16.6E: Ejercicios para la Sección 16.6

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En los ejercicios 1 - 4, determinar si las afirmaciones son verdaderas o falsas.

1. Si la superficie$S$ está dada por$\{(x,y,z) : \, 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1, \, z = 10 \}$, entonces$\displaystyle \iint_S f(x,y,z) \, dS = \int_0^1 \int_0^1 f (x,y,10) \, dx \, dy.$

Contestar: Cierto

2. Si la superficie$S$ está dada por$\{(x,y,z) : \, 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1, \, z = x \}$, entonces$\displaystyle \iint_S f(x,y,z) \, dS = \int_0^1 \int_0^1 f (x,y,x) \, dx \, dy.$

3. La superficie$\vecs r = \langle v \, \cos u, \, v \, \sin u, \, v^2 \rangle,$ para$ 0 \leq u \leq \pi, \, 0 \leq v \leq 2$ es la misma superficie$\vecs r = \langle \sqrt{v} \, \cos 2u, \, \sqrt{v} \, \sin 2u, \, v \rangle,$ para$ 0 \leq u \leq \dfrac{\pi}{2}, \, 0 \leq v \leq 4$.

Contestar: Cierto

4. Dada la parametrización estándar de una esfera,$t_u \times t_v$ los vectores normales son vectores normales externos.

En los ejercicios 5 - 10, encuentra descripciones paramétricas para las siguientes superficies.

5. Avión$3x - 2y + z = 2$

Contestar: $\vecs r(u,v) = \langle u, \, v, \, 2 - 3u + 2v \rangle $para$-\infty \leq u < \infty$ y$ - \infty \leq v < \infty$.

6. Paraboloide$z = x^2 + y^2$, para$0 \leq z \leq 9$.

7. Avión$2x - 4y + 3z = 16$

Contestar: $\vecs r(u,v) = \langle u, \, v, \, \dfrac{1}{3} (16 - 2u + 4v) \rangle $para$|u| < \infty$ y$|v| < \infty$.

8. El frustum de cono$z^2 = x^2 + y^2$, para$2 \leq z \leq 8$

9. La porción de cilindro$x^2 + y^2 = 9$ en el primer octante, para$0 \leq z \leq 3$

$Diagrama en tres dimensiones de una sección de un cilindro con radio 3. El centro de su parte superior circular es (0,0,3). La sección existe para x, y y z entre 0 y 3.$

Contestar: $\vecs r(u,v) = \langle 3 \, \cos u, \, 3 \, \sin u, \, v \rangle $ for $0 \leq u \leq \dfrac{\pi}{2}, \, 0 \leq v \leq 3$

10. A cone with base radius $r$ and height $h,$ where $r$ and $h$ are positive constants.

For exercises 11 - 12, use a computer algebra system to approximate the area of the following surfaces using a parametric description of the surface.

11. [T] Half cylinder $\{ (r, \theta, z) : \, r = 4, \, 0 \leq \theta \leq \pi, \, 0 \leq z \leq 7 \}$

Answer: $A = 87.9646$

12. [T] Plane $z = 10 - z - y$ above square $|x| \leq 2, \, |y| \leq 2$

In exercises 13 - 15, let $S$ be the hemisphere $x^2 + y^2 + z^2 = 4$, with $z \geq 0$, and evaluate each surface integral, in the counterclockwise direction.

13. $\displaystyle \iint_S z\, dS$

Answer: $\displaystyle \iint_S z \, dS = 8\pi$

14. $\displaystyle \iint_S (x - 2y) \, dS$

15. $\displaystyle \iint_S (x^2 + y^2) \, dS$

Answer: $\displaystyle \iint_S (x^2 + y^2) \, dS = 16 \pi$

In exercises 16 - 18, evaluate $\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS$ for vector field $\vecs F$ where $\vecs N$ is an outward normal vector to surface $S.$

16. $\vecs F(x,y,z) = x\,\mathbf{\hat i}+ 2y\,\mathbf{\hat j} = 3z\,\mathbf{\hat k}$, and $S$ is that part of plane $15x - 12y + 3z = 6$ that lies above unit square $0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1$.

