10.1: Límites

Preguntas Motivadoras

• Qué entendemos por el límite de una función$f$ de dos variables en un punto$(a,b)\text{?}$
• Qué técnicas podemos usar para demostrar que una función de dos variables no tiene límite en un punto$(a,b)\text{?}$
• Qué significa que una función$f$ de dos variables sea continua en un punto$(a,b)\text{?}$

En esta sección, estudiaremos los límites de funciones de varias variables, con un enfoque en los límites de funciones de dos variables. En el cálculo de una sola variable, se estudió la noción de límite, que resultó ser un concepto crítico que formó la base de la derivada y la integral definida. En esta sección comenzaremos a entender cómo el concepto de límite para funciones de dos variables es similar a lo que encontramos para funciones de una sola variable. El límite volverá a ser la idea fundamental en el cálculo multivariable, y utilizaremos esta noción del límite de una función de varias variables para definir el importante concepto de diferenciabilidad más adelante en este capítulo. Ya hemos visto su uso en las derivadas de funciones vectoriales en la Sección 9.7.

Empecemos por revisar lo que entendemos por el límite de una función de una variable. Decimos que una función$f$ tiene un límite$L$ como$x$ enfoques$a$ siempre que podamos hacer los valores$f(x)$ lo más cercanos a$L$ como queramos tomando$x$ suficientemente cerca (pero no igual) a$a\text{.}$ Denotamos este comportamiento escribiendo

$$\lim_{x\to a}f(x) = L. \nonumber$$

Vista previa de la actividad 10.1.1

Investigamos los límites de varias funciones diferentes trabajando con tablas y gráficas.

1. Considere la función$f$ definida por
   $$f(x) = 3-x. \nonumber$$

   Cuadro Completo 10.1.1.

   Cuadro 10.1.1. Valores de$f(x) = 3-x\text{.}$

$x$	$-0.2$	$-0.1$	$0.0$	$0.1$	$0.2$
$f(x)$

¿Qué sugiere la tabla con respecto a$\lim_{x\to 0}f(x)\text{?}$

• Explique cómo se reflejan sus resultados en (a) en la Figura 10.1.2.

• 

  Figura 10.1.2. La gráfica de$f(x) = 3-x\text{.}$

• A continuación, considere
  $$g(x) = \frac{x}{|x|}. \nonumber$$

  Completa la Tabla 10.1.3 con valores cercanos$x = 0\text{,}$ al punto en el que no$g$ está definido.

  Cuadro 10.1.3. Valores de$g(x) = \frac{x}{|x|}\text{.}$

  $x$	$-0.1$	$-0.01$	$-0.001$	$0.001$	$0.01$	$0.1$
  $g(x)$

  ¿Qué sugiere esto sobre$\lim_{x\to 0}g(x)\text{?}$
• Explica cómo tus resultados en (c) se reflejan en la Figura 10.1.4.

• 

  Figura 10.1.4. La gráfica de$g(x) = \frac{x}{|x|}\text{.}$

• Ahora, examinemos una función de dos variables. Let
  $$f(x,y) = 3 - x - 2y. \nonumber$$

  Cuadro Completo 10.1.5.

  Cuadro 10.1.5. Valores de$f(x,y) = 3 - x - 2y\text{.}$

  $x\backslash y$	$-1.0$	$-0.1$	$0.0$	$0.1$	$1.0$
  $-1.0$		$4.2$
  $-0.1$					$1.1$
  $0.0$				$2.8$
  $0.1$	$4.9$
  $1.0$			$2.0$

  ¿Qué sugiere la tabla sobre$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)\text{?}$
• Explica cómo tus resultados en (e) se reflejan en la Figura 10.1.6. Compare este límite con el límite de la parte (a). ¿En qué se parecen los límites y en qué se diferencian?

• 

  

  Figura 10.1.6. Izquierda: La gráfica de$f(x,y) = 3 - x - 2y\text{.}$ Derecha: Una gráfica de contorno.

• Por último, considere
  $$g(x,y) = \frac{2xy}{x^2+y^2}, \nonumber$$

  que no se define en la Tabla$(0,0)\text{.}$ Completa 10.1.7. Redondear a tres decimales.

  Cuadro 10.1.7. Valores de$g(x,y) = \frac{2xy}{x^2+y^2}\text{.}$

  $x\backslash y$	$-1.0$	$-0.1$	$0.0$	$0.1$	$1.0$
  $-1.0$		$0.198$
  $-0.1$					$-0.198$
  $0.0$			—	$0.000$
  $0.1$	$-0.198$
  $1.0$			$0.000$

  ¿Qué sugiere esto sobre$\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)\text{?}$
• Explica cómo se reflejan tus resultados en la Figura 10.1.8. Compare este límite con el límite de la parte (c). ¿En qué se parecen los resultados y en qué se diferencian?

