16.6E: Ejercicios para la Sección 16.6
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1. Si la superficie\(S\) está dada por\(\{(x,y,z) : \, 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1, \, z = 10 \}\), entonces\(\displaystyle \iint_S f(x,y,z) \, dS = \int_0^1 \int_0^1 f (x,y,10) \, dx \, dy.\)
- Contestar
- Cierto
2. Si la superficie\(S\) está dada por\(\{(x,y,z) : \, 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1, \, z = x \}\), entonces\(\displaystyle \iint_S f(x,y,z) \, dS = \int_0^1 \int_0^1 f (x,y,x) \, dx \, dy.\)
3. La superficie\(\vecs r = \langle v \, \cos u, \, v \, \sin u, \, v^2 \rangle,\) para\( 0 \leq u \leq \pi, \, 0 \leq v \leq 2\) es la misma superficie\(\vecs r = \langle \sqrt{v} \, \cos 2u, \, \sqrt{v} \, \sin 2u, \, v \rangle,\) para\( 0 \leq u \leq \dfrac{\pi}{2}, \, 0 \leq v \leq 4\).
- Contestar
- Cierto
4. Dada la parametrización estándar de una esfera,\(t_u \times t_v\) los vectores normales son vectores normales externos.
En los ejercicios 5 - 10, encuentra descripciones paramétricas para las siguientes superficies.
5. Avión\(3x - 2y + z = 2\)
- Contestar
- \(\vecs r(u,v) = \langle u, \, v, \, 2 - 3u + 2v \rangle \)para\(-\infty \leq u < \infty\) y\( - \infty \leq v < \infty\).
6. Paraboloide\(z = x^2 + y^2\), para\(0 \leq z \leq 9\).
7. Avión\(2x - 4y + 3z = 16\)
- Contestar
- \(\vecs r(u,v) = \langle u, \, v, \, \dfrac{1}{3} (16 - 2u + 4v) \rangle \)para\(|u| < \infty\) y\(|v| < \infty\).
8. El frustum de cono\(z^2 = x^2 + y^2\), para\(2 \leq z \leq 8\)
9. La porción de cilindro\(x^2 + y^2 = 9\) en el primer octante, para\(0 \leq z \leq 3\)
- Contestar
- \(\vecs r(u,v) = \langle 3 \, \cos u, \, 3 \, \sin u, \, v \rangle \) for \(0 \leq u \leq \dfrac{\pi}{2}, \, 0 \leq v \leq 3\)
10. A cone with base radius \(r\) and height \(h,\) where \(r\) and \(h\) are positive constants.
For exercises 11 - 12, use a computer algebra system to approximate the area of the following surfaces using a parametric description of the surface.
11. [T] Half cylinder \(\{ (r, \theta, z) : \, r = 4, \, 0 \leq \theta \leq \pi, \, 0 \leq z \leq 7 \}\)
- Answer
- \(A = 87.9646\)
12. [T] Plane \(z = 10 - z - y\) above square \(|x| \leq 2, \, |y| \leq 2\)
In exercises 13 - 15, let \(S\) be the hemisphere \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\), with \(z \geq 0\), and evaluate each surface integral, in the counterclockwise direction.
13. \(\displaystyle \iint_S z\, dS\)
- Answer
- \(\displaystyle \iint_S z \, dS = 8\pi\)
14. \(\displaystyle \iint_S (x - 2y) \, dS\)
15. \(\displaystyle \iint_S (x^2 + y^2) \, dS\)
- Answer
- \(\displaystyle \iint_S (x^2 + y^2) \, dS = 16 \pi\)
In exercises 16 - 18, evaluate \(\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS\) for vector field \(\vecs F\) where \(\vecs N\) is an outward normal vector to surface \(S.\)
16. \(\vecs F(x,y,z) = x\,\mathbf{\hat i}+ 2y\,\mathbf{\hat j} = 3z\,\mathbf{\hat k}\), and \(S\) is that part of plane \(15x - 12y + 3z = 6\) that lies above unit square \(0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1\).
17. \(\vecs F(x,y) = x\,\mathbf{\hat i} + y\,\mathbf{\hat j}\), and \(S\) is hemisphere \(z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}\).
- Answer
- \(\displaystyle \iint_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS = \dfrac{4\pi}{3}\)
18. \(\vecs F(x,y,z) = x^2\,\mathbf{\hat i} + y^2\,\mathbf{\hat j} + z^2\,\mathbf{\hat k}\), and \(S\) is the portion of plane \(z = y + 1\) that lies inside cylinder \(x^2 + y^2 = 1\).
