1.3: El Enfoque Derivado-Infinitesimal

La Derivada: Aproximación Infinitesimal

Tradicionalmente una función\(f\) de una variable\(x\) se escribe como\(y=f(x)\). La variable dependiente\(y\) se considera una función de la variable independiente\(x\). Esto permite tomar la derivada de\(y\) con respecto a\(x\), es decir, la derivada de\(y\) como una función de\(x\), denotada por\(\dydx\). Esta es simplemente una forma diferente de escribir\(f'(x)\), y es solo una de las muchas formas de denotar la derivada:

La notación\(\dydx\) parece denotar una fracción: una cantidad\(\dy\) dividida por una cantidad\(\dx\). Resulta que la derivada realmente puede pensarse de esa manera, como una proporción de infinitesimales. De hecho, esta fue la manera en que los derivados fueron utilizados por los fundadores de Cálculo —Newton y, en particular, Leibniz. ¹⁴ Incluso hoy en día, esta suele ser la forma en que los derivados son pensados y utilizados en campos ajenos a las matemáticas, como la física, la ingeniería y la química, quizás debido a su naturaleza más intuitiva.

El concepto de infinitesimales aquí utilizado se basa en el enfoque nilcuadrado infinitesimal desarrollado por J.L. Bell ¹⁵, a saber:

La definición anterior dice que los infinitesimales son números que están más cerca de 0 que cualquier número positivo o negativo sin ser ellos mismos cero, y elevarlos a potencias mayores o iguales a 2 los hace 0. Entonces los infinitesimales no son números reales. ¹⁶ Esto no es un problema, ya que el cálculo trata de otros números, como el infinito, que no son reales. Un infinitesimal puede pensarse como un número infinitamente pequeño arbitrariamente cercano a 0 pero no a 0. Esto puede parecer una noción extraña, pero realmente no es tan diferente de la noción límite donde, digamos, se deja\(\Delta x\) acercarse a 0 pero no necesariamente se deja que sea igual a 0. ¹⁷

En cuanto al cuadrado de un infinitesimal distinto de cero siendo 0, piense en cómo maneja una calculadora los cuadrados de números pequeños. Por ejemplo, la mayoría de las calculadoras pueden mostrarse\(10^{-8}\) como 0.00000001, e incluso le permitirán agregar 1 a eso para obtener 1.00000001. Pero cuando cuadras\(10^{-8}\) y le agregas 1, la mayoría de las calculadoras mostrarán la suma como simplemente 1. La calculadora trata el cuadrado de\(10^{-8}\), es decir\(10^{-16}\), como un número tan pequeño en comparación con 1 que efectivamente es cero. ¹⁸

Observe una diferencia mayor entre 0 y un infinitesimal\(\delta\):\(2 \cdot 0\) y\(0\) son iguales, pero\(2\,\delta\) y\(\delta\) son distintos. Esto se mantiene para cualquier múltiplo constante distinto de cero, no solo el número 2.

La derivada\(\dydx\) de una función ahora se\(y=f(x)\) puede definir en términos de infinitesimales:

La idea básica es que\(\dx\) es un cambio infinitesimalmente pequeño en la variable\(x\), produciendo un cambio infinitesimalmente pequeño\(\dy\) en el valor de\(y=f(x)\).

Demostrar que la derivada de\(y=f(x)=x^2\) es\(\dydx = 2x\).

Solución: Para cualquier número real\(x\),

\[\begin{aligned} \dydx ~&=~ \frac{f(x+\dx) ~-~ f(x)}{\dx}\

\ [6pt] &=~\ frac {(x+\ dx) ^2 ~-~ x^2} {\ dx}\

\ [6pt] &=~\ frac {\ cancel {x^2} ~+~ 2x\,\ dx ~+~ (\ dx) ^2 ~-~\ cancel {x^2}} {\ dx}\

\ [6pt] &=~\ frac {2x\,\ dx ~+~ 0} {\ dx}\ qquad\ text {ya que $\ dx$ es un infinitesimal $\ Rightarrow ~ (\ dx) ^2 = 0$}\

