3.4: Optimización Aplicada
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- En un entorno donde se describe una situación para la que se buscan parámetros óptimos, ¿cómo desarrollamos una función que modele la situación y utilice el cálculo para encontrar el máximo o mínimo deseado?
Cerca de la conclusión de la Sección 3.3, se consideraron dos problemas de optimización donde determinar la función a optimizar era parte del problema. En el Ejemplo 3.3.4, se buscó utilizar una sola pieza de alambre para construir un triángulo equilátero y un cuadrado con el fin de maximizar el área combinada total encerrada. En la Actividad 3.3.4 posterior, investigamos cómo el volumen de una caja construida a partir de un trozo de cartón retirando cuadrados de cada esquina y plegando los lados depende del tamaño de los cuadrados retirados.
En ninguno de estos problemas era una función para optimizar explícitamente proporcionada. Más bien, primero intentamos entender el problema dibujando una figura e introduciendo variables, para luego buscar desarrollar una fórmula para una función que modele la cantidad a optimizar. Una vez establecida la función, entonces consideramos qué dominio era apropiado. En ese punto, finalmente estábamos listos para aplicar las ideas de cálculo para determinar el mínimo o máximo absoluto.
A lo largo de lo que sigue en la sección actual, el énfasis principal está en que el lector resuelva problemas. Inicialmente, se brinda alguna orientación sustancial, con los problemas progresando para exigir una mayor independencia a medida que avanzamos.
De acuerdo con las regulaciones postales de Estados Unidos, la circunferencia más la longitud de un paquete enviado por correo no puede exceder las 108 pulgadas, donde por “circunferencia” nos referimos al perímetro del extremo más pequeño. ¿Cuál es el mayor volumen posible de una parcela rectangular con un extremo cuadrado que se puede enviar por correo? ¿Cuáles son las dimensiones del paquete de mayor volumen?
a. dejar\(x\) representar la longitud de un lado del extremo cuadrado y\(y\) la longitud del lado más largo. Etiquete estas cantidades apropiadamente en la imagen que se muestra en la Figura 3.4.1.
b. ¿Cuál es la cantidad a optimizar en este problema? Encuentre una fórmula para esta cantidad en términos de\(x\) y\(y\text{.}\)
c. La declaración del problema nos dice que la circunferencia del paquete más la longitud no puede exceder 108 pulgadas. Para maximizar el volumen, asumimos que en realidad necesitaremos que la circunferencia más la longitud sea igual a 108 pulgadas. ¿Qué ecuación produce esto involucrando\(x\) y\(y\text{?}\)
d. Resuelve la ecuación que encontraste en (c) para uno de\(x\) o\(y\) (lo que sea más fácil).
e. Ahora use su trabajo en (b) y (d) para determinar una fórmula para el volumen de la parcela de manera que esta fórmula sea una función de una sola variable.
f. ¿Sobre qué dominio debemos considerar esta función? Tenga en cuenta que ambos\(x\) y\(y\) deben ser positivos; ¿cómo la restricción de que la circunferencia más la longitud es de 108 pulgadas produce intervalos de posibles valores para\(x\) y\(y\text{?}\)
g. encuentra el máximo absoluto del volumen de la parcela en el dominio que estableciste en (f) y de ahí determinar también las dimensiones de la caja de mayor volumen. Justifica que has encontrado el máximo usando cálculo.
3.4.1 Más problemas de optimización aplicada
Muchos de los pasos en Preview Activity 3.4.1 son los que ejecutaremos en cualquier problema de optimización aplicada. Los resumimos brevemente aquí para brindar una visión general de nuestro enfoque en preguntas posteriores.
- Dibuja un cuadro e introduce variables. Es fundamental entender primero qué cantidades se permiten variar en el problema y luego representar esos valores con variables. Construir una figura con las variables etiquetadas es casi siempre un primer paso esencial. A veces dibujar varios diagramas puede ser especialmente útil para tener una idea de la situación. Un buen ejemplo de esto se puede ver en http://gvsu.edu/s/99, donde la elección de dónde doblar un trozo de alambre en la forma de un rectángulo determina tanto la forma como el área del rectángulo.
- Identificar la cantidad a optimizar así como cualquier relación clave entre las cantidades variables. Esencialmente, este paso implica escribir ecuaciones que involucren las variables que se han introducido: una para representar la cantidad cuyo mínimo o máximo se busca, y posiblemente otras que muestren cómo múltiples variables en el problema pueden estar interrelacionadas.
- Determinar una función de una sola variable que modele la cantidad a optimizar; esto puede implicar el uso de otras relaciones entre variables para eliminar una o más variables en la fórmula de la función. Por ejemplo, en Preview Activity 3.4.1, inicialmente encontramos que\(V = x^2 y\text{,}\) pero luego la relación adicional que\(4x + y = 108\) (circunferencia más longitud es igual a 108 pulgadas) nos permite relacionar\(x\) y\(y\) y así observar de manera equivalente esa\(y = 108-4x\text{.}\) Sustitución\(y\) en la ecuación de volumen rendimientos\(V(x) = x^2(108-4x)\text{,}\) y así hemos escrito el volumen en función de la variable única\(x\text{.}\)
- Decidir el dominio en el que considerar la función que se está optimizando. A menudo, las restricciones físicas del problema limitarán los posibles valores que la variable independiente puede asumir. Pensar en el diagrama que describe la situación general y cualquier relación entre las variables en el problema a menudo ayuda a identificar los valores más pequeños y mayores de la variable de entrada.