17. $\vecs F(x,y) = x\,\mathbf{\hat i} + y\,\mathbf{\hat j}$, and $S$ is hemisphere $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$.

Answer: $\displaystyle \iint_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS = \dfrac{4\pi}{3}$

18. $\vecs F(x,y,z) = x^2\,\mathbf{\hat i} + y^2\,\mathbf{\hat j} + z^2\,\mathbf{\hat k}$, and $S$ is the portion of plane $z = y + 1$ that lies inside cylinder $x^2 + y^2 = 1$.

$A cylinder and an intersecting plane shown in three-dimensions. S is the portion of the plane z = y + 1 inside the cylinder x^2 + y ^2 = 1.$

En los ejercicios 19 - 20, aproximar la masa de la lámina homogénea que tiene la forma de superficie dada$S.$ Redonda a cuatro decimales.

19. [T]$S$ es superficie$z = 4 - x - 2y$, con$z \geq 0, \, x \geq 0, \, y \geq 0; \, \xi = x.$

Contestar: $m \approx 13.0639$

20. [T]$S$ es de superficie$z = x^2 + y^2$, con$z \leq 1; \, \xi = z$.

21. [T]$S$ es de superficie$x^2 + y^2 + x^2 = 5$, con$z \geq 1; \, \xi = \theta^2$.

Contestar: $m \approx 228.5313$

22. Evaluar$\displaystyle \iint_S (y^2 z\,\mathbf{\hat i}+ y^3\,\mathbf{\hat j} + xz\,\mathbf{\hat k}) \cdot dS,$ dónde$S$ está la superficie del cubo$-1 \leq x \leq 1, \, -1 \leq y \leq 1$, y$0 \leq z \leq 2$ en sentido contrario a las agujas del reloj.

23. Evalúe la integral de la superficie$\displaystyle \iint_S g \, dS,$ donde$g(x,y,z) = xz + 2x^2 - 3xy$ y$S$ es la porción del plano$2x - 3y + z = 6$ que se encuentra sobre la unidad cuadrada$R: 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1$.

Contestar: $\displaystyle \iint_S g\,dS = 3 \sqrt{4}$

24. Evaluar$\displaystyle \iint_S (x + y + z)\, dS,$ dónde$S$ está la superficie definida paramétricamente por$\vecs R(u,v) = (2u + v)\,\mathbf{\hat i} + (u - 2v)\,\mathbf{\hat j} + (u + 3v)\,\mathbf{\hat k}$ for$0 \leq u \leq 1$, y$0 \leq v \leq 2$.

$Un diagrama tridimensional de la superficie dada, que parece ser un plano de pendiente pronunciada que se extiende a través del plano (x, y).$

25. [T] Evaluar$\displaystyle \iint_S (x - y^2 + z)\, dS,$ where $S$ is the surface defined parametrically by $\vecs R(u,v) = u^2\,\mathbf{\hat i} + v\,\mathbf{\hat j} + u\,\mathbf{\hat k}$ for $0 \leq u \leq 1, \, 0 \leq v \leq 1$.

$A three-dimensional diagram of the given surface, which appears to be a curve with edges parallel to the y-axis. It increases in x components and decreases in z components the further it is from the y axis.$

Contestar: $\displaystyle \iint_S (x^2 + y - z) \, dS \approx 0.9617$

26. [T] Evaluar dónde$S$ está la superficie definida por$\vecs R(u,v) = u\,\mathbf{\hat i} - u^2\,\mathbf{\hat j} + v\,\mathbf{\hat k}, \, 0 \leq u \leq 2, \, 0 \leq v \leq 1$ for$0 \leq u \leq 1, \, 0 \leq v \leq 2$.

27. Evalúe$\displaystyle \iint_S (x^2 + y^2) \, dS,$ dónde$S$ está la superficie delimitada por encima del hemisferio$z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ y por debajo por plano$z = 0$.

