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LibreTexts Español

15.5E: Ejercicios para la Sección 15.5

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

En los ejercicios 1 - 8, evaluar las triples integralesEf(x,y,z)dV sobre el sólidoE.

1. f(x,y,z)=z,B={(x,y,z)|x2+y29,x0,y0,0z1}

Un cuarto de sección de un cilindro con altura 1 y radio 3.

Contestar
9π8

2. f(x,y,z)=xz2, B={(x,y,z)|x2+y216, x0, y0, 1z1}

3. f(x,y,z)=xy, B={(x,y,z)|x2+y21, x0, xy, 1z1}

A wedge with radius 1, height 1, and angle pi/4.

Contestar
18

4. f(x,y,z)=x2+y2, B={(x,y,z)|x2+y24, x0, xy, 0z3}

5. f(x,y,z)=ex2+y2, B={(x,y,z)|1x2+y24, y0, xy3, 2z3}

Contestar
πe26

6. f(x,y,z)=x2+y2, B={(x,y,z)|1x2+y29, y0, 0z1}

7. a. DejarB ser una concha cilíndrica con radio interior radioa exteriorb, y alturac donde0<a<b yc>0. Supongamos que una funciónF definida enB puede expresarse en coordenadas cilíndricas comoF(x,y,z)=f(r)+h(z), dóndef yh son funciones diferenciables. Sibaˉf(r)dr=0 yˉh(0)=0, dondeˉf yˉh son antiderivados def yh, respectivamente, muestran queBF(x,y,z)dV=2πc(bˉf(b)aˉf(a))+π(b2a2)ˉh(c).

b. Utilice el resultado anterior para mostrarB(z+sinx2+y2)dx dy dz=6π2(π2), dóndeB está una carcasa cilíndrica con radio interior2π, radioπ exterior y altura2.

8. a. DejarB ser una concha cilíndrica con radio interior radioa exteriorb y alturac donde0<a<b yc>0. Supongamos que una funciónF definida enB puede expresarse en coordenadas cilíndricas comoF(x,y,z)=f(r)g(θ)f(z), dóndef, g, yh son funciones diferenciables. Siba˜f(r)dr=0, donde˜f es un antiderivado def, mostrar queBF(x,y,z)dV=[b˜f(b)a˜f(a)][˜g(2π)˜g(0)][˜h(c)˜h(0)], donde˜g y˜h son antiderivados deg yh, respectivamente.

b. Utilice el resultado anterior para mostrarBzsinx2+y2dx dy dz=12π2, dóndeB está una carcasa cilíndrica con radio interior2π, radioπ exterior y altura2.

En los ejercicios 9 - 12, los límites del sólidoE se dan en coordenadas cilíndricas.

a. Expresar la regiónE en coordenadas cilíndricas.

b. Convertir las coordenadas integralesEf(x,y,z)dV a cilíndricas.

9. Eestá delimitado por el cilindro circular derechor=4sinθ, elrθ plano y la esferar2+z2=16.

Contestar

a.E={(r,θ,z)|0θπ, 0r4sinθ, 0z16r2}

b.π04sinθ016r20f(r,θ,z)rdz dr dθ

10. Eestá delimitado por el cilindro circular derechor=cosθ, elrθ plano y la esferar2+z2=9.

11. Ese encuentra en el primer octante y está delimitado por el paraboloide circularz=93r2, el cilindror=3 y el planor(cosθ+sinθ)=20z.

Contestar

a.E={(r,θ,z)|0θπ2, 0r3, 9r2z10r(cosθ+sinθ)}

b.π/203010r(cosθ+sinθ)9r2f(r,θ,z)r dz dr dθ

12. Ese encuentra en el primer octante fuera del paraboloide circularz=102r2 y dentro del cilindror=5 y está delimitado también por los planosz=20 yθ=π4.

En los ejercicios 13 - 16,E se dan la funciónf y región.

a. Expresar la regiónE y la funciónf en coordenadas cilíndricas.

b. Convertir la integralBf(x,y,z)dV en coordenadas cilíndricas y evaluarla.

