15.5E: Ejercicios para la Sección 15.5
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1. \(f(x,y,z) = z, \quad B = \big\{(x,y,z)\, | \,x^2 + y^2 \leq 9, \quad x \leq 0, \quad y \leq 0, \quad 0 \leq z \leq 1\big\}\)
- Contestar
- \(\frac{9\pi}{8}\)
2. \(f(x,y,z) = xz^2, \space B = \big\{(x,y,z)\, | \,x^2 + y^2 \leq 16, \space x \geq 0, \space y \leq 0, \space -1 \leq z \leq 1\big\}\)
3. \(f(x,y,z) = xy, \space B = \big\{(x,y,z)\, | \,x^2 + y^2 \leq 1, \space x \geq 0, \space x \geq y, \space -1 \leq z \leq 1\big\}\)
- Contestar
- \(\frac{1}{8}\)
4. \(f(x,y,z) = x^2 + y^2, \space B = \big\{(x,y,z)\, | \,x^2 + y^2 \leq 4, \space x \geq 0, \space x \leq y, \space 0 \leq z \leq 3\big\}\)
5. \(f(x,y,z) = e^{\sqrt{x^2+y^2}}, \space B = \big\{(x,y,z)\, | \,1 \leq x^2 + y^2 \leq 4, \space y \leq 0, \space x \leq y\sqrt{3}, \space 2 \leq z \leq 3 \big\}\)
- Contestar
- \(\frac{\pi e^2}{6}\)
6. \(f(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2}, \space B = \big\{(x,y,z)\, | \,1 \leq x^2 + y^2 \leq 9, \space y \leq 0, \space 0 \leq z \leq 1\big\}\)
7. a. Dejar\(B\) ser una concha cilíndrica con radio interior radio\(a\) exterior\(b\), y altura\(c\) donde\(0 < a < b\) y\(c>0\). Supongamos que una función\(F\) definida en\(B\) puede expresarse en coordenadas cilíndricas como\(F(x,y,z) = f(r) + h(z)\), dónde\(f\) y\(h\) son funciones diferenciables. Si\(\displaystyle \int_a^b \bar{f} (r) \,dr = 0\) y\(\bar{h}(0) = 0\), donde\(\bar{f}\) y\(\bar{h}\) son antiderivados de\(f\) y\(h\), respectivamente, muestran que\(\displaystyle \iiint_B F(x,y,z) \,dV = 2\pi c (b\bar{f} (b) - a \bar{f}(a)) + \pi(b^2 - a^2) \bar{h} (c).\)
b. Utilice el resultado anterior para mostrar\( \displaystyle \iiint_B \left(z + \sin \sqrt{x^2 + y^2}\right) \,dx \space dy \space dz = 6 \pi^2 ( \pi - 2),\) dónde\(B\) está una carcasa cilíndrica con radio interior\(2\pi\), radio\(\pi\) exterior y altura\(2\).
8. a. Dejar\(B\) ser una concha cilíndrica con radio interior radio\(a\) exterior\(b\) y altura\(c\) donde\(0 < a < b\) y\(c > 0\). Supongamos que una función\(F\) definida en\(B\) puede expresarse en coordenadas cilíndricas como\(F(x,y,z) = f(r) g(\theta) f(z)\), dónde\(f, \space g,\) y\(h\) son funciones diferenciables. Si\(\displaystyle\int_a^b \tilde{f} (r) \, dr = 0,\) donde\(\tilde{f}\) es un antiderivado de\(f\), mostrar que\(\displaystyle\iiint_B F (x,y,z)\,dV = [b\tilde{f}(b) - a\tilde{f}(a)] [\tilde{g}(2\pi) - \tilde{g}(0)] [\tilde{h}(c) - \tilde{h}(0)],\) donde\(\tilde{g}\) y\(\tilde{h}\) son antiderivados de\(g\) y\(h\), respectivamente.
b. Utilice el resultado anterior para mostrar\(\displaystyle\iiint_B z \sin \sqrt{x^2 + y^2} \,dx \space dy \space dz = - 12 \pi^2,\) dónde\(B\) está una carcasa cilíndrica con radio interior\(2\pi\), radio\(\pi\) exterior y altura\(2\).
En los ejercicios 9 - 12, los límites del sólido\(E\) se dan en coordenadas cilíndricas.
a. Expresar la región\(E\) en coordenadas cilíndricas.
b. Convertir las coordenadas integrales\(\displaystyle \iiint_E f(x,y,z) \,dV\) a cilíndricas.