• 

  

  Figura 10.1.8. Izquierda: La gráfica de$g(x,y) = \frac{2xy}{x^2+y^2}\text{.}$ Derecha: Una gráfica de contorno.

10.1.1 Límites de Funciones de Dos Variables

En Preview Activity 10.1.1, recordamos la noción de límite a partir del cálculo de una sola variable y vimos que un concepto similar se aplica a funciones de dos variables. Aunque nos centraremos en funciones de dos variables, en aras de la discusión, todas las ideas que establecemos aquí son válidas para funciones de cualquier número de variables. En un seguimiento natural de nuestro trabajo en Preview Activity 10.1.1, ahora definimos formalmente lo que significa para una función de dos variables tener un límite en un punto.

Definición 10.1.9

Dada una función$f = f(x,y)\text{,}$ decimos que$f$ tiene límite$L$ como$(x,y)$ enfoques$(a,b)$ siempre que podamos hacer$f(x,y)$ lo más cerca que nos guste tomando$(x,y)$ suficientemente cerca (pero no igual) a$(a,b)\text{.}$ Escribimos$L$

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = L. \nonumber$$

Para investigar el límite de una sola función variable, a menudo$\lim_{x\to a}f(x)\text{,}$ consideramos el comportamiento de$f$ como$x$ enfoques$a$ desde la derecha y desde la izquierda. Del mismo modo, podemos investigar los límites de las funciones de dos variables,$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)$ considerando el comportamiento de$f$ como$(x,y)$ enfoques$(a,b)$ desde diversas direcciones. Esta situación es más complicada porque hay infinitamente muchas formas en las que$(x,y)$ puede acercarse$(a,b)\text{.}$ En la siguiente actividad, vemos cómo es importante considerar una variedad de esos caminos al investigar si existe o no un límite.

Actividad 10.1.2

Considere la función$f\text{,}$ definida por

$$f(x,y) = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \nonumber$$

cuya gráfica se muestra a continuación en la Figura 10.1.10

Figura 10.1.10. La gráfica de$f(x,y) = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{.}$

1. Se$f$ define en el punto$(0,0)\text{?}$ Qué, en todo caso, dice esto sobre si$f$ tiene un límite en el punto$(0,0)\text{?}$
2. Los valores de$f$ (a tres decimales) en varios puntos cercanos a se$(0,0)$ muestran en la Tabla 10.1.11.

   Cuadro 10.1.11. Valores de una función$f\text{.}$

   $x\backslash y$	$-1.000$	$-0.100$	$0.000$	$0.100$	$1.000$
   $-1.000$	$-0.707$	—	$0.000$	—	$0.707$
   $-0.100$	—	$-0.707$	$0.000$	$0.707$	—
   $0.000$	$-1.000$	$-1.000$	—	$1.000$	$1.000$
   $0.100$	—	$-0.707$	$0.000$	$0.707$	—
   $1.000$	$-0.707$	—	$0.000$	—	$0.707$

   Con base en estos cálculos, establezca si$f$ tiene un límite en$(0,0)$ y dé un argumento que respalde su declaración. (Sugerencia: Los espacios en blanco en la tabla están ahí para ayudarte a ver los patrones.)
3. Ahora formalizamos la conjetura de la parte anterior considerando lo que sucede si restringimos nuestra atención a diferentes caminos. Primero, miramos$f$ por puntos en el dominio a lo largo del$x$ eje -eje; es decir, consideramos lo que sucede cuando$y = 0\text{.}$ ¿Cuál es el comportamiento de$f(x,0)$ como$x \to 0\text{?}$ Si nos acercamos$(0,0)$ moviéndonos a lo largo del$x$ eje -eje, qué valor encontramos como límite?
4. ¿Cuál es el comportamiento de$f$ a lo largo de la línea$y=x$ cuando$x \gt 0\text{;}$ eso es, cuál es el valor de$f(x,x)$ cuándo$x>0\text{?}$ Si nos acercamos$(0,0)$ moviéndonos a lo largo de la línea$y=x$ en el primer cuadrante (considerando así$f(x,x)$ como$x \to 0^+$), ¿qué valor encontramos como límite?
5. En general, si$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) = L\text{,}$ entonces se$f(x,y)$ acerca$L$ como$(x,y)$ enfoques$(0,0)\text{,}$ independientemente del camino que tomemos al dejar$(x,y) \to (0,0)\text{.}$ Explicar lo que implican las dos últimas partes de esta actividad sobre la existencia de$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)\text{.}$
6. A continuación se muestra en la Figura 10.1.12 un conjunto de curvas de nivel de la función$f\text{.}$ ¿Cuál es el comportamiento de$f(x,y)$ como$(x,y)$ enfoques$(0,0)$ a lo largo de cualquier línea recta? ¿Cómo refuerza esta observación su conclusión sobre la existencia de$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ desde la parte anterior de esta actividad? (Sugerencia: Usa el hecho de que una línea no vertical tiene ecuación$y=mx$ para alguna constante$m\text{.}$)

1. 

