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# 16.6E: Ejercicios para la Sección 16.6

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 4, determinar si las afirmaciones son verdaderas o falsas.

1. Si la superficie$$S$$ está dada por$$\{(x,y,z) : \, 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1, \, z = 10 \}$$, entonces$$\displaystyle \iint_S f(x,y,z) \, dS = \int_0^1 \int_0^1 f (x,y,10) \, dx \, dy.$$

Contestar
Cierto

2. Si la superficie$$S$$ está dada por$$\{(x,y,z) : \, 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1, \, z = x \}$$, entonces$$\displaystyle \iint_S f(x,y,z) \, dS = \int_0^1 \int_0^1 f (x,y,x) \, dx \, dy.$$

3. La superficie$$\vecs r = \langle v \, \cos u, \, v \, \sin u, \, v^2 \rangle,$$ para$$0 \leq u \leq \pi, \, 0 \leq v \leq 2$$ es la misma superficie$$\vecs r = \langle \sqrt{v} \, \cos 2u, \, \sqrt{v} \, \sin 2u, \, v \rangle,$$ para$$0 \leq u \leq \dfrac{\pi}{2}, \, 0 \leq v \leq 4$$.

Contestar
Cierto

4. Dada la parametrización estándar de una esfera,$$t_u \times t_v$$ los vectores normales son vectores normales externos.

En los ejercicios 5 - 10, encuentra descripciones paramétricas para las siguientes superficies.

5. Avión$$3x - 2y + z = 2$$

Contestar
$$\vecs r(u,v) = \langle u, \, v, \, 2 - 3u + 2v \rangle$$para$$-\infty \leq u < \infty$$ y$$- \infty \leq v < \infty$$.

6. Paraboloide$$z = x^2 + y^2$$, para$$0 \leq z \leq 9$$.

7. Avión$$2x - 4y + 3z = 16$$

Contestar
$$\vecs r(u,v) = \langle u, \, v, \, \dfrac{1}{3} (16 - 2u + 4v) \rangle$$para$$|u| < \infty$$ y$$|v| < \infty$$.

8. El frustum de cono$$z^2 = x^2 + y^2$$, para$$2 \leq z \leq 8$$

9. La porción de cilindro$$x^2 + y^2 = 9$$ en el primer octante, para$$0 \leq z \leq 3$$

Contestar
$$\vecs r(u,v) = \langle 3 \, \cos u, \, 3 \, \sin u, \, v \rangle$$ for $$0 \leq u \leq \dfrac{\pi}{2}, \, 0 \leq v \leq 3$$

10. A cone with base radius $$r$$ and height $$h,$$ where $$r$$ and $$h$$ are positive constants.

For exercises 11 - 12, use a computer algebra system to approximate the area of the following surfaces using a parametric description of the surface.

11. [T] Half cylinder $$\{ (r, \theta, z) : \, r = 4, \, 0 \leq \theta \leq \pi, \, 0 \leq z \leq 7 \}$$

$$A = 87.9646$$

12. [T] Plane $$z = 10 - z - y$$ above square $$|x| \leq 2, \, |y| \leq 2$$

In exercises 13 - 15, let $$S$$ be the hemisphere $$x^2 + y^2 + z^2 = 4$$, with $$z \geq 0$$, and evaluate each surface integral, in the counterclockwise direction.

13. $$\displaystyle \iint_S z\, dS$$

$$\displaystyle \iint_S z \, dS = 8\pi$$

14. $$\displaystyle \iint_S (x - 2y) \, dS$$

15. $$\displaystyle \iint_S (x^2 + y^2) \, dS$$

$$\displaystyle \iint_S (x^2 + y^2) \, dS = 16 \pi$$

In exercises 16 - 18, evaluate $$\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS$$ for vector field $$\vecs F$$ where $$\vecs N$$ is an outward normal vector to surface $$S.$$

16. $$\vecs F(x,y,z) = x\,\mathbf{\hat i}+ 2y\,\mathbf{\hat j} = 3z\,\mathbf{\hat k}$$, and $$S$$ is that part of plane $$15x - 12y + 3z = 6$$ that lies above unit square $$0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1$$.

17. $$\vecs F(x,y) = x\,\mathbf{\hat i} + y\,\mathbf{\hat j}$$, and $$S$$ is hemisphere $$z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$$.

$$\displaystyle \iint_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS = \dfrac{4\pi}{3}$$

18. $$\vecs F(x,y,z) = x^2\,\mathbf{\hat i} + y^2\,\mathbf{\hat j} + z^2\,\mathbf{\hat k}$$, and $$S$$ is the portion of plane $$z = y + 1$$ that lies inside cylinder $$x^2 + y^2 = 1$$.

