quef tiene dos variables independientes, hay dos líneas que vienen de esta esquina. La rama superior corresponde a la variablex y la rama inferior corresponde a la variabley. Dado que cada una de estas variables es entonces dependiente de una variablet, entonces viene una ramax y una rama viene dey. Por último, cada una de las ramas del extremo derecho tiene una etiqueta que representa el camino recorrido para llegar a ese ramal. A la rama superior se alcanza siguiendo lax rama, luego la rama t; por lo tanto, se etiqueta(∂z/∂x)×(dx/dt). La rama inferior es similar: primero lay rama, luego lat rama. Esta rama está etiquetada(∂z/∂y)×(dy/dt). Para obtener la fórmula paradz/dt, agregar todos los términos que aparecen en el lado más derecho del diagrama. Esto nos da Ecuación.
En Nota,z=f(x,y) es una función dex yy, y ambosx=g(u,v) yy=h(u,v) son funciones de las variables independientesu yv.
Supongamosx=g(u,v) yy=h(u,v) son funciones diferenciables deu yv, yz=f(x,y) es una función diferenciable dex yy. Entonces,z=f(g(u,v),h(u,v)) es una función diferenciable deu yv, y
∂z∂u=∂z∂x∂x∂u+∂z∂y∂y∂u
y
∂z∂v=∂z∂x∂x∂v+∂z∂y∂y∂v.
Podemos dibujar un diagrama de árbol para cada una de estas fórmulas así como sigue.

Para derivar la fórmula para∂z/∂u, comienza desde el lado izquierdo del diagrama, luego sigue solo las ramas con las que terminanu y agrega los términos que aparecen al final de esas ramas. Para la fórmula para∂z/∂v, sigue solo las ramas que terminan conv y agrega los términos que aparecen al final de esas ramas.
Hay una diferencia importante entre estos dos teoremas de regla de cadena. En Note, el lado izquierdo de la fórmula para la derivada no es una derivada parcial, sino que en Note lo es. La razón es que, en Note,z es en última instancia una función det solo, mientras que en Note,z es una función de ambosu yv.
Calcular∂z/∂u y∂z/∂v usar las siguientes funciones:
z=f(x,y)=3x2−2xy+y2,x=x(u,v)=3u+2v,y=y(u,v)=4u−v.
Solución
Para implementar la regla de la cadena para dos variables, necesitamos seis derivadas parciales,∂z/∂x,∂z/∂y,∂x/∂u,∂x/∂v,∂y/∂u, y∂y/∂v:
∂z∂x=6x−2y∂z∂y=−2x+2y∂x∂u=3∂x∂v=2∂y∂u=4∂y∂v=−1.
Para encontrar∂z/∂u, usamos la ecuación\ ref {chain2a}:
\ [\ begin {align*}\ dfrac {z} {u} &=\ dfrac {z} {x} ⋅\ dfrac {x} {u} +\ dfrac {z} {y} ⋅\ dfrac {y} {u}\\ [4pt]
&=3 (6x−2y) +4 (−2x+2y)\\ [4pt]
&=10x+2y. \ end {alinear*}\]
A continuación, sustituimosx(u,v)=3u+2v yy(u,v)=4u−v:
∂z∂u=10x+2y=10(3u+2v)+2(4u−v)=38u+18v.
Para encontrar∂z/∂v, usamos la ecuación\ ref {chain2b}:
∂z∂v=∂z∂x∂x∂v+∂z∂y∂y∂v=2(6x−2y)+(−1)(−2x+2y)=14x−6y.
Luego sustituimosx(u,v)=3u+2v yy(u,v)=4u−v:
∂z∂v=14x−6y=14(3u+2v)−6(4u−v)=18u+34v
Calcular∂z/∂u y∂z/∂v dadas las siguientes funciones:
z=f(x,y)=2x−yx+3y,x(u,v)=e2ucos3v,y(u,v)=e2usin3v.
