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15.3: Integrales dobles en coordenadas polares

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Reconocer el formato de una doble integral sobre una región rectangular polar.
  • Evaluar una doble integral en coordenadas polares usando una integral iterada.
  • Reconocer el formato de una doble integral sobre una región polar general.
  • Utilice integrales dobles en coordenadas polares para calcular áreas y volúmenes.

Las integrales dobles son a veces mucho más fáciles de evaluar si cambiamos las coordenadas rectangulares a coordenadas polares. Sin embargo, antes de describir cómo hacer este cambio, necesitamos establecer el concepto de una doble integral en una región rectangular polar.

Regiones rectangulares polares de integración

Cuando definimos la doble integral para una función continua en coordenadas rectangulares, digamos,g sobre una regiónR en elxy plano, nosR dividimos en subrectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas. Estos lados tienenx valores constantes y/oy valores constantes. En coordenadas polares, la forma con la que trabajamos es un rectángulo polar, cuyos lados tienenr valores constantes y/oθ valores constantes. Esto significa que podemos describir un rectángulo polar como en la Figura15.3.1a, conR={(r,θ)|arb,αθβ}.

Esta figura consta de tres figuras etiquetadas a, b y c. En la figura a, se muestra un sector de un anillo en el plano de coordenadas polares con radios a y b y ángulos alfa y beta desde el eje theta = 0. En la figura b, este sector de un anillo se corta en subsectores de manera similar a la forma en que los espacios anteriores se cortaron en subrectángulos. En la figura c, uno de estos subsectores se muestra con ángulo Delta theta, distancia entre radios interior y exterior Delta r, y área Delta A = r* sub theta Delta r Delta theta, donde el punto central se da como (r* sub i j, theta* sub i j).
Figura15.3.1: (a) Un rectángulo polarR (b) dividido en subrectángulosRij (c) Primer plano de un subrectángulo.

En esta sección, estamos buscando integrar rectángulos sobre polares. Considera una funciónf(r,θ) sobre un rectángulo polarR. Dividimos el intervalo[a,b] enm subintervalos[ri1,ri] de longitudΔr=(ba)/m y dividimos el intervalo[α,β] enn subintervalos[θi1,θi] de anchoΔθ=(βα)/n. Esto significa que los círculosr=ri y rayosθ=θi para1im y1jn dividen el rectángulo polarR en subrectángulos polares más pequeñosRij (Figura15.3.1b).

Como antes, necesitamos encontrar el áreaΔA del subrectángulo polarRij y el volumen “polar” de la caja delgada de arribaRij. Recordemos que, en un círculo de radior la longituds de un arco subtendido por un ángulo central deθ radianes ess=rθ. Observe que el rectángulo polarRij se parece mucho a un trapecio con lados paralelosri1Δθ yriΔθ y con un anchoΔr. De ahí que el área del subrectángulo polarRij sea

ΔA=12Δr(ri1Δθ+riΔθ).

Simplificar y dejar

rij=12(ri1+ri)

tenemosΔA=rijΔrΔθ.

Por lo tanto, el volumen polar de la caja delgada anteriorRij (Figura15.3.2) es

f(rij,θij)ΔA=f(rij,θij)rijΔrΔθ.

En el espacio x y z, hay una superficie f (r, theta). En el plano x y, se dibujan una serie de subsectores de anulos como en la figura anterior con radio entre anulos Delta r y ángulo entre subsectores Delta theta. Un subsector de la superficie f (r, theta) se proyecta hacia abajo sobre uno de estos subsectores. Este subsector tiene marcado el punto central (r* sub i j, theta* sub i j).
Figura15.3.2: Encontrar el volumen de la caja delgada por encima del rectángulo polarRij.

Usando la misma idea para todos los subrectángulos y sumando los volúmenes de las cajas rectangulares, obtenemos una suma doble de Riemann como

mi=1nj=1f(rij,θij)rijΔrΔθ.

Como hemos visto antes, obtenemos una mejor aproximación al volumen polar del sólido por encima de la regiónR cuando dejamosm yn nos hacemos más grandes. De ahí que definamos el volumen polar como el límite de la suma doble de Riemann,

V=lim

Esto se convierte en la expresión de la doble integral.