En los ejercicios 19 - 20, aproximar la masa de la lámina homogénea que tiene la forma de superficie dada$$S.$$ Redonda a cuatro decimales.

19. [T]$$S$$ es superficie$$z = 4 - x - 2y$$, con$$z \geq 0, \, x \geq 0, \, y \geq 0; \, \xi = x.$$

Contestar
$$m \approx 13.0639$$

20. [T]$$S$$ es de superficie$$z = x^2 + y^2$$, con$$z \leq 1; \, \xi = z$$.

21. [T]$$S$$ es de superficie$$x^2 + y^2 + x^2 = 5$$, con$$z \geq 1; \, \xi = \theta^2$$.

Contestar
$$m \approx 228.5313$$

22. Evaluar$$\displaystyle \iint_S (y^2 z\,\mathbf{\hat i}+ y^3\,\mathbf{\hat j} + xz\,\mathbf{\hat k}) \cdot dS,$$ dónde$$S$$ está la superficie del cubo$$-1 \leq x \leq 1, \, -1 \leq y \leq 1$$, y$$0 \leq z \leq 2$$ en sentido contrario a las agujas del reloj.

23. Evalúe la integral de la superficie$$\displaystyle \iint_S g \, dS,$$ donde$$g(x,y,z) = xz + 2x^2 - 3xy$$ y$$S$$ es la porción del plano$$2x - 3y + z = 6$$ que se encuentra sobre la unidad cuadrada$$R: 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1$$.

Contestar
$$\displaystyle \iint_S g\,dS = 3 \sqrt{4}$$

24. Evaluar$$\displaystyle \iint_S (x + y + z)\, dS,$$ dónde$$S$$ está la superficie definida paramétricamente por$$\vecs R(u,v) = (2u + v)\,\mathbf{\hat i} + (u - 2v)\,\mathbf{\hat j} + (u + 3v)\,\mathbf{\hat k}$$ for$$0 \leq u \leq 1$$, y$$0 \leq v \leq 2$$.

25. [T] Evaluar$$\displaystyle \iint_S (x - y^2 + z)\, dS,$$ where $$S$$ is the surface defined parametrically by $$\vecs R(u,v) = u^2\,\mathbf{\hat i} + v\,\mathbf{\hat j} + u\,\mathbf{\hat k}$$ for $$0 \leq u \leq 1, \, 0 \leq v \leq 1$$.

Contestar
$$\displaystyle \iint_S (x^2 + y - z) \, dS \approx 0.9617$$

26. [T] Evaluar dónde$$S$$ está la superficie definida por$$\vecs R(u,v) = u\,\mathbf{\hat i} - u^2\,\mathbf{\hat j} + v\,\mathbf{\hat k}, \, 0 \leq u \leq 2, \, 0 \leq v \leq 1$$ for$$0 \leq u \leq 1, \, 0 \leq v \leq 2$$.

27. Evalúe$$\displaystyle \iint_S (x^2 + y^2) \, dS,$$ dónde$$S$$ está la superficie delimitada por encima del hemisferio$$z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$$ y por debajo por plano$$z = 0$$.

Contestar
$$\displaystyle \iint_S (x^2 + y^2) \, dS = \dfrac{4\pi}{3}$$

28. Evaluar$$\displaystyle \iint_S (x^2 + y^2 + z^2) \, dS,$$ dónde$$S$$ está la porción de plano que se encuentra dentro del cilindro$$x^2 + y^2 = 1$$.

29. [T] Evaluar$$\displaystyle \iint_S x^2 z \, dS,$$ dónde$$S$$ está la porción de cono$$z^2 = x^2 + y^2$$ que se encuentra entre los planos$$z = 1$$ y$$z = 4$$.

Contestar
$$\text{div}\,\vecs F = a + b$$

$$\displaystyle \iint_S x^2 zdS = \dfrac{1023\sqrt{2\pi}}{5}$$

30. [T] Evaluate $$\displaystyle \iint_S \frac{xz}{y} \, dS,$$ where $$S$$ is the portion of cylinder $$x = y^2$$ that lies in the first octant between planes $$z = 0, \, z = 5$$, and $$y = 4$$.

31. [T] Evaluar$$\displaystyle \iint_S (z + y) \, dS,$$ dónde$$S$$ está la parte de la gráfica de$$z = \sqrt{1 - x^2}$$ en el primer octante entre el$$xy$$ -plano y el plano$$y = 3$$.

Contestar
$$\displaystyle \iint_S (z + y) \, dS \approx 10.1$$

32. Evaluate $$\displaystyle \iint_S xyz\, dS$$ if $$S$$ is the part of plane $$z = x + y$$ that lies over the triangular region in the $$xy$$-plane with vertices (0, 0, 0), (1, 0, 0), and (0, 2, 0).

33. Find the mass of a lamina of density $$\xi (x,y,z) = z$$ in the shape of hemisphere $$z = (a^2 - x^2 - y^2)^{1/2}$$.

$$m = \pi a^3$$

34. Compute $$\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS,$$ where $$\vecs F(x,y,z) = x\,\mathbf{\hat i} - 5y\,\mathbf{\hat j} + 4z\,\mathbf{\hat k}$$ and $$\vecs N$$ is an outward normal vector $$S,$$ where $$S$$ is the union of two squares $$S_1$$ : $$x = 0, \, 0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq z \leq 1$$ and $$S_2 \, : \, x = 0, \, 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1$$.

35. Calcular$$\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS,$$ dónde$$\vecs F(x,y,z) = xy\,\mathbf{\hat i} + z\,\mathbf{\hat j} + (x + y)\,\mathbf{\hat k}$$ y$$\vecs N$$ es un vector normal hacia afuera$$S,$$ donde$$S$$ está la región triangular cortada del plano$$x + y + z = 1$$ por los ejes de coordenadas positivas.

Contestar
$$\displaystyle \iint_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS = \dfrac{13}{24}$$

36. Calcular$$\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS,$$ dónde$$\vecs F(x,y,z) = 2yz\,\mathbf{\hat i} + (\tan^{-1}xz)\,\mathbf{\hat j} + e^{xy}\,\mathbf{\hat k}$$ y$$\vecs N$$ es un vector normal hacia afuera$$S,$$ donde$$S$$ está la superficie de la esfera$$x^2 + y^2 + z^2 = 1$$.

37. Calcular$$\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS,$$ dónde$$\vecs F(x,y,z) = xyz\,\mathbf{\hat i} + xyz\,\mathbf{\hat j} + xyz\,\mathbf{\hat k}$$ y$$\vecs N$$ es un vector normal hacia afuera$$S,$$ donde$$S$$$$0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq z \leq 1$$ falta la superficie de las cinco caras del cubo unitario$$z = 0$$.

Contestar
$$\displaystyle \iint_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS = \dfrac{3}{4}$$

Para los ejercicios 38 - 39, exprese la integral de superficie como una doble integral iterada mediante el uso de una proyección$$S$$ en el$$yz$$ plano.

38. $$\displaystyle \iint_S xy^2 z^3 \, dS;$$$$S$$es la porción de primer octante del plano$$2x + 3y + 4z = 12$$.

39. $$\displaystyle \iint_S (x^2 - 2y + z) \, dS;$$$$S$$es la porción de la gráfica de$$4x + y = 8$$ delimitada por los planos de coordenadas y el plano$$z = 6$$.

Contestar
$$\displaystyle \int_0^8 \int_0^6 \left( 4 - 3y + \dfrac{1}{16} y^2 + z \right) \left(\dfrac{1}{4} \sqrt{17} \right) \, dz \, dy$$

Para los ejercicios 40 - 41, exprese la integral de superficie como una doble integral iterada mediante el uso de una proyección$$S$$ en el$$xz$$ plano.

40. $$\displaystyle \iint_S xy^2z^3 \, dS;$$$$S$$es la porción de primer octante del plano$$2x + 3y + 4z = 12$$.

41. $$\displaystyle \iint_S (x^2 - 2y + z) \, dS;$$es la porción de la gráfica de$$4x + y = 8$$ delimitada por los planos de coordenadas y el plano$$z = 6$$.

Contestar
$$\displaystyle \int_0^2 \int_0^6 \big[x^2 - 2 (8 - 4x) + z\big] \sqrt{17} \, dz \, dx$$

42. Evaluar la integral de superficie$$\displaystyle \iint_S yz \, dS,$$ donde$$S$$ está la parte del primer octante del plano$$x + y + z = \lambda$$, donde$$\lambda$$ es una constante positiva.

43. Evaluar la integral de superficie$$\displaystyle \iint_S (x^2 z + y^2 z) \, dS,$$ donde$$S$$ está el hemisferio$$x^2 + y^2 + z^2 = a^2, \, z \geq 0.$$

Contestar
$$\displaystyle \iint_S (x^2 z + y^2 z) \, dS = \dfrac{\pi a^5}{2}$$

44. Evaluar la integral de superficie$$\displaystyle \iint_S z \, dA,$$ donde$$S$$ está la superficie$$z = \sqrt{x^2 + y^2}, \, 0 \leq z \leq 2$$.

45. Evaluar la integral de superficie$$\displaystyle \iint_S x^2 yz \, dS,$$ donde$$S$$ está la parte del plano$$z = 1 + 2x + 3y$$ que se encuentra por encima del rectángulo$$0 \leq x \leq 3$$ y$$0 \leq y \leq 2$$.

