2.6: Ejercicios de revisión del capítulo 2

Verdadero o Falso. En los ejercicios 1 - 4, justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1) Una función tiene que ser continua en$x=a$ si la$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$ existe.

2) Se puede utilizar la regla del cociente para evaluar$\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x}{x}$.

Responder

Falso, ya que no podemos tener$\displaystyle \lim_{x→0}x=0$ en el denominador.

3) Si hay una asíntota vertical en$x=a$ para la función$f(x)$, entonces$f$ es indefinida en el punto$x=a$.

4) Si$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$ no existe, entonces$f$ está indefinido en el punto$x=a$.

Responder

Falso. Una discontinuidad de salto es posible.

5) Usando la gráfica, encuentra cada límite o explica por qué no existe el límite.

a.$\displaystyle \lim_{x→−1}f(x)$

b.$\displaystyle \lim_{x→1}f(x)$

c.$\displaystyle \lim_{x→0^+}f(x)$

d.$\displaystyle \lim_{x→2}f(x)$

1, comenzando en el círculo abierto en (1,1)." style="width: 192px; height: 272px;" width="192px" height="272px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_05_207.jpeg">

En los ejercicios 6 - 15, evaluar el límite algebraicamente o explicar por qué no existe el límite.

6)$\displaystyle \lim_{x→2}\frac{2x^2−3x−2}{x−2}$

Responder

$5$

7)$\displaystyle \lim_{x→0}3x^2−2x+4$

8)$\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^3−2x^2−1}{3x−2}$

Responder

$8/7$

9)$\displaystyle \lim_{x→π/2}\frac{\cot x}{\cos x}$

10)$\displaystyle \lim_{x→−5}\frac{x^2+25}{x+5}$

Responder

DNE

11)$\displaystyle \lim_{x→2}\frac{3x^2−2x−8}{x^2−4}$

12)$\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^2−1}{x^3−1}$

Responder

$2/3$

13)$\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^2−1}{\sqrt{x}−1}$

14)$\displaystyle \lim_{x→4}\frac{4−x}{\sqrt{x}−2}$

Responder

$−4$

15)$\displaystyle \lim_{x→4}\frac{1}{\sqrt{x}−2}$

En los ejercicios 16 - 17, usa el teorema de squeeze para probar el límite.

16)$\displaystyle \lim_{x→0}x^2\cos(2πx)=0$

Responder

Desde$−1≤\cos(2πx)≤1$ entonces$−x^2≤x^2\cos(2πx)≤x^2$. Ya que$\displaystyle \lim_{x→0}x^2=0=\lim_{x→0}−x^2$, se deduce que$\displaystyle \lim_{x→0}x^2\cos(2πx)=0$.

17)$\displaystyle \lim_{x→0}x^3\sin\left(\frac{π}{x}\right)=0$

18) Determinar el dominio de tal manera que la función$f(x)=\sqrt{x−2}+xe^x$ sea continua sobre su dominio.

Responder

$[2,∞]$

En los ejercicios 19 - 20, determinar el valor de$c$ tal que la función permanezca continua. Dibuja tu función resultante para asegurar que sea continua.

19)$f(x)=\begin{cases}x^2+1, & \text{if } x>c\\2^x, & \text{if } x≤c\end{cases}$

20)$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+1}, & \text{if } x>−1\\x^2+c, & \text{if } x≤−1\end{cases}$

En los ejercicios 21 - 22, utilizar la definición precisa de límite para probar el límite.

21)$\displaystyle \lim_{x→1}\,(8x+16)=24$

22)$\displaystyle \lim_{x→0}x^3=0$

Responder

$δ=\sqrt[3]{ε}$

23) Se lanza una pelota al aire y la posición vertical viene dada por$x(t)=−4.9t^2+25t+5$. Usa el Teorema del Valor Intermedio para demostrar que la pelota debe aterrizar en el suelo en algún momento entre 5 s y 6 segundos después del lanzamiento.

24) Una partícula que se mueve a lo largo de una línea tiene un desplazamiento de acuerdo a la función$x(t)=t^2−2t+4$, donde$x$ se mide en metros y$t$ se mide en segundos. Encuentra la velocidad promedio a lo largo del periodo de tiempo$t=[0,2]$.

Responder

$0$m/seg

25) A partir de los ejercicios anteriores, estime la velocidad instantánea a$t=2$ comprobando la velocidad promedio en$t=0.01$ segundos.