Definición: La doble integral en coordenadas polares

La doble integral de la funciónf(r, \theta) sobre la región rectangular polarR en elr\theta plano se define como

\begin{align} \iint_R f(r, \theta)dA &= \lim_{m,n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(r_{ij}^*, \theta_{ij}^*) \Delta A \\[4pt] &= \lim_{m,n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(r_{ij}^*,\theta_{ij}^*)r_{ij}^* \Delta r \Delta \theta. \end{align} \nonumber

Nuevamente, al igual que en la sección de Integrales dobles sobre regiones rectangulares, la doble integral sobre una región rectangular polar se puede expresar como una integral iterada en coordenadas polares. Por lo tanto,

\iint_R f(r, \theta)\,dA = \iint_R f(r, \theta) \,r \, dr \, d\theta = \int_{\theta=\alpha}^{\theta=\beta} \int_{r=a}^{r=b} f(r,\theta) \,r \, dr \, d\theta. \nonumber

Observe que la expresión fordA es reemplazada porr \, dr \, d\theta cuando se trabaja en coordenadas polares. Otra forma de observar la doble integral polar es cambiar la doble integral en coordenadas rectangulares por sustitución. Cuando la funciónf se da en términos dex yy usox = r \, \cos \, \theta, \, y = r \, \sin \, \theta, y ladA = r \, dr \, d\theta cambia a

\iint_R f(x,y) \,dA = \iint_R f(r \, \cos \, \theta, \, r \, \sin \, \theta ) \,r \, dr \, d\theta. \nonumber

Tenga en cuenta que todas las propiedades enumeradas en la sección de Integrales dobles sobre regiones rectangulares para la integral doble en coordenadas rectangulares también son verdaderas para la doble integral en coordenadas polares, por lo que podemos usarlas sin dudarlo.

Ejemplo\PageIndex{1A}: Sketching a Polar Rectangular Region

Croquis de la región rectangular polar

R = \{(r, \theta)\,|\,1 \leq r \leq 3, 0 \leq \theta \leq \pi \}. \nonumber

Solución

Como podemos ver en la Figura\PageIndex{3},r = 1 yr = 3 son círculos de radio 1 y 3 y0 \leq \theta \leq \pi cubre toda la mitad superior del plano. De ahí que la regiónR parezca una banda semicircular.

La mitad de un anillo R se dibuja con radio interior 1 y radio exterior 3. Es decir, el semicírculo interno viene dado por x cuadrado + y cuadrado = 1, mientras que el semicírculo exterior viene dado por x cuadrado + y cuadrado = 9.
Figura\PageIndex{3}: La región polarR se encuentra entre dos semicírculos.

Ahora que hemos esbozado una región rectangular polar, demostremos cómo evaluar una doble integral sobre esta región mediante el uso de coordenadas polares.

Ejemplo\PageIndex{1B}: Evaluating a Double Integral over a Polar Rectangular Region

Evaluar la integral\displaystyle \iint_R 3x \, dA en la regiónR = \{(r, \theta)\,|\,1 \leq r \leq 2, \, 0 \leq \theta \leq \pi \}.

Solución

Primero dibujamos una figura similar a la Figura\PageIndex{3}, pero con radio exteriorr=2. De la figura podemos ver que tenemos

\begin{align*} \iint_R 3x \, dA &= \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \int_{r=1}^{r=2} 3r \, \cos \, \theta \,r \, dr \, d\theta \quad\text{Use an integral with correct limits of integration.} \\ &= \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \cos \, \theta \left[\left. r^3\right|_{r=1}^{r=2}\right] d\theta \quad\text{Integrate first with respect to $r$.} \\ &=\int_{\theta=0}^{\theta=\pi} 7 \, \cos \, \theta \, d\theta \\ &= 7 \, \sin \, \theta \bigg|_{\theta=0}^{\theta=\pi} = 0. \end{align*}

Ejercicio\PageIndex{1}

Dibuje la regiónD = \{ (r,\theta) \vert 1\leq r \leq 2, \, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \} y evalúe\displaystyle \iint_R x \, dA.

Pista

Siga los pasos en Ejemplo\PageIndex{1A}.

Responder

\frac{14}{3}

Ejemplo\PageIndex{2A}: Evaluating a Double Integral by Converting from Rectangular Coordinates

Evaluar la integral

\iint_R (1 - x^2 - y^2) \,dA \nonumber

dondeR está el círculo unitario en elxy plano.

Solución

La regiónR es un círculo unitario, por lo que podemos describirla comoR = \{(r, \theta )\,|\,0 \leq r \leq 1, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi \}.

Usando la conversiónx = r \, \cos \, \theta, \, y = r \, \sin \, \theta, ydA = r \, dr \, d\theta, tenemos

\begin{align*} \iint_R (1 - x^2 - y^2) \,dA &= \int_0^{2\pi} \int_0^1 (1 - r^2) \,r \, dr \, d\theta \\[4pt] &= \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r - r^3) \,dr \, d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \left[\frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\right]_0^1 \,d\theta \\&= \int_0^{2\pi} \frac{1}{4}\,d\theta = \frac{\pi}{2}. \end{align*}

Ejemplo\PageIndex{2B}: Evaluating a Double Integral by Converting from Rectangular Coordinates

Evaluar la integral\displaystyle \iint_R (x + y) \,dA \nonumber dondeR = \big\{(x,y)\,|\,1 \leq x^2 + y^2 \leq 4, \, x \leq 0 \big\}.

Solución

Podemos ver queR es una región anular que puede convertirse en coordenadas polares y describirse comoR = \left\{(r, \theta)\,|\,1 \leq r \leq 2, \, \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2} \right\} (ver la siguiente gráfica).

Se dibujan dos semicírculos en el segundo y tercer cuadrantes, con ecuaciones x cuadrado + y cuadrado = 1 y x cuadrado + y cuadrado = 2.
Figura\PageIndex{4}: La región anular de integraciónR.

Por lo tanto, usando la conversiónx = r \, \cos \, \theta, \, y = r \, \sin \, \thetadA = r \, dr \, d\theta, y, tenemos

\begin{align*} \iint_R (x + y)\,dA &= \int_{\theta=\pi/2}^{\theta=3\pi/2} \int_{r=1}^{r=2} (r \, \cos \, \theta + r \, \sin \, \theta) r \, dr \, d\theta \\ &= \left(\int_{r=1}^{r=2} r^2 \, dr\right)\left(\int_{\pi/2}^{3\pi/2} (\cos \, \theta + \sin \, \theta)\,d\theta\right) \\ &= \left. \left[\frac{r^3}{3}\right]_1^2 [\sin \, \theta - \cos \, \theta] \right|_{\pi/2}^{3\pi/2} \\ &= - \frac{14}{3}. \end{align*}

Ejercicio\PageIndex{2}

Evalúe la integral \displaystyle \iint_R (4 - x^2 - y^2)\,dA \nonumber dondeR está el círculo de radio 2 en elxy plano.

Pista

Sigue los pasos del ejemplo anterior.

Responder

8\pi

Regiones Polares Generales de Integración

Para evaluar la doble integral de una función continua mediante integrales iteradas sobre regiones polares generales, consideramos dos tipos de regiones, análogas a Tipo I y Tipo II como se discutió para las coordenadas rectangulares en la sección de Integrales Dobles sobre Regiones Generales. Es más común escribir ecuaciones polares comor = f(\theta) que\theta = f(r), por lo que describimos una región polar general comoR = \{(r, \theta)\,|\,\alpha \leq \theta \leq \beta, \, h_1 (\theta) \leq r \leq h_2(\theta)\} (Figura\PageIndex{5}).

Una región D se muestra en coordenadas polares con bordes dados por theta = alfa, theta = beta, r = h2 (theta) y r = h1 (theta).
Figura\PageIndex{5}: Una región polar general entre\alpha \leq \theta \leq \beta yh_1(\theta) \leq r \leq h_2(\theta).
Teorema: Integrales dobles sobre regiones polares generales

Sif(r, \theta) es continuo en una región polar generalD como se describió anteriormente, entonces

\iint_D f(r, \theta ) \,r \, dr \, d\theta = \int_{\theta=\alpha}^{\theta=\beta} \int_{r=h_1(\theta)}^{r=h_2(\theta)} f(r,\theta) \, r \, dr \, d\theta. \nonumber

Ejemplo\PageIndex{3}: Evaluating a Double Integral over a General Polar Region

Evaluar la integral

\iint_D r^2 \sin \theta \, r \, dr \, d\theta \nonumber

dondeD está la región delimitada por el eje polar y la mitad superior del cardioider = 1 + \cos \, \theta.

