6.E: Uso de Integrales Definidas (Ejercicios)

6.1: Uso de integrales definidas para encontrar área y longitud

1. Área entre dos funciones de alimentación

2. Área entre dos funciones trigonométricas

3. Área entre dos curvas

4. Longitud de arco de una curva

5

Encuentra el área exacta de cada región descrita.

1. La región finita entre las curvas$x = y(y-2)$ y$x=-(y-1)(y-3)\text{.}$
2. La región entre las funciones seno y coseno en el intervalo$[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]\text{.}$
3. La región finita entre$x = y^2 - y - 2$ y$y = 2x-1\text{.}$
4. La región finita entre$y = mx$ y$y = x^2-1\text{,}$ donde$m$ es una constante positiva.

6

Let$f(x) = 1-x^2$ y$g(x) = ax^2 - a\text{,}$ donde$a$ es un número real positivo desconocido. ¿Para qué valor (s) de$a$ es el área entre las curvas$f$ e$g$ igual a 2?

7

Let$f(x) = 2-x^2\text{.}$ Recordemos que el valor promedio de cualquier función continua$f$ en un intervalo$[a,b]$ viene dado por$\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx\text{.}$

1. Encuentra el valor promedio de$f(x) = 2-x^2$ en el intervalo$[0,\sqrt{2}]\text{.}$ Llamar a este valor$r\text{.}$
2. Esboce una gráfica de$y = f(x)$ y$y = r\text{.}$ encuentre su punto (s) de intersección.
3. Mostrar que en el intervalo$[0,\sqrt{2}]\text{,}$ la cantidad de área que se encuentra por debajo$y = f(x)$ y por encima$y = r$ es igual a la cantidad de área que se encuentra por debajo$y = r$ y por encima$y = f(x)\text{.}$
4. ¿Será cierto el resultado de (c) para alguna función continua y su valor promedio en algún intervalo? ¿Por qué?

6.2 Uso de Integrales Definitivas para Encontrar Volumen

1. Sólido de revolución a partir de una función sobre el$x$-axis

2. Sólido de revolución a partir de una función sobre el$y$-axis

3. Sólido de revolución a partir de dos funciones sobre$x$-axis

4. Sólido de revolución a partir de dos funciones alrededor de una línea horizontal

5. Sólido de revolución a partir de dos funciones sobre una línea horizontal diferente

6. Sólido de revolución a partir de dos funciones alrededor de una línea vertical

7

Consideremos la curva$f(x) = 3 \cos(\frac{x^3}{4})$ y la porción de su gráfica que se encuentra en el primer cuadrante entre el$y$ -eje y el primer valor positivo de$x$ para el cual$f(x) = 0\text{.}$ Let$R$ denota la región delimitada por esta porción$f\text{,}$ del$x$ eje -eje, y el$y$ -eje.

1. Configura una integral definida cuyo valor sea la longitud exacta del arco$f$ que se encuentra a lo largo del límite superior de la tecnología$R\text{.}$ Use apropiadamente para evaluar la integral que encuentre.
2. Configura una integral definida cuyo valor sea el área exacta de$R\text{.}$ Usa la tecnología de manera adecuada para evaluar la integral que encuentres.
3. Supongamos que$R$ la región gira alrededor del$x$ eje -eje. Establecer una integral definida cuyo valor sea el volumen exacto del sólido de revolución que se genera. Utilice la tecnología de manera apropiada para evaluar la integral que encuentre.
4. Supongamos en su lugar que$R$ gira alrededor del$y$ eje -eje. De ser posible, establecer una expresión integral cuyo valor sea el volumen exacto del sólido de revolución y evaluar la integral utilizando la tecnología apropiada. Si no es posible, explique por qué.

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Considera las curvas dadas por$y = \sin(x)$ y$y = \cos(x)\text{.}$ Para cada uno de los siguientes problemas, debes incluir un boceto de la región/sólido que se está considerando, así como un corte representativo etiquetado.

1. $R$Esboce la región delimitada por el$y$ eje y las curvas$y = \sin(x)$ y$y = \cos(x)$ hasta el primer valor positivo$x$ en el que se cruzan. ¿Cuál es el punto exacto de intersección de las curvas?
2. Establecer una integral definida cuyo valor sea el área exacta de$R\text{.}$
3. Establecer una integral definida cuyo valor sea el volumen exacto del sólido de revolución generado al girar$R$ alrededor del$x$ eje -eje.
4. Establecer una integral definida cuyo valor sea el volumen exacto del sólido de revolución generado al girar$R$ alrededor del$y$ eje -eje.
5. Establecer una integral definida cuyo valor sea el volumen exacto del sólido de revolución generado al girar$R$ alrededor de la línea$y = 2\text{.}$
6. Establecer una integral definida cuyo valor sea el volumen exacto del sólido de revolución generado al girar$R$ alrededor de la línea$x = -1\text{.}$

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Considere la región finita$R$ que está delimitada por las curvas$y = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2\text{,}$$y=\frac{1}{2}x^2\text{,}$ y$x = 0\text{.}$

1. Determinar una integral definida cuyo valor es el área de la región encerrada por las dos curvas.
2. Buscar una expresión que involucre una o más integrales definidas cuyo valor sea el volumen del sólido de revolución generado al girar la región$R$ alrededor de la línea$y = -1\text{.}$
3. Determinar una expresión que involucra una o más integrales definidas cuyo valor es el volumen del sólido de revolución generado al girar la región$R$ alrededor del$y$ eje -eje.
4. Buscar una expresión que involucre una o más integrales definidas cuyo valor sea el perímetro de la región$R\text{.}$

6.3 Densidad, masa y centro de masa

1. Centro de masa para una función de densidad lineal

2. Centro de masa para una función de densidad no lineal

3. Interpretación de la densidad de los autos en una carretera

4. Centro de masa en un sistema de punto-masa

5

Dejar que una varilla delgada de longitud$a$ tenga función de distribución de densidad$\rho(x) = 10e^{-0.1x}\text{,}$ donde$x$ se mide en cm y$\rho$ en gramos por centímetro.

1. Si la masa de la varilla es de 30 g, ¿cuál es el valor de$a\text{?}$
2. Para la varilla de 30g, ¿estará el centro de masa en su punto medio, a la izquierda del punto medio o a la derecha del punto medio? ¿Por qué?
3. Para la varilla de 30g, encuentra el centro de masa y compara tu predicción en (b).
4. ¿A qué valor de se$x$ debe cortar la varilla de 30g para formar dos piezas de igual masa?

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Considere dos barras delgadas de área transversal constante, cada una de longitud de 10 cm, con respectivas funciones de densidad de masa$\rho(x) = \frac{1}{1+x^2}$ y$p(x) = e^{-0.1x}\text{.}$

1. Encuentra la masa de cada barra.
2. Encuentra el centro de masa de cada barra.
3. Ahora considere una nueva barra de 10 cm cuya función de densidad de masa es$f(x) = \rho(x) + p(x)\text{.}$
   1. Explica cómo puedes encontrar fácilmente la masa de esta nueva barra con poco o ningún trabajo adicional.
   2. De igual manera, computar$\int_0^{10} xf(x) \, dx$ de la manera más simple posible, a la luz de cálculos anteriores.
   3. Verdadero o falso: el centro de masa de esta nueva barra es el promedio de los centros de masa de las dos barras anteriores. Escribe al menos una frase para decir por qué tu conclusión tiene sentido.

7

Considera la curva dada por$y = f(x) = 2xe^{-1.25x} + (30-x) e^{-0.25(30-x)}\text{.}$

1. Trace esta curva en la ventana$x = 0 \ldots 30\text{,}$$y = 0 \ldots 3$ (con escala restringida para que las unidades en el$y$ eje$x$ y sean iguales), y utilícela para generar un sólido de revolución alrededor del$x$ eje. Explique por qué esta curva podría generar un modelo razonable de bate de béisbol.
2. Dejar$x$ y$y$ medirse en pulgadas. Encuentra el volumen total del bate de béisbol generado al girar la curva dada alrededor del$x$ eje. Incluya unidades en su respuesta.
3. Supongamos que el bate de béisbol tiene densidad de peso constante, y que la densidad de peso es de$0.6$ onzas por pulgada cúbica. Encuentra el peso total del murciélago cuyo volumen encontraste en (b).
4. Debido a que el bate de béisbol no tiene área transversal constante, vemos que la cantidad de peso concentrado en una ubicación a$x$ lo largo del bate está determinada por el volumen de una rebanada en la ubicación$x\text{.}$ Explicar por qué podemos pensar en la función$\rho(x) = 0.6 \pi f(x)^2$ (dónde$f$ está la función dado al inicio del problema) como siendo la función de densidad de peso por cómo se distribuye el peso del bate de béisbol de$x = 0$ a$x = 30\text{.}$
5. Calcular el centro de masa del bate de béisbol.

6.4 Aplicaciones de Física: Trabajo, Fuerza y Presión

Ejercicios 6.4.5 Ejercicios

1. Trabajar para vaciar un tanque cónico

2. Trabajar para vaciar un tanque cilíndrico

3. Trabajar para vaciar una alberca rectangular

4. Trabajar para vaciar un tanque cilíndrico a diferentes alturas

5. Fuerza debida a la presión hidrostática

6

Consideremos la curva$f(x) = 3 \cos(\frac{x^3}{4})$ y la porción de su gráfica que se encuentra en el primer cuadrante entre el$y$ -eje y el primer valor positivo de$x$ para el cual$f(x) = 0\text{.}$ Let$R$ denota la región delimitada por esta porción$f\text{,}$ del$x$ eje -eje, y el$y$ -eje. Supongamos que$x$ y cada uno$y$ se mide en pies.