13. f(x,y,z)=x2+y2,E={(x,y,z)|0x2+y29, x0, y0, 0zx+3}

Contestar

a.E={(r,θ,z)|0r3, 0θπ2, 0zr cosθ+3},
f(r,θ,z)=1r cosθ+3

b.30π/20r cosθ+30rr cosθ+3dz dθ dr=9π4

14. f(x,y,z)=x2+y2, E={(x,y,z)|0x2+y24, y0, 0z3x}

15. f(x,y,z)=x, E={(x,y,z)|1y2+z29, 0x1y2z2}

Contestar

a.y=r cosθ, z=r sinθ, x=z, E={(r,θ,z)|1r3, 0θ2π, 0z1r2}, f(r,θ,z)=z;

b.312π01r20zr dz dθ dr=356π3

16. f(x,y,z)=y, E={(x,y,z)|1x2+z29, 0y1x2z2}

En los ejercicios 17 - 24, encuentra el volumen del sólidoE cuyos límites se dan en coordenadas rectangulares.

17. Eestá por encima delxy plano, dentro del cilindrox2+y2=1 y por debajo del planoz=1.

Contestar
π

18. Eestá debajo del planoz=1 y dentro del paraboloidez=x2+y2.

19. Eestá delimitado por el cono circularz=x2+y2 yz=1.

Contestar
π3

20. Ese encuentra por encima delxy plano, abajoz=1, fuera del hiperboloidex2+y2z2=1 de una hoja y dentro del cilindrox2+y2=2.

21. Ese encuentra dentro del cilindrox2+y2=1 y entre los paraboloides circularesz=1x2y2 yz=x2+y2.

Contestar
π

22. Ese encuentra dentro de la esferax2+y2+z2=1, por encima delxy plano y dentro del cono circularz=x2+y2.

23. Ese encuentra fuera del cono circularx2+y2=(z1)2 y entre los planosz=0 yz=2.

Contestar
4π3

24. Ese encuentra fuera del cono circularz=1x2+y2, por encima delxy plano -plano, por debajo del paraboloide circular, y entre los planosz=0 yz=2.

25. [T] Utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) para graficar el sólido cuyo volumen viene dado por la integral iterada en coordenadas cilíndricasπ/2π/210rr2rdzdrdθ. Encuentra el volumenV del sólido. Redondea tu respuesta a cuatro decimales.

Contestar

V=pi120.2618

Un cuarto de sección de un elipsoide con ancho 2, alto 1 y profundidad 1.

26. [T] Utilice un CAS para graficar el sólido cuyo volumen viene dado por la integral iterada en coordenadas cilíndricasπ/2010rr4rdzdrdθ. Find the volume E of the solid. Round your answer to four decimal places.

27. Convert the integral 101y21y2x2+y2x2+y2xz dz dx dy into an integral in cylindrical coordinates.

Answer
10π0rr2zr2 cosθdz dθ dr

28. Convert the integral 20y010(xy+z)dz dx dy into an integral in cylindrical coordinates.

In exercises 29 - 32, evaluate the triple integral Bf(x,y,z)dV over the solid B.

29. f(x,y,z)=1, B={(x,y,z)|x2+y2+z290, z0}

A filled-in half-sphere with radius 3 times the square root of 10.

[Ocultar solución]

Contestar
180π10

30. f(x,y,z)=1x2+y2+z2, B={(x,y,z)|x2+y2+z29, y0, z0}

Un cuarto de sección de un ovoide con altura 8, ancho 8 y largo 18.

31. f(x,y,z)=x2+y2, B is bounded above by the half-sphere x2+y2+z2=9 with z0 and below by the cone 2z2=x2+y2.

Answer
81π(π2)16

32. f(x,y,z)=x2+y2, B is bounded above by the half-sphere x2+y2+z2=16 with z0 and below by the cone 2z2=x2+y2.

33. Show that if F(ρ,θ,φ)=f(ρ)g(θ)h(φ) is a continuous function on the spherical box B={(ρ,θ,φ)|aρb, αθβ, γφψ}, then BF dV=(baρ2f(ρ) dr)(βαg(θ) dθ)(ψγh(φ) sinφ dφ).

34. A function F is said to have spherical symmetry if it depends on the distance to the origin only, that is, it can be expressed in spherical coordinates as F(x,y,z)=f(ρ), where ρ=x2+y2+z2. Show that BF(x,y,z)dV=2πbaρ2f(ρ)dρ, where B is the region between the upper concentric hemispheres of radii a and b centered at the origin, with 0<a<b and F a spherical function defined on B.

