6.S: Funciones (Resumen)

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Definiciones importantes

Función, página 284
Dominio de una función, página 285
Codominio de una función, página285
Imagen de\(x\) under\(f\), página 285
preimagen de\(y\) debajo\(f\), página 285
Variable independiente, página 285
Variable dependiente, página 285
Rango de una función, página 287
Imagen de una función, página 287
Funciones iguales, página 298
Secuencia, página 301
Inyección, página 310
Función uno a uno, página 310
Surjección, página 311
Función Ont, página 311
Biyección, página 312
Uno a uno y hacia, página 312
Composición de\(f\) y\(g\), página 325
Función compuesta, página 325
\(f\)seguido de\(g\), página 325
Inverso de una función, página 338
Imagen de un conjunto bajo una función, página 351
preimagen de un conjunto bajo una función, página 351

Teoremas y Resultados Importantes sobre Funciones

Teorema 6.20. Dejar\(A\),\(B\) y\(C\) ser conjuntos no vacíos y dejar\(f: A \to B\) y\(g: B \to C\).

1. Si\(f\) y\(g\) son ambas inyecciones, entonces\(g \circ f\) es una inyección.
2. Si\(f\) y\(g\) son ambas sobreyecciones, entonces\(g \circ f\) es una sobrejección.
3. Si\(f\) y\(g\) son ambas bijecciones, entonces\(g \circ f\) es una bijección.
Teorema 6.21. Dejar\(A\),\(B\) y\(C\) ser conjuntos no vacíos y dejar\(f: A \to B\) y\(g: B \to C\).

1. Si\(g \circ f: A \to C\) es una inyección, entonces\(f: A \to B\) es un injeciton.
2. Si\(g \circ f: A \to C\) es una sobreyección, entonces\(g: B \to C\) es un surjeciton.
Teorema 6.22. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos no vacíos y dejar\(f\) ser un subconjunto de\(A \times B\) que satisfaga las siguientes dos propiedades:

\(\bullet\) Para cada\(a \in A\), existe\(b \in B\) tal que\((a, b) \in f\); y
\(\bullet\) Para todos\(a \in A\) y cada uno\(b, c \in B\), si\((a, b) \in f\) y\((a, c) \in f\), entonces\(b = c\).

Si usamos\(f(a) = b\) siempre\((a, b) \in f\), entonces\(f\) es una función de\(A\) a\(B\).
Teorema 6.25. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos no vacíos y dejar\(f: A \to B\). El inverso de\(f\) es una función de\(B\) a\(A\) si y solo si\(f\) es una biyección.
Teorema 6.26. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos no vacíos y dejar que\(f: A \to B\) sea una bijección. Entonces\(f^{-1}: B \to A\) es una función, y para cada\(a \in A\) y\(b \in B\),
\(f(a) = b\) si y sólo si\(f^{-1}(b) = a\).
Corolario 6.28. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos no vacíos y dejar que\(f: A \to B\) sea una bijección. Después

1. Para cada\(x\) en\(A\),\((f^{-1} \circ f)(x) = x\).
2. Para cada\(y\) en\(B\),\((f \circ f^{-1} (y) = y\).
Teorema 6.29. Dejar\(f: A \to B\) y\(g: B \to C\) ser bijecciones. Entonces\(g \circ f\) es una biyección y\((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\).
Teorema 6.34. Dejar\(f: S \to T\) ser una función y dejar\(A\) y\(B\) ser subconjuntos de\(S\). Después

1. \(f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)\)
2. \(f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)\)
Teorema 6.35. Dejar\(f: S \to T\) ser una función y dejar\(C\) y\(D\) ser subconjuntos de\(T\). Después

1. \(f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)\)
2. \(f^{-1}(C \cup D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)\)
Teorema 6.36. Dejar\(f: S \to T\) ser una función y dejar\(A\( be a subset of \(S\) y dejar\(C\) ser un subconjunto de\(T\). Después

1. \(A \subseteq f^{-1}(f(A))\)
2. \(f(f^{-1}(C) \subseteq C\)