En los ejercicios 19 - 20, aproximar la masa de la lámina homogénea que tiene la forma de superficie dada\(S.\) Redonda a cuatro decimales.
19. [T]\(S\) es superficie\(z = 4 - x - 2y\), con\(z \geq 0, \, x \geq 0, \, y \geq 0; \, \xi = x.\)
- Contestar
- \(m \approx 13.0639\)
20. [T]\(S\) es de superficie\(z = x^2 + y^2\), con\(z \leq 1; \, \xi = z\).
21. [T]\(S\) es de superficie\(x^2 + y^2 + x^2 = 5\), con\(z \geq 1; \, \xi = \theta^2\).
- Contestar
- \(m \approx 228.5313\)
22. Evaluar\(\displaystyle \iint_S (y^2 z\,\mathbf{\hat i}+ y^3\,\mathbf{\hat j} + xz\,\mathbf{\hat k}) \cdot dS,\) dónde\(S\) está la superficie del cubo\(-1 \leq x \leq 1, \, -1 \leq y \leq 1\), y\(0 \leq z \leq 2\) en sentido contrario a las agujas del reloj.
23. Evalúe la integral de la superficie\(\displaystyle \iint_S g \, dS,\) donde\(g(x,y,z) = xz + 2x^2 - 3xy\) y\(S\) es la porción del plano\(2x - 3y + z = 6\) que se encuentra sobre la unidad cuadrada\(R: 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1\).
- Contestar
- \(\displaystyle \iint_S g\,dS = 3 \sqrt{4}\)
24. Evaluar\(\displaystyle \iint_S (x + y + z)\, dS,\) dónde\(S\) está la superficie definida paramétricamente por\(\vecs R(u,v) = (2u + v)\,\mathbf{\hat i} + (u - 2v)\,\mathbf{\hat j} + (u + 3v)\,\mathbf{\hat k}\) for\(0 \leq u \leq 1\), y\(0 \leq v \leq 2\).
25. [T] Evaluar\(\displaystyle \iint_S (x - y^2 + z)\, dS,\) where \(S\) is the surface defined parametrically by \(\vecs R(u,v) = u^2\,\mathbf{\hat i} + v\,\mathbf{\hat j} + u\,\mathbf{\hat k}\) for \(0 \leq u \leq 1, \, 0 \leq v \leq 1\).
- Contestar
- \(\displaystyle \iint_S (x^2 + y - z) \, dS \approx 0.9617\)
26. [T] Evaluar dónde\(S\) está la superficie definida por\(\vecs R(u,v) = u\,\mathbf{\hat i} - u^2\,\mathbf{\hat j} + v\,\mathbf{\hat k}, \, 0 \leq u \leq 2, \, 0 \leq v \leq 1\) for\(0 \leq u \leq 1, \, 0 \leq v \leq 2\).
27. Evalúe\(\displaystyle \iint_S (x^2 + y^2) \, dS,\) dónde\(S\) está la superficie delimitada por encima del hemisferio\(z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}\) y por debajo por plano\(z = 0\).
- Contestar
- \(\displaystyle \iint_S (x^2 + y^2) \, dS = \dfrac{4\pi}{3}\)
28. Evaluar\(\displaystyle \iint_S (x^2 + y^2 + z^2) \, dS,\) dónde\(S\) está la porción de plano que se encuentra dentro del cilindro\(x^2 + y^2 = 1\).
29. [T] Evaluar\(\displaystyle \iint_S x^2 z \, dS,\) dónde\(S\) está la porción de cono\(z^2 = x^2 + y^2\) que se encuentra entre los planos\(z = 1\) y\(z = 4\).
- Contestar
- \(\text{div}\,\vecs F = a + b\)
\(\displaystyle \iint_S x^2 zdS = \dfrac{1023\sqrt{2\pi}}{5}\)
30. [T] Evaluate \(\displaystyle \iint_S \frac{xz}{y} \, dS,\) where \(S\) is the portion of cylinder \(x = y^2\) that lies in the first octant between planes \(z = 0, \, z = 5\), and \(y = 4\).
31. [T] Evaluar\(\displaystyle \iint_S (z + y) \, dS,\) dónde\(S\) está la parte de la gráfica de\( z = \sqrt{1 - x^2}\) en el primer octante entre el\(xy\) -plano y el plano\(y = 3\).
- Contestar
- \(\displaystyle \iint_S (z + y) \, dS \approx 10.1\)
32. Evaluate \(\displaystyle \iint_S xyz\, dS\) if \(S\) is the part of plane \(z = x + y\) that lies over the triangular region in the \(xy\)-plane with vertices (0, 0, 0), (1, 0, 0), and (0, 2, 0).
33. Find the mass of a lamina of density \(\xi (x,y,z) = z\) in the shape of hemisphere \(z = (a^2 - x^2 - y^2)^{1/2}\).
- Answer
- \(m = \pi a^3\)
34. Compute \(\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS,\) where \(\vecs F(x,y,z) = x\,\mathbf{\hat i} - 5y\,\mathbf{\hat j} + 4z\,\mathbf{\hat k}\) and \(\vecs N\) is an outward normal vector \(S,\) where \(S\) is the union of two squares \(S_1\) : \(x = 0, \, 0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq z \leq 1\) and \(S_2 \, : \, x = 0, \, 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1\).
35. Calcular\(\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS,\) dónde\(\vecs F(x,y,z) = xy\,\mathbf{\hat i} + z\,\mathbf{\hat j} + (x + y)\,\mathbf{\hat k}\) y\(\vecs N\) es un vector normal hacia afuera\(S,\) donde\(S\) está la región triangular cortada del plano\(x + y + z = 1\) por los ejes de coordenadas positivas.
- Contestar
- \(\displaystyle \iint_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS = \dfrac{13}{24}\)
36. Calcular\(\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS,\) dónde\(\vecs F(x,y,z) = 2yz\,\mathbf{\hat i} + (\tan^{-1}xz)\,\mathbf{\hat j} + e^{xy}\,\mathbf{\hat k}\) y\(\vecs N\) es un vector normal hacia afuera\(S,\) donde\(S\) está la superficie de la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\).
37. Calcular\(\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS,\) dónde\(\vecs F(x,y,z) = xyz\,\mathbf{\hat i} + xyz\,\mathbf{\hat j} + xyz\,\mathbf{\hat k}\) y\(\vecs N\) es un vector normal hacia afuera\(S,\) donde\(S\)\(0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq z \leq 1\) falta la superficie de las cinco caras del cubo unitario\(z = 0\).
- Contestar
- \(\displaystyle \iint_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS = \dfrac{3}{4}\)
Para los ejercicios 38 - 39, exprese la integral de superficie como una doble integral iterada mediante el uso de una proyección\(S\) en el\(yz\) plano.
38. \(\displaystyle \iint_S xy^2 z^3 \, dS;\)\(S\)es la porción de primer octante del plano\(2x + 3y + 4z = 12\).
39. \(\displaystyle \iint_S (x^2 - 2y + z) \, dS;\)\(S\)es la porción de la gráfica de\(4x + y = 8\) delimitada por los planos de coordenadas y el plano\(z = 6\).
- Contestar
- \(\displaystyle \int_0^8 \int_0^6 \left( 4 - 3y + \dfrac{1}{16} y^2 + z \right) \left(\dfrac{1}{4} \sqrt{17} \right) \, dz \, dy\)
Para los ejercicios 40 - 41, exprese la integral de superficie como una doble integral iterada mediante el uso de una proyección\(S\) en el\(xz\) plano.
40. \(\displaystyle \iint_S xy^2z^3 \, dS;\)\(S\)es la porción de primer octante del plano\(2x + 3y + 4z = 12\).
41. \(\displaystyle \iint_S (x^2 - 2y + z) \, dS;\)es la porción de la gráfica de\(4x + y = 8\) delimitada por los planos de coordenadas y el plano\(z = 6\).
- Contestar
- \(\displaystyle \int_0^2 \int_0^6 \big[x^2 - 2 (8 - 4x) + z\big] \sqrt{17} \, dz \, dx\)
42. Evaluar la integral de superficie\(\displaystyle \iint_S yz \, dS,\) donde\(S\) está la parte del primer octante del plano\(x + y + z = \lambda\), donde\(\lambda\) es una constante positiva.
43. Evaluar la integral de superficie\(\displaystyle \iint_S (x^2 z + y^2 z) \, dS,\) donde\(S\) está el hemisferio\(x^2 + y^2 + z^2 = a^2, \, z \geq 0.\)
- Contestar
- \(\displaystyle \iint_S (x^2 z + y^2 z) \, dS = \dfrac{\pi a^5}{2}\)
44. Evaluar la integral de superficie\(\displaystyle \iint_S z \, dA,\) donde\(S\) está la superficie\(z = \sqrt{x^2 + y^2}, \, 0 \leq z \leq 2\).
45. Evaluar la integral de superficie\(\displaystyle \iint_S x^2 yz \, dS,\) donde\(S\) está la parte del plano\(z = 1 + 2x + 3y\) que se encuentra por encima del rectángulo\(0 \leq x \leq 3\) y\(0 \leq y \leq 2\).