Contestar: $\displaystyle \iint_S (x^2 + y^2) \, dS = \dfrac{4\pi}{3}$

28. Evaluar$\displaystyle \iint_S (x^2 + y^2 + z^2) \, dS,$ dónde$S$ está la porción de plano que se encuentra dentro del cilindro$x^2 + y^2 = 1$.

29. [T] Evaluar$\displaystyle \iint_S x^2 z \, dS,$ dónde$S$ está la porción de cono$z^2 = x^2 + y^2$ que se encuentra entre los planos$z = 1$ y$z = 4$.

$Diagrama del cono de apertura ascendente dado en tres dimensiones. El cono es cortado por los planos z=1 y z=4.$

Contestar: $\text{div}\,\vecs F = a + b$

$\displaystyle \iint_S x^2 zdS = \dfrac{1023\sqrt{2\pi}}{5}$

30. [T] Evaluate $\displaystyle \iint_S \frac{xz}{y} \, dS,$ where $S$ is the portion of cylinder $x = y^2$ that lies in the first octant between planes $z = 0, \, z = 5$, and $y = 4$.

$A diagram of the given cylinder in three-dimensions. It is cut by the planes z=0, z=5, y=1, and y=4.$

31. [T] Evaluar$\displaystyle \iint_S (z + y) \, dS,$ dónde$S$ está la parte de la gráfica de$ z = \sqrt{1 - x^2}$ en el primer octante entre el$xy$ -plano y el plano$y = 3$.

$Diagrama de la superficie dada en tres dimensiones en el primer octante entre el plano xz y el plano y=3. La gráfica dada de z= la raíz cuadrada de (1-x^2) se extiende hacia abajo en una curva cóncava hacia abajo de lo largo (0, y,1) a lo largo (1, y,0). Parece una porción de un cilindro horizontal con base a lo largo del plano xz y altura a lo largo del eje y.$

Contestar: $\displaystyle \iint_S (z + y) \, dS \approx 10.1$

32. Evaluate $\displaystyle \iint_S xyz\, dS$ if $S$ is the part of plane $z = x + y$ that lies over the triangular region in the $xy$-plane with vertices (0, 0, 0), (1, 0, 0), and (0, 2, 0).

33. Find the mass of a lamina of density $\xi (x,y,z) = z$ in the shape of hemisphere $z = (a^2 - x^2 - y^2)^{1/2}$.

Answer: $m = \pi a^3$

34. Compute $\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS,$ where $\vecs F(x,y,z) = x\,\mathbf{\hat i} - 5y\,\mathbf{\hat j} + 4z\,\mathbf{\hat k}$ and $\vecs N$ is an outward normal vector $S,$ where $S$ is the union of two squares $S_1$ : $x = 0, \, 0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq z \leq 1$ and $S_2 \, : \, x = 0, \, 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1$.

$A diagram in three dimensions. It shows the square formed by the components x=0, 0 <= y <= 1, and 0 <= z <= 1. It also shows the square formed by the components z=1, 0 <= x <= 1, and 0 <= y <= 1.$

35. Calcular$\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS,$ dónde$\vecs F(x,y,z) = xy\,\mathbf{\hat i} + z\,\mathbf{\hat j} + (x + y)\,\mathbf{\hat k}$ y$\vecs N$ es un vector normal hacia afuera$S,$ donde$S$ está la región triangular cortada del plano$x + y + z = 1$ por los ejes de coordenadas positivas.

Contestar: $\displaystyle \iint_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS = \dfrac{13}{24}$

36. Calcular$\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS,$ dónde$\vecs F(x,y,z) = 2yz\,\mathbf{\hat i} + (\tan^{-1}xz)\,\mathbf{\hat j} + e^{xy}\,\mathbf{\hat k}$ y$\vecs N$ es un vector normal hacia afuera$S,$ donde$S$ está la superficie de la esfera$x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

37. Calcular$\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS,$ dónde$\vecs F(x,y,z) = xyz\,\mathbf{\hat i} + xyz\,\mathbf{\hat j} + xyz\,\mathbf{\hat k}$ y$\vecs N$ es un vector normal hacia afuera$S,$ donde$S$$0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq z \leq 1$ falta la superficie de las cinco caras del cubo unitario$z = 0$.

Contestar: $\displaystyle \iint_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS = \dfrac{3}{4}$

Para los ejercicios 38 - 39, exprese la integral de superficie como una doble integral iterada mediante el uso de una proyección$S$ en el$yz$ plano.

38. $\displaystyle \iint_S xy^2 z^3 \, dS;$$S$es la porción de primer octante del plano$2x + 3y + 4z = 12$.

39. $\displaystyle \iint_S (x^2 - 2y + z) \, dS;$$S$es la porción de la gráfica de$4x + y = 8$ delimitada por los planos de coordenadas y el plano$z = 6$.

Contestar: $\displaystyle \int_0^8 \int_0^6 \left( 4 - 3y + \dfrac{1}{16} y^2 + z \right) \left(\dfrac{1}{4} \sqrt{17} \right) \, dz \, dy$

Para los ejercicios 40 - 41, exprese la integral de superficie como una doble integral iterada mediante el uso de una proyección$S$ en el$xz$ plano.

40. $\displaystyle \iint_S xy^2z^3 \, dS;$$S$es la porción de primer octante del plano$2x + 3y + 4z = 12$.

41. $\displaystyle \iint_S (x^2 - 2y + z) \, dS;$es la porción de la gráfica de$4x + y = 8$ delimitada por los planos de coordenadas y el plano$z = 6$.

Contestar: $\displaystyle \int_0^2 \int_0^6 \big[x^2 - 2 (8 - 4x) + z\big] \sqrt{17} \, dz \, dx$

42. Evaluar la integral de superficie$\displaystyle \iint_S yz \, dS,$ donde$S$ está la parte del primer octante del plano$x + y + z = \lambda$, donde$\lambda$ es una constante positiva.

43. Evaluar la integral de superficie$\displaystyle \iint_S (x^2 z + y^2 z) \, dS,$ donde$S$ está el hemisferio$x^2 + y^2 + z^2 = a^2, \, z \geq 0.$

Contestar: $\displaystyle \iint_S (x^2 z + y^2 z) \, dS = \dfrac{\pi a^5}{2}$

44. Evaluar la integral de superficie$\displaystyle \iint_S z \, dA,$ donde$S$ está la superficie$z = \sqrt{x^2 + y^2}, \, 0 \leq z \leq 2$.

45. Evaluar la integral de superficie$\displaystyle \iint_S x^2 yz \, dS,$ donde$S$ está la parte del plano$z = 1 + 2x + 3y$ que se encuentra por encima del rectángulo$0 \leq x \leq 3$ y$0 \leq y \leq 2$.

Contestar: $\displaystyle \iint_S x^2 yz \, dS = 171 \sqrt{14}$

46. Evaluar la integral de superficie$\displaystyle \iint_S yz \, dS,$ donde$S$ está el plano$x + y + z = 1$ que se encuentra en el primer octante.

47. Evaluar la integral de superficie$\displaystyle \iint_S yz \, dS,$ donde$S$ está la parte del plano$z = y + 3$ que se encuentra dentro del cilindro$x^2 + y^2 = 1$.

Contestar: $\displaystyle \iint_S yz \, dS = \dfrac{\sqrt{2}\pi}{4}$

Para los ejercicios 48 - 50, utilice el razonamiento geométrico para evaluar las integrales superficiales dadas.