9. \(E\)está delimitado por el cilindro circular derecho\(r = 4 \sin \theta\), el\(r\theta\) plano y la esfera\(r^2 + z^2 = 16\).
- Contestar
-
a.\(E = \big\{(r,\theta,z)\, | \,0 \leq \theta \leq \pi, \space 0 \leq r \leq 4 \sin \theta, \space 0 \leq z \leq \sqrt{16 - r^2}\big\}\)
b.\(\displaystyle\int_0^{\pi} \int_0^{4 \sin \theta} \int_0^{\sqrt{16-r^2}} f(r,\theta, z) r \, dz \space dr \space d\theta\)
10. \(E\)está delimitado por el cilindro circular derecho\(r = \cos \theta\), el\(r\theta\) plano y la esfera\(r^2 + z^2 = 9\).
11. \(E\)se encuentra en el primer octante y está delimitado por el paraboloide circular\(z = 9 - 3r^2\), el cilindro\(r = \sqrt{3}\) y el plano\(r(\cos \theta + \sin \theta) = 20 - z\).
- Contestar
-
a.\(E = \big\{(r,\theta,z) \, | \, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \space 0 \leq r \leq \sqrt{3}, \space 9 - r^2 \leq z \leq 10 - r(\cos \theta + \sin \theta)\big\}\)
b.\(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \int_0^{\sqrt{3}} \int_{9-r^2}^{10-r(\cos \theta + \sin \theta)} f(r,\theta,z) r \space dz \space dr \space d\theta\)
12. \(E\)se encuentra en el primer octante fuera del paraboloide circular\(z = 10 - 2r^2\) y dentro del cilindro\(r = \sqrt{5}\) y está delimitado también por los planos\(z = 20\) y\(\theta = \frac{\pi}{4}\).
En los ejercicios 13 - 16,\(E\) se dan la función\(f\) y región.
a. Expresar la región\(E\) y la función\(f\) en coordenadas cilíndricas.
b. Convertir la integral\(\displaystyle \iiint_B f(x,y,z) \,dV\) en coordenadas cilíndricas y evaluarla.
13. \(f(x,y,z) = x^2 + y^2\),\(E = \big\{(x,y,z)\, | \,0 \leq x^2 + y^2 \leq 9, \space x \geq 0, \space y \geq 0, \space 0 \leq z \leq x + 3\big\}\)
- Contestar
-
a.\(E = \big\{(r,\theta,z)\, | \,0 \leq r \leq 3, \space 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \space 0 \leq z \leq r \space \cos \theta + 3\big\},\)
\(f(r,\theta,z) = \frac{1}{r \space \cos \theta + 3}\)b.\(\displaystyle \int_0^3 \int_0^{\pi/2} \int_0^{r \space \cos \theta+3} \frac{r}{r \space \cos \theta + 3} \, dz \space d\theta \space dr = \frac{9\pi}{4}\)
14. \(f(x,y,z) = x^2 + y^2, \space E = \big\{(x,y,z) |0 \leq x^2 + y^2 \leq 4, \space y \geq 0, \space 0 \leq z \leq 3 - x \big\}\)
15. \(f(x,y,z) = x, \space E = \big\{(x,y,z)\, | \,1 \leq y^2 + z^2 \leq 9, \space 0 \leq x \leq 1 - y^2 - z^2\big\}\)
- Contestar
-
a.\(y = r \space \cos \theta, \space z = r \space \sin \theta, \space x = z,\space E = \big\{(r,\theta,z)\, | \,1 \leq r \leq 3, \space 0 \leq \theta \leq 2\pi, \space 0 \leq z \leq 1 - r^2\big\}, \space f(r,\theta,z) = z\);
b.\(\displaystyle \int_1^3 \int_0^{2\pi} \int_0^{1-r^2} z r \space dz \space d\theta \space dr = \frac{356 \pi}{3}\)
16. \(f(x,y,z) = y, \space E = \big\{(x,y,z)\, | \,1 \leq x^2 + z^2 \leq 9, \space 0 \leq y \leq 1 - x^2 - z^2 \big\}\)
En los ejercicios 17 - 24, encuentra el volumen del sólido\(E\) cuyos límites se dan en coordenadas rectangulares.
17. \(E\)está por encima del\(xy\) plano, dentro del cilindro\(x^2 + y^2 = 1\) y por debajo del plano\(z = 1\).
- Contestar
- \(\pi\)
18. \(E\)está debajo del plano\(z = 1\) y dentro del paraboloide\(z = x^2 + y^2\).
19. \(E\)está delimitado por el cono circular\(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) y\(z = 1\).
- Contestar
- \(\frac{\pi}{3}\)
20. \(E\)se encuentra por encima del\(xy\) plano, abajo\(z = 1\), fuera del hiperboloide\(x^2 + y^2 - z^2 = 1\) de una hoja y dentro del cilindro\(x^2 + y^2 = 2\).
21. \(E\)se encuentra dentro del cilindro\(x^2 + y^2 = 1\) y entre los paraboloides circulares\(z = 1 - x^2 - y^2\) y\(z = x^2 + y^2\).
- Contestar
- \(\pi\)
22. \(E\)se encuentra dentro de la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\), por encima del\(xy\) plano y dentro del cono circular\(z = \sqrt{x^2 + y^2}\).
23. \(E\)se encuentra fuera del cono circular\(x^2 + y^2 = (z - 1)^2\) y entre los planos\(z = 0\) y\(z = 2\).
- Contestar
- \(\frac{4\pi}{3}\)
24. \(E\)se encuentra fuera del cono circular\(z = 1 - \sqrt{x^2 + y^2}\), por encima del\(xy\) plano -plano, por debajo del paraboloide circular, y entre los planos\(z = 0\) y\(z = 2\).
25. [T] Utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) para graficar el sólido cuyo volumen viene dado por la integral iterada en coordenadas cilíndricas\(\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^1 \int_{r^2}^r r \, dz \, dr \, d\theta.\) Encuentra el volumen\(V\) del sólido. Redondea tu respuesta a cuatro decimales.
- Contestar
-
\(V = \frac{pi}{12} \approx 0.2618\)
26. [T] Utilice un CAS para graficar el sólido cuyo volumen viene dado por la integral iterada en coordenadas cilíndricas\(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \int_0^1 \int_{r^4}^r r \, dz \, dr \, d\theta.\) Find the volume \(E\) of the solid. Round your answer to four decimal places.
27. Convert the integral \(\displaystyle\int_0^1 \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \int_{x^2+y^2}^{\sqrt{x^2+y^2}} xz \space dz \space dx \space dy\) into an integral in cylindrical coordinates.
- Answer
- \(\displaystyle\int_0^1 \int_0^{\pi} \int_{r^2}^r zr^2 \space \cos \theta \, dz \space d\theta \space dr\)
28. Convert the integral \(\displaystyle \int_0^2 \int_0^y \int_0^1 (xy + z) \, dz \space dx \space dy\) into an integral in cylindrical coordinates.
In exercises 29 - 32, evaluate the triple integral \(\displaystyle \iiint_B f(x,y,z) \,dV\) over the solid \(B\).
29. \(f(x,y,z) = 1, \space B = \big\{(x,y,z)\, | \,x^2 + y^2 + z^2 \leq 90, \space z \geq 0\big\}\)
[Ocultar solución]
- Contestar
- \(180 \pi \sqrt{10}\)
30. \(f(x,y,z) = 1 - \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \space B = \big\{(x,y,z)\, | \,x^2 + y^2 + z^2 \leq 9, \space y \geq 0, \space z \geq 0\big\}\)
31. \(f(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2}, \space B \) is bounded above by the half-sphere \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) with \(z \geq 0\) and below by the cone \(2z^2 = x^2 + y^2\).
- Answer
- \(\frac{81\pi(\pi - 2)}{16}\)
32. \(f(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2}, \space B \) is bounded above by the half-sphere \(x^2 + y^2 + z^2 = 16\) with \(z \geq 0\) and below by the cone \(2z^2 = x^2 + y^2\).
33. Show that if \(F ( \rho,\theta,\varphi) = f(\rho)g(\theta)h(\varphi)\) is a continuous function on the spherical box \(B = \big\{(\rho,\theta,\varphi)\, | \,a \leq \rho \leq b, \space \alpha \leq \theta \leq \beta, \space \gamma \leq \varphi \leq \psi\big\}\), then \(\displaystyle\iiint_B F \space dV = \left(\int_a^b \rho^2 f(\rho) \space dr \right) \left( \int_{\alpha}^{\beta} g (\theta) \space d\theta \right)\left( \int_{\gamma}^{\psi} h (\varphi) \space \sin \varphi \space d\varphi \right).\)
34. A function \(F\) is said to have spherical symmetry if it depends on the distance to the origin only, that is, it can be expressed in spherical coordinates as \(F(x,y,z) = f(\rho)\), where \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\). Show that \(\displaystyle\iiint_B F(x,y,z) \,dV = 2\pi \int_a^b \rho^2 f(\rho) \,d\rho,\) where \(B\) is the region between the upper concentric hemispheres of radii \(a\) and \(b\) centered at the origin, with \(0 < a < b\) and \(F\) a spherical function defined on \(B\).
