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LibreTexts Español

6.S: Funciones (Resumen)

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Definiciones importantes

  • Función, página 284
  • Dominio de una función, página 285
  • Codominio de una función, página285
  • Imagen dex underf, página 285
  • preimagen dey debajof, página 285
  • Variable independiente, página 285
  • Variable dependiente, página 285
  • Rango de una función, página 287
  • Imagen de una función, página 287
  • Funciones iguales, página 298
  • Secuencia, página 301
  • Inyección, página 310
  • Función uno a uno, página 310
  • Surjección, página 311
  • Función Ont, página 311
  • Biyección, página 312
  • Uno a uno y hacia, página 312
  • Composición def yg, página 325
  • Función compuesta, página 325
  • fseguido deg, página 325
  • Inverso de una función, página 338
  • Imagen de un conjunto bajo una función, página 351
  • preimagen de un conjunto bajo una función, página 351

Teoremas y Resultados Importantes sobre Funciones

  • Teorema 6.20. DejarA,B yC ser conjuntos no vacíos y dejarf: A \to B yg: B \to C.

    1. Sif yg son ambas inyecciones, entoncesg \circ f es una inyección.
    2. Sif yg son ambas sobreyecciones, entoncesg \circ f es una sobrejección.
    3. Sif yg son ambas bijecciones, entoncesg \circ f es una bijección.
  • Teorema 6.21. DejarA,B yC ser conjuntos no vacíos y dejarf: A \to B yg: B \to C.

    1. Sig \circ f: A \to C es una inyección, entoncesf: A \to B es un injeciton.
    2. Sig \circ f: A \to C es una sobreyección, entoncesg: B \to C es un surjeciton.
  • Teorema 6.22. DejarA yB ser conjuntos no vacíos y dejarf ser un subconjunto deA \times B que satisfaga las siguientes dos propiedades:

    \bullet Para cadaa \in A, existeb \in B tal que(a, b) \in f; y
    \bullet Para todosa \in A y cada unob, c \in B, si(a, b) \in f y(a, c) \in f, entoncesb = c.

    Si usamosf(a) = b siempre(a, b) \in f, entoncesf es una función deA aB.
  • Teorema 6.25. DejarA yB ser conjuntos no vacíos y dejarf: A \to B. El inverso def es una función deB aA si y solo sif es una biyección.
  • Teorema 6.26. DejarA yB ser conjuntos no vacíos y dejar quef: A \to B sea una bijección. Entoncesf^{-1}: B \to A es una función, y para cadaa \in A yb \in B,
    f(a) = b si y sólo sif^{-1}(b) = a.
  • Corolario 6.28. DejarA yB ser conjuntos no vacíos y dejar quef: A \to B sea una bijección. Después

    1. Para cadax enA,(f^{-1} \circ f)(x) = x.
    2. Para caday enB,(f \circ f^{-1} (y) = y.
  • Teorema 6.29. Dejarf: A \to B yg: B \to C ser bijecciones. Entoncesg \circ f es una biyección y(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.
  • Teorema 6.34. Dejarf: S \to T ser una función y dejarA yB ser subconjuntos deS. Después

    1. f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)
    2. f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)
  • Teorema 6.35. Dejarf: S \to T ser una función y dejarC yD ser subconjuntos deT. Después

    1. f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)
    2. f^{-1}(C \cup D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)
  • Teorema 6.36. Dejarf: S \to T ser una función y dejarA\( be a subset of \(S y dejarC ser un subconjunto deT. Después

    1. A \subseteq f^{-1}(f(A))
    2. f(f^{-1}(C) \subseteq C

This page titled 6.S: Funciones (Resumen) is shared under a CC BY-NC-SA 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Ted Sundstrom (ScholarWorks @Grand Valley State University) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.

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