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# 15.1E: Ejercicios para la Sección 15.1

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 y 2, utilice la regla del punto medio con$$m = 4$$ y$$n = 2$$ para estimar el volumen del sólido delimitado por la superficie$$z = f(x,y)$$, los planos verticales$$x = 1$$$$x = 2$$,$$y = 1$$, y$$y = 2$$, y el plano horizontal$$x = 0$$.

1)$$f(x,y) = 4x + 2y + 8xy$$

Responder
$$27$$

2)$$f(x,y) = 16x^2 + \frac{y}{2}$$

En los ejercicios 3 y 4, estime el volumen del sólido bajo la superficie$$z = f(x,y)$$ y por encima de la región rectangular R utilizando una suma de Riemann con$$m = n = 2$$ y los puntos de muestra para que sean las esquinas inferiores izquierdas de los subrectángulos de la partición.

3)$$f(x,y) = \sin x - \cos y$$,$$R = [0, \pi] \times [0, \pi]$$

Responder
$$0$$

4)$$f(x,y) = \cos x + \cos y$$,$$R = [0, \pi] \times [0, \frac{\pi}{2}]$$

5) Utilice la regla de punto medio con$$m = n = 2$$ para estimar$$\iint_R f(x,y) \,dA$$, donde los valores de la función f on$$R = [8,10] \times [9,11]$$ se dan en la siguiente tabla.

$$y$$
$$x$$ \ (y\) ">9 9.5 10 10.5 11
8 \ (y\) ">9.8 5 6.7 5 5.6
8.5 \ (y\) ">9.4 4.5 8 5.4 3.4
9 \ (y\) ">8.7 4.6 6 5.5 3.4
9.5 \ (y\) ">6.7 6 4.5 5.4 6.7
10 \ (y\) ">6.8 6.4 5.5 5.7 6.8
Responder
$$21.3$$

6) Los valores de la función$$f$$ en el rectángulo$$R = [0,2] \times [7,9]$$ se dan en la siguiente tabla. Estimar la doble integral$$\iint_R f(x,y)\,dA$$ usando una suma de Riemann con$$m = n = 2$$. Seleccione los puntos de muestra para que sean las esquinas superiores derechas de los subcuadrados de R.

$$y_0 = 7$$ $$y_1 = 8$$ $$y_2 = 9$$
$$x_0 = 0$$ \ (y_0 = 7\) ">10.22 \ (y_1 = 8\) ">10.21 \ (y_2 = 9\) ">9.85
$$x_1 = 1$$ \ (y_0 = 7\) ">6.73 \ (y_1 = 8\) ">9.75 \ (y_2 = 9\) ">9.63
$$x_2 = 2$$ \ (y_0 = 7\) ">5.62 \ (y_1 = 8\) ">7.83 \ (y_2 = 9\) ">8.21

7) La profundidad de una piscina infantil de 4 pies por 4 pies, medida a intervalos de 1 pie, se da en la siguiente tabla.

1. Estimar el volumen de agua en la piscina utilizando una suma de Riemann con$$m = n = 2$$. Seleccione los puntos de muestreo usando la regla de punto medio en$$R = [0,4] \times [0,4]$$.
2. Encuentra la profundidad promedio de la piscina.
$$y$$
$$x$$ \ (y\) ">0 1 2 3 4
0 \ (y\) ">1 1.5 2 2.5 3
1 \ (y\) ">1 1.5 2 2.5 3
2 \ (y\) ">1 1.5 1.5 2.5 3
3 \ (y\) ">1 1 1.5 2 2.5
4 \ (y\) ">1 1 1 1.5 2
Responder
a. 28$$\text{ft}^3$$
b. 1.75 ft.

8) La profundidad de un agujero de 3 pies por 3 pies en el suelo, medida a intervalos de 1 pie, se da en la siguiente tabla.

