6.5: Cooperatividad
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Las enzimas y otros complejos proteicos pueden tener múltiples sitios de unión, y cuando un sustrato se une a uno de estos sitios, los otros sitios pueden volverse más activos. Un ejemplo bien estudiado es la unión de la molécula de oxígeno a la proteína hemlobina. La hemoglobina puede unirse a cuatro moléculas deO2, y cuando tres moléculas están unidas, la cuarta molécula tiene una mayor afinidad por la unión. A esto lo llamamos cooperatividad.
Modelaremos la cooperatividad asumiendo que una enzima tiene dos sitios de unión separados pero indistinguibles para un sustratoS. Por ejemplo, la enzima puede

ser un dímero proteico, compuesto por dos subproteínas idénticas con sitios de unión idénticos paraS. Una caricatura de esta enzima se muestra en la Fig. 6.4. Debido a que los dos sitios de unión son indistinguibles, necesitamos considerar solo dos complejos:C1 yC2, con enzima unida a una o dos moléculas de sustrato, respectivamente. Cuando la enzima exhibe cooperatividad, la unión de la segunda molécula sustrato tiene una constante de velocidad mayor que la unión de la primera. Por lo tanto, consideramos la siguiente reacción:
donde la cooperatividad supone esok1≪k3. Aplicación de la ley de acción masiva da como resultado
dC1dt=k1SE+(k−3+k4)C2−(k−1+k2+k3S)C1dC2dt=k3SC1−(k−3+k4)C2
La aplicación de la aproximación cuasi-equilibrio˙C1=˙C2=0 y la ley de conservaciónE0=E+C1+C2 da como resultado el siguiente sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:
(k−1+k2+(k1+k3)S)C1−(k−3+k4−k1S)C2=k1E0S,k3SC1−(k−3+k4)C2=0.
Dividimos(6.5.1) pork1 y(6.5.2) pork3 y definimos
K1=k−1+k2k1,K2=k−3+k4k3,ϵ=k1/k3
para obtener
(ϵK1+(1+ϵ)S)C1−(K2−ϵS)C2=ϵE0S,SC1−K2C2=0.
Podemos restar (6.5.5) de (6.5.4) y cancelarϵ para obtener
(K1+S)C1+SC2=E0S.
Las ecuaciones (6.5.5) y (6.5.6) se pueden resolver paraC1 yC2:
C1=K2E0SK1K2+K2S+S2C2=E0S2K1K2+K2S+S2
de modo que la velocidad de reacción viene dada por
dPdt=k2C1+k4C2=(k2K2+k4S)E0SK1K2+K2S+S2
Para iluminar este resultado, consideramos dos casos limitantes: (i) no cooperatividad, donde los sitios activos actúan de manera independiente para que cada dímero proteico, digamos, pueda considerarse como dos monómeros proteicos independientes; (ii) fuerte cooperatividad, donde la unión del segundo sustrato tiene una constante de velocidad mucho mayor que la encuadernación de la primera.
Sitios activos independientes

Por lo tanto, para sitios activos independientes, la velocidad de reacción se vuelve
dPdt=(2k2Km+2k2S)E0SK2m+2KmS+S2=2k2E0SKm+S
La velocidad de reacción para una enzima proteína dímera compuesta por monómeros idénticos independientes es simplemente el doble que la de una enzima de proteína monomérica, un resultado intuitivamente obvio.
Fuerte cooperatividad
Ahora asumimos que después de que el primer sustrato se una a la enzima, el segundo sustrato se une mucho más fácilmente, de manera que esok1≪k3. En consecuencia, el número de enzimas unidas a una sola molécula de sustrