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LibreTexts Español

15.3E: Ejercicios para la Sección 15.3

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Términos y Conceptos

1. Al evaluarRf(x,y)dA usando coordenadas polares,f(x,y) se reemplaza por _______ ydA se reemplaza por _______.

Contestar
f(x,y)se sustituye por f(rcosθ,rsinθ)ydA se sustituye por rdrdθ.

2. ¿Por qué uno estaría interesado en evaluar una doble integral con coordenadas polares?

Definición de regiones polares

En los ejercicios 3 - 6, expresar la regiónR en coordenadas polares.

3)R es la región del disco de radio 2 centrada en el origen que se encuentra en el primer cuadrante.

Contestar
R={(r,θ)|0r2, 0θπ2}

4)R es la región del disco de radio 3 centrada en el origen.

5)R es la región entre los círculos de radio 4 y radio 5 centrada en el origen que se encuentra en el segundo cuadrante.

Contestar
R={(r,θ)|4r5, π2θπ}

6)R es la región delimitada por ely eje -yx=1y2.

7)R es la región delimitada por elx eje -yy=2x2.

Contestar
R={(r,θ)|0r2, 0θπ}

8)R={(x,y)|x2+y24x}

9)R={(x,y)|x2+y24y}

Contestar
R={(r,θ)|0r4 sinθ, 0θπ}

En los ejercicios 10 - 15, se da la gráfica de la regiónD rectangular polar. ExpresarD en coordenadas polares.

10)
La mitad de un anillo D se dibuja en el primer y segundo cuadrantes con radio interior 3 y radio exterior 5.
11)
Un sector de un anillo D se dibuja entre theta = pi/4 y theta = pi/2 con radio interior 3 y radio exterior 5.
Contestar
D={(r,θ)|3r5, π4θπ2}

12)

Half of an annulus D is drawn between theta = pi/4 and theta = 5 pi/4 with inner radius 3 and outer radius 5.

13)
Un sector de un anillo D se dibuja entre theta = 3 pi/4 y theta = 5 pi/4 con radio interior 3 y radio exterior 5.

Contestar
D={(r,θ)|3r5, 3π4θ5π4}
14) In the following graph, the region D is situated below y=x and is bounded by x=1, x=5, and y=0.

A region D is given that is bounded by y = 0, x = 1, x = 5, and y = x, that is, a right triangle with a corner cut off.

15) En la siguiente gráfica, la regiónD está delimitada pory=x yy=x2.

Se dibuja una región D entre y = x e y = x cuadrado, que parece una lente deformada, con la parte bulbosa debajo de la parte recta.

Contestar
D={(r,θ)|0rtanθ secθ, 0θπ4}

Evaluating Polar Double Integrals

In exercises 16 - 25, evaluate the double integral Rf(x,y)dA over the polar rectangular region R.

16) f(x,y)=x2+y2, R={(r,θ)|3r5, 0θ2π}

17) f(x,y)=x+y, R={(r,θ)|3r5, 0θ2π}

Answer
0

18) f(x,y)=x2+xy, R={(r,θ)|1r2, πθ2π}

19) f(x,y)=x4+y4, R={(r,θ)|1r2, 3π2θ2π}

Answer
63π16

20) f(x,y)=3x2+y2, where R={(r,θ)|0r1, π2θπ}.

21) f(x,y)=x4+2x2y2+y4, where R={(r,θ)|3r4, π3θ2π3}.

Answer
3367π18

22) f(x,y)=sin(arctanyx), where R={(r,θ)|1r2, π6θπ3}

23) f(x,y)=arctan(yx), where R={(r,θ)|2r3, π4θπ3}

Answer
35π2576

24) Rex2+y2[1+2 arctan(yx)]dA, R={(r,θ)|1r2, π6θπ3}

25) R(ex2+y2+x4+2x2y2+y4)arctan(yx)dA, R={(r,θ)|1r2, π4θπ3}

Answer
7576π2(21e+e4)

Converting Double Integrals to Polar Form

In exercises 26 - 29, the integrals have been converted to polar coordinates. Verify that the identities are true and choose the easiest way to evaluate the integrals, in rectangular or polar coordinates.

26) 21x0(x2+y2)dy dx=π402 secθsecθr3dr dθ

27) 32x0xx2+y2dy dx=π/403secθ2secθr cosθ dr dθ

Answer
52ln(1+2)

28) 10xx21x2+y2dy dx=π/40tanθ secθ0 dr dθ

29) 10xx2yx2+y2dy dx=π/40tanθ secθ0r sinθ dr dθ

Answer
16(22)

In exercises 30 - 37, draw the region of integration, R, labeling all limits of integration, convert the integrals to polar coordinates and evaluate them.

30) 309y20(x2+y2)dx dy

31) 204y24y2(x2+y2)2dx dy

Answer
π020r5dr dθ=32π3

32) 101x20(x+y) dy dx

33) 4016x216x2sin(x2+y2) dy dx

Answer
π/2π/240r sin(r2) dr dθ=π sin28

34) 5025x225x2x2+y2dydx

35) 44016y2(2yx)dxdy

Answer
3π2π240(2rsinθrcosθ)rdr dθ=1283

36) 208y2y(x+y)dxdy

37) 124x20(x+5)dydx+114x21x2(x+5)dydx+214x20(x+5)dydx

Answer
π021(rcosθ+5)rdr dθ=15π2

38) Evaluate the integral DrdA where D is the region bounded by the polar axis and the upper half of the cardioid r=1+cosθ.

39) Find the area of the region D bounded by the polar axis and the upper half of the cardioid r=1+cosθ.

Answer
3π4

40) Evaluate the integral DrdA, where D is the region bounded by the part of the four-leaved rose r=sin2θ situated in the first quadrant (see the following figure).

A region D is drawn in the first quadrant petal of the four petal rose given by r = sin (2 theta).

41) Encontrar el área total de la región encerrada por la rosa de cuatro hojasr=sin2θ (ver la figura en el ejercicio anterior).

Contestar
π2

42) Encontrar el área de la regiónD que es la región delimitada pory=4x2,x=3,x=2, yy=0.

43) Encuentra el área de la regiónD, que es la región dentro del discox2+y24 y a la derecha de la líneax=1.

Contestar
13(4π33)

44) Determinar el valor promedio de la funciónf(x,y)=x2+y2 sobre la regiónD delimitada por la curva polarr=cos2θ, dondeπ4θπ4 (ver la siguiente gráfica).

Se muestra el pétalo primero/cuarto cuadrante de la rosa de cuatro pétalos dado por r = cos (2 theta).

45) Determinar el valor promedio de la funciónf(x,y)=x2+y2 over the region D bounded by the polar curve r=3sin2θ, where 0θπ2 (see the following graph).

The first-quadrant petal of the four-petal rose given by r = 3sin (2 theta) is shown.

Contestar
163π

46) Encontrar el volumen del sólido situado en el primer octante y delimitado por el paraboloidez=14x24y2 y los planosx=0, y=0, yz=0.

47) Encontrar el volumen del sólido delimitado por el paraboloidez=29x29y2 y el planoz=1.

Contestar
π18

48)

  1. Encuentra el volumen del sólidoS1 delimitado por el cilindrox2+y2=1 y los planosz=0 yz=1.
  2. Encuentra el volumen del sólidoS2 fuera del cono doblez2=x2+y2 dentro del cilindrox2+y2=1, y por encima del planoz=0.
  3. Encuentra el volumen del sólido dentro del conoz2=x2+y2 y debajo del planoz=1 restando los volúmenes de los sólidosS1 yS2.

49)

  1. Encuentra el volumen del sólidoS1 dentro de la esfera unitariax2+y2+z2=1 y por encima del planoz=0.
  2. Encuentra el volumen del sólidoS2 dentro del cono doble(z1)2=x2+y2 y por encima del planoz=0.
  3. Encuentra el volumen del sólido fuera del cono doble(z1)2=x2+y2 y dentro de la esferax2+y2+z2=1.
Contestar
a.2π3; b.π2; c.π6

En los Ejercicios 50-51 se presentan dobles integrales especiales que son especialmente adecuadas para la evaluación en coordenadas polares.

50) La superficie de un cono circular derecho con alturah y radio base sea puede describir mediante la ecuaciónf(x,y)=hhx2a2+y2a2, donde se encuentra la punta del cono(0,0,h) y la base circular se encuentra en elxy plano, centrada en el origen.
Confirmar que el volumen de un cono circular derecho con alturah y radio basea esV=13πa2h evaluandoRf(x,y)dA en coordenadas polares.

51) Considerar aRe(x2+y2)dA.
) ¿Por qué es difícil evaluar esta integral en coordenadas rectangulares, independientemente de la regiónR?
(b)R Sea la región delimitada por el círculo de radioa centrado en el origen. Evaluar la doble integral usando coordenadas polares.
(c) Tomar el límite de su respuesta de (b), comoa. ¿Qué implica esto sobre el volumen bajo la superficie dee(x2+y2) todo elxy plano?

Para los dos ejercicios siguientes, considere un anillo esférico, que es una esfera con un agujero cilíndrico cortado para que el eje del cilindro pase por el centro de la esfera (ver la siguiente figura).

Se muestra un anillo esférico, es decir, una esfera con un agujero cilíndrico que lo atraviesa por todo el camino.

52) Si la esfera tiene radio 4 y el cilindro tiene radio 2 encuentra el volumen del anillo esférico.

53) Un orificio cilíndrico de 6 cm de diámetro se perfora a través de una esfera de radio de 5 cm de tal manera que el eje del cilindro pasa por el centro de la esfera. Encuentra el volumen del anillo esférico resultante.

Contestar
256π3 cm3

54) Find the volume of the solid that lies under the double cone z2=4x2+4y2, inside the cylinder x2+y2=x, and above the plane z=0.

55) Find the volume of the solid that lies under the paraboloid z=x2+y2, inside the cylinder x2+y2=1 and above the plane z=0.

Answer
3π32

56) Find the volume of the solid that lies under the plane x+y+z=10 and above the disk x2+y2=4x.

57) Find the volume of the solid that lies under the plane 2x+y+2z=8 and above the unit disk x2+y2=1.

Answer
4π

58) A radial function f is a function whose value at each point depends only on the distance between that point and the origin of the system of coordinates; that is, f(x,y)=g(r), where r=x2+y2. Show that if f is a continuous radial function, then

Df(x,y)dA=(θ2θ1)[G(R2)G(R1)], where G(r)=rg(r) and (x,y)D={(r,θ)|R1rR2, 0θ2π}, with 0R1<R2 and 0θ1<θ22π.

59) Use the information from the preceding exercise to calculate the integral D(x2+y2)3dA, where D is the unit disk.

Answer
π4

60) Let f(x,y)=F(r)r be a continuous radial function defined on the annular region D={(r,θ)|R1rR2, 0θ2π}, where r=x2+y2, 0<R1<R2, and F is a differentiable function.

Show that Df(x,y)dA=2π[F(R2)F(R1)].

61) Apply the preceding exercise to calculate the integral Dex2+y2x2+y2dx dy where D is the annular region between the circles of radii 1 and 2 situated in the third quadrant.

Answer
12πe(e1)

62) Let f be a continuous function that can be expressed in polar coordinates as a function of θ only; that is, f(x,y)=h(θ), where (x,y)D={(r,θ)|R1rR2, θ1θθ2}, with 0R1<R2 and 0θ1<θ22π.

Show that Df(x,y)dA=12(R22R21)[H(θ2)H(θ1)], where H is an antiderivative of h.

63) Apply the preceding exercise to calculate the integral Dy2x2dA, where D={(r,θ)|1r2, π6θπ3}.

Answer
3π4

64) Let f be a continuous function that can be expressed in polar coordinates as a function of θ only; that is f(x,y)=g(r)h(θ), where (x,y){(r,θ)|R1rR2, θ1θθ2} with 0R1<R2 and 0θ1<θ22π. Show that Df(x,y)dA=[G(R2)G(R1)] [H(θ2)H(θ1)], where G and H are antiderivatives of g and h, respectively.

65) Evaluate Darctan(yx)x2+y2dA, where D={(r,θ)|2r3, π4θπ3}.

Answer
133864π2

66) A spherical cap is the region of a sphere that lies above or below a given plane.

a. Show that the volume of the spherical cap in the figure below is 16πh(3a2+h2).

A sphere of radius R has a circle inside of it h units from the top of the sphere. This circle has radius a, which is less than R.

b. Un segmento esférico es el sólido definido por la intersección de una esfera con dos planos paralelos. Si la distancia entre los planos esh mostrar que el volumen del segmento esférico en la siguiente figura es16πh(3a2+3b2+h2).

b." data-type="media" id="fs-id1167793495515">Una esfera tiene dos círculos paralelos dentro de ella h unidades separadas. El círculo superior tiene radio b, y el círculo inferior tiene radio a. tenga en cuenta que a b." src="https://math.libretexts.org/@api/dek...15_03_212.jpeg">

67) En estadística, la densidad conjunta para dos eventos independientes, normalmente distribuidos con una media

  • Template:ContribOpenStaxCalc
  • Problems 1, 2, 34 - 37 and 50 - 51 are from Apex Calculus, Chapter 13.3
  • Edited by Paul Seeburger (Monroe Community College)

15.3E: Ejercicios para la Sección 15.3 is shared under a CC BY-NC-SA license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.

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