1. Estimar el volumen del agujero utilizando una suma de Riemann con$$m = n = 3$$ y los puntos de muestra para ser las esquinas superiores izquierdas de los subcuadrados de $$R$$.
2. Encuentra la profundidad promedio del agujero.
$$y$$
$$x$$ \ (y\) ">0 1 2 3
0 \ (y\) ">6 6.5 6.4 6
1 \ (y\) ">6.5 7 7.5 6.5
2 \ (y\) ">6.5 6.7 6.5 6
3 \ (y\) ">6 6.5 5 5.6

9) Las curvas$$f(x,y) = k$$ de nivel de la función$$f$$ se dan en la siguiente gráfica, donde$$k$$ es una constante.

1. Aplicar la regla de punto medio con$$m = n = 2$$ para estimar la doble integral$$\iint_R f(x,y)\,dA$$, donde$$R = [0.2,1] \times [0,0.8]$$.
2. Estimar el valor promedio de la función$$f$$ en$$R$$.

Responder
a. 0.112
b.$$f_{ave} ≃ 0.175$$; aquí$$f(0.4,0.2) ≃ 0.1$$,$$f(0.2,0.6) ≃− 0.2$$,$$f(0.8,0.2) ≃ 0.6$$, y$$f(0.8,0.6) ≃ 0.2$$

10) Las curvas$$f(x,y) = k$$ de nivel de la función$$f$$ se dan en la siguiente gráfica, donde$$k$$ es una constante.

1. Aplicar la regla de punto medio con$$m = n = 2$$ para estimar la doble integral$$\iint_R f(x,y)\,dA$$, donde$$R = [0.1,0.5] \times [0.1,0.5]$$.
2. Estimar el valor promedio de la función f on$$R$$.

11) El sólido que se encuentra debajo de la superficie$$z = \sqrt{4 - y^2}$$ y por encima de la región rectangular$$R = [0,2] \times [0,2]$$ se ilustra en la siguiente gráfica. Evaluar la doble integral$$\iint_Rf(x,y)$$, donde$$f(x,y) = \sqrt{4 - y^2}$$ encontrando el volumen del sólido correspondiente.

Responder
$$2\pi$$

12) El sólido que se encuentra debajo del plano$$z = y + 4$$ y por encima de la región rectangular$$R = [0,2] \times [0,4]$$ se ilustra en la siguiente gráfica. Evaluar la doble integral$$\iint_R f(x,y)\,dA$$$$f(x,y) = y + 4$$, donde, encontrando el volumen del sólido correspondiente.

En los ejercicios 13 - 20, calcular las integrales invirtiendo el orden de integración.

13)$$\displaystyle \int_{-1}^1\left(\int_{-2}^2 (2x + 3y + 5)\,dx \right) \space dy$$

Responder
$$40$$

14)$$\displaystyle \int_0^2\left(\int_0^1 (x + 2e^y + 3)\,dx \right) \space dy$$

15)$$\displaystyle \int_1^{27}\left(\int_1^2 (\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})\,dy \right) \space dx$$

Responder
$$\frac{81}{2} + 39\sqrt[3]{2}$$

16)$$\displaystyle \int_1^{16}\left(\int_1^8 (\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[3]{y})\,dy \right) \space dx$$

17)$$\displaystyle \int_{\ln 2}^{\ln 3}\left(\int_0^1 e^{x+y}\,dy \right) \space dx$$

Responder
$$e - 1$$

18)$$\displaystyle \int_0^2\left(\int_0^1 3^{x+y}\,dy \right) \space dx$$

19)$$\displaystyle \int_1^6\left(\int_2^9 \frac{\sqrt{y}}{x^2}\,dy \right) \space dx$$

Responder
$$15 - \frac{10\sqrt{2}}{9}$$

20)$$\displaystyle \int_1^9 \left(\int_4^2 \frac{\sqrt{x}}{y^2}\,dy \right)\,dx$$

En los ejercicios 21 - 34, evalúe las integrales iteradas eligiendo el orden de integración.

21)$$\displaystyle \int_0^{\pi} \int_0^{\pi/2} \sin(2x)\cos(3y)\,dx \space dy$$

Responder
$$0$$

22)$$\displaystyle \int_{\pi/12}^{\pi/8}\int_{\pi/4}^{\pi/3} [\cot x + \tan(2y)]\,dx \space dy$$

23)$$\displaystyle \int_1^e \int_1^e \left[\frac{1}{x}\sin(\ln x) + \frac{1}{y}\cos (\ln y)\right] \,dx \space dy$$

Responder
$$(e − 1)(1 + \sin 1 − \cos 1)$$

24)$$\displaystyle \int_1^e \int_1^e \frac{\sin(\ln x)\cos (\ln y)}{xy} \,dx \space dy$$

25)$$\displaystyle \int_1^2 \int_1^2 \left(\frac{\ln y}{x} + \frac{x}{2y + 1}\right)\,dy \space dx$$

Responder
$$\frac{3}{4}\ln \left(\frac{5}{3}\right) + 2 (\ln 2)^2 - \ln 2$$

26)$$\displaystyle \int_1^e \int_1^2 x^2 \ln(x)\,dy \space dx$$

27)$$\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}} \int_1^2 y \space \arctan \left(\frac{1}{x}\right) \,dy \space dx$$

Contestar
$$\frac{1}{8}[(2\sqrt{3} - 3) \pi + 6 \space \ln 2]$$

28)$$\displaystyle \int_0^1 \int_0^{1/2} (\arcsin x + \arcsin y)\,dy \space dx$$

29)$$\displaystyle \int_0^1 \int_1^2 xe^{x+4y}\,dy \space dx$$

Contestar
$$\frac{1}{4}e^4 (e^4 - 1)$$

30)$$\displaystyle \int_1^2 \int_0^1 xe^{x-y}\,dy \space dx$$

31)$$\displaystyle \int_1^e \int_1^e \left(\frac{\ln y}{\sqrt{y}} + \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\right)\,dy \space dx$$

Contestar
$$4(e - 1)(2 - \sqrt{e})$$

32)$$\displaystyle \int_1^e \int_1^e \left(\frac{x \space \ln y}{\sqrt{y}} + \frac{y \space \ln x}{\sqrt{x}}\right)\,dy \space dx$$

33)$$\displaystyle \int_0^1 \int_1^2 \left(\frac{x}{x^2 + y^2} \right)\,dy \space dx$$

Contestar
$$-\frac{\pi}{4} + \ln \left(\frac{5}{4}\right) - \frac{1}{2} \ln 2 + \arctan 2$$

34)$$\displaystyle \int_0^1 \int_1^2 \frac{y}{x + y^2}\,dy \space dx$$

En los ejercicios 35 - 38, encuentra el valor promedio de la función sobre los rectángulos dados.

35)$$f(x,y) = −x +2y$$,$$R = [0,1] \times [0,1]$$

Contestar
$$\frac{1}{2}$$

36)$$f(x,y) = x^4 + 2y^3$$,$$R = [1,2] \times [2,3]$$

37)$$f(x,y) = \sinh x + \sinh y$$,$$R = [0,1] \times [0,2]$$

Contestar
$$\frac{1}{2}(2 \space \cosh 1 + \cosh 2 - 3)$$.

38)$$f(x,y) = \arctan(xy)$$,$$R = [0,1] \times [0,1]$$

39) Dejar$$f$$ y$$g$$ ser dos funciones continuas tales que$$0 \leq m_1 \leq f(x) \leq M_1$$ para cualquiera$$x ∈ [a,b]$$ y$$0 \leq m_2 \leq g(y) \leq M_2$$ para cualquiera$$y ∈ [c,d]$$. Demostrar que la siguiente desigualdad es cierta:

$m_1m_2(b-a)(c-d) \leq \int_a^b \int_c^d f(x) g(y)\,dy dx \leq M_1M_2 (b-a)(c-d). \nonumber$

En los ejercicios 40 - 43, utilizar propiedad v. de dobles integrales y la respuesta del ejercicio anterior para demostrar que las siguientes desigualdades son ciertas.

