10: Derivadas de Funciones Multivariables
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- 10.1: Límites
- En esta sección, estudiaremos los límites de funciones de varias variables, con un enfoque en los límites de funciones de dos variables. En el cálculo de una sola variable, se estudió la noción de límite, que resultó ser un concepto crítico que formó la base de la derivada y la integral definida. En esta sección comenzaremos a entender cómo el concepto de límite para funciones de dos variables es similar a lo que encontramos para funciones de una sola variable.
- 10.2: Derivadas parciales de primer orden
- Ahora que estamos investigando funciones de dos o más variables, todavía podemos preguntarnos qué tan rápido está cambiando la función, aunque hay que tener cuidado con lo que queremos decir. Pensando de nuevo gráficamente, podemos intentar medir qué tan empinada es la gráfica de la función en una dirección particular. Alternativamente, es posible que queramos saber qué tan rápido cambia la salida de una función en respuesta a un cambio en una de las entradas. En las próximas secciones, desarrollaremos herramientas para abordar temas como estos.
- 10.3: Derivadas parciales de segundo orden
- En lo que sigue, comenzamos a explorar las cuatro diferentes derivadas parciales de segundo orden de una función de dos variables y buscamos comprender qué nos dicen estas diversas derivadas sobre el comportamiento de la función.
- 10.4: Linealización- Planos Tangentes y Diferenciales
- Uno de los conceptos centrales en el cálculo de una sola variable es que la gráfica de una función diferenciable, cuando se ve a una escala muy pequeña, parece una línea. Llamamos a esta línea la línea tangente y medimos su pendiente con la derivada. En esta sección, extenderemos este concepto a funciones de varias variables.
- 10.5: La regla de la cadena
- En el caso de una función f de dos variables donde z=f (x, y), podría ser que tanto x como y dependan de otra variable t.Un cambio en t produce entonces cambios tanto en x como en y, que luego hacen que z cambie. En esta sección veremos cómo encontrar el cambio en z que es causado por un cambio en t, llevándonos a versiones multivariables de la Regla de Cadena que involucran tanto derivadas regulares como parciales.
- 10.6: Derivadas direccionales y el gradiente
- Es natural preguntarse cómo podemos medir la velocidad a la que una función cambia en direcciones distintas a las paralelas a los ejes de una coordenada. En lo que sigue, investigamos esta pregunta, y vemos cómo se conecta la tasa de cambio en cualquier dirección dada con las tasas de cambio dadas por las derivadas parciales estándar.
- 10.7: Optimización
- En el cálculo multivariable, a menudo nos interesa encontrar el mayor y/o menor valor (s) que una función pueda lograr. Además, hay muchos ajustes aplicados en los que una cantidad de interés depende de varias variables diferentes. En la siguiente actividad de vista previa, comenzamos a ver cómo algunas ideas clave en el cálculo multivariable pueden ayudarnos a responder tales preguntas pensando en la geometría de la superficie generada por una función de dos variables.
- 10.8: Optimización Constreñida - Multiplicadores Lagrange
- Algunos problemas de optimización implican maximizar o minimizar una cantidad sujeta a una restricción externa. En estos casos los valores extremos frecuentemente no ocurrirán en los puntos donde el gradiente es cero, sino en otros puntos que satisfacen una condición geométrica importante. Estos problemas suelen denominarse problemas de optimización restringida y pueden resolverse con el método de Multiplicadores Lagrange, que estudiamos en esta sección.