15.4: Integrales triples
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
- Reconocer cuando una función de tres variables es integrable sobre una caja rectangular.
- Evaluar una triple integral expresándola como una integral iterada.
- Reconocer cuando una función de tres variables es integrable sobre una región cerrada y delimitada.
- Simplifique un cálculo cambiando el orden de integración de una triple integral.
- Calcular el valor promedio de una función de tres variables.
Anteriormente, discutimos la doble integral de una funciónf(x,y) de dos variables sobre una región rectangular en el plano. En esta sección definimos la triple integral de una funciónf(x,y,z) de tres variables sobre una caja sólida rectangular en el espacio,R3. Posteriormente en esta sección extendemos la definición a regiones más generales enR3.
Funciones integrables de tres variables
Podemos definir una caja rectangularB enR3 como
B={(x,y,z)|a≤x≤b,c≤y≤d,e≤z≤f}.
Seguimos un procedimiento similar al que hicimos anteriormente. Dividimos el intervalo[a,b] enl subintervalos[xi−1,xi] de igual longitudΔx con
Δx=xi−xi−1l,
dividir el intervalo[c,d] enm subintervalos[yi−1,yi] de igual longitudΔy con
Δy=yj−yj−1m,
y dividir el intervalo[e,f] enn subintervalos[zi−1,zi] de igual longitudΔz con
Δz=zk−zk−1n
Entonces la caja rectangularB se subdivide enlmn subcajas:
Bijk=[xi−1,xi]×[yi−1,yi]×[zi−1,zi],
como se muestra en la Figura15.4.1.

Para cada unoi,j, yk, considere un punto de muestra(x∗ijk,y∗ijk,z∗ijk) en cada sub-cajaBijk. Vemos que su volumen esΔV=ΔxΔyΔz. Formar la suma triple de Riemann
l∑i=1m∑j=1n∑k=1f(x∗ijk,y∗ijk,z∗ijk)ΔxΔyΔz.
Definimos la triple integral en términos del límite de una suma triple de Riemann, como hicimos para la doble integral en términos de una doble suma de Riemann.
La triple integral de una funciónf(x,y,z) sobre una caja rectangularB se define como
liml,m,n→∞l∑i=1m∑j=1n∑k=1f(x∗ijk,y∗ijk,z∗ijk)ΔxΔyΔz=∭Bf(x,y,z)dVsi existe este límite.
Cuando la triple integral existe enB la funciónf(x,y,z) se dice que es integrable enB. Además, la triple integral existe sif(x,y,z) es continua enB. Por lo tanto, utilizaremos funciones continuas para nuestros ejemplos. Sin embargo, la continuidad es suficiente pero no necesaria; en otras palabras,f está limitadaB y continua excepto posiblemente en el límite deB. El punto de muestreo(x∗ijk,y∗ijk,z∗ijk) puede ser cualquier punto de la sub-caja rectangularBijk y todas las propiedades de una doble integral se aplican a una triple integral. Así como la doble integral tiene muchas aplicaciones prácticas, la triple integral también tiene muchas aplicaciones, que discutimos en secciones posteriores.
Ahora que hemos desarrollado el concepto de la triple integral, necesitamos saber cómo computarlo. Así como en el caso de la doble integral, podemos tener una triple integral iterada, y en consecuencia, existe una versión del teorema de Fubini para triples integrales.
Sif(x,y,z) es continuo en una caja rectangularB=[a,b]×[c,d]×[e,f], entonces
∬Bf(x,y,z)dV=∫fe∫dc∫baf(x,y,z)dxdydz.
Esta integral también es igual a cualquiera de los otros cinco ordenamientos posibles para la triple integral iterada.
Paraa,b,c,d,e y númerosf reales, la triple integral iterada se puede expresar en seis ordenamientos diferentes:
∫fe∫dc∫baf(x,y,z)dxdydz=∫fe(∫dc(∫baf(x,y,z)dx)dy)dz=∫dc(∫fe(∫baf(x,y,z)dx)dz)dy=∫ba(∫fe(∫dcf(x,y,z)dy)dz)dx=∫fe(∫ba(∫dcf(x,y,z)dy)dx)dz=∫dc(∫ba(∫dcf(x,y,z)dz)dx)dy=∫ba(∫dc(∫fef(x,y,z)dz)dy)dx
Para una caja rectangular, el orden de integración no hace ninguna diferencia significativa en el nivel de dificultad en el cálculo. Calculamos integrales triples usando el Teorema de Fubini en lugar de usar la definición de suma de Riemann. Seguimos el orden de integración de la misma manera que lo hicimos para las dobles integrales (es decir, de adentro a afuera).
Evaluar la triple integral∫z=1z=0∫y=4y=2∫x=5x=−1(x+yz2)dxdydz.
Solución
El orden de integración se especifica en el problema, así integrar con respecto ax primero, luego y, y luegoz.
∫z=1z=0∫y=4y=2∫x=5x=−1(x+yz2)dxdydz=∫z=1z=0∫y=4y=2[x22+xyz2|x=5x=−1]dydzIntegrate with respect to x.=∫z=1z=0∫y=4y=2[12+6yz2]dydzEvaluate.=∫z=1z=0[12y+6y22z2|y=4y=2]dzIntegrate with respect to y.=∫z=1z=0[24+36z2]dzEvaluate.=[24z+36z33]z=1z=0Integrate with respect to z.=36.Evaluate.
Evaluar la triple integral
∭Bx2yzdV
dondeB={(x,y,z)|−2≤x≤1,0≤y≤3,1≤z≤5} como se muestra en la Figura15.4.2.

Solución
No se especifica el orden, pero podemos usar la integral iterada en cualquier orden sin cambiar el nivel de dificultad. Elige, digamos, integrary primero, luegox, y luegoz.
∭Bx2yzdV=∫51∫1−2∫30[x2yz]dydxdz=∫51∫1−2[x2y33z|30]dxdz=∫51∫1−2y2x2zdxdz=∫51[92x33z|1−2]dz=∫51272zdz=272z22|51=162.
Ahora intenta integrarte en un orden diferente solo para ver que obtenemos la misma respuesta. Elegir integrar con respecto ax primero, luegoz, luegoy
∭Bx2yzdV=∫30∫51∫1−2[x2yz]dxdzdy=∫30∫51[x33yz|1−2]dzdy=∫30∫513yzdzdy=∫30[3yz22|51]dy=∫3036ydy=36y22|30=18(9−0)=162.
Evaluar la triple integral
∭BzsinxcosydV
dondeB={(x,y,z)|0≤x≤π,3π2≤y≤2π,1≤z≤3}.
- Pista
-
Sigue los pasos del ejemplo anterior.
- Contestar
-
∭BzsinxcosydV=8
La triple integral de una función continuaf(x,y,z) sobre una región tridimensional general
E={(x,y,z)|(x,y)∈D,u1(x,y)≤z≤u2(x,y)}
enR3, dondeD esta la proyeccion deE sobre elxy -plano, es
∭Ef(x,y,z)dV=∬D[∫u2(x,y)u1(x,y)f(x,y,z)dz]dA.
De igual manera, podemos considerar una región delimitada generalD en elxy -plano y dos funcionesy=u1(x,z) yy=u2(x,z) tal queu1(x,z)≤u2(x,z) para todos(x,z) enD. Luego podemos describir la región sólidaE enR3 como
E={(x,y,z)|(x,z)∈D,u1(x,z)≤z≤u2(x,z)}dondeD esta la proyeccion deE sobre elxy plano y la triple integral es
∭Ef(x,y,z)dV=∬D[∫u2(x,z)u1(x,z)f(x,y,z)dy]dA.
Finalmente, siD es una región delimitada general en elxy plano -y tenemos dos funcionesx=u1(y,z) yx=u2(y,z) tal queu1(y,z)≤u2(y,z) para todos(y,z) adentroD, entonces la región sólidaE enR3 puede describirse como
E={(x,y,z)|(y,z)∈D,u1(y,z)≤z≤u2(y,z)}dondeD esta la proyeccion deE sobre elxy plano y la triple integral es
∭Ef(x,y,z)dV=∬D[∫u2(y,z)u1(y,z)f(x,y,z)dx]dA.
Tenga en cuenta que la regiónD en cualquiera de los planos puede ser de Tipo I o Tipo II como se describe anteriormente. SiD en elxy plano -es de Tipo I (Figura15.4.4), entonces
E={(x,y,z)|a≤x≤b,g1(x)≤y≤g2(x),u1(x,y)≤z≤u2(x,y)}.

Entonces la triple integral se convierte
∭Ef(x,y,z)dV=∫ba∫g2(x)g1(x)∫u2(x,y)u1(x,y)f(x,y,z)dzdydx.
SiD en elxy plano -es de Tipo II (Figura15.4.5), entonces
E={(x,y,z)|c≤x≤d,h1(x)≤y≤h2(x),u1(x,y)≤z≤u2(x,y)}.

Entonces la triple integral se convierte
∭Ef(x,y,z)dV=∫y=dy=c∫x=h2(y)x=h1(y)∫z=u2(x,y)z=u1(x,y)f(x,y,z)dzdxdy.
Evaluar la triple integral de la funciónf(x,y,z)=5x−3y sobre el tetraedro sólido delimitado por los planosx=0,y=0,z=0, yx+y+z=1.
Solución
La figura15.4.6 muestra el tetraedro sólidoE y su proyecciónD en elxy plano.

Podemos describir el tetraedro de región sólida como
E={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤1−x,0≤z≤1−x−y}.
De ahí que la triple integral sea
∭Ef(x,y,z)dV=∫x=1x=0∫y=1−xy=0∫z=1−x−yz=0(5x−3y)dzdydx.
Para simplificar el cálculo, primero evalúe la integral∫z=1−x−yz=0(5x−3y)dz. Tenemos
∫z=1−x−yz=0(5x−3y)dz=(5x−3y)z|z=1−x−yz=0=(5x−3y)(1−x−y).
Ahora evalúe la integral
∫y=1−xy=0(5x−3y)(1−x−y)dy,
obteniendo
∫y=1−xy=0(5x−3y)(1−x−y)dy=12(x−1)2(6x−1).
Finalmente evaluar
∫x=1x=012(x−1)2(6x−1)dx=112.
Poniéndolo todo junto, tenemos
∭Ef(x,y,z)dV=∫x=1x=0∫y=1−xy=0∫z=1−x−yz=0(5x−3y)dzdydx=112.
Así como usamos la doble integral∬D1dA para encontrar el área de una región delimitada general,D podemos usar∭E1dV para encontrar el volumen de una región delimitada sólida generalE. El siguiente ejemplo ilustra el método.
Encuentra el volumen de una pirámide derecha que tiene la base cuadrada en elxy plano[−1,1]×[−1,1] y el vértice en el punto(0,0,1) como se muestra en la siguiente figura.

Solución
En esta pirámide el valor dez los cambios de 0 a 1 y a cada alturaz la sección transversal de la pirámide para cualquier valor dez es el cuadrado
[−1+z,1−z]×[−1+z,1−z].
De ahí que el volumen de la pirámide sea∭E1dV donde
E={(x,y,z)|0≤z≤1,−1+z≤y≤1−z,−1+z≤x≤1−z}.
Así, tenemos
\ [\ begin {alinear*}\ IIint_E 1\, dV &=\ int_ {z=0} ^ {z=1}\ int_ {y=-1+z} ^ {y=1-z}\ int_ {x=-1+z} ^ {x=1-z} 1\, dx\, dy\, dz\\ [5pt]
&=\ int_ {z=0} ^ {z=1}\ int_ {y=-1+z} ^ {y=1-z} (2 - 2z)\, dy\, dz\\ [5pt]
&=\ int_ {z=0} ^ {z=1} (2 - 2z) ^2\, dz =\ dfrac {4} {3}. \ end {alinear*}\]
De ahí que el volumen de la pirámide sea unidades43 cúbicas.
Considera la esfera sólidaE={(x,y,z)|x2+y2+z2=9}. Escribe la triple integral∭Ef(x,y,z)dV para una función arbitrariaf como una integral iterada. Después evaluar esta triple integral conf(x,y,z)=1. Observe que esto da el volumen de una esfera utilizando una triple integral.
- Pista
-
Sigue los pasos del ejemplo anterior. Usa simetría.
- Contestar
-
∭E1dV=8∫x=3x=−3∫y=√9−z2y=−√9−z2∫z=√9−x2−y2z=−√9−x2−y21dzdydx=36πcubic units.
Cambiando el orden de integración
Como ya hemos visto en las dobles integrales sobre regiones delimitadas generales, cambiar el orden de la integración se hace con bastante frecuencia para simplificar el cálculo. Con una triple integral sobre una caja rectangular, el orden de integración no cambia el nivel de dificultad del cálculo. Sin embargo, con una triple integral sobre una región delimitada general, elegir un orden apropiado de integración puede simplificar bastante el cálculo. A veces hacer el cambio a las coordenadas polares también puede ser muy útil. Aquí demostramos dos ejemplos.
Considere la integral iterada
∫x=1x=0∫y=x2y=0∫z=yz=0f(x,y,z)dzdydx.
El orden de integración aquí es primero con respecto a z, luego y, y luego x. Expresar esta integral cambiando el orden de integración para ser primero con respecto ax, luegoz, y luegoy. Verificar que el valor de la integral sea el mismo si lo dejamosf(x,y,z)=xyz.
Solución
La mejor manera de hacerlo es bosquejar la regiónE y sus proyecciones en cada uno de los tres planos de coordenadas. Por lo tanto, vamos
E={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤x2,0≤z≤y}.
y
∫x=1x=0∫y=x2y=0∫z=x2z=0f(x,y,z)dzdydx=∭Ef(x,y,z)dV.
Necesitamos expresar esta triple integral como
∫y=dy=c∫z=v2(y)z=v1(y)∫x=u2(y,z)x=u1(y,z)f(x,y,z)dxdzdy.
Conociendo la regiónE podemos dibujar las siguientes proyecciones (Figura15.4.8):
en elxy plano -esD1={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x2}={(x,y)|0≤y≤1,√y≤x≤1},
en elyz -avión esD2={(y,z)|0≤y≤1,0≤z≤y2}, y
en elxz -avión esD3={(x,z)|0≤x≤1,0≤z≤x2}.

Ahora podemos describir la misma región en laE que{(x,y,z)|0≤y≤1,0≤z≤y2,√y≤x≤1}, y consecuentemente, la triple integral se convierte
∫y=dy=c∫z=v2(y)z=v1(y)∫x=u2(y,z)x=u1(y,z)f(x,y,z)dxdzdy=∫y=1y=0∫z=x2z=0∫x=1x=√yf(x,y,z)dxdzdy
Ahora supongamos quef(x,y,z)=xyz en cada una de las integrales. Entonces tenemos
\ [\ begin {alinear*}\ int_ {x=0} ^ {x=1}\ int_ {y=0} ^ {y=x^2}\ int_ {z=0} ^ {z=y^2} xyz\, dz\, dy\, dx &=\ int_ {x=0} ^ {x=1}\ int_ {y=0} ^ {y=x^2}\ izquierda. \ izquierda [xy\ dfrac {z^2} {2}\ derecha|_ {z=0} ^ {z=y^2}\ derecha]\, dy\, dx\ [5pt]
&=\ int_ {x=0} ^ {x=1}\ int_ {y=0} ^ {y=x^2}\ izquierda (x\ dfrac {y^5} {2}}\ derecha) dy\, dx\\ [5pt]
&=\ int_ {x=0} ^ {x=1}\ izquierda. \ izquierda [x\ dfrac {y^6} {12}\ derecha|_ {y=0} ^ {y=x^2}\ derecha] dx\\ [5pt]
&=\ int_ {x=0} ^ {x=1}\ dfrac {x^ {13}} {12} dx =\ izquierda. \ dfrac {x^ {14}} {168}\ derecha|_ {x=0} ^ {x=1}\\ [5pt]
&=\ dfrac {1} {168},\ final {alinear*}\]
\ [\ begin {alinear*}\ int_ {y=0} ^ {y=1}\ int_ {z=0} ^ {z=y^2}\ int_ {x=\ sqrt {y}} ^ {x=1} xyz\, dx\, dz\, dy &=\ int_ {y=0} ^ {y=0} ^ {y=1}\ int_ {z=0} ^ {zy=0} ^2}\ izquierda. \ izquierda [yz\ dfrac {x^2} {2}\ derecha|_ {\ sqrt {y}} ^ {1}\ derecha] dz\, dy\ [5pt]
&=\ int_ {y=0} ^ {y=1}\ int_ {z=0} ^ {z=y^2}\ izquierda (\ dfrac {yz} {2} -\ dfrac {y^2z} {2}\ derecha) dz\, dy\\ [5pt]
&=\ int_ {y=0} ^ {y=1}\ izquierda. \ izquierda [\ dfrac {yz^2} {4} -\ dfrac {y^2z^2} {4}\ derecha|_ {z=0} ^ {z=y^2}\ derecha] dy\\ [5pt]
&=\ int_ {y=0} ^ {y=1}\ izquierda (\ dfrac {y^5} {4} -\ dfrac {y^6} {4}\ derecha) dy\\ [5pt]
&=\ izquierda. \ izquierda (\ dfrac {y^6} {24} -\ dfrac {y^7} {28}\ derecha)\ derecha|_ {y=0} ^ {y=1}\\ [5pt]
&=\ dfrac {1} {168}. \ end {align*}\ nonumber\]
Las respuestas coinciden.
Escribir cinco integrales iteradas diferentes iguales a la integral dada
∫z=4z=0∫y=4−zy=0∫x=√yx=0f(x,y,z)dxdydz.
- Pista
-
Siga los pasos del ejemplo anterior, utilizando la regiónE como{(x,y,z)|0≤z≤4,0≤y≤4−z,0≤x≤√y}, y describa y esboce las proyecciones en cada uno de los tres planos, cinco veces diferentes.
- Contestar
-
(i)∫z=4z=0∫x=√4−zx=0∫y=4−zy=x2f(x,y,z)dydxdz,(ii)∫y=4y=0∫z=4−yz=0∫x=√yx=0f(x,y,z)dxdzdy,(iii)∫y=4y=0∫x=√yx=0∫Z=4−yz=0f(x,y,z)dzdxdy,
(iv)∫x=2x=0∫y=4y=x2∫z=4−yz=0f(x,y,z)dzdydx,(v)∫x=2x=0∫z=4−x2z=0∫y=4−zy=x2f(x,y,z)dydzdx
Evaluar la triple integral
∭E√x2+z2dV,
dondeE está la región delimitada por el paraboloidey=x2+z2 (Figura15.4.9) y el planoy=4.

Solución
La proyección de la región sólidaE sobre elxy plano es la región delimitada arribay=4 y abajo por la parábolay=x2 como se muestra.

Así, tenemos
E={(x,y,z)|−2≤x≤2,x2≤y≤4,−√y−x2≤z√y−x2}.
La triple integral se convierte
∭E√x2+z2dV=∫x=2x=−2∫y=4y=x2∫z=√y−x2z=−√y−x2√x2+z2dzdydx.
Esta expresión es difícil de calcular, así que considere la proyección deE sobre elxz plano. Se trata de un disco circularx2+z2≤4. Así obtenemos
∭E√x2+z2dV=∫x=2x=−2∫y=4y=x2∫z=√y−x2z=−√y−x2√x2+z2dzdydx=∫x=2x=−2∫z=√4−x2z=−√4−x2∫y=4y=x2+z2√x2+z2dydzdx.
Aquí el orden de integración cambia de ser primero con respecto az entoncesy y luegox a ser primero con respecto ay entonces az y luego ax. Pronto quedará claro cómo este cambio puede ser beneficioso para el cálculo. Tenemos
∫x=2x=−2∫z=√4−x2z=√4−x2∫y=4y=x2+z2√x2+z2dydzdx=∫x=2x=−2∫z=√4−x2z=−√4−x2(4−x2−z2)√x2+z2dzdx.
Ahora usa la sustitución polarx=rcosθ,z=rsinθ, ydzdx=rdrdθ en elxz plano -. Esto es esencialmente lo mismo que cuando usamos coordenadas polares en elxy -plano, excepto que estamos reemplazandoy porz. En consecuencia los límites de la integración cambian y tenemos, al utilizarr2=x2+z2,
∫x=2x=−2∫z=√4−x2z=−√4−x2(4−x2−z2)√x2+z2dzdx=∫θ=2πθ=0∫r=2r=0(4−r2)rrdrdθ=∫2π0[4r33−r55|20]dθ=∫2π06415dθ=128π15
Valor promedio de una función de tres variables
Recordemos que encontramos el valor promedio de una función de dos variables evaluando la doble integral sobre una región en el plano y luego dividiendo por el área de la región. De igual manera, podemos encontrar el valor promedio de una función en tres variables evaluando la triple integral sobre una región sólida y luego dividiendo por el volumen del sólido.
Sif(x,y,z) es integrable sobre una región delimitada sólidaE con volumen positivoV(E),, entonces el valor promedio de la función es
fave=1V(E)∭Ef(x,y,z)dV.
Tenga en cuenta que el volumen es
V(E)=∭E1dV.
La temperatura en un punto(x,y,z) de un sólidoE delimitado por los planos de coordenadas y el planox+y+z=1 esT(x,y,z)=(xy+8z+20)°C. Encuentra la temperatura promedio sobre el sólido.
Solución
Utilice el teorema dado anteriormente y la triple integral para encontrar el numerador y el denominador. Entonces haz la división. Observe que el aviónx+y+z=1 tiene intercepciones(1,0,0),(0,1,0), y(0,0,1). La regiónE parece
E={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤1−x,0≤z≤1−x−y}.
De ahí que la triple integral de la temperatura sea
∭Ef(x,y,z)dV=∫x=1x=0∫y=1−xy=0∫z=1−x−yz=0(xy+8z+20)dzdydx=14740.
La evaluación del volumen es
V(E)=∭E1dV=∫x=1x=0∫y=1−xy=0∫z=1−x−yz=01dzdydx=16.
De ahí que el valor promedio sea
Tave=147/401/6=6(147)40=44120°C.
Encuentra el valor promedio de la funciónf(x,y,z)=xyz sobre el cubo con lados de longitud 4 unidades en el primer octante con un vértice en el origen y bordes paralelos a los ejes de coordenadas.
- Pista
-
Sigue los pasos del ejemplo anterior.
- Contestar
-
fave=8
Conceptos clave
- Para calcular una triple integral utilizamos el teorema de Fubini, que establece que sif(x,y,z) es continuo en una caja rectangularB=[a,b]×[c,d]×[e,f], entonces∭Bf(x,y,z)dV=∫fe∫dc∫baf(x,y,z)dxdydz y también es igual a cualquiera de los otros cinco ordenamientos posibles para la triple integral iterada.
- Para calcular el volumen de una región delimitada sólida generalE utilizamos la triple integralV(E)=∭E1dV.
- Intercambiar el orden de las integrales iteradas no cambia la respuesta. De hecho, intercambiar el orden de integración puede ayudar a simplificar el cálculo.
- Para calcular el valor promedio de una función sobre una región tridimensional general, utilizamosfave=1V(E)∭Ef(x,y,z)dV.
Ecuaciones Clave
- Triple integral
liml,m,n→∞l∑i=1m∑j=1n∑k=1f(x∗ijk,y∗ijk,z∗ijk)ΔxΔyΔz=∭Bf(x,y,z)dV
Glosario
- triple integral
- la triple integral de una función continuaf(x,y,z) sobre una caja sólida rectangularB es el límite de una suma de Riemann para una función de tres variables, si este límite existe
Integrales triples sobre una región limitada general
Ahora ampliamos la definición de la triple integral para computar una triple integral sobre una región delimitada más generalE enR3. Las regiones delimitadas generales que consideraremos son de tres tipos. Primero, dejaD ser la región delimitada que es una proyección deE sobre elxy plano. Supongamos que la regiónE enR3 tiene la forma
E={(x,y,z)|(x,y)∈D,u1(x,y)≤z≤u2(x,y)}.
Para dos funcionesz=u1(x,y) yu2(x,y), tal queu1(x,y)≤u2(x,y) para todos(x,y) enD como se muestra en la siguiente figura.