- Pista
-
Calcula∂z/∂x,∂z/∂y,∂x/∂u,∂x/∂v,∂y/∂u, y∂y/∂v, luego usa la Ecuación\ ref {cadena2a} y la Ecuación\ ref {cadena2b}.
- Contestar
-
∂z∂u=0,∂z∂v=−21(3sin3v+cos3v)2
La regla de la cadena generalizada
Ahora que hemos visto cómo extender la regla de cadena original a funciones de dos variables, es natural preguntarse: ¿Podemos extender la regla a más de dos variables? La respuesta es sí, como afirma la regla de la cadena generalizada.
Dejarw=f(x1,x2,…,xm) ser una función diferenciable de variablesm independientes, y para cada unai∈1,…,m, dejarxi=xi(t1,t2,…,tn) ser una función diferenciable de variablesn independientes. Entonces
∂w∂tj=∂w∂x1∂x1∂tj+∂w∂x2∂x2∂tj+⋯+∂w∂xm∂xm∂tj
para cualquierj∈1,2,…,n.
En el siguiente ejemplo calculamos la derivada de una función de tres variables independientes en las que cada una de las tres variables depende de otras dos variables.
Calcular∂w/∂u y∂w/∂v usar las siguientes funciones:
w=f(x,y,z)=3x2−2xy+4z2x=x(u,v)=eusinvy=y(u,v)=eucosvz=z(u,v)=eu.
Solución
Las fórmulas para∂w/∂u y∂w/∂v son
∂w∂u=∂w∂x⋅∂x∂u+∂w∂y⋅∂y∂u+∂w∂z⋅∂z∂u∂w∂v=∂w∂x⋅∂x∂v+∂w∂y⋅∂y∂v+∂w∂z⋅∂z∂v.
Por lo tanto, hay nueve derivadas parciales diferentes que necesitan ser calculadas y sustituidas. Necesitamos calcular cada uno de ellos:
∂w∂x=6x−2y∂w∂y=−2x∂w∂z=8z∂x∂u=eusinv∂y∂u=eucosv∂z∂u=eu∂x∂v=eucosv∂y∂v=−eusinv∂z∂v=0.
Ahora, sustituimos cada uno de ellos en la primera fórmula para calcular∂w/∂u:
\ [\ begin {align*}\ dfrac {w} {u} &=\ dfrac {w} {x} ⋅\ dfrac {x} {u} +\ dfrac {w} {y} ⋅\ dfrac {y} {u} +\ dfrac {w} {z} ⋅\ dfrac {z} ⋅\ dfrac {z} ⋅ dfrac {z}} {u}\\ [4pt]
& =( 6x−2y) e^u\ sin v−2xe^u\ cos v+8ze^u,\ end {align*}\]
luego sustituyax(u,v)=eusinv,y(u,v)=eucosv, yz(u,v)=eu en esta ecuación:
∂w∂u=(6x−2y)eusinv−2xeucosv+8zeu=(6eusinv−2eucosv)eusinv−2(eusinv)eucosv+8e2u=6e2usin2v−4e2usinvcosv+8e2u=2e2u(3sin2v−2sinvcosv+4).
A continuación, calculamos∂w/∂v:
∂w∂v=∂w∂x⋅∂x∂v+∂w∂y⋅∂y∂v+∂w∂z⋅∂z∂v=(6x−2y)eucosv−2x(−eusinv)+8z(0),
entonces sustituimosx(u,v)=eusinv,y(u,v)=eucosv, yz(u,v)=eu en esta ecuación:
∂w∂v=(6x−2y)eucosv−2x(−eusinv)=(6eusinv−2eucosv)eucosv+2(eusinv)(eusinv)=2e2usin2v+6e2usinvcosv−2e2ucos2v=2e2u(sin2v+sinvcosv−cos2v).
Calcular∂w/∂u y∂w/∂v dadas las siguientes funciones:
w=f(x,y,z)=x+2y−4z2x−y+3zx=x(u,v)=e2ucos3vy=y(u,v)=e2usin3vz=z(u,v)=e2u.