Solución

Podemos describir la regiónD\{(r, \theta)\,|\,0 \leq \theta \leq \pi, \, 0 \leq r \leq 1 + \cos \, \theta\} como se muestra en la Figura\PageIndex{6}.

Una región D se da como la mitad superior de un cardioide con la ecuación r = 1 + cos theta.
Figura\PageIndex{6}: La regiónD es la mitad superior de un cardioide.

Por lo tanto, tenemos

\begin{align*} \iint_D r^2 \sin \, \theta \, r \, dr \, d\theta &= \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \int_{r=0}^{r=1+\cos \theta} (r^2 \sin \, \theta) \,r \, dr \, d\theta \\ &= \frac{1}{4}\left.\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}[r^4] \right|_{r=0}^{r=1+\cos \, \theta} \sin \, \theta \, d\theta \\ &= \frac{1}{4} \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} (1 + \cos \, \theta )^4 \sin \, \theta \, d\theta \\ &= - \frac{1}{4} \left[ \frac{(1 + \cos \, \theta)^5}{5}\right]_0^{\pi} = \frac{8}{5}.\end{align*}

Ejercicio\PageIndex{3}

Evaluar la integral

\iint_D r^2 \sin^2 2\theta \,r \, dr \, d\theta \nonumber

dondeD = \left\{ (r,\theta)\,|\,0 \leq \theta \leq \pi, \, 0 \leq r \leq 2 \sqrt{\cos \, 2\theta} \right\}.

Pista

Grafica la región y sigue los pasos del ejemplo anterior.

Responder

\frac{\pi}{8}

Áreas Polares y Volúmenes

Al igual que en las coordenadas rectangulares, si un sólidoS está delimitado por la superficiez = f(r, \theta), así como por las superficiesr = a, \, r = b, \, \theta = \alpha\theta = \beta, y, podemos encontrar el volumenV deS por doble integración, como

V = \iint_R f(r, \theta) \,r \, dr \, d\theta = \int_{\theta=\alpha}^{\theta=\beta} \int_{r=a}^{r=b} f(r,\theta)\, r \, dr \, d\theta. \nonumber

Si la base del sólido se puede describir comoD = \{(r, \theta)|\alpha \leq \theta \leq \beta, \, h_1 (\theta) \leq r \leq h_2(\theta)\}, entonces la doble integral para el volumen se convierte en

V = \iint_D f(r, \theta) \,r \, dr \, d\theta = \int_{\theta=\alpha}^{\theta=\beta} \int_{r=h_1(\theta)}^{r=h_2(\theta)} f(r,\theta) \,r \, dr \, d\theta. \nonumber

Ilustramos esta idea con algunos ejemplos.

Ejemplo\PageIndex{4A}: Finding a Volume Using a Double Integral

Encuentra el volumen del sólido que se encuentra debajo del paraboloidez = 1 - x^2 - y^2 y por encima del círculo unitario en elxy plano -plano (Figura\PageIndex{7}).

Se muestra el paraboloide z = 1 menos x cuadrado menos y cuadrado, que en esta gráfica parece una hoja con el centro suavemente inflado hacia arriba y las esquinas ancladas.
Figura\PageIndex{7}: Encontrar el volumen de un sólido bajo un paraboloide y por encima del círculo unitario.

Solución

Por el método de doble integración, podemos ver que el volumen es la integral iterada de la forma

\displaystyle \iint_R (1 - x^2 - y^2)\,dA \nonumber

dondeR = \big\{(r, \theta)\,|\,0 \leq r \leq 1, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi\big\}.

Esta integración se mostró antes en Ejemplo\PageIndex{2A}, por lo que el volumen es de unidades\frac{\pi}{2} cúbicas.

Ejemplo\PageIndex{4B}: Finding a Volume Using Double Integration

Encuentra el volumen del sólido que se encuentra debajo del paraboloidez = 4 - x^2 - y^2 y por encima del disco(x - 1)^2 + y^2 = 1 en elxy plano. Ver el paraboloide en la Figura\PageIndex{8} intersectando el cilindro(x - 1)^2 + y^2 = 1 por encima delxy plano.

