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16: Cálculo vectorial

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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En este capítulo aprendemos a modelar nuevos tipos de integrales sobre campos como campos magnéticos, campos gravitacionales o campos de velocidad. También aprendemos a calcular el trabajo realizado en una partícula cargada que viaja a través de un campo magnético, el trabajo realizado en una partícula con masa viajando a través de un campo gravitacional, y el volumen por unidad de tiempo de agua que fluye a través de una red caída en un río. Todas estas aplicaciones se basan en el concepto de un campo vectorial.

• 16.0: Preludio al Cálculo Vectorial
Los campos vectoriales tienen muchas aplicaciones porque pueden ser utilizados para modelar campos reales como campos electromagnéticos o gravitacionales. Una comprensión profunda de la física o la ingeniería es imposible sin una comprensión de los campos vectoriales. Además, los campos vectoriales tienen propiedades matemáticas que son dignas de estudio por derecho propio. En particular, los campos vectoriales pueden ser utilizados para desarrollar varias versiones de dimensiones superiores del Teorema Fundamental del Cálculo.
• 16.1: Campos vectoriales
Los campos vectoriales son una herramienta importante para describir muchos conceptos físicos, como la gravitación y el electromagnetismo, que afectan el comportamiento de los objetos sobre una gran región de un plano o del espacio. También son útiles para hacer frente a comportamientos a gran escala como tormentas atmosféricas o corrientes oceánicas de profundidad. En esta sección, examinamos las definiciones básicas y gráficas de los campos vectoriales para que podamos estudiarlos con más detalle en el resto de este capítulo.
• 16.2: Integrales de línea
Las integrales de línea tienen muchas aplicaciones para ingeniería y física. También nos permiten hacer varias generalizaciones útiles del Teorema Fundamental del Cálculo. Y, están estrechamente conectados con las propiedades de los campos vectoriales, como veremos.
En esta sección, continuamos el estudio de los campos vectoriales conservadores. Examinamos el Teorema Fundamental para Integrales de Línea, que es una generalización útil del Teorema Fundamental del Cálculo a integrales lineales de campos vectoriales conservadores. También descubrimos mostrar cómo probar si un campo vectorial dado es conservador y determinar cómo construir una función potencial para un campo vectorial conocido por ser conservador.
• 16.4: Teorema de Green
El teorema de Green es una extensión del Teorema Fundamental del Cálculo a dos dimensiones. Tiene dos formas: una forma de circulación y una forma de flujo, ambas de las cuales requieren región$$D$$ en la doble integral para ser simplemente conectadas. No obstante, extenderemos el teorema de Green a regiones que no están simplemente conectadas. El teorema de Green relaciona una línea integral alrededor de una curva plana simplemente cerrada$$C$$ y una doble integral sobre la región encerrada por$$C$$.
• 16.5: Divergencia y Curl
Divergencia y rizo son dos operaciones importantes en un campo vectorial. Son importantes para el campo del cálculo por varias razones, entre ellas el uso del rizo y la divergencia para desarrollar algunas versiones de dimensiones superiores del Teorema Fundamental del Cálculo. Además, el rizo y la divergencia aparecen en las descripciones matemáticas de la mecánica de fluidos, el electromagnetismo y la teoría de la elasticidad, que son conceptos importantes en física e ingeniería.
• 16.6: Integrales de superficie
Si queremos integrarnos sobre una superficie (un objeto bidimensional) en lugar de un camino (un objeto unidimensional) en el espacio, entonces necesitamos un nuevo tipo de integral. Podemos extender el concepto de una línea integral a una integral de superficie para permitirnos realizar esta integración. Las integrales de superficie son importantes por las mismas razones que las integrales de línea son importantes. Tienen muchas aplicaciones a la física y a la ingeniería, y nos permiten ampliar el Teorema Fundamental del Cálculo a dimensiones superiores.
• 16.7: Teorema de Stokes
En esta sección, estudiamos el teorema de Stokes, una generalización dimensional superior del teorema de Green. Este teorema, al igual que el Teorema Fundamental para Integrales de Línea y Teorema de Verde, es una generalización del Teorema Fundamental del Cálculo a dimensiones superiores. El teorema de Stokes relaciona una superficie vectorial integral sobre la superficie S en el espacio con una línea integral alrededor del límite de S.
• 16.8: El teorema de la divergencia
Hemos examinado varias versiones del Teorema Fundamental del Cálculo en dimensiones superiores que relacionan la integral alrededor de un límite orientado de un dominio con una “derivada” de esa entidad en el dominio orientado. En esta sección, exponemos el teorema de la divergencia, que es el teorema final de este tipo que vamos a estudiar.
• 16.9: Capítulo 16 Ejercicios de revisión

Miniatura: Superficie$$Σ$$ con contorno cerrado$$∂Σ$$. $$\vec{F}$$podrían ser los$$\vec{B}$$ campos$$\vec{E}$$ o. $$n$$es la unidad normal. (Dominio público; Maschen).

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