Use the previous result to show that B(x2+y2+z2)x2+y2+z2dV=21π, where B={(x,y,z)|1x2+y2+z22, z0}.

35. Let B be the region between the upper concentric hemispheres of radii a and b centered at the origin and situated in the first octant, where 0<a<b. Consider F a function defined on B whose form in spherical coordinates (ρ,θ,φ) is F(x,y,z) = f(\rho)\cos \varphi. Show that if g(a) = g(b) = 0 and \displaystyle\int_a^b h (\rho) \, d\rho = 0, then \displaystyle\iiint_B F(x,y,z)\,dV = \frac{\pi^2}{4} [ah(a) - bh(b)], where g is an antiderivative of f and h is an antiderivative of g.

Use the previous result to show that \displaystyle \iiint_B = \frac{z \cos \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \, dV = \frac{3\pi^2}{2}, where B is the region between the upper concentric hemispheres of radii \pi and 2\pi centered at the origin and situated in the first octant.

In exercises 36 - 39, the function f and region E are given.

a. Express the region E and function f in cylindrical coordinates.

b. Convert the integral \displaystyle \iiint_B f(x,y,z)\, dV into cylindrical coordinates and evaluate it.

36. f(x,y,z) = z; \space E = \big\{(x,y,z)\, | \,0 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 1, \space z \geq 0\big\}

37. f(x,y,z) = x + y; \space E = \big\{(x,y,z)\, | \,1 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 2, \space z \geq 0, \space y \geq 0\big\}

Answer

a. f(\rho,\theta, \varphi) = \rho \space \sin \varphi \space (\cos \theta + \sin \theta), \space E = \big\{(\rho,\theta,\varphi)\, | \,1 \leq \rho \leq 2, \space 0 \leq \theta \leq \pi, \space 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}\big\};

b. \displaystyle \int_0^{\pi} \int_0^{\pi/2} \int_1^2 \rho^3 \cos \varphi \space \sin \varphi \space d\rho \space d\varphi \space d\theta = \frac{15\pi}{8}

38. f(x,y,z) = 2xy; \space E = \big\{(x,y,z)\, | \,\sqrt{x^2 + y^2} \leq z \leq \sqrt{1 - x^2 - y^2}, \space x \geq 0, \space y \geq 0\big\}

39. f(x,y,z) = z; \space E = \big\{(x,y,z)\, | \,x^2 + y^2 + z^2 - 2x \leq 0, \space \sqrt{x^2 + y^2} \leq z\big\}

Answer

a. f(\rho,\theta,\varphi) = \rho \space \cos \varphi; \space E = \big\{(\rho,\theta,\varphi)\, | \,0 \leq \rho \leq 2 \space \cos \varphi, \space 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \space 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}\big\};

b. \displaystyle\int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/4} \int_0^{2 \space \cos \varphi} \rho^3 \sin \varphi \space \cos \varphi \space d\rho \space d\varphi \space d\theta = \frac{7\pi}{24}

In exercises 40 - 41, find the volume of the solid E whose boundaries are given in rectangular coordinates.

40. E = \big\{ (x,y,z)\, | \,\sqrt{x^2 + y^2} \leq z \leq \sqrt{16 - x^2 - y^2}, \space x \geq 0, \space y \geq 0\big\}

41. E = \big\{ (x,y,z)\, | \,x^2 + y^2 + z^2 - 2z \leq 0, \space \sqrt{x^2 + y^2} \leq z\big\}

Answer
\frac{\pi}{4}

42. Use spherical coordinates to find the volume of the solid situated outside the sphere \rho = 1 and inside the sphere \rho = \cos \varphi, with \varphi \in [0,\frac{\pi}{2}].

43. Use spherical coordinates to find the volume of the ball \rho \leq 3 that is situated between the cones \varphi = \frac{\pi}{4} and \varphi = \frac{\pi}{3}.

Answer
9\pi (\sqrt{2} - 1)

44. Convert the integral \displaystyle \int_{-4}^4 \int_{-\sqrt{16-y^2}}^{\sqrt{16-y^2}} \int_{-\sqrt{16-x^2-y^2}}^{\sqrt{16-x^2-y^2}} (x^2 + y^2 + z^2) \, dz \, dx \, dy into an integral in spherical coordinates.

