7.7: Integrales inadecuadas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
- Evaluar una integral en un intervalo infinito.
- Evaluar una integral en un intervalo cerrado con una discontinuidad infinita dentro del intervalo.
- Utilice el teorema de comparación para determinar si una integral definida es convergente.
¿El área entre la gráfica def(x)=1x y elx eje sobre el intervalo es[1,+∞) finita o infinita? Si esta misma región gira alrededor delx eje -eje, ¿el volumen es finito o infinito? Sorprendentemente, el área de la región descrita es infinita, pero el volumen del sólido obtenido al girar esta región alrededor delx eje es finito.
En esta sección, definimos integrales a lo largo de un intervalo infinito así como integrales de funciones que contienen una discontinuidad en el intervalo. Las integrales de estos tipos se denominan integrales inpropias. Examinamos varias técnicas para evaluar integrales inadecuadas, todas las cuales implican tomar límites.
Integración a través de un Intervalo Infinito
¿Cómo debemos ir definiendo una integral del tipo∫+∞af(x)dx? Podemos integrar∫taf(x)dx por cualquier valor det, por lo que es razonable mirar el comportamiento de esta integral a medida que sustituimos valores mayores det. La figura7.7.1 muestra que∫taf(x)dx puede interpretarse como área para diversos valores det. En otras palabras, podemos definir una integral impropia como un límite, tomado como uno de los límites de integración aumenta o disminuye sin límite.

- Dejarf(x) ser continuo a lo largo de un intervalo de la forma[a,+∞). Entonces∫+∞af(x)dx=limt→+∞∫taf(x)dx, siempre que exista este límite.
- Dejarf(x) ser continuo a lo largo de un intervalo de la forma(−∞,b]. Entonces∫b−∞f(x)dx=limt→−∞∫btf(x)dx, siempre que exista este límite.
En cada caso, si existe el límite, entonces se dice que la integral impropia converge. Si el límite no existe, entonces se dice que la integral impropia diverge.
- Dejarf(x) ser continuo sobre(−∞,+∞). Entonces∫+∞−∞f(x)dx=∫0−∞f(x)dx+∫+∞0f(x)dx, siempre que eso∫0−∞f(x)dx y∫+∞0f(x)dx ambos converjan. Si alguna de estas dos integrales diverge, entonces∫+∞−∞f(x)dx diverge. (Se puede demostrar que, de hecho,∫+∞−∞f(x)dx=∫a−∞f(x)dx+∫+∞af(x)dx por cualquier valor de a.).
En nuestro primer ejemplo, volvemos a la pregunta que planteamos al inicio de esta sección: ¿El área entre la gráfica def(x)=1x y elx eje -sobre el intervalo es[1,+∞) finita o infinita?
Determinar si el área entre la gráfica def(x)=1x y elx eje -sobre el intervalo[1,+∞) es finita o infinita.
Solución
Primero hacemos un boceto rápido de la región en cuestión, como se muestra en la Figura7.7.2.

Podemos ver que la zona de esta región viene dada por
A=∫∞11xdx.
que se puede evaluar usando la ecuación\ ref {improper1}:
A=∫∞11xdx=limt→+∞∫t11xdx=limt→+∞ln|x|∣t1=limt→+∞(ln|t|−ln1)=+∞.
Dado que la integral impropia diverge a+∞, la zona de la región es infinita.
Encuentra el volumen del sólido obtenido al girar la región delimitada por la gráfica def(x)=1x y elx eje -sobre el intervalo[1,+∞) alrededor delx eje -eje.
Solución
El sólido se muestra en la Figura7.7.3. Usando el método del disco, vemos que el volumenV es
V=π∫+∞11x2dx.

Entonces tenemos
\ [\ displaystyle\ begin {align*} V &=π\ int ^ {+∞} _1\ frac {1} {x^2}\, dx\\ [4pt]
&=π\ lim_ {t→+∞}\ int ^t_1\ frac {1} {x^2}\, dx\ quad\ text {Reescribir como límite.}\\ [4pt]
=π\ lim_ {t→+∞} −\ frac {1} {x} ^t_1\ quad\ text {Encuentra la antiderivada.}\\ [4pt]
&=π\ lim_ {t→+∞}\ left (− \ frac {1} {t} +1\ derecha)\ quad\ text {Evaluar la antiderivada.}\\ [4pt]
&=π\ end {align*}\]
La integral impropia converge aπ. Por lo tanto, el volumen del sólido de la revolución esπ.
En conclusión, aunque el área de la región entre elx eje -eje y la gráfica def(x)=1/x sobre el intervalo[1,+∞) es infinita, el volumen del sólido generado al girar esta región alrededor delx eje es finito. El sólido generado se conoce como Cuerno de Gabriel.