   Figura 10.1.12. Líneas de contorno de$f(x,y) = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{.}$

Como hemos visto en la Actividad 10.1.2, si$(x,y)$ se acerca$(a,b)$ a lo largo de dos caminos diferentes y encontramos que$f(x,y)$ tiene dos límites diferentes, podemos concluir que$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)$ no existe. Esto es similar al ejemplo de una variable$g(x)=x/|x|$ como se muestra en la Figura 10.1.13;$\lim_{x\to0}g(x)$ no existe porque vemos diferentes límites a medida que se$x$ aproxima a 0 desde la izquierda y la derecha.

Figura 10.1.13. La gráfica de$g(x) = \frac{x}{|x|}\text{.}$

Como regla general, tenemos

Límites en diferentes caminos

Si$f(x,y)$ tiene dos límites diferentes como$(x,y)$ enfoques$(a,b)$ a lo largo de dos caminos diferentes, entonces$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)$ no existe.

Como muestra la siguiente actividad, estudiar el límite de una función$f$ de dos variables considerando el comportamiento de varios$f$ caminos puede requerir percepciones sutiles.

Actividad 10.1.3

Consideremos la función$g$ definida por

$$g(x,y) = \frac{x^2y}{x^4 + y^2} \nonumber$$

e investigar el límite$\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)\text{.}$

1. ¿Cuál es el comportamiento de$g$ en el$x$ eje -axis? Es decir, ¿qué es$g(x,0)$ y cuál es el límite de$g$ como se$(x,y)$ acerca$(0,0)$ a lo largo del$x$ eje -eje?
2. ¿Cuál es el comportamiento de$g$ en el$y$ eje -axis? Es decir, ¿qué es$g(0,y)$ y cuál es el límite de$g$ como se$(x,y)$ acerca$(0,0)$ a lo largo del$y$ eje -eje?
3. Cuál es el comportamiento de$g$ on the line Es$y=mx\text{?}$ decir, qué es$g(x,mx)$ y cuál es el límite de$g$ como se$(x,y)$ acerca$(0,0)$ a lo largo de la línea$y=mx\text{?}$
4. En base a lo que has visto hasta ahora, ¿crees que$\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)$ existe? Si es así, ¿cuál crees que es su valor?
5. Ahora considera el comportamiento de$g$ en la parábola$y=x^2\text{?}$ ¿Qué es$g(x,x^2)$ y cuál es el límite de$g$ como se$(x,y)$ acerca$(0,0)$ a lo largo de esta parábola?
6. Indique si el límite$\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)$ existe o no y proporcione una justificación de su declaración.

Esta actividad muestra que hay que tener cuidado a la hora de estudiar el límite de una función de dos variables considerando su comportamiento a lo largo de diferentes caminos. Si encontramos dos caminos diferentes que dan como resultado dos límites diferentes, entonces podemos concluir que el límite no existe. Sin embargo, nunca podemos concluir que el límite de una función existe solo considerando su comportamiento a lo largo de diferentes caminos.

En términos generales, concluir que$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)$ existe un límite requiere de un argumento más cuidadoso.

Ejemplo 10.1.14

Considere la función$f$ definida por

$$f(x,y) = \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}. \nonumber$$

Queremos saber si$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ existe.

Tenga en cuenta que si cualquiera$x$ o$y$ es 0, entonces$f(x,y) = 0\text{.}$ Por lo tanto, si$f$ tiene un límite en$(0,0)\text{,}$ él debe ser 0. Por lo tanto, vamos a argumentar que

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) = 0, \nonumber$$

demostrando que podemos hacer$f(x,y)$ lo más cerca que queramos tomando$(x,y)$ suficientemente cerca (pero no igual) a$(0,0)\text{.}$ En lo que sigue, vemos$x$ y$y$ como números reales que están cerca, pero no iguales, a 0.$0$

Ya$0 \leq x^2\text{,}$ que tenemos

$$y^2 \leq x^2+y^2, \nonumber$$

lo que implica que

$$\frac{y^2}{x^2+y^2} \leq 1. \nonumber$$

Multiplicando ambos lados por$x^2$ y observando que$f(x,y) \ge 0$ para todos$(x,y)$ da

$$0\leq f(x,y) = \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} = x^2\left(\frac{y^2}{x^2+y^2}\right) \leq x^2. \nonumber$$

Así,$0 \leq f(x,y) \leq x^2\text{.}$ ya que$x^2 \to 0$ como$x \to 0\text{,}$ podemos hacer$f(x,y)$ lo más cerca de lo que nos gusta tomando$x$ suficientemente cerca a$0$ (para este ejemplo, resulta que ni siquiera necesitamos preocuparnos por hacer$y$ cerca de 0).$0$ Por lo tanto,

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} = 0. \nonumber$$

A pesar de que estos dos ejemplos más recientes ilustran algunas de las complicaciones que surgen al estudiar los límites de las funciones bivariables, muchas de las propiedades que son familiares de nuestro estudio de las funciones de una sola variable se mantienen precisamente de la misma manera.