45. Convert the integral \displaystyle \int_0^4 \int_0^{\sqrt{16-x^2}} \int_{-\sqrt{16-x^2-y^2}}^{\sqrt{16-x^2-y^2}} (x^2 + y^2 + z^2)^2 \, dz \space dy \space dx into an integral in spherical coordinates.

Answer
\displaystyle\int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^4 \rho^6 \sin \varphi \, d\rho \, d\phi \, d\theta

47. [T] Use a CAS to graph the solid whose volume is given by the iterated integral in spherical coordinates \displaystyle \int_{\pi/2}^{\pi} \int_{5\pi}^{\pi/6} \int_0^2 \rho^2 \sin \varphi \space d\rho \space d\varphi \space d\theta. Find the volume V of the solid. Round your answer to three decimal places.

Answer

V = \frac{4\pi\sqrt{3}}{3} \approx 7.255

A sphere of radius 1 with a hole drilled into it of radius 0.5.

48. [T] Utilice un CAS para graficar el sólido cuyo volumen viene dado por la integral iterada en coordenadas esféricas como\displaystyle \int_0^{2\pi} \int_{3\pi/4}^{\pi/4} \int_0^1 \rho^2 \sin \varphi \space d\rho \space d\varphi \space d\theta. Encontrar el volumenV del sólido. Redondea tu respuesta a tres decimales.

49. [T] Utilice un CAS para evaluar la integral\displaystyle \iiint_E (x^2 + y^2) \, dV dondeE se encuentra por encima del paraboloidez = x^2 + y^2 y por debajo del planoz = 3y.

Contestar
\frac{343\pi}{32}

50. [T]

a. Evaluar la integral\displaystyle \iiint_E e^{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\, dV, dondeE está delimitada por esferas4x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 1 yx^2 + y^2 + z^2 = 1.

b. Utilice un CAS para encontrar una aproximación de la integral anterior. Redondea tu respuesta a dos decimales.

51. Expresar el volumen del sólido dentro de la esferax^2 + y^2 + z^2 = 16 y fuera del cilindrox^2 + y^2 = 4 como integrales triples en coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas, respectivamente.

Contestar
\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_2^4\int_{−\sqrt{16−r^2}}^{\sqrt{16−r^2}}r\,dz\,dr\,dθy\displaystyle \int_{\pi/6}^{5\pi/6}\int_0^{2\pi}\int_{2\csc \phi}^{4}\rho^2\sin \rho \, d\rho \, d\theta \, d\phi

52. Expresar el volumen del sólido dentro de la esferax^2 + y^2 + z^2 = 16 y fuera del cilindrox^2 + y^2 = 4 que se ubica en el primer octante como integrales triples en coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas, respectivamente.

53. La potencia emitida por una antena tiene una densidad de potencia por unidad de volumen dada en coordenadas esféricas porp(\rho,\theta,\varphi) = \frac{P_0}{\rho^2} \cos^2 \theta \space \sin^4 \varphi, dondeP_0 es una constante con unidades en vatios. La potencia total dentro de una esferaB der metros de radio se define como\displaystyle P = \iiint_B p(\rho,\theta,\varphi) \, dV. Encontrar la potencia totalP.

Contestar
P = \frac{32P_0 \pi}{3}vatios

54. Utilice el ejercicio anterior para encontrar la potencia total dentro de una esferaB de radio 5 metros cuando la densidad de potencia por unidad de volumen viene dada porp(\rho, \theta,\varphi) = \frac{30}{\rho^2} \cos^2 \theta \sin^4 \varphi.

55. Una nube de carga contenida en una esferaB der centímetros de radio centrada en el origen tiene su densidad de carga dada porq(x,y,z) = k\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\frac{\mu C}{cm^3}, dondek > 0. El cargo total contenido enB es dado por\displaystyle Q = \iiint_B q(x,y,z) \, dV. Encuentra el cargo totalQ.

Contestar
Q = kr^4 \pi \mu C

56. Utilice el ejercicio anterior para encontrar la nube de carga total contenida en la esfera unitaria si la densidad de carga esq(x,y,z) = 20 \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \frac{\mu C}{cm^3}.


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