Un paraboloide con ecuación z = 4 menos x cuadrado menos y cuadrado es intersectado por un cilindro con ecuación (x menos 1) cuadrado + y cuadrado = 1.
Figura\PageIndex{8}: Encontrar el volumen de un sólido con una tapa paraboloide y una base circular.

Solución

Primero cambia el disco(x - 1)^2 + y^2 = 1 a coordenadas polares. Ampliando el término cuadrado, tenemosx^2 - 2x + 1 + y^2 = 1. Entonces simplifican para obtenerx^2 + y^2 = 2x, que en coordenadas polares se convierter^2 = 2r \, \cos \, \theta y luegor = 0 o bienr = 2 \, \cos \, \theta. De igual manera, la ecuación del paraboloide cambia az = 4 - r^2. Por lo tanto, podemos describir el disco(x - 1)^2 + y^2 = 1 en elxy plano como la región

D = \{(r,\theta)\,|\,0 \leq \theta \leq \pi, \, 0 \leq r \leq 2 \, \cos \theta\}. \nonumber

De ahí que el volumen del sólido delimitado por arriba por el paraboloidez = 4 - x^2 - y^2 y por debajor = 2 \, \cos \theta es

\begin{align*} V &= \iint_D f(r, \theta) \,r \, dr \, d\theta \\&= \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \int_{r=0}^{r=2 \, \cos \, \theta} (4 - r^2) \,r \, dr \, d\theta\\ &= \int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\left.\left[4\frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\right|_0^{2 \, \cos \, \theta}\right]d\theta \\ &= \int_0^{\pi} [8 \, \cos^2\theta - 4 \, \cos^4\theta]\,d\theta \\&= \left[\frac{5}{2}\theta + \frac{5}{2} \sin \, \theta \, \cos \, \theta - \sin \, \theta \cos^3\theta \right]_0^{\pi} = \frac{5}{2}\pi\; \text{units}^3. \end{align*}

Observe en el siguiente ejemplo que la integración no siempre es fácil con coordenadas polares. La complejidad de la integración depende de la función y también de la región sobre la que necesitamos realizar la integración. Si la región tiene una expresión más natural en coordenadas polares o sif tiene una antiderivada más simple en coordenadas polares, entonces el cambio en las coordenadas polares es apropiado; de lo contrario, use coordenadas rectangulares.

Ejemplo\PageIndex{5A}: Finding a Volume Using a Double Integral

Encuentra el volumen de la región que se encuentra bajo el paraboloidez = x^2 + y^2 y por encima del triángulo encerrado por las líneasy = x, \, x = 0, yx + y = 2 en elxy plano.

Solución

Primero examinamos la región sobre la que necesitamos configurar la doble integral y el paraboloide acompañante.

Esta cifra consta de tres figuras. El primero es simplemente un paraboloide que se abre. El segundo muestra la región D delimitada por x = 0, y = x, y x + y = 2 con una flecha vertical de doble cara dentro de la región. El segundo muestra la misma región pero en coordenadas polares, por lo que las líneas que delimitan D son theta = pi/2, r = 2/ (cos theta + sin theta), y theta = pi/4, con una flecha de doble cara que tiene un lado apuntando al origen.
Figura\PageIndex{9}: Encontrar el volumen de un sólido bajo un paraboloide y por encima de un triángulo dado.

La regiónD es\{(x,y)\,|\,0 \leq x \leq 1, \, x \leq y \leq 2 - x\}. Convertir las líneasy = x, \, x = 0, yx + y = 2 en elxy -plano a funciones der y\theta tenemos\theta = \pi/4, \, \theta = \pi/2, yr = 2 / (\cos \, \theta + \sin \, \theta), respectivamente. Graficando la región en elxy plano, vemos que se pareceD = \{(r, \theta)\,|\,\pi/4 \leq \theta \leq \pi/2, \, 0 \leq r \leq 2/(\cos \, \theta + \sin \, \theta)\}.

