Saltar al contenido principal

# 6.S: Funciones (Resumen)

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Definiciones importantes

• Función, página 284
• Dominio de una función, página 285
• Codominio de una función, página285
• Imagen de$$x$$ under$$f$$, página 285
• preimagen de$$y$$ debajo$$f$$, página 285
• Variable independiente, página 285
• Variable dependiente, página 285
• Rango de una función, página 287
• Imagen de una función, página 287
• Funciones iguales, página 298
• Secuencia, página 301
• Inyección, página 310
• Función uno a uno, página 310
• Surjección, página 311
• Función Ont, página 311
• Biyección, página 312
• Uno a uno y hacia, página 312
• Composición de$$f$$ y$$g$$, página 325
• Función compuesta, página 325
• $$f$$seguido de$$g$$, página 325
• Inverso de una función, página 338
• Imagen de un conjunto bajo una función, página 351
• preimagen de un conjunto bajo una función, página 351

Teoremas y Resultados Importantes sobre Funciones

• Teorema 6.20. Dejar$$A$$,$$B$$ y$$C$$ ser conjuntos no vacíos y dejar$$f: A \to B$$ y$$g: B \to C$$.

1. Si$$f$$ y$$g$$ son ambas inyecciones, entonces$$g \circ f$$ es una inyección.
2. Si$$f$$ y$$g$$ son ambas sobreyecciones, entonces$$g \circ f$$ es una sobrejección.
3. Si$$f$$ y$$g$$ son ambas bijecciones, entonces$$g \circ f$$ es una bijección.
• Teorema 6.21. Dejar$$A$$,$$B$$ y$$C$$ ser conjuntos no vacíos y dejar$$f: A \to B$$ y$$g: B \to C$$.

1. Si$$g \circ f: A \to C$$ es una inyección, entonces$$f: A \to B$$ es un injeciton.
2. Si$$g \circ f: A \to C$$ es una sobreyección, entonces$$g: B \to C$$ es un surjeciton.
• Teorema 6.22. Dejar$$A$$ y$$B$$ ser conjuntos no vacíos y dejar$$f$$ ser un subconjunto de$$A \times B$$ que satisfaga las siguientes dos propiedades:

$$\bullet$$ Para cada$$a \in A$$, existe$$b \in B$$ tal que$$(a, b) \in f$$; y
$$\bullet$$ Para todos$$a \in A$$ y cada uno$$b, c \in B$$, si$$(a, b) \in f$$ y$$(a, c) \in f$$, entonces$$b = c$$.

Si usamos$$f(a) = b$$ siempre$$(a, b) \in f$$, entonces$$f$$ es una función de$$A$$ a$$B$$.
• Teorema 6.25. Dejar$$A$$ y$$B$$ ser conjuntos no vacíos y dejar$$f: A \to B$$. El inverso de$$f$$ es una función de$$B$$ a$$A$$ si y solo si$$f$$ es una biyección.
• Teorema 6.26. Dejar$$A$$ y$$B$$ ser conjuntos no vacíos y dejar que$$f: A \to B$$ sea una bijección. Entonces$$f^{-1}: B \to A$$ es una función, y para cada$$a \in A$$ y$$b \in B$$,
$$f(a) = b$$ si y sólo si$$f^{-1}(b) = a$$.
• Corolario 6.28. Dejar$$A$$ y$$B$$ ser conjuntos no vacíos y dejar que$$f: A \to B$$ sea una bijección. Después

1. Para cada$$x$$ en$$A$$,$$(f^{-1} \circ f)(x) = x$$.
2. Para cada$$y$$ en$$B$$,$$(f \circ f^{-1} (y) = y$$.
• Teorema 6.29. Dejar$$f: A \to B$$ y$$g: B \to C$$ ser bijecciones. Entonces$$g \circ f$$ es una biyección y$$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$$.
• Teorema 6.34. Dejar$$f: S \to T$$ ser una función y dejar$$A$$ y$$B$$ ser subconjuntos de$$S$$. Después

1. $$f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)$$
2. $$f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$$
• Teorema 6.35. Dejar$$f: S \to T$$ ser una función y dejar$$C$$ y$$D$$ ser subconjuntos de$$T$$. Después

1. $$f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$$
2. $$f^{-1}(C \cup D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$$
• Teorema 6.36. Dejar$$f: S \to T$$ ser una función y dejar$$A\( be a subset of \(S$$ y dejar$$C$$ ser un subconjunto de$$T$$. Después

1. $$A \subseteq f^{-1}(f(A))$$
2. $$f(f^{-1}(C) \subseteq C$$

This page titled 6.S: Funciones (Resumen) is shared under a CC BY-NC-SA 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Ted Sundstrom (ScholarWorks @Grand Valley State University) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.