40)$$\frac{1}{e^2} \leq \iint_R e^{-x^2 - y^2} \space dA \leq 1$$, donde$$R = [0,1] \times [0,1]$$

41)$$\frac{\pi^2}{144} \leq \iint_R \sin x \cos y \space dA \leq \frac{\pi^2}{48}$$, donde$$R = \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right] \times \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$$

42)$$0 \leq \iint_R e^{-y}\space \cos x \space dA \leq \frac{\pi}{2}$$, donde$$R = \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$

43)$$0 \leq \iint_R (\ln x)(\ln y) \,dA \leq (e - 1)^2$$, donde$$R = [1, e] \times [1, e]$$

44) Dejar$$f$$ y$$g$$ ser dos funciones continuas tales que$$0 \leq m_1 \leq f(x) \leq M_1$$ para cualquiera$$x ∈ [a,b]$$ y$$0 \leq m_2 \leq g(y) \leq M_2$$ para cualquiera$$y ∈ [c,d]$$. Demostrar que la siguiente desigualdad es cierta:

$(m_1 + m_2) (b - a)(c - d) \leq \int_a^b \int_c^d |f(x) + g(y)| \space dy \space dx \leq (M_1 + M_2)(b - a)(c - d) \nonumber$

En los ejercicios 45 - 48, utilizar propiedad v. de dobles integrales y la respuesta del ejercicio anterior para demostrar que las siguientes desigualdades son ciertas.

45)$$\frac{2}{e} \leq \iint_R (e^{-x^2} + e^{-y^2}) \,dA \leq 2$$, donde$$R = [0,1] \times [0,1]$$

46)$$\frac{\pi^2}{36}\iint_R (\sin x + \cos y)\,dA \leq \frac{\pi^2 \sqrt{3}}{36}$$, donde$$R = [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] \times [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$$

47)$$\frac{\pi}{2}e^{-\pi/2} \leq \iint_R (\cos x + e^{-y})\,dA \leq \pi$$, donde$$R = [0, \frac{\pi}{2}] \times [0, \frac{\pi}{2}]$$

48)$$\frac{1}{e} \leq \iint_R (e^{-y} - \ln x) \,dA \leq 2$$, donde$$R = [0, 1] \times [0, 1]$$

En los ejercicios 49 - 50, la función$$f$$ se da en términos de dobles integrales.

1. Determinar la forma explícita de la función$$f$$.
2. Encuentra el volumen del sólido debajo de la superficie$$z = f(x,y)$$ y por encima de la región$$R$$.
3. Encuentra el valor promedio de la función$$f$$ en$$R$$.
4. Utilizar un sistema de álgebra computacional (CAS) para trazar$$z = f(x,y)$$ y$$z = f_{ave}$$ en el mismo sistema de coordenadas.

49) [T]$$f(x,y) = \int_0^y \int_0^x (xs + yt) ds \space dt$$, donde$$(x,y) \in R = [0,1] \times [0,1]$$

Contestar

a.$$f(x,y) = \frac{1}{2} xy (x^2 + y^2)$$;
b.$$V = \int_0^1 \int_0^1 f(x,y)\,dx \space dy = \frac{1}{8}$$$$f_{ave} = \frac{1}{8}$$;
c.

d.

50) [T]$$f(x,y) = \int_0^x \int_0^y [\cos(s) + \cos(t)] \, dt \space ds$$, donde$$(x,y) \in R = [0,3] \times [0,3]$$

51) Demostrar que si$$f$$ y$$g$$ son continuos en$$[a,b]$$ y$$[c,d]$$, respectivamente, entonces

$$\displaystyle \int_a^b \int_c^d |f(x) + g(y)| dy \space dx = (d - c) \int_a^b f(x)\,dx$$

$$\displaystyle + \int_a^b \int_c^d g(y)\,dy \space dx = (b - a) \int_c^d g(y)\,dy + \int_c^d \int_a^b f(x)\,dx \space dy$$.

52) Demuéstralo$$\displaystyle \int_a^b \int_c^d yf(x) + xg(y)\,dy \space dx = \frac{1}{2} (d^2 - c^2) \left(\int_a^b f(x)\,dx\right) + \frac{1}{2} (b^2 - a^2) \left(\int_c^d g(y)\,dy\right)$$.

53) [T] Considerar la función$$f(x,y) = e^{-x^2-y^2}$$, donde$$(x,y) \in R = [−1,1] \times [−1,1]$$.