Propiedades de Límites

Dejar$f=f(x,y)$ y$g=g(x,y)$ ser funciones para que eso$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)$ y$\lim_{(x,y) \to (a,b)} g(x,y)$ ambos existan. Entonces

1. $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(a,b)} x = a$y$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(a,b)} y = b$
2. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (a,b)} cf(x,y) = c\left(\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)\right)$para cualquier escalar$c$
3. $\displaystyle \displaystyle \lim_{(x,y) \to (a,b)} [f(x,y) \pm g(x,y)] = \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) \pm \lim_{(x,y) \to (a,b)} g(x,y)$
4. $\displaystyle \displaystyle \lim_{(x,y) \to (a,b)} [f(x,y) g(x,y)] = \left(\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)\right) \left( \lim_{(x,y) \to (a,b)} g(x,y)\right)$
5. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (a,b)} \frac{f(x,y)}{g(x,y)} = \frac{\displaystyle \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)}{\displaystyle \lim_{(x,y) \to (a,b)} g(x,y)}$si$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (a,b)} g(x,y) \neq 0\text{.}$

Podemos usar estas propiedades y resultados del cálculo de una sola variable para verificar que existen muchos límites. Por ejemplo, estas propiedades muestran que la función$f$ definida por

$$f(x,y) = 3x^2y^3 + 2xy^2 - 3x + 1 \nonumber$$

tiene un límite en cada punto$(a,b)$ y, además,

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b). \nonumber$$

La razón de esto es que las funciones polinómicas de una sola variable tienen límites en cada punto.

10.1.2 Continuidad

Recordemos que una función$f$ de una sola variable$x$ se dice que es continua a$x=a$ condición de que se cumplan las tres condiciones siguientes:

1. $f(a)$existe,
2. $\lim_{x\to a}f(x)$existe, y
3. $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\text{.}$

Usando nuestra comprensión de los límites de las funciones multivariables, podemos definir la continuidad de la misma manera.

Definición 10.1.15

Una función$f=f(x,y)$ es continua en el punto$(a, b)$ siempre que

1. $f$se define en el punto$(a, b)\text{,}$
2. $\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)$existe, y
3. $\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = f(a,b)\text{.}$

Por ejemplo, hemos visto que la función$f$ definida por$f(x,y) = 3x^2y^3 + 2xy^2 - 3x + 1$ es continua en cada punto. Y al igual que con las funciones de una sola variable, la continuidad tiene ciertas propiedades que se basan en las propiedades de los límites.

Propiedades de continuidad

Dejar$f$ y$g$ ser funciones de dos variables que son continuas en el punto$(a,b)\text{.}$ Entonces

1. $cf$es continuo en$(a,b)$ para cualquier escalar$c$
2. $f+g$es continuo en$(a,b)$
3. $f-g$es continuo en$(a,b)$
4. $fg$es continuo en$(a,b)$
5. $\frac{f}{g}$es continuo en$(a,b)$ si$g(a,b) \neq 0$

Usando estas propiedades, podemos aplicar resultados del cálculo de una sola variable para decidir sobre la continuidad de las funciones multivariables. Por ejemplo, las funciones de coordenadas$f$ y$g$ definidas por$f(x,y) = x$ y$g(x,y) = y$ son continuas en cada punto. Luego podemos usar las propiedades de continuidad listadas para concluir que cada función polinómica en$x$ y$y$ es continua en cada punto. Por ejemplo,$g(x,y)=x^2$ y$h(x,y)=y^3$ son funciones continuas, por lo que su producto$f(x,y) = x^2y^3$ es una función multivariable continua.

10.1.3 Resumen

• Una función$f = f(x,y)$ tiene un límite$L$ en un punto$(a,b)$ siempre que podamos hacer$f(x,y)$ lo más cerca$L$ que queramos tomando$(x,y)$ lo suficientemente cerca (pero no igual) a$(a,b)\text{.}$
• Si$(x,y)$ tiene dos límites diferentes como$(x,y)$ enfoques$(a,b)$ a lo largo de dos caminos diferentes, podemos concluir que$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)$ no existe.
• Propiedades similares a las de las funciones de una variable nos permiten concluir que existen muchos límites y evaluarlos.
• Una función$f = f(x,y)$ es continua en un punto$(a,b)$ de su dominio si$f$ tiene un límite en$(a,b)$ y
  $$f(a,b) = \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y). \nonumber$$