Nota: El cuerno de Gabriel (también llamado trompeta de Torricelli) es una figura geométrica que tiene una superficie infinita, pero un volumen finito. El nombre hace referencia a la tradición identificando al Arcángel Gabriel como el ángel que toca el cuerno para anunciar el Día del Juicio, asociando lo divino, o infinito, con lo finito. Las propiedades de esta figura fueron estudiadas por primera vez por el físico y matemático italiano Evangelista Torricelli en el siglo XVII.
Supongamos que en una intersección transitada, los accidentes de tránsito ocurren a una tasa promedio de uno cada tres meses. Después de que vecinos se quejaron, se realizaron cambios en los semáforos en el cruce. Ya han pasado ocho meses desde que se hicieron los cambios y no ha habido accidentes. ¿Los cambios fueron efectivos o el intervalo de 8 meses sin accidente es resultado de casualidad?

La teoría de la probabilidad nos dice que si el tiempo promedio entre eventos esk, la probabilidad de queX, el tiempo entre eventos, esté entrea yb viene dada por
(P(a≤x≤b)=∫baf(x)dx
donde
f(x)={0,ifx<0ke−kx,ifx≥0.
Así, si los accidentes ocurren a una tasa de uno cada 3 meses, entonces la probabilidad de queX, el tiempo entre accidentes, esté entrea yb viene dada por
P(a≤x≤b)=∫baf(x)dx
dondef(x)={0,ifx<03e−3x,ifx≥0.
Para responder a la pregunta, debemos calcularP(X≥8)=∫+∞83e−3xdx y decidir si es probable que hayan pasado 8 meses sin accidente si no hubiera habido mejoría en la situación de tránsito.
Solución
Necesitamos calcular la probabilidad como una integral inadecuada:
\ (\ displaystyle\ begin {alinear*} P (X≥8) =\ int ^ {+∞} _83e^ {−3x}\, dx\\ [4pt]
=\ lim_ {t→+∞}\ int ^t_83e^ {−3x}\, dx\\ [4pt]
=\ lim_ {t→+∞} −e^ {−3x} t_8\\ [4pt]
=\ lim_ {t→+∞} (−e^ {−3t} +e^ {−24})\\ [4pt]
≈3.8×10^ {−11}. \ end {alinear*}\)
El valor3.8×10−11 representa la probabilidad de que no haya accidentes en 8 meses bajo las condiciones iniciales. Dado que este valor es muy, muy pequeño, es razonable concluir que los cambios fueron efectivos.
Evaluar∫0−∞1x2+4dx. Estado si la integral inadecuada converge o diverge.
Solución
Comience reescribiendo∫0−∞1x2+4dx como límite usando la ecuación\ ref {improper2} de la definición. Por lo tanto,
\ [\ begin {alinear*}\ int ^0_ {−∞}\ frac {1} {x^2+4}\, dx &=\ lim_ {t→−∞}\ int ^0_t\ frac {1} {x^2+4}\, dx\ quad\ text {Reescribe como límite.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {t→−∞} frac {1} {2}\ tan^ {−1}\ frac {x} {2} ^0_t\ quad\ text {Encuentra la antiderivada.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {t→−∞}\ left (\ frac {1} {2}\ tan^ {−1} 0−\ frac {1} {2}\ tan^ {−1}\ frac {t} {2}\ derecha)\ quad\ text {Evalúa la antiderivada.}\\ [4pt]
&=\ frac {π} {4}. \ quad\ text {Evalúa el límite y simplifica.} \ end {alinear*}\]
La integral impropia converge aπ4.
Evaluar∫+∞−∞xexdx. Estado si la integral inadecuada converge o diverge.
Solución
Comience dividiendo la integral:
∫+∞−∞xexdx=∫0−∞xexdx+∫+∞0xexdx.
Si cualquiera∫0−∞xexdx o∫+∞0xexdx diverge, entonces∫+∞−∞xexdx diverge. Compute cada integral por separado. Para la primera integral,
∫0−∞xexdx=limt→−∞∫0txexdxReescribir como límite.
=limt→−∞(xex−ex)∣0tUtilice la integración por partes para encontrar el antiderivado. (Aquíu=x ydv=ex.)
=limt→−∞(−1−tet+et)Evaluar el antiderivado.
=−1.
Evaluar el límite. Nota:limt→−∞tet es indeterminado de la0⋅∞ forma.Así,limt→−∞tet=limt→−∞te−t=limt→−∞−1e−t=limt→−∞−et=0 por la Regla de L'Hôpital.