Use the previous result to show that \(\displaystyle\iiint_B (x^2 + y^2 + z^2) \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} dV = 21 \pi,\) where \(B = \big\{(x,y,z)\, | \,1 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 2, \space z \geq 0\big\}\).
35. Let \(B\) be the region between the upper concentric hemispheres of radii a and b centered at the origin and situated in the first octant, where \(0 < a < b\). Consider F a function defined on B whose form in spherical coordinates \((\rho,\theta,\varphi)\) is \(F(x,y,z) = f(\rho)\cos \varphi\). Show that if \(g(a) = g(b) = 0\) and \(\displaystyle\int_a^b h (\rho) \, d\rho = 0,\) then \(\displaystyle\iiint_B F(x,y,z)\,dV = \frac{\pi^2}{4} [ah(a) - bh(b)],\) where \(g\) is an antiderivative of \(f\) and \(h\) is an antiderivative of \(g\).
Use the previous result to show that \(\displaystyle \iiint_B = \frac{z \cos \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \, dV = \frac{3\pi^2}{2},\) where \(B\) is the region between the upper concentric hemispheres of radii \(\pi\) and \(2\pi\) centered at the origin and situated in the first octant.
In exercises 36 - 39, the function \(f\) and region \(E\) are given.
a. Express the region \(E\) and function \(f\) in cylindrical coordinates.
b. Convert the integral \(\displaystyle \iiint_B f(x,y,z)\, dV\) into cylindrical coordinates and evaluate it.
36. \(f(x,y,z) = z; \space E = \big\{(x,y,z)\, | \,0 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 1, \space z \geq 0\big\}\)
37. \(f(x,y,z) = x + y; \space E = \big\{(x,y,z)\, | \,1 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 2, \space z \geq 0, \space y \geq 0\big\}\)
- Answer
-
a. \(f(\rho,\theta, \varphi) = \rho \space \sin \varphi \space (\cos \theta + \sin \theta), \space E = \big\{(\rho,\theta,\varphi)\, | \,1 \leq \rho \leq 2, \space 0 \leq \theta \leq \pi, \space 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}\big\}\);
b. \(\displaystyle \int_0^{\pi} \int_0^{\pi/2} \int_1^2 \rho^3 \cos \varphi \space \sin \varphi \space d\rho \space d\varphi \space d\theta = \frac{15\pi}{8}\)
38. \(f(x,y,z) = 2xy; \space E = \big\{(x,y,z)\, | \,\sqrt{x^2 + y^2} \leq z \leq \sqrt{1 - x^2 - y^2}, \space x \geq 0, \space y \geq 0\big\}\)
39. \(f(x,y,z) = z; \space E = \big\{(x,y,z)\, | \,x^2 + y^2 + z^2 - 2x \leq 0, \space \sqrt{x^2 + y^2} \leq z\big\}\)
- Answer
-
a. \(f(\rho,\theta,\varphi) = \rho \space \cos \varphi; \space E = \big\{(\rho,\theta,\varphi)\, | \,0 \leq \rho \leq 2 \space \cos \varphi, \space 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \space 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}\big\}\);
b. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/4} \int_0^{2 \space \cos \varphi} \rho^3 \sin \varphi \space \cos \varphi \space d\rho \space d\varphi \space d\theta = \frac{7\pi}{24}\)
In exercises 40 - 41, find the volume of the solid \(E\) whose boundaries are given in rectangular coordinates.
40. \(E = \big\{ (x,y,z)\, | \,\sqrt{x^2 + y^2} \leq z \leq \sqrt{16 - x^2 - y^2}, \space x \geq 0, \space y \geq 0\big\}\)
41. \(E = \big\{ (x,y,z)\, | \,x^2 + y^2 + z^2 - 2z \leq 0, \space \sqrt{x^2 + y^2} \leq z\big\}\)
- Answer
- \(\frac{\pi}{4}\)
42. Use spherical coordinates to find the volume of the solid situated outside the sphere \(\rho = 1\) and inside the sphere \(\rho = \cos \varphi\), with \(\varphi \in [0,\frac{\pi}{2}]\).
43. Use spherical coordinates to find the volume of the ball \(\rho \leq 3\) that is situated between the cones \(\varphi = \frac{\pi}{4}\) and \(\varphi = \frac{\pi}{3}\).
