6.S: Funciones (Resumen)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Definiciones importantes
- Función, página 284
- Dominio de una función, página 285
- Codominio de una función, página285
- Imagen dex underf, página 285
- preimagen dey debajof, página 285
- Variable independiente, página 285
- Variable dependiente, página 285
- Rango de una función, página 287
- Imagen de una función, página 287
- Funciones iguales, página 298
- Secuencia, página 301
- Inyección, página 310
- Función uno a uno, página 310
- Surjección, página 311
- Función Ont, página 311
- Biyección, página 312
- Uno a uno y hacia, página 312
- Composición def yg, página 325
- Función compuesta, página 325
- fseguido deg, página 325
- Inverso de una función, página 338
- Imagen de un conjunto bajo una función, página 351
- preimagen de un conjunto bajo una función, página 351
Teoremas y Resultados Importantes sobre Funciones
- Teorema 6.20. DejarA,B yC ser conjuntos no vacíos y dejarf: A \to B yg: B \to C.
1. Sif yg son ambas inyecciones, entoncesg \circ f es una inyección.
2. Sif yg son ambas sobreyecciones, entoncesg \circ f es una sobrejección.
3. Sif yg son ambas bijecciones, entoncesg \circ f es una bijección. - Teorema 6.21. DejarA,B yC ser conjuntos no vacíos y dejarf: A \to B yg: B \to C.
1. Sig \circ f: A \to C es una inyección, entoncesf: A \to B es un injeciton.
2. Sig \circ f: A \to C es una sobreyección, entoncesg: B \to C es un surjeciton. - Teorema 6.22. DejarA yB ser conjuntos no vacíos y dejarf ser un subconjunto deA \times B que satisfaga las siguientes dos propiedades:
\bullet Para cadaa \in A, existeb \in B tal que(a, b) \in f; y
\bullet Para todosa \in A y cada unob, c \in B, si(a, b) \in f y(a, c) \in f, entoncesb = c.
Si usamosf(a) = b siempre(a, b) \in f, entoncesf es una función deA aB. - Teorema 6.25. DejarA yB ser conjuntos no vacíos y dejarf: A \to B. El inverso def es una función deB aA si y solo sif es una biyección.
- Teorema 6.26. DejarA yB ser conjuntos no vacíos y dejar quef: A \to B sea una bijección. Entoncesf^{-1}: B \to A es una función, y para cadaa \in A yb \in B,
f(a) = b si y sólo sif^{-1}(b) = a. - Corolario 6.28. DejarA yB ser conjuntos no vacíos y dejar quef: A \to B sea una bijección. Después
1. Para cadax enA,(f^{-1} \circ f)(x) = x.
2. Para caday enB,(f \circ f^{-1} (y) = y. - Teorema 6.29. Dejarf: A \to B yg: B \to C ser bijecciones. Entoncesg \circ f es una biyección y(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.
- Teorema 6.34. Dejarf: S \to T ser una función y dejarA yB ser subconjuntos deS. Después
1. f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)
2. f(A \cup B) = f(A) \cup f(B) - Teorema 6.35. Dejarf: S \to T ser una función y dejarC yD ser subconjuntos deT. Después
1. f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)
2. f^{-1}(C \cup D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D) - Teorema 6.36. Dejarf: S \to T ser una función y dejarA\( be a subset of \(S y dejarC ser un subconjunto deT. Después
1. A \subseteq f^{-1}(f(A))
2. f(f^{-1}(C) \subseteq C