3: Técnicas de Prueba I

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El amor es una moto de nieve corriendo por la tundra y luego de repente se voltea, fijándote debajo. Por la noche, vienen las comadrejas de hielo.

—Groening mate

3.1: Pruebas directas de declaraciones universales
Generalmente, lo primero que hay que hacer para probar una declaración universal es reformularla como condicional. La sentencia resultante es una Declaración Condicional Universal o un SCP. El motivo para dar este paso es que entonces las hipótesis quedarán claras —forman el antecedente de la UCS—. Entonces, si bien realmente no habrás avanzado en la prueba tomando este consejo, al menos sabrás qué herramientas tienes a mano.
3.2: Pruebas más directas
Al crear una prueba directa, necesitamos mirar nuestras hipótesis, considerar la conclusión deseada y desarrollar una estrategia para transformar A en B. Muy a menudo te resultará fácil hacer varias deducciones de las hipótesis, pero ninguna de ellas parece ir en dirección a la conclusión deseada. El consejo habitual en esta etapa es “Intenta trabajar hacia atrás desde la conclusión”.
3.3: Pruebas indirectas- Contradicción y Contraposición
Las pruebas indirectas toman una adherencia completamente diferente de las pruebas directas. Si estamos tratando de demostrar que todos los tordos son policíclicos, comenzaremos suponiendo que tenías un tordo que no era policíclico, y además, demostraremos que esta suposición conduce a algo verdaderamente imposible. Bueno, si es imposible que un tordo no sea policíclico, entonces debe darse el caso de que todos ellos lo sean. Tal argumento se conoce como prueba por contradicción.
3.4: Improbantes
La idea de una “desprueba” es realmente solo semántica —para desmentir una afirmación necesitamos probar su negación. Si se nos da una declaración universalmente cuantificada lo primero que debemos hacer es probarla para algunos elementos aleatorios del universo en el que estamos trabajando. Si sucedemos a través de un valor que satisface las hipótesis de la declaración pero no satisface la conclusión, hemos encontrado lo que se conoce como contraejemplo.
3.5: Pruebas aún más directas, por casos y por agotamiento
La prueba por agotamiento es el método de prueba menos atractivo desde una perspectiva estética. Una prueba exhaustiva consiste en verificar literal (y exhaustivamente) cada elemento del universo para ver si la afirmación dada es cierta para ello. Por lo general, por supuesto, esto es imposible porque el universo del discurso es infinito; pero cuando el universo del discurso es finito, ciertamente no se puede argumentar la validez de una prueba exhaustiva.
3.6: Pruebas y despruebas de declaraciones existenciales
Desde cierto punto de vista, no hay necesidad de la sección actual. Si estamos demostrando una afirmación existencial estamos desmentiendo alguna afirmación universal. (Que ya se discutió.) Del mismo modo, si estamos tratando de desmentir una afirmación existencial, entonces en realidad estamos demostrando una declaración universal relacionada. Sin embargo, a veces la forma en que se afirma un teorema enfatiza la cuestión de existencia sobre el universal correspondiente.