- Contestar
- \(\displaystyle \iint_S x^2 yz \, dS = 171 \sqrt{14}\)
46. Evaluar la integral de superficie\(\displaystyle \iint_S yz \, dS,\) donde\(S\) está el plano\(x + y + z = 1\) que se encuentra en el primer octante.
47. Evaluar la integral de superficie\(\displaystyle \iint_S yz \, dS,\) donde\(S\) está la parte del plano\(z = y + 3\) que se encuentra dentro del cilindro\(x^2 + y^2 = 1\).
- Contestar
- \(\displaystyle \iint_S yz \, dS = \dfrac{\sqrt{2}\pi}{4}\)
Para los ejercicios 48 - 50, utilice el razonamiento geométrico para evaluar las integrales superficiales dadas.
48. \(\displaystyle \iint_S \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \, dS,\)donde\(S\) esta superficie\(x^2 + y^2 + z^2 = 4, \, z \geq 0\)
49. \(\displaystyle \iint_S (x\,\mathbf{\hat i} + y\,\mathbf{\hat j}) \cdot dS,\)donde\(S\) es superficie\(x^2 + y^2 = 4, \, 1 \leq z \leq 3\), orientado con vectores normales unitarios apuntando hacia afuera
- Contestar
- \(\displaystyle \iint_S (x\,\mathbf{\hat i} + y\,\mathbf{\hat j}) \cdot dS = 16 \pi\)
50. \(\displaystyle \iint_S (z\,\mathbf{\hat k}) \cdot dS,\)donde\(S\) está\(z = 4\) orientado\(x^2 + y^2 \leq 9\) el disco en el plano con vectores normales unitarios apuntando hacia arriba
51. Una lámina tiene la forma de una porción de esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\) que se encuentra dentro del cono\(z = \sqrt{x^2 + y^2}\). Dejar\(S\) ser la concha esférica centrada en el origen con radio a, y dejar\(C\) ser el cono circular derecho con un vértice en el origen y un eje de simetría que coincide con el\(z\) eje -eje. Determinar la masa de la lámina si\(\delta(x,y,z) = x^2 y^2 z\).
- Contestar
- \(m = \dfrac{\pi a^7}{192}\)
52. A lamina has the shape of a portion of sphere \(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\) that lies within cone \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\). Let \(S\) be the spherical shell centered at the origin with radius a, and let \(C\) be the right circular cone with a vertex at the origin and an axis of symmetry that coincides with the z-axis. Suppose the vertex angle of the cone is \(\phi_0\), with \(0 \leq \phi_0 < \dfrac{\pi}{2}\). Determine the mass of that portion of the shape enclosed in the intersection of \(S\) and \(C.\) Assume \(\delta(x,y,z) = x^2y^2z.\)
53. Un vaso de papel tiene la forma de un cono circular derecho invertido de 6 pulg. de altura y radio de 3 pulgadas superiores. Si la copa está llena de peso de agua\(62.5 \, lb/ft^3\), encuentre la magnitud de la fuerza total ejercida por el agua en la superficie interior de la copa.
- Contestar
- \(F \approx 4.57 \, lb\)
Para los ejercicios 54 - 55, el campo vectorial de flujo de calor para la conducción de objetos i\(\vecs F = - k\vecs\nabla T\), donde\(T(x,y,z)\) está la temperatura en el objeto y\(k > 0\) es una constante que depende del material. Encuentre el flujo hacia afuera\(\vecs F\) a través de las siguientes superficies\(S\) para las distribuciones de temperatura dadas y asuma\(k = 1\).
54. \(T(x,y,z) = 100 e^{-x-y}\);\(S\) consiste en las caras de cubo\(|x| \leq 1, \, |y| \leq 1, \, |z| \leq 1\).
55. \(T(x,y,z) = - \ln (x^2 + y^2 + z^2)\);\(S\) es esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\).
- Contestar
- \(8\pi a\)
Para los ejercicios 56 - 57, considere los campos radiales\(\vecs F = \dfrac{\langle x,y,z \rangle}{(x^2+y^2+z^2)^{\dfrac{p}{2}}} = \dfrac{r}{|r|^p}\), donde\(p\) es un número real. Dejar\(S\) constar de esferas\(A\) y\(B\) centrado en el origen con radios\(0 < a < b\). El flujo total hacia afuera\(S\) consiste en el flujo hacia afuera a través de la esfera exterior\(B\) menos el flujo a\(S\) través de la esfera interna\(A.\)
56. Encuentre el flujo total