48. $\displaystyle \iint_S \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \, dS,$donde$S$ esta superficie$x^2 + y^2 + z^2 = 4, \, z \geq 0$

49. $\displaystyle \iint_S (x\,\mathbf{\hat i} + y\,\mathbf{\hat j}) \cdot dS,$donde$S$ es superficie$x^2 + y^2 = 4, \, 1 \leq z \leq 3$, orientado con vectores normales unitarios apuntando hacia afuera

Contestar: $\displaystyle \iint_S (x\,\mathbf{\hat i} + y\,\mathbf{\hat j}) \cdot dS = 16 \pi$

50. $\displaystyle \iint_S (z\,\mathbf{\hat k}) \cdot dS,$donde$S$ está$z = 4$ orientado$x^2 + y^2 \leq 9$ el disco en el plano con vectores normales unitarios apuntando hacia arriba

51. Una lámina tiene la forma de una porción de esfera$x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ que se encuentra dentro del cono$z = \sqrt{x^2 + y^2}$. Dejar$S$ ser la concha esférica centrada en el origen con radio a, y dejar$C$ ser el cono circular derecho con un vértice en el origen y un eje de simetría que coincide con el$z$ eje -eje. Determinar la masa de la lámina si$\delta(x,y,z) = x^2 y^2 z$.

$Un diagrama en tres dimensiones. Un cono se abre hacia arriba con un punto en el origen y un asic de simetría que coincide con el eje z. La mitad superior de un hemisferio con centro en el origen se abre hacia abajo y es cortada por el plano XY.$

Contestar: $m = \dfrac{\pi a^7}{192}$

52. A lamina has the shape of a portion of sphere $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ that lies within cone $z = \sqrt{x^2 + y^2}$. Let $S$ be the spherical shell centered at the origin with radius a, and let $C$ be the right circular cone with a vertex at the origin and an axis of symmetry that coincides with the z-axis. Suppose the vertex angle of the cone is $\phi_0$, with $0 \leq \phi_0 < \dfrac{\pi}{2}$. Determine the mass of that portion of the shape enclosed in the intersection of $S$ and $C.$ Assume $\delta(x,y,z) = x^2y^2z.$

$A diagram in three dimensions. A cone opens upward with point at the origin and an asic of symmetry that coincides with the z-axis. The upper half of a hemisphere with center at the origin opens downward and is cut off by the xy-plane.$

53. Un vaso de papel tiene la forma de un cono circular derecho invertido de 6 pulg. de altura y radio de 3 pulgadas superiores. Si la copa está llena de peso de agua$62.5 \, lb/ft^3$, encuentre la magnitud de la fuerza total ejercida por el agua en la superficie interior de la copa.

Contestar: $F \approx 4.57 \, lb$

Para los ejercicios 54 - 55, el campo vectorial de flujo de calor para la conducción de objetos i$\vecs F = - k\vecs\nabla T$, donde$T(x,y,z)$ está la temperatura en el objeto y$k > 0$ es una constante que depende del material. Encuentre el flujo hacia afuera$\vecs F$ a través de las siguientes superficies$S$ para las distribuciones de temperatura dadas y asuma$k = 1$.

54. $T(x,y,z) = 100 e^{-x-y}$;$S$ consiste en las caras de cubo$|x| \leq 1, \, |y| \leq 1, \, |z| \leq 1$.

55. $T(x,y,z) = - \ln (x^2 + y^2 + z^2)$;$S$ es esfera$x^2 + y^2 + z^2 = a^2$.

Contestar: $8\pi a$

Para los ejercicios 56 - 57, considere los campos radiales$\vecs F = \dfrac{\langle x,y,z \rangle}{(x^2+y^2+z^2)^{\dfrac{p}{2}}} = \dfrac{r}{|r|^p}$, donde$p$ es un número real. Dejar$S$ constar de esferas$A$ y$B$ centrado en el origen con radios$0 < a < b$. El flujo total hacia afuera$S$ consiste en el flujo hacia afuera a través de la esfera exterior$B$ menos el flujo a$S$ través de la esfera interna$A.$

$Un diagrama en tres dimensiones de dos esferas, una contenida completamente dentro de la otra. Sus centros están ambos en el origen. Las flechas apuntan hacia el origen desde fuera de ambas esferas.$

56. Encuentre el flujo total

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