Ahora convirtiendo la ecuación de la superficie daz = x^2 + y^2 = r^2. Por lo tanto, el volumen del sólido viene dado por la doble integral

\begin{align*} V &= \iint_D f(r, \theta)\,r \, dr \, d\theta \\&= \int_{\theta=\pi/4}^{\theta=\pi/2} \int_{r=0}^{r=2/ (\cos \, \theta + \sin \, \theta)} r^2 r \, dr d\theta \\ &= \int_{\pi/4}^{\pi/2}\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^{2/(\cos \, \theta + \sin \, \theta)} d\theta \\ &=\frac{1}{4}\int_{\pi/4}^{\pi/2} \left(\frac{2}{\cos \, \theta + \sin \, \theta}\right)^4 d\theta \\ &= \frac{16}{4} \int_{\pi/4}^{\pi/2} \left(\frac{1}{\cos \, \theta + \sin \, \theta} \right)^4 d\theta \\&= 4\int_{\pi/4}^{\pi/2} \left(\frac{1}{\cos \, \theta + \sin \, \theta}\right)^4 d\theta. \end{align*}

Como se puede ver, esta integral es muy complicada. Entonces, podemos evaluar esta doble integral en coordenadas rectangulares como

V = \int_0^1 \int_x^{2-x} (x^2 + y^2) \,dy \, dx. \nonumber

Evaluando da

\begin{align*} V &= \int_0^1 \int_x^{2-x} (x^2 + y^2) \,dy \, dx \\&= \int_0^1 \left.\left[x^2y + \frac{y^3}{3}\right]\right|_x^{2-x} dx\\ &= \int_0^1 \frac{8}{3} - 4x + 4x^2 - \frac{8x^3}{3} \,dx \\ &= \left.\left[\frac{8x}{3} - 2x^2 + \frac{4x^3}{3} - \frac{2x^4}{3}\right]\right|_0^1 \\&= \frac{4}{3} \; \text{units}^3. \end{align*}

Para responder a la pregunta de cómo se encuentran las fórmulas para los volúmenes de diferentes sólidos estándar como una esfera, un cono o un cilindro, queremos demostrar un ejemplo y encontrar el volumen de un cono arbitrario.

Ejemplo\PageIndex{5B}: Finding a Volume Using a Double Integral

Usa coordenadas polares para encontrar el volumen dentro del conoz = 2 - \sqrt{x^2 + y^2} y por encima delxy plano.

Solución

La regiónD para la integración es la base del cono, que parece ser un círculo en elxy plano -( Figura\PageIndex{10}).

Un cono dado por z = 2 menos la raíz cuadrada de (x cuadrado más y cuadrado) y un círculo dado por x cuadrado más y cuadrado = 4. El cono está por encima del círculo en el espacio xyz.
Figura\PageIndex{10}: Encontrar el volumen de un sólido dentro del cono y por encima delxy plano.

Encontramos la ecuación del círculo estableciendoz = 0:

\begin{align*} 0 &= 2 - \sqrt{x^2 + y^2} \\ 2 &= \sqrt{x^2 + y^2} \\ x^2 + y^2 &= 4. \end{align*}

Esto significa que el radio del círculo es2 así para la integración que tenemos0 \leq \theta \leq 2\pi y0 \leq r \leq 2. Sustituyendox = r \, \cos \theta yy = r \, \sin \, \theta en la ecuaciónz = 2 - \sqrt{x^2 + y^2} que tenemosz = 2 - r. Por lo tanto, el volumen del cono es

\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{r=0}^{r=2} (2 - r)\,r \, dr \, d\theta = 2 \pi \frac{4}{3} = \frac{8\pi}{3}\; \text{cubic units.} \nonumber

Análisis

Tenga en cuenta que si encontráramos el volumen de un cono arbitrario con\alpha unidades de radio yh unidades de altura, entonces la ecuación del cono seríaz = h - \frac{h}{a}\sqrt{x^2 + y^2}.

Todavía podemos usar Figura\PageIndex{10} y configurar la integral como

\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{r=0}^{r=a} \left(h - \frac{h}{a}r\right) r \, dr \, d\theta. \nonumber

Evaluando la integral, obtenemos\frac{1}{3} \pi a^2 h.

Ejercicio\PageIndex{5}

Utilice coordenadas polares para encontrar una integral iterada para encontrar el volumen del sólido encerrado por los paraboloidesz = x^2 + y^2 yz = 16 - x^2 - y^2.

Pista

Dibujar las gráficas puede ayudar.

Responder

V = \int_0^{2\pi} \int_0^{2\sqrt{2}} (16 - 2r^2) \,r \, dr \, d\theta = 64 \pi \; \text{cubic units.} \nonumber

Al igual que con las coordenadas rectangulares, también podemos usar coordenadas polares para encontrar áreas de ciertas regiones usando una doble integral. Como antes, necesitamos entender la región cuya área queremos calcular. Dibujar un gráfico e identificar la región puede ser útil para darse cuenta de los límites de la integración. Generalmente, la fórmula de área en doble integración se verá como

\text{Area of} \, A = \int_{\alpha}^{\beta} \int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)} 1 \,r \, dr \, d\theta. \nonumber

Ejemplo\PageIndex{6A}: Finding an Area Using a Double Integral in Polar Coordinates

Evaluar el área delimitada por la curvar = \cos \, 4\theta.

Solución

Al esbozar la gráfica de la función, ser = \cos \, 4\theta revela que se trata de una rosa polar con ocho pétalos (ver la siguiente figura).

Una rosa con ocho pétalos dados por r = cos (4 theta).
Figura\PageIndex{11}: Hallar el área de una rosa polar con ocho pétalos.

Usando la simetría, podemos ver que necesitamos encontrar el área de un pétalo y luego multiplicarla por 8. Observe que los valores de\theta para los cuales la gráfica pasa por el origen son los ceros de la función\cos \, 4\theta, y estos son múltiplos impares de\pi/8. Así, uno de los pétalos corresponde a los valores de\theta en el intervalo[-\pi/8, \pi/8]. Por lo tanto, el área delimitada por la curvar = \cos \, 4\theta es

\begin{align*} A &= 8 \int_{\theta=-\pi/8}^{\theta=\pi/8} \int_{r=0}^{r=\cos \, 4\theta} 1\,r \, dr \, d\theta \\ &= 8 \int_{\theta=-\pi/8}^{\theta=\pi/8}\left.\left[\frac{1}{2}r^2\right|_0^{\cos \, 4\theta}\right] d\theta \\ &= 8 \int_{-\pi/8}^{\pi/8} \frac{1}{2} \cos^24\theta \, d\theta \\&= 8\left. \left[\frac{1}{4} \theta + \frac{1}{16} \sin \, 4\theta \, \cos \, 4\theta \right|_{-\pi/8}^{\pi/8}\right] \\&= 8 \left[\frac{\pi}{16}\right] = \frac{\pi}{2}\; \text{units}^2. \end{align*}

Ejemplo\PageIndex{6B}: Finding Area Between Two Polar Curves

Encuentra el área encerrada por el círculor = 3 \, \cos \, \theta y el cardioider = 1 + \cos \, \theta.

Solución

En primer lugar, esbozar las gráficas de la región (Figura\PageIndex{12}).

Se muestra un cardioide con la ecuación 1 + cos theta superponiendo un círculo dado por r = 3 cos theta, que es un círculo de radio 3 con centro (1.5, 0). Se sombrea el área delimitada por el eje x, el cardioide y la línea discontinua que conecta el origen con la intersección del cardioide y el círculo en la línea r = 2.
Figura\PageIndex{12}: Encontrar el área encerrada tanto por un círculo como por un cardioide.

Podemos a partir de ver la simetría de la gráfica que necesitamos para encontrar los puntos de intersección. Establecer las dos ecuaciones iguales entre sí da

3 \, \cos \, \theta = 1 + \cos \, \theta. \nonumber

Uno de los puntos de intersección es\theta = \pi/3. El área por encima del eje polar consta de dos partes, con una parte definida por el cardioide de\theta = 0 a\theta = \pi/3 y la otra parte definida por el círculo de\theta = \pi/3 a\theta = \pi/2. Por simetría, el área total es el doble del área por encima del eje polar. Por lo tanto, tenemos

A = 2 \left[\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/3} \int_{r=0}^{r=1+\cos \, \theta} 1 \,r \, dr \, d\theta + \int_{\theta=\pi/3}^{\theta=\pi/2} \int_{r=0}^{r=3 \, \cos \, \theta} 1\,r \, dr \, d\theta \right]. \nonumber

Evaluando cada pieza por separado, encontramos que el área es

A = 2 \left(\frac{1}{4}\pi + \frac{9}{16} \sqrt{3} + \frac{3}{8} \pi - \frac{9}{16} \sqrt{3} \right) = 2 \left(\frac{5}{8}\pi\right) = \frac{5}{4}\pi \, \text{square units.} \nonumber

Ejercicio\PageIndex{6}

Encuentra el área encerrada dentro del cardioider = 3 - 3 \, \sin \theta y fuera del cardioider = 1 + \sin \theta.

Pista

Dibuje la gráfica y resuelva los puntos de intersección.

Responder

A = 2 \int_{-\pi/2}^{\pi/6} \int_{1+\sin \, \theta}^{3-3\sin \, \theta} \,r \, dr \, d\theta = \left(8 \pi + 9 \sqrt{3}\right) \; \text{units}^2 \nonumber

Ejemplo\PageIndex{7}: Evaluating an Improper Double Integral in Polar Coordinates

Evaluar la integral

\iint_{R^2} e^{-10(x^2+y^2)} \,dx \, dy. \nonumber

Solución

Esta es una integral impropia porque nos estamos integrando sobre una región sin límitesR^2. En coordenadas polares, todo el planoR^2 puede ser visto como0 \leq \theta \leq 2\pi, \, 0 \leq r \leq \infty.

Usando los cambios de variables de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, tenemos

\begin{align*} \iint_{R^2} e^{-10(x^2+y^2)}\,dx \, dy &= \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{r=0}^{r=\infty} e^{-10r^2}\,r \, dr \, d\theta = \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \left(\lim_{a\rightarrow\infty} \int_{r=0}^{r=a} e^{-10r^2}r \, dr \right) d\theta \\ &=\left(\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\right) d\theta \left(\lim_{a\rightarrow\infty} \int_{r=0}^{r=a} e^{-10r^2}r \, dr \right) \\ &=2\pi \left(\lim_{a\rightarrow\infty} \int_{r=0}^{r=a} e^{-10r^2}r \, dr \right) \\ &=2\pi \lim_{a\rightarrow\infty}\left(-\frac{1}{20}\right)\left(\left. e^{-10r^2}\right|_0^a\right) \\ &=2\pi \left(-\frac{1}{20}\right)\lim_{a\rightarrow\infty}\left(e^{-10a^2} - 1\right) \\ &= \frac{\pi}{10}. \end{align*}

Ejercicio\PageIndex{7}

Evaluar la integral

\iint_{R^2} e^{-4(x^2+y^2)}dx \, dy. \nonumber

Pista

Convertir al sistema de coordenadas polares.

Responder

\frac{\pi}{4}

Conceptos clave

  • Para aplicar una doble integral a una situación con simetría circular, a menudo es conveniente usar una doble integral en coordenadas polares. Podemos aplicar estas integrales dobles sobre una región rectangular polar o una región polar general, utilizando una integral iterada similar a las utilizadas con integrales dobles rectangulares.
  • El áreadA en coordenadas polares se convierte enr \, dr \, d\theta.
  • Utilicex = r \, \cos \, \theta, \, y = r \, \sin \, \theta, ydA = r \, dr \, d\theta para convertir una integral en coordenadas rectangulares en una integral en coordenadas polares.
  • Utilizarr^2 = x^2 + y^2 y\theta = tan^{-1} \left(\frac{y}{x}\right) convertir una integral en coordenadas polares en una integral en coordenadas rectangulares, si es necesario.
  • Para encontrar el volumen en coordenadas polares delimitadas arriba por una superficiez = f(r, \theta) sobre una región en elxy plano, use una doble integral en coordenadas polares.

Ecuaciones Clave

  • Doble integral sobre una región rectangular polarR

\iint_R f(r, \theta) dA = \lim_{m,n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(r_{ij}^*, \theta_{ij}^*) \Delta A = \lim_{m,n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^nf(r_{ij}^*,\theta_{ij}^*)r_{ij}^*\Delta r \Delta \theta \nonumber

  • Doble integral sobre una región polar general

\iint_D f(r, \theta)\,r \, dr \, d\theta = \int_{\theta=\alpha}^{\theta=\beta} \int_{r=h_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f (r,\theta) \,r \, dr \, d\theta \nonumber

Glosario

rectángulo polar
la región encerrada entre los círculosr = ar = b y y los ángulos\theta = \alpha y\theta = \beta; se describe comoR = \{(r, \theta)\,|\,a \leq r \leq b, \, \alpha \leq \theta \leq \beta\}

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