La primera integral impropia converge. Para la segunda integral,
∫+∞0xexdx=limt→+∞∫t0xexdxReescribir como límite.
=limt→+∞(xex−ex)∣t0Encuentra el antiderivado.
=limt→+∞(tet−et+1)Evaluar el antiderivado.
=limt→+∞((t−1)et+1)Reescribir. (tet−etes indeterminado.)
=+∞.Evaluar el límite.
Así,∫+∞0xexdx diverge. Ya que esta integral diverge,∫+∞−∞xexdx diverge también.
Evaluar∫+∞−3e−xdx. Estado si la integral inadecuada converge o diverge.
- Pista
-
∫+∞−3e−xdx=limt→+∞∫t−3e−xdx
- Responder
-
Converge parae3.
Integrando un Integrando Discontinuo
Ahora examinemos integrales de funciones que contienen una discontinuidad infinita en el intervalo sobre el cual se produce la integración. Considerar una integral de la forma∫baf(x)dx, dondef(x) es continua sobre[a,b) y discontinua enb. Dado que la funciónf(x) es continua[a,t] para todos los valores det satisfaccióna≤t<b, la integral∫taf(x)dx se define para todos esos valores det. Por lo tanto, tiene sentido considerar los valores de∫taf(x)dx comot enfoquesb paraa≤t<b. Es decir, definimos∫baf(x)dx=limt→b−∫taf(x)dx, siempre que este límite exista. La figura7.7.5 ilustra∫taf(x)dx como áreas de regiones para valores det aproximaciónb.

Utilizamos un enfoque similar para definir∫baf(x)dx, dondef(x) es continuo sobre(a,b] y discontinuo ena. Ahora procedemos con una definición formal.
- Dejarf(x) ser continuo sobre[a,b). Entonces,∫baf(x)dx=limt→b−∫taf(x)dx.
- Dejarf(x) ser continuo sobre(a,b]. Entonces,∫baf(x)dx=limt→a+∫btf(x)dx. en cada caso, si existe el límite, entonces se dice que la integral impropia converge. Si el límite no existe, entonces se dice que la integral impropia diverge.
- Sif(x) es continuo sobre[a,b] excepto en un puntoc adentro(a,b), entonces∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx, siempre que ambos∫caf(x)dx y∫bcf(x)dx converjan. Si alguna de estas integrales diverge, entonces∫baf(x)dx diverge.
Los siguientes ejemplos demuestran la aplicación de esta definición.
Evaluar∫401√4−xdx, si es posible. Estado si la integral converge o diverge.
Solución
La funciónf(x)=1√4−x es continua[0,4) y discontinua a 4. Usando la ecuación\ ref {improperundefb} de la definición, reescribe∫401√4−xdx como límite:
\ (\ displaystyle\ begin {align*}\ int ^4_0\ frac {1} {\ sqrt {4−x}}\, dx &=\ lim_ {t→4^−}\ int ^t_0\ frac {1} {\ sqrt {4−x}}\, dx\ quad\ text {Reescribir como límite.}\\ [4pt]
&=\ lim_ _ {t→4^−} (−2\ sqrt {4−x}) ^t_0\ quad\ text {Encuentra la antiderivada.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {t→4^−} (−2\ sqrt {4−t} +4)\ quad\ text {Evaluar la antiderivada.}\\ [4pt]
&=4. \ quad\ text {Evalúa el límite.} \ end {alinear*}\)
La integral impropia converge.
Evaluar∫20xlnxdx. Estado si la integral converge o diverge.
Solución
Dado quef(x)=xlnx es continuo sobre(0,2] y es discontinuo en cero, podemos reescribir la integral en forma límite usando la ecuación\ ref {improperundefa}:
\ (\ displaystyle\ begin {align*}\ int ^2_0x\ ln x\, dx &=\ lim_ {t→0^+}\ int ^2_tx\ ln x\, dx\ quad\ text {Reescribir como límite.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {t→0^+} (\ frac {1} {2} x^2\ ln x−\ frac {1} {4} x^2) ^2_t\ quad\ text {Evaluar}\;\ int x\ ln x\, dx\;\ text {usando integración por partes con}\; u=\ ln x\;\ text {y}\; dv=x. \\ [4pt]
&=\ lim_ {t→0^+} (2\ ln 2−1−\ frac {1} {2} t^2\ ln t+\ frac {1} {4} t^2). \ quad\ text {Evalúa la antiderivada.}\\ [4pt]
&=2\ ln 2−1. \ quad\ text {Evalúa el límite.} \ end {alinear*}\)
Por lo tanto
limt→0+t2lntis indeterminate.
Para evaluarlo, reescribir como cociente y aplicar la regla de L'Hôpital.
La integral impropia converge.
Evaluar∫1−11x3dx. Estado si la integral inadecuada converge o diverge.
Solución
Comof(x)=1/x3 es discontinuo a cero, usando la ecuación\ ref {improperundefc}, podemos escribir
∫1−11x3dx=∫0−11x3dx+∫101x3dx.
Si alguna de las dos integrales diverge, entonces la integral original diverge. Comience con∫0−11x3dx:
∫0−11x3dx=limt→0−∫t−11x3dxReescribir como límite.
=limt→0−(−12x2)∣t−1Encuentra el antiderivado.
=limt→0−(−12t2+12)Evaluar el antiderivado.
=+∞.Evaluar el límite.
Por lo tanto,∫0−11x3dx diverge. Ya que∫0−11x3dx diverge,∫1−11x3dx diverge.
Evaluar∫201xdx. Estado si la integral converge o diverge.
- Pista
-
Escribe∫201xdx en forma límite usando la ecuación\ ref {improperundefa}.
- Responder
-
+∞, diverge.
Un teorema de comparación
No siempre es fácil o incluso posible evaluar directamente una integral impropia; sin embargo, al compararla con otra integral cuidadosamente elegida, puede ser posible determinar su convergencia o divergencia. Para ver esto, considere dos funciones continuasf(x) yg(x) satisfactorias0≤f(x)≤g(x) parax≥a (Figura7.7.6). En este caso, podemos ver las integrales de estas funciones a lo largo de intervalos de la forma[a,t] como áreas, por lo que tenemos la relación
0≤∫taf(x)dx≤∫tag(x)dx
parat≥a.

Por lo tanto, si
∫+∞af(x)dx=limt→+∞∫taf(x)dx=+∞,
entonces
∫+∞ag(x)dx=limt→+∞∫tag(x)dx=+∞
también. Es decir, si el área de la región entre la gráfica def(x) y elx eje -sobre[a,+∞) es infinita, entonces el área de la región entre la gráfica deg(x) y elx -eje sobre[a,+∞) es infinita también.
Por otro lado, si
∫+∞ag(x)dx=limt→+∞∫tag(x)dx=L
para algún número realL, entonces
∫+∞af(x)dx=limt→+∞∫taf(x)dx
deben converger a algún valor menor o igual aL, ya que∫taf(x)dx aumenta comot incrementos y∫taf(x)dx≤L para todost≥a.
Si el área de la región entre la gráfica deg(x) y elx eje -sobre[a,+∞) es finita, entonces el área de la región entre la gráfica def(x) y elx eje -sobre también[a,+∞) es finita.
Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema.
Dejarf(x) yg(x) ser continuo sobre[a,+∞). Supongamos que0≤f(x)≤g(x) parax≥a.
- Si∫+∞af(x)dx=limt→+∞∫taf(x)dx=+∞, entonces∫+∞ag(x)dx=limt→+∞∫tag(x)dx=+∞.
- Si∫+∞ag(x)dx=limt→+∞∫tag(x)dx=L, dondeL es un número real, entonces∫+∞af(x)dx=limt→+∞∫taf(x)dx=M para algún número realM≤L.
Usa una comparación para mostrar que
∫+∞11xexdx
converge.
Solución
Podemos ver que
0≤1xex≤1ex=e−x,
así que si∫+∞1e−xdx converge, entonces también lo hace∫+∞11xexdx. Para evaluar∫+∞1e−xdx, primero reescribirlo como límite:
∫+∞1e−xdx=limt→+∞∫t1e−xdx
=limt→+∞(−e−x)∣t1
=limt→+∞(−e−t+e−1)
=e−1.
Ya que∫+∞1e−xdx converge, también lo hace∫+∞11xexdx.
Utilice el teorema de comparación para mostrar que∫+∞11xpdx diverge para todosp<1.
Solución
Porp<1,1/x≤1/(xp) más[1,+∞). En Ejemplo7.7.1, demostramos que∫+∞11xdx=+∞. Por lo tanto,∫+∞11xpdx diverge para todosp<1.
Usa una comparación para mostrar que∫+∞elnxxdx diverge.
- Pista
-
1x≤lnxxen[e,+∞)
- Responder
-
Ya que∫+∞e1xdx=+∞,∫+∞elnxxdx diverge.