1. Imagine los ejes de coordenadas$90$ girados grados en sentido horario para que el$x$ eje positivo apunte hacia abajo y el$y$ eje positivo apunte a la derecha. Supongamos que$R$ se gira alrededor del$x$ eje para formar un sólido de revolución, y consideramos este sólido como un tanque de almacenamiento. Supongamos que el tanque resultante se llena a una profundidad de$1.5$ pies con agua que pesa$62.4$ libras por pie cúbico. Encuentra la cantidad de trabajo requerido para bajar el agua en el tanque hasta que esté a$0.5$ pies de profundidad, bombeando el agua a la parte superior del tanque.
2. Nuevamente imagina los ejes de coordenadas girados 90 grados en el sentido de las agujas del reloj para que el$x$ eje positivo apunte hacia abajo y el$y$ eje positivo apunte a la derecha. Supongamos que$R\text{,}$ junto con su reflejo a través del$x$ eje, forma un extremo de un tanque de almacenamiento de 10 pies de largo. Supongamos que el tanque resultante se llena completamente con agua que pesa$62.4$ libras por pie cúbico. Encuentra una fórmula para una función que indique la cantidad de trabajo requerido para bajar el agua a los$h$ pies.
3. Supongamos que el tanque descrito en (b) está completamente lleno de agua. Encuentra la fuerza total debida a la presión hidrostática ejercida por el agua en un extremo del tanque.

7

Un tanque cilíndrico, enterrado en su costado, tiene pies de radio y$3$ pies de longitud$10$. Se llena completamente con agua cuya densidad de peso es$62.4$ lbs/ft$^3\text{,}$ y la parte superior del tanque está a dos pies bajo tierra.

1. Establecer, pero no evaluar, una expresión integral que represente la cantidad de trabajo requerido para vaciar la mitad superior del agua en el tanque a un camión cuyo tanque se encuentra a 4.5 pies sobre el suelo.
2. Con el tanque ahora solo medio lleno, configurado, pero no evalúe una expresión integral que represente la fuerza total debida a la presión hidrostática contra un extremo del tanque.

6.5: Integrales inadecuadas

1. Una integral inadecuada en un intervalo finito

2. Una integral inadecuada en un intervalo infinito

3. Una integral impropia que involucra una relación de funciones exponenciales

4. Una sutil integral impropia

5. Una integral inadecuada que involucra una relación de funciones trigonométricas

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Determinar, con justificación, si cada una de las siguientes integrales impropias converge o diverge.

1. $\displaystyle \int_e^{\infty} \frac{\ln(x)}{x} \, dx$
2. $\displaystyle \int_e^{\infty} \frac{1}{x\ln(x)} \, dx$
3. $\displaystyle \int_e^{\infty} \frac{1}{x(\ln(x))^2} \, dx$
4. $\int_e^{\infty} \frac{1}{x(\ln(x))^p} \, dx\text{,}$donde$p$ es un número real positivo
5. $\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln(x)}{x} \, dx$
6. $\displaystyle \int_0^1 \ln(x) \, dx$

7

A veces podemos encontrarnos con una integral inadecuada para la cual no podemos evaluar fácilmente el límite de las integrales propias correspondientes. Por ejemplo, considere$\int_1^{\infty} \frac{1}{1+x^3} \, dx\text{.}$ Si bien es difícil (o quizás imposible) encontrar un antiderivado ya que todavía$\frac{1}{1+x^3}\text{,}$ podemos determinar si la integral impropia converge o diverge o no en comparación con una más simple. Observe que para todos$x \gt 0\text{,}$$1 + x^3 \gt x^3\text{,}$ y por lo tanto

$$\frac{1}{1+x^3} \lt \frac{1}{x^3}\text{.} \nonumber$$

Por tanto, se deduce que

$$\int_1^b \frac{1}{1+x^3} \, dx \lt \int_1^b \frac{1}{x^3} \, dx \nonumber$$

por cada$b \gt 1\text{.}$ Si dejamos$b \to \infty$ para considerar las dos integrales impropias$\int_1^\infty \frac{1}{1+x^3} \, dx$ y$\int_1^\infty \frac{1}{x^3} \, dx\text{,}$ sabemos que la mayor de las dos integrales impropias converge. Y así, dado que el más pequeño yace por debajo de una integral convergente, se deduce que el más pequeño debe converger, también. En particular,$\int_1^\infty \frac{1}{1+x^3} \, dx$ debe converger, aunque nunca evaluamos explícitamente el límite correspondiente de integrales propiamente dichas. Utilizamos esta idea y otras similares en los ejercicios que siguen.

1. Explicar por qué$x^2 + x + 1 \gt x^2$ para todos$x \ge 1\text{,}$ y de ahí mostrar que$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx$ converge en comparación con$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx\text{.}$
2. Observe que para cada uno$x \gt 1\text{,}$$\ln(x) \lt x\text{.}$ Explica por qué
   $$\int_2^b \frac{1}{x} \, dx \lt \int_2^b \frac{1}{\ln(x)} \,dx \nonumber$$

   para cada uno$b \gt 2\text{.}$ ¿Por qué debe ser cierto que$\int_2^b \frac{1}{\ln(x)} \, dx$ diverge?

3. Explicar por qué$\sqrt{\frac{x^4+1}{x^4}} \gt 1$ para todos$x \gt 1\text{.}$ Entonces, determinar si la integral impropia o no
   $$\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \cdot \sqrt{\frac{x^4+1}{x^4}} \, dx \nonumber$$

   converge o diverge.