\ [6pt] &=~\ frac {2x\,\ cancel {\ dx}} {\ cancel {\ dx}}\

\ [4pt] &=~ 2x\ end {alineado}\]

Podrías haber notado que el ejemplo anterior no implicaba límites, y que la derivada\(2x\) representa un número real (es decir, no aparecen infinitesimales en la respuesta final); este siempre será el caso. Los infinitesimales poseen otra propiedad útil:

Es decir, a nivel infinitesimal las curvas diferenciables son rectas. La idea detrás de esto es simple. En varios puntos de una curva diferenciable no recta,\(y=f(x)\) las distancias a lo largo de la curva entre los puntos no son exactamente las mismas que las longitudes de los segmentos de línea que unen los puntos. Por ejemplo, en la Figura [fig:curvesegments] la distancia\(s\) medida a lo largo de la curva desde el punto\(A\) hasta el punto no\(B\) es la misma que la longitud del segmento de línea que se\(\overline{AB}\) une\(A\) a\(B\).

Sin embargo, a medida que los puntos\(A\) y se\(B\) acercan entre sí, la diferencia entre esa parte de la curva que se une\(A\)\(B\) y el segmento de línea\(\overline{AB}\) se vuelve menos notable. Es decir, la curva es casi lineal cuando\(A\) y\(B\) están cerca. La Propiedad de Microrectitud simplemente va un paso más allá y dice que la curva en realidad es lineal cuando la distancia\(s\) entre los puntos es infinitesimal (de manera que\(s\) es igual a la longitud de\(\overline{AB}\) en el nivel infinitesimal).

Al principio esto puede parecer sin sentido. Después de todo, ¿cómo podría ser recta alguna parte no recta de una curva? Hay que recordar que un infinitesimal es una abstracción—no existe físicamente. Una curva\(y=f(x)\) es también una abstracción, que existe en un sentido puramente matemático, por lo que sus propiedades geométricas en la escala “normal” no tienen que coincidir con las de la escala infinitesimal (que se puede definir de cualquier manera, siempre que las propiedades en esa escala sean consistentes).

Esta abstracción finalmente revela lo que es una tasa instantánea de cambio: la tasa promedio de cambio en un intervalo infinitesimal. Alejar una cantidad\(\dx\) infinitesimal de un valor\(x\) produce un cambio infinitesimal\(\dy\) en una función diferenciable\(y=f(x)\). La tasa promedio de cambio\(y=f(x)\) sobre el intervalo infinitesimal\(\ival{x}{x+\dx}\) es así\(\dydx\), es decir, la pendiente, subida sobre carrera, del segmento de línea recta representado por la curva\(y=f(x)\) sobre ese intervalo, como en la figura de la derecha. ¹⁹ La propiedad de microrectitud se puede extender para suavizar curvas, es decir, curvas sin bordes afilados o cúspides. Por ejemplo, los círculos y elipses son suaves, pero los polígonos no lo son.

Las propiedades de los infinitesimales se pueden aplicar para determinar las derivadas de las funciones seno y coseno. Considera un círculo de radio 1 con centro\(O\) y puntos\(A\) y\(B\) en el círculo de tal manera que el segmento de línea\(\overline{AB}\) sea un diámetro. \(C\)Sea un punto en el círculo tal que el ángulo\(\angle\,BAC\) tenga una medida infinitesimal\(\dx\) (en radianes) como en la Figura [fig:thales] (a).

Por el Teorema de Thales a partir de la geometría elemental, el ángulo\(\angle\,ACB\) es un ángulo recto. Así:

\[\sin\,\dx ~=~ \frac{BC}{AB} ~=~ \frac{BC}{2} \quad\Rightarrow\quad BC ~=~ 2\sin\,\dx\]La figura [fig:thales] (b) muestra eso\(\angle\,OAC + \angle\,OCA + \angle\,AOC = \pi\). Por lo tanto,\(1=OC=OA \Rightarrow \angle\,OCA = \angle\,OAC = \dx \Rightarrow \angle\,AOC = \pi-\dx-\dx = \pi-2\dx \Rightarrow \angle\,BOC = 2\dx\). Por la fórmula de longitud de arco desde la trigonometría, la longitud\(s\) del arco\(\wideparen{BC}\) a lo largo del círculo desde\(B\) hasta\(C\) es el radio multiplicado por el ángulo central\(\angle\,BOC\):\(s = \wideparen{BC} = 1 \cdot 2\dx = 2\dx\). Pero por Microrectitud,\(\wideparen{BC} = BC\), y así:

\[2\sin\,\dx ~=~ BC ~=~ \wideparen{BC} ~=~ 2\dx \quad\Rightarrow\quad \setlength{\fboxsep}{4pt}\boxed{\sin\,\dx ~=~ \dx}\]Ya que\(\dx\) es un infinitesimal,\(( \dx )^2 = 0\). Entonces\(\sin^2 \,\dx + \cos^2 \,\dx = 1\), desde entonces:

\[\cos^2 \,\dx ~=~ 1 ~-~ \sin^2 \,\dx ~=~ 1 ~-~ ( \dx )^2 ~=~ 1 ~-~ 0 ~=~ 1 \quad\Rightarrow\quad \setlength{\fboxsep}{4pt}\boxed{\cos\,\dx ~=~ 1}\]El derivado de\(y=\sin\,x\) es entonces:

\[\begin{aligned} \ddx \,(\sin\,x) ~&=~ \dydx ~=~ \frac{\sin\,(x+\dx) ~-~ \sin\,x}{\dx}\

\ [4pt] &=~\ frac {(\ sin\, x\;\ cos\,\ dx ~+~\ sin\,\ dx\;\ cos\, x) ~-~\ sin\, x} {\ dx}\ quad\ text {por la fórmula de suma sinusoidal}\

\ [4pt] &=~\ frac {\ cancel {(\ sin\, x)\; (1)} ~+~\ dx\;\ cos\, x ~-~\ cancel {\ sin\, x}} {\ dx} ~=~\ frac {\ cancel {\ dx}\;\ cos\, x} {\ cancel {\ dx}}\ quad\ text {, y así:}\ fin {alineado}\]

\[\setlength{\fboxsep}{4pt}\boxed{\ddx \,(\sin\,x) ~=~ \cos\,x}\]Un argumento similar (izquierda como ejercicio) usando la fórmula de adición de coseno muestra:

\[\setlength{\fboxsep}{4pt}\boxed{\ddx \,(\cos\,x) ~=~ -\sin\,x}\]

Uno de los resultados intermedios comprobados aquí lleva un examen más detenido. A saber,\(\sin\,\dx = \dx\) para un ángulo infinitesimal\(\dx\) medido en radianes. Al principio, podría parecer que esto no puede ser cierto. Después de todo,\(\dx\) se piensa que un infinitesimal es infinitamente cercano a 0, y\(\sin\,0 = 0\), así se podría esperar eso\(\sin\,\dx = 0\). Pero este no es el caso. La fórmula\(\sin\,\dx = \dx\) dice que en un intervalo infinitesimal alrededor de 0, la función\(y=\sin\,x\) es idéntica a la línea\(y=x\) (no a la línea\(y=0\)). Esto, a su vez, sugiere que para valores reales\(x\) cercanos a\(0\),\(\sin\,x \approx x\).

De hecho, este resulta ser el caso. El software gratuito de gráficos Gnuplot ²⁰ puede mostrar las gráficas de\(y=\sin\,x\) y\(y=x\). La figura [fig:sindx] (a) a continuación muestra cómo se comparan esas gráficas a lo largo del intervalo\(\ival{-\pi}{\pi}\). Fuera del intervalo\(\ival{-1}{1}\) hay una diferencia notable.

La figura [fig:sindx] (b) muestra que prácticamente no hay diferencia en las gráficas incluso en el intervalo no infinitesimal\(\ival{-0.3}{0.3}\). Entonces\(\sin\,x \approx x\) es una buena aproximación cuando\(x\) está cerca de 0, es decir, cuándo\(\abs{x} \ll 1\) (el símbolo\(\ll\) significa “mucho menos que”). Esta aproximación se utiliza en muchas aplicaciones en ingeniería y física cuando se supone que el ángulo\(x\) es pequeño.

Observe algo más que sugiere la relación\(\sin\,\dx = \dx\): hay una diferencia fundamental en el nivel infinitesimal entre una línea de pendiente 1 (\(y=x\)) y una línea de pendiente 0 (\(y=0\)). En un intervalo real\((-a,a)\) alrededor de\(x=0\) la diferencia entre las dos líneas se puede hacer tan pequeña como se desee eligiendo lo suficientemente\(a>0\) pequeña. Pero en un intervalo infinitesimal\((-\delta,\delta)\) alrededor\(x=0\) hay un abismo insalvable entre las dos líneas. Esta es la diferencia crucial en\(\sin\,\dx\) ser igual a\(\dx\) más que 0.

Observe también que el valor de una función en un infinitesimal puede ser un infinitesimal (e.g.\(\sin\,\dx = \dx\)) o un número real (e.g.\(\cos\,\dx = 1\)).

Para una función diferenciable\(f(x)\),\(\dfdx = f'(x)\) y así multiplicar ambos lados por\(\dx\) rendimientos la relación importante: Obsérvese que ambos lados de la ecuación anterior son infinitesimales por cada valor de\(x\) en el dominio de\(f'\), ya que entonces\(f'(x)\) sería un número real.

La noción de infinitesimal era bastante radical en ese momento (y sigue siendo). Algunos matemáticos lo abrazaron, por ejemplo el destacado matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), quien produjo una gran cantidad de trabajo utilizando infinitesimales. Pero era demasiado radical para muchos matemáticos (y filósofos ²¹), suficiente para que en el ^siglo XIX algunos matemáticos (notablemente Augustin Cauchy y Karl Weierstrass) sintieran la necesidad de poner cálculo sobre lo que consideraban una base más “rigurosa”, basada en los límites. ²² Sin embargo, fue precisamente la noción de infinitesimal la que le dio al cálculo su carácter moderno, al mostrar el poder y la utilidad de tal abstracción (especialmente aquella que no obedecía las reglas de las matemáticas clásicas).

[sec1dot3]

Para los Ejercicios 1-9, deja\(\dx\) ser un infinitesimal y probar la fórmula dada.

3

\((\dx \;+\; 1)^2 ~=~ 2\dx \;+\; 1\)

\((\dx \;+\; 1)^3 ~=~ 3\dx \;+\; 1\)

[exer:1over1plusdx]\((\dx \;+\; 1)^{-1} ~=~ 1 \;-\; \dx\)

3

\(\tan\,\dx ~=~ \dx\)

\(\sin\,2\dx ~=~ 2\dx\)

\(\cos\,2\dx ~=~ 1\)

3

\(\sin\,3\dx ~=~ 3\dx\)

\(\cos\,3\dx ~=~ 1\)

\(\sin\,4\dx ~=~ 4\dx\)

¿Se\(\cot\,\dx\) define para un infinitesimal\(\dx\)? Si es así, entonces encuentra su valor. Si no, entonces explica por qué.

En la prueba de las fórmulas derivadas para\(\sin\, x\) y\(\cos\, x\),\(\cos^2\,\dx = 1\) se resolvió la ecuación para dar\(\cos\,\dx\ = 1\). ¿Por qué se\(\cos\,\dx\ = -1\) ignoró la otra posible solución? [[1.] ]

\(\ddx \,(\cos\,x) ~=~ -\sin\,x\)Demuéstralo.

\(\ddx \,(\cos\,2x) ~=~ -2\,\sin\,2x\)Demuéstralo. (Pista: Usa los Ejercicios 5 y 6.) [[1.] ]

\(\ddx \,(\tan\,x) ~=~ \sec^2 \,x\)Demuéstralo. (Pista: Use el Ejercicio 4.)