- Utilice el cálculo para identificar el máximo y/o mínimo absoluto de la cantidad que se está optimizando. Esto siempre implica encontrar primero los números críticos de la función. Entonces, dependiendo del dominio, construimos un primer gráfico de signos derivados (para un intervalo abierto o no acotado) o evaluamos la función en los puntos finales y números críticos (para un intervalo cerrado y delimitado), utilizando ideas que hemos estudiado hasta ahora en el Capítulo 3.
- Por último, nos aseguramos de haber respondido a la pregunta: ¿busca la pregunta el máximo absoluto de una cantidad, o los valores de las variables que producen el máximo? Es decir, encontrar el volumen máximo absoluto de una parcela es diferente a encontrar las dimensiones de la parcela que producen el máximo.
Una lata de sopa en forma de cilindro circular derecho debe estar hecha de dos materiales. El material para el lado de la lata cuesta $0.015 por pulgada cuadrada y el material para las tapas cuesta $\(0.027\) por pulgada cuadrada. Supongamos que deseamos construir una lata que tenga un volumen de 16 pulgadas cúbicas. ¿Qué dimensiones minimizan el costo de la lata?
- Dibuje una imagen de la lata y etiquete sus dimensiones con las variables apropiadas.
- Utilice sus variables para determinar expresiones para el volumen, el área de superficie y el costo de la lata.
- Determinar la función de costo total en función de una sola variable. ¿Cuál es el dominio en el que debes considerar esta función?
- Encuentra el costo mínimo absoluto y las dimensiones que producen este valor.
La familiaridad con las fórmulas geométricas comunes es particularmente útil en problemas como el de la Actividad 3.4.2. A veces esos involucran perímetro, área, volumen o área de superficie. En otras ocasiones, las restricciones de un problema introducen triángulos rectos (donde se aplica el Teorema de Pitágoras) u otras funciones cuyas fórmulas proporcionan relaciones entre las variables.
Un excursionista que comienza en un punto\(P\) de una carretera recta camina hacia el este hacia el punto\(Q\text{,}\) que está en la carretera y a 3 kilómetros del punto\(P\text{.}\)
Dos kilómetros al norte de punto\(Q\) se encuentra una cabaña. El excursionista caminará por la carretera un rato, a un ritmo de 8 kilómetros por hora. En algún punto\(Z\) entre\(P\) y\(Q\text{,}\) el excursionista sale de la carretera y hace una línea recta hacia la cabaña a través del bosque, caminando a un ritmo de 3 kph, como se muestra en la Figura 3.4.3. Con el fin de minimizar el tiempo para pasar de\(P\)\(Z\) a la cabaña, ¿dónde debería convertirse el excursionista en el bosque?
En problemas más geométricos, a menudo usamos curvas o funciones para proporcionar restricciones naturales. Por ejemplo, podríamos investigar qué triángulo isósceles que circunscribe un círculo unitario tiene el área más pequeña, que puedes explorar por ti mismo en http://gvsu.edu/s/9b. O de manera similar, para una región delimitada por una parábola, podríamos buscar el rectángulo de área más grande que se ajuste por debajo de la curva, como se muestra en http://gvsu.edu/s/9c. La siguiente actividad es similar a este último problema.
Considera la región en el\(y\) plano\(x\) - que está delimitada por el\(x\) eje -y la función\(f(x) = 25-x^2\text{.}\) Construir un rectángulo cuya base se encuentra en el\(x\) eje -y está centrada en el origen, y cuyos lados se extienden verticalmente hasta que se cruzan con la curva\(y = 25-x^2\text{.}\) Que tal rectángulo tiene el área máxima posible? ¿Cuál de esos rectángulos tiene el mayor perímetro? ¿Cuál tiene el mayor perímetro y área combinados? (Desafío: responder las mismas preguntas en términos de parámetros positivos\(a\) y\(b\) para la función\(f(x) = b-ax^2\text{.}\))
Se construye un canal doblando una pieza rectangular\(4 \times 24\) (medida en pies) de chapa metálica.
Dos pliegues simétricos separados a 2 pies se harán paralelos al lado más largo del rectángulo de manera que el canal tenga secciones transversales en forma de trapecio, como se muestra en la Figura 3.4.4. ¿En qué ángulo se deben hacer los pliegues para producir el canal de volumen máximo?
3.4.2 Resumen
- Si bien no existe un algoritmo único que funcione en todas las situaciones en las que se utilice la optimización, en la mayoría de los problemas que consideramos, son útiles los siguientes pasos: dibujar una imagen e introducir variables; identificar la cantidad a optimizar y encontrar relaciones entre las variables; determinar una función de variable única que modela la cantidad a optimizar; decidir el dominio en el que considerar la función que se está optimizando; usar cálculo para identificar el máximo y/o mínimo absoluto de la cantidad que se está optimizando.