- Pista
-
Calcula nueve derivadas parciales, luego usa las mismas fórmulas de Ejemplo14.5.3.
- Contestar
-
∂w∂u=0
∂w∂v=15−33sin3v+6cos3v(3+2cos3v−sin3v)2
Crear un diagrama de árbol para el caso cuando
w=f(x,y,z),x=x(t,u,v),y=y(t,u,v),z=z(t,u,v)
y escribir las fórmulas para las tres derivadas parciales dew.
Solución
A partir de la izquierda, la funciónf tiene tres variables independientes:x,y, yz. Por lo tanto, tres ramas deben estar emanando del primer nodo. Cada una de estas tres ramas también tiene tres ramas, para cada una de las variablest,u, yv.

Las tres fórmulas son
∂w∂t=∂w∂x∂x∂t+∂w∂y∂y∂t+∂w∂z∂z∂t∂w∂u=∂w∂x∂x∂u+∂w∂y∂y∂u+∂w∂z∂z∂u∂w∂v=∂w∂x∂x∂v+∂w∂y∂y∂v+∂w∂z∂z∂v.
Crear un diagrama de árbol para el caso cuando
w=f(x,y),x=x(t,u,v),y=y(t,u,v)
y escribir las fórmulas para las tres derivadas parciales dew.
- Pista
-
Determinar el número de ramas que emanan de cada nodo en el árbol.
- Contestar
-
∂w∂t=∂w∂x∂x∂t+∂w∂y∂y∂t∂w∂u=∂w∂x∂x∂u+∂w∂y∂y∂u∂w∂v=∂w∂x∂x∂v+∂w∂y∂y∂v
Diferenciación implícita
Recordar de la diferenciación implícita proporciona un método para encontrardy/dx cuándoy se define implícitamente como una función dex. El método implica diferenciar ambos lados de la ecuación definiendo la función con respecto ax, luego resolver para Derivadasdy/dx. parciales proporcionan una alternativa a este método.
Considera la elipse definida por la ecuación de lax2+3y2+4y−4=0 siguiente manera.

Esta ecuación define implícitamentey como una función dex. Como tal, podemos encontrar la derivadady/dx utilizando el método de diferenciación implícita:
ddx(x2+3y2+4y−4)=ddx(0)2x+6ydydx+4dydx=0(6y+4)dydx=−2xdydx=−x3y+2
También podemos definir una funciónz=f(x,y) usando el lado izquierdo de la ecuación que define la elipse. Entoncesf(x,y)=x2+3y2+4y−4. La elipsex2+3y2+4y−4=0 puede entonces ser descrita por la ecuaciónf(x,y)=0. El uso de esta función y el siguiente teorema nos da un enfoque alternativo para calculardy/dx.
Supongamos que la funciónz=f(x,y) definey implícitamente como una funcióny=g(x) dex vía la ecuaciónf(x,y)=0. Entonces
dydx=−∂f/∂x∂f/∂y
siemprefy(x,y)≠0.
Si la ecuaciónf(x,y,z)=0 definez implícitamente como una función diferenciable dex yy, entonces
dzdx=−∂f/∂x∂f/∂zanddzdy=−∂f/∂y∂f/∂z
siempre y cuandofz(x,y,z)≠0.
La ecuación\ ref {implicitdiff1} es una consecuencia directa de la ecuación\ ref {chain2a}. En particular, si asumimos quey se define implícitamente como una función dex vía la ecuaciónf(x,y)=0, podemos aplicar la regla de la cadena para encontrardy/dx:
ddxf(x,y)=ddx(0)∂f∂x⋅dxdx+∂f∂y⋅dydx=0∂f∂x+∂f∂y⋅dydx=0.
Resolviendo esta ecuación parady/dx da Ecuación\ ref {implicitdiff1}. La ecuación\ ref {implicitdiff1} se puede derivar de manera similar.