- Answer
- \(9\pi (\sqrt{2} - 1)\)
44. Convert the integral \(\displaystyle \int_{-4}^4 \int_{-\sqrt{16-y^2}}^{\sqrt{16-y^2}} \int_{-\sqrt{16-x^2-y^2}}^{\sqrt{16-x^2-y^2}} (x^2 + y^2 + z^2) \, dz \, dx \, dy\) into an integral in spherical coordinates.
45. Convert the integral \(\displaystyle \int_0^4 \int_0^{\sqrt{16-x^2}} \int_{-\sqrt{16-x^2-y^2}}^{\sqrt{16-x^2-y^2}} (x^2 + y^2 + z^2)^2 \, dz \space dy \space dx\) into an integral in spherical coordinates.
- Answer
- \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^4 \rho^6 \sin \varphi \, d\rho \, d\phi \, d\theta\)
47. [T] Use a CAS to graph the solid whose volume is given by the iterated integral in spherical coordinates \(\displaystyle \int_{\pi/2}^{\pi} \int_{5\pi}^{\pi/6} \int_0^2 \rho^2 \sin \varphi \space d\rho \space d\varphi \space d\theta.\) Find the volume \(V\) of the solid. Round your answer to three decimal places.
- Answer
-
\(V = \frac{4\pi\sqrt{3}}{3} \approx 7.255\)
48. [T] Utilice un CAS para graficar el sólido cuyo volumen viene dado por la integral iterada en coordenadas esféricas como\(\displaystyle \int_0^{2\pi} \int_{3\pi/4}^{\pi/4} \int_0^1 \rho^2 \sin \varphi \space d\rho \space d\varphi \space d\theta.\) Encontrar el volumen\(V\) del sólido. Redondea tu respuesta a tres decimales.
49. [T] Utilice un CAS para evaluar la integral\(\displaystyle \iiint_E (x^2 + y^2) \, dV\) donde\(E\) se encuentra por encima del paraboloide\(z = x^2 + y^2\) y por debajo del plano\(z = 3y\).
- Contestar
- \(\frac{343\pi}{32}\)
50. [T]
a. Evaluar la integral\(\displaystyle \iiint_E e^{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\, dV,\) donde\(E\) está delimitada por esferas\(4x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 1\) y\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\).
b. Utilice un CAS para encontrar una aproximación de la integral anterior. Redondea tu respuesta a dos decimales.
51. Expresar el volumen del sólido dentro de la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 16\) y fuera del cilindro\(x^2 + y^2 = 4\) como integrales triples en coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas, respectivamente.
- Contestar
- \(\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_2^4\int_{−\sqrt{16−r^2}}^{\sqrt{16−r^2}}r\,dz\,dr\,dθ\)y\(\displaystyle \int_{\pi/6}^{5\pi/6}\int_0^{2\pi}\int_{2\csc \phi}^{4}\rho^2\sin \rho \, d\rho \, d\theta \, d\phi\)
52. Expresar el volumen del sólido dentro de la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 16\) y fuera del cilindro\(x^2 + y^2 = 4\) que se ubica en el primer octante como integrales triples en coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas, respectivamente.
53. La potencia emitida por una antena tiene una densidad de potencia por unidad de volumen dada en coordenadas esféricas por\(p(\rho,\theta,\varphi) = \frac{P_0}{\rho^2} \cos^2 \theta \space \sin^4 \varphi\), donde\(P_0\) es una constante con unidades en vatios. La potencia total dentro de una esfera\(B\) de\(r\) metros de radio se define como\(\displaystyle P = \iiint_B p(\rho,\theta,\varphi) \, dV.\) Encontrar la potencia total\(P\).
- Contestar
- \(P = \frac{32P_0 \pi}{3}\)vatios
54. Utilice el ejercicio anterior para encontrar la potencia total dentro de una esfera\(B\) de radio 5 metros cuando la densidad de potencia por unidad de volumen viene dada por\(p(\rho, \theta,\varphi) = \frac{30}{\rho^2} \cos^2 \theta \sin^4 \varphi\).
55. Una nube de carga contenida en una esfera\(B\) de\(r\) centímetros de radio centrada en el origen tiene su densidad de carga dada por\(q(x,y,z) = k\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\frac{\mu C}{cm^3}\), donde\(k > 0\). El cargo total contenido en\(B\) es dado por\(\displaystyle Q = \iiint_B q(x,y,z) \, dV.\) Encuentra el cargo total\(Q\).
- Contestar
- \(Q = kr^4 \pi \mu C\)
56. Utilice el ejercicio anterior para encontrar la nube de carga total contenida en la esfera unitaria si la densidad de carga es\(q(x,y,z) = 20 \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \frac{\mu C}{cm^3}\).