En los últimos capítulos, hemos analizado varias formas de utilizar la integración para resolver problemas del mundo real. Para este próximo proyecto, vamos a explorar una aplicación más avanzada de la integración: las transformaciones integrales. Específicamente, describimos la transformación de Laplace y algunas de sus propiedades. La transformación de Laplace se utiliza en ingeniería y física para simplificar los cálculos necesarios para resolver algunos problemas. Toma funciones expresadas en términos de tiempo y las transforma en funciones expresadas en términos de frecuencia. Resulta que, en muchos casos, los cálculos necesarios para resolver problemas en el dominio de la frecuencia son mucho más simples que los requeridos en el dominio del tiempo.
La transformación de Laplace se define en términos de una integral como
Lf(t)=F(s)=∫∞0e−stf(t)dt.
Tenga en cuenta que la entrada a una transformada de Laplace es una función del tiempo,f(t), y la salida es una función de la frecuencia,F(s). Aunque muchos ejemplos del mundo real requieren el uso de números complejos (involucrando el número imaginarioi=√−1), en este proyecto, nos limitamos a funciones de números reales.
Empecemos con un ejemplo sencillo. Aquí calculamos la transformación de Laplace def(t)=t. Tenemos
Lt=∫∞0te−stdt.
Esta es una integral impropia, por lo que la expresamos en términos de un límite, que da
Lt=∫∞0te−stdt=limz→∞∫z0te−stdt.
Ahora utilizamos la integración por partes para evaluar la integral. Tenga en cuenta que nos estamos integrando con respecto a t, por lo que tratamos la variable s como una constante. Tenemos
u=tdu=dtdv=e−stdtv=−1se−st.
Luego obtenemos
limz→∞∫z0te−stdt=limz→∞[[−tse−st]∣z0+1s∫z0e−stdt] =limz→∞[[−zse−sz+0se−0s]+1s∫z0e−stdt] =limz→∞[[−zse−sz+0]−1s[e−sts]∣z0] =limz→∞[[−zse−sz]−1s2[e−sz−1]] =limz→∞[−zsesz]−limz→∞[1s2esz]+limz→∞1s2 =0−0+1s2 =1s2.
- Calcular la transformación de Laplace def(t)=1.
- Calcular la transformación de Laplace def(t)=e−3t.
- Calcular la transformación de Laplace def(t)=t2. (Tenga en cuenta que tendrá que integrar por partes dos veces).
Las transformaciones de Laplace se utilizan a menudo para resolver ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales no se tratan en detalle hasta más adelante en este libro; pero, por ahora, veamos la relación entre la transformada de Laplace de una función y la transformada de Laplace de su derivada.
Empecemos por la definición de la transformación de Laplace. Tenemos
Lf(t)=∫∞0e−stf(t)dt=limz→∞∫z0e−stf(t)dt.
Utilice la integración por partes para evaluarlimz→∞∫z0e−stf(t)dt. (Dejaru=f(t) ydv=e−stdt.)
Después de integrar por partes y evaluar el límite, deberías ver que
Lf(t)=f(0)s+1s[Lf′(t)].
Entonces,
Lf′(t)=sLf(t)−f(0).
Así, la diferenciación en el dominio del tiempo se simplifica a la multiplicación por s en el dominio de la frecuencia.
Lo último que observamos en este proyecto es cómo se relacionan las transformaciones de Laplacef(t) y sus antiderivadas. Vamosg(t)=∫t0f(u)du. Entonces,
Lg(t)=∫∞0e−stg(t)dt=limz→∞∫z0e−stg(t)dt.
Utilice la integración por partes para evaluarlimz→∞∫z0e−stg(t)dt. (Letu=g(t) ydv=e−stdt. Nota, por la forma en que hemos definidog(t),du=f(t)dt.)
Como es de esperar, debería ver que
Lg(t)=1s⋅Lf(t).
La integración en el dominio del tiempo simplifica la división pors en el dominio de la frecuencia.
Conceptos clave
- Integrales de funciones en intervalos infinitos se definen en términos de límites.
- Integrales de funciones en un intervalo para el cual la función tiene una discontinuidad en un punto final pueden definirse en términos de límites.
- La convergencia o divergencia de una integral impropia puede determinarse comparándola con el valor de una integral impropia por la que se conoce la convergencia o divergencia.
Ecuaciones Clave
- Integrales innecesarias
∫+∞af(x)dx=limt→+∞∫taf(x)dx
∫b−∞f(x)dx=limt→−∞∫btf(x)dx
∫+∞−∞f(x)dx=∫0−∞f(x)dx+∫+∞0f(x)dx
Glosario
- integral inadecuada
- una integral sobre un intervalo infinito o una integral de una función que contiene una discontinuidad infinita en el intervalo; una integral inadecuada se define en términos de un límite. La integral inadecuada converge si este límite es un número real finito; de lo contrario, la integral impropia diverge