Volvamos ahora al problema que iniciamos antes del teorema anterior. Usando Note y la funciónf(x,y)=x2+3y2+4y−4, que obtenemos
∂f∂x=2x∂f∂y=6y+4.
Entonces la ecuación\ ref {implicitdiff1} da
dydx=−∂f/∂x∂f/∂y=−2x6y+4=−x3y+2,
que es el mismo resultado obtenido por el uso anterior de la diferenciación implícita.
- Calculardy/dx siy se define implícitamente como una función dex vía la ecuación3x2−2xy+y2+4x−6y−11=0. ¿Cuál es la ecuación de la línea tangente a la gráfica de esta curva en el punto(2,1)?
- Calcular∂z/∂x y∂z/∂y, dadox2ey−yzex=0.
Solución
a. Establecerf(x,y)=3x2−2xy+y2+4x−6y−11=0, luego calcularfx yfy:fx(x,y)=6x−2y+4 yfy(x,y)=−2x+2y−6.
La derivada viene dada por
dydx=−∂f/∂x∂f/∂y=6x−2y+4−2x+2y−6=3x−y+2x−y+3.
La pendiente de la línea tangente en el punto(2,1) viene dada por
dydx|(x,y)=(2,1)=3(2)−1+22−1+3=74
Para encontrar la ecuación de la línea tangente, utilizamos la forma punto-pendiente (Figura14.5.5):
y−y0=m(x−x0)y−1=74(x−2)y=74x−72+1y=74x−52.

b. Tenemosf(x,y,z)=x2ey−yzex. Por lo tanto,
∂f∂x=2xey−yzex∂f∂y=x2ey−zex∂f∂z=−yex
Usando la ecuación\ ref {implicitdiff2},
∂z∂x=−∂f/∂x∂f/∂yand∂z∂y=−∂f/∂y∂f/∂z=−2xey−yzex−yex=−x2ey−zex−yex=2xey−yzexyex=x2ey−zexyex
Encontrardy/dx siy se define implícitamente como una función dex por la ecuaciónx2+xy−y2+7x−3y−26=0. ¿Cuál es la ecuación de la línea tangente a la gráfica de esta curva en el punto(3,−2)?
- Pista
-
Calcular∂f/dx y∂f/dy, a continuación, utilizar la ecuación\ ref {implicitdiff1}.
- Solución
-
dydx=2x+y+72y−x+3|(3,−2)=2(3)+(−2)+72(−2)−(3)+3=−114
Ecuación de la línea tangente:y=−114x+254
Conceptos clave
- La regla de cadena para funciones de más de una variable involucra las derivadas parciales con respecto a todas las variables independientes.
- Los diagramas de árbol son útiles para derivar fórmulas para la regla de cadena para funciones de más de una variable, donde cada variable independiente también depende de otras variables.
Ecuaciones Clave
- Regla de cadena, una variable independiente
dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt
- Regla de cadena, dos variables independientes
dzdu=∂z∂x⋅∂x∂u+∂z∂y⋅∂y∂udzdv=∂z∂x⋅∂x∂v+∂z∂y⋅∂y∂v
- Regla de cadena generalizada
∂w∂tj=∂w∂x1∂x1∂tj+∂w∂x2∂x1∂tj+⋯+∂w∂xm∂xm∂tj
Glosario
- regla de cadena generalizada
- la regla de cadena extendida a funciones de más de una variable independiente, en la que cada variable independiente puede depender de una o más de otras variables
- variable intermedia
- dada una composición de funciones (por ejemplof(x(t),y(t))), las variables intermedias son las variables que son independientes en la función externa pero también dependientes de otras variables; en la funciónf(x(t),y(t)), las variablesx yy son ejemplos de variables intermedias
- diagrama de árbol
- ilustra y deriva fórmulas para la regla de cadena generalizada, en la que se contabiliza cada variable independiente