1. Utilice la regla de punto medio con$$m = n = 2,4,..., 10$$ para estimar la doble integral$$I = \iint_R e^{-x^2 - y^2} dA$$. Redondee sus respuestas a las centésimas más cercanas.
2. Para$$m = n = 2$$, encontrar el valor promedio de f sobre la región R. Redondee su respuesta a las centésimas más cercanas.
3. Utilice un CAS para graficar en el mismo sistema de coordenadas el sólido cuyo volumen viene dado por$$\iint_R e^{-x^2-y^2} dA$$ y el plano$$z = f_{ave}$$.
Contestar

a. Para$$m = n = 2$$,$$I = 4e^{-0.5} \approx 2.43$$
b.$$f_{ave} = e^{-0.5} \simeq 0.61$$;

c.

54) [T] Considerar la función$$f(x,y) = \sin (x^2) \space \cos (y^2)$$, donde$$(x,y \in R = [−1,1] \times [−1,1]$$.

1. Utilice la regla de punto medio con$$m = n = 2,4,..., 10$$ para estimar la doble integral$$I = \iint_R \sin (x^2) \cos (y^2) \space dA$$. Redondee sus respuestas a las centésimas más cercanas.
2. Para$$m = n = 2$$, encuentra el valor promedio de$$f$$ sobre la región R. Redondea tu respuesta a las centésimas más cercanas.
3. Utilice un CAS para graficar en el mismo sistema de coordenadas el sólido cuyo volumen viene dado por$$\iint_R \sin(x^2) \cos(y^2) \space dA$$ y el plano$$z = f_{ave}$$.

En los ejercicios 55 - 56,$$f_n$$ se dan las funciones, donde$$n \geq 1$$ es un número natural.

1. Encuentra el volumen de los sólidos$$S_n$$ debajo de las superficies$$z = f_n(x,y)$$ y por encima de la región$$R$$.
2. Determinar el límite de los volúmenes de los sólidos a$$S_n$$ medida que$$n$$ aumenta sin encuadernación.

55)$$f(x,y) = x^n + y^n + xy, \space (x,y) \in R = [0,1] \times [0,1]$$

Contestar
a.$$\frac{2}{n + 1} + \frac{1}{4}$$
b.$$\frac{1}{4}$$

56)$$f(x,y) = \frac{1}{x^n} + \frac{1}{y^n}, \space (x,y) \in R = [1,2] \times [1,2]$$

57) Mostrar que el valor promedio de una función$$f$$ sobre una región rectangular$$R = [a,b] \times [c,d]$$ es$$f_{ave} \approx \frac{1}{mn} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)$$, dónde$$(x_{ij}^*,y_{ij}^*)$$ están los puntos de muestreo de la partición de$$R$$, dónde$$1 \leq i \leq m$$ y$$1 \leq j \leq n$$.

58) Utilice la regla de punto medio con$$m = n$$ para mostrar que el valor promedio de una función$$f$$ en una región rectangular$$R = [a,b] \times [c,d]$$ se aproxima por

$f_{ave} \approx \frac{1}{n^2} \sum_{i,j =1}^n f \left(\frac{1}{2} (x_{i=1} + x_i), \space \frac{1}{2} (y_{j=1} + y_j)\right). \nonumber$

59) Un mapa de isotermas es un gráfico que conecta puntos que tienen la misma temperatura en un momento dado durante un periodo de tiempo determinado. Utilice el ejercicio anterior y aplique la regla del punto medio con$$m = n = 2$$ para encontrar la temperatura promedio sobre la región dada en la siguiente figura.

Contestar
$$56.5^{\circ}$$F; aquí$$f(x_1^*,y_1^*) = 71, \space f(x_2^*, y_1^*) = 72, \space f(x_2^*,y_1^*) = 40, \space f(x_2^*,y_2^*) = 43$$, donde$$x_i^*$$ y$$y_j^*$$ son los puntos medios de los subintervalos de las particiones de$$[a,b]$$ y$$[c,d]$$, respectivamente.

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