6.S: Funciones (Resumen)
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- Función, página 284
- Dominio de una función, página 285
- Codominio de una función, página285
- Imagen de\(x\) under\(f\), página 285
- preimagen de\(y\) debajo\(f\), página 285
- Variable independiente, página 285
- Variable dependiente, página 285
- Rango de una función, página 287
- Imagen de una función, página 287
- Funciones iguales, página 298
- Secuencia, página 301
- Inyección, página 310
- Función uno a uno, página 310
- Surjección, página 311
- Función Ont, página 311
- Biyección, página 312
- Uno a uno y hacia, página 312
- Composición de\(f\) y\(g\), página 325
- Función compuesta, página 325
- \(f\)seguido de\(g\), página 325
- Inverso de una función, página 338
- Imagen de un conjunto bajo una función, página 351
- preimagen de un conjunto bajo una función, página 351
Teoremas y Resultados Importantes sobre Funciones
- Teorema 6.20. Dejar\(A\),\(B\) y\(C\) ser conjuntos no vacíos y dejar\(f: A \to B\) y\(g: B \to C\).
1. Si\(f\) y\(g\) son ambas inyecciones, entonces\(g \circ f\) es una inyección.
2. Si\(f\) y\(g\) son ambas sobreyecciones, entonces\(g \circ f\) es una sobrejección.
3. Si\(f\) y\(g\) son ambas bijecciones, entonces\(g \circ f\) es una bijección. - Teorema 6.21. Dejar\(A\),\(B\) y\(C\) ser conjuntos no vacíos y dejar\(f: A \to B\) y\(g: B \to C\).
1. Si\(g \circ f: A \to C\) es una inyección, entonces\(f: A \to B\) es un injeciton.
2. Si\(g \circ f: A \to C\) es una sobreyección, entonces\(g: B \to C\) es un surjeciton. - Teorema 6.22. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos no vacíos y dejar\(f\) ser un subconjunto de\(A \times B\) que satisfaga las siguientes dos propiedades:
\(\bullet\) Para cada\(a \in A\), existe\(b \in B\) tal que\((a, b) \in f\); y
\(\bullet\) Para todos\(a \in A\) y cada uno\(b, c \in B\), si\((a, b) \in f\) y\((a, c) \in f\), entonces\(b = c\).
Si usamos\(f(a) = b\) siempre\((a, b) \in f\), entonces\(f\) es una función de\(A\) a\(B\). - Teorema 6.25. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos no vacíos y dejar\(f: A \to B\). El inverso de\(f\) es una función de\(B\) a\(A\) si y solo si\(f\) es una biyección.
- Teorema 6.26. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos no vacíos y dejar que\(f: A \to B\) sea una bijección. Entonces\(f^{-1}: B \to A\) es una función, y para cada\(a \in A\) y\(b \in B\),
\(f(a) = b\) si y sólo si\(f^{-1}(b) = a\). - Corolario 6.28. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos no vacíos y dejar que\(f: A \to B\) sea una bijección. Después
1. Para cada\(x\) en\(A\),\((f^{-1} \circ f)(x) = x\).
2. Para cada\(y\) en\(B\),\((f \circ f^{-1} (y) = y\). - Teorema 6.29. Dejar\(f: A \to B\) y\(g: B \to C\) ser bijecciones. Entonces\(g \circ f\) es una biyección y\((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\).
- Teorema 6.34. Dejar\(f: S \to T\) ser una función y dejar\(A\) y\(B\) ser subconjuntos de\(S\). Después
1. \(f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)\)
2. \(f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)\) - Teorema 6.35. Dejar\(f: S \to T\) ser una función y dejar\(C\) y\(D\) ser subconjuntos de\(T\). Después
1. \(f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)\)
2. \(f^{-1}(C \cup D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)\) - Teorema 6.36. Dejar\(f: S \to T\) ser una función y dejar\(A\( be a subset of \(S\) y dejar\(C\) ser un subconjunto de\(T\). Después
1. \(A \subseteq f^{-1}(f(A))\)
2. \(f(f^{-1}(C) \subseteq C\)