Contestar
$$\displaystyle \iint_S x^2 yz \, dS = 171 \sqrt{14}$$

46. Evaluar la integral de superficie$$\displaystyle \iint_S yz \, dS,$$ donde$$S$$ está el plano$$x + y + z = 1$$ que se encuentra en el primer octante.

47. Evaluar la integral de superficie$$\displaystyle \iint_S yz \, dS,$$ donde$$S$$ está la parte del plano$$z = y + 3$$ que se encuentra dentro del cilindro$$x^2 + y^2 = 1$$.

Contestar
$$\displaystyle \iint_S yz \, dS = \dfrac{\sqrt{2}\pi}{4}$$

Para los ejercicios 48 - 50, utilice el razonamiento geométrico para evaluar las integrales superficiales dadas.

48. $$\displaystyle \iint_S \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \, dS,$$donde$$S$$ esta superficie$$x^2 + y^2 + z^2 = 4, \, z \geq 0$$

49. $$\displaystyle \iint_S (x\,\mathbf{\hat i} + y\,\mathbf{\hat j}) \cdot dS,$$donde$$S$$ es superficie$$x^2 + y^2 = 4, \, 1 \leq z \leq 3$$, orientado con vectores normales unitarios apuntando hacia afuera

Contestar
$$\displaystyle \iint_S (x\,\mathbf{\hat i} + y\,\mathbf{\hat j}) \cdot dS = 16 \pi$$

50. $$\displaystyle \iint_S (z\,\mathbf{\hat k}) \cdot dS,$$donde$$S$$ está$$z = 4$$ orientado$$x^2 + y^2 \leq 9$$ el disco en el plano con vectores normales unitarios apuntando hacia arriba

51. Una lámina tiene la forma de una porción de esfera$$x^2 + y^2 + z^2 = a^2$$ que se encuentra dentro del cono$$z = \sqrt{x^2 + y^2}$$. Dejar$$S$$ ser la concha esférica centrada en el origen con radio a, y dejar$$C$$ ser el cono circular derecho con un vértice en el origen y un eje de simetría que coincide con el$$z$$ eje -eje. Determinar la masa de la lámina si$$\delta(x,y,z) = x^2 y^2 z$$.

Contestar
$$m = \dfrac{\pi a^7}{192}$$

52. A lamina has the shape of a portion of sphere $$x^2 + y^2 + z^2 = a^2$$ that lies within cone $$z = \sqrt{x^2 + y^2}$$. Let $$S$$ be the spherical shell centered at the origin with radius a, and let $$C$$ be the right circular cone with a vertex at the origin and an axis of symmetry that coincides with the z-axis. Suppose the vertex angle of the cone is $$\phi_0$$, with $$0 \leq \phi_0 < \dfrac{\pi}{2}$$. Determine the mass of that portion of the shape enclosed in the intersection of $$S$$ and $$C.$$ Assume $$\delta(x,y,z) = x^2y^2z.$$

53. Un vaso de papel tiene la forma de un cono circular derecho invertido de 6 pulg. de altura y radio de 3 pulgadas superiores. Si la copa está llena de peso de agua$$62.5 \, lb/ft^3$$, encuentre la magnitud de la fuerza total ejercida por el agua en la superficie interior de la copa.

Contestar
$$F \approx 4.57 \, lb$$

Para los ejercicios 54 - 55, el campo vectorial de flujo de calor para la conducción de objetos i$$\vecs F = - k\vecs\nabla T$$, donde$$T(x,y,z)$$ está la temperatura en el objeto y$$k > 0$$ es una constante que depende del material. Encuentre el flujo hacia afuera$$\vecs F$$ a través de las siguientes superficies$$S$$ para las distribuciones de temperatura dadas y asuma$$k = 1$$.

54. $$T(x,y,z) = 100 e^{-x-y}$$;$$S$$ consiste en las caras de cubo$$|x| \leq 1, \, |y| \leq 1, \, |z| \leq 1$$.

55. $$T(x,y,z) = - \ln (x^2 + y^2 + z^2)$$;$$S$$ es esfera$$x^2 + y^2 + z^2 = a^2$$.

Contestar
$$8\pi a$$

Para los ejercicios 56 - 57, considere los campos radiales$$\vecs F = \dfrac{\langle x,y,z \rangle}{(x^2+y^2+z^2)^{\dfrac{p}{2}}} = \dfrac{r}{|r|^p}$$, donde$$p$$ es un número real. Dejar$$S$$ constar de esferas$$A$$ y$$B$$ centrado en el origen con radios$$0 < a < b$$. El flujo total hacia afuera$$S$$ consiste en el flujo hacia afuera a través de la esfera exterior$$B$$ menos el flujo a$$S$$ través de la esfera interna$$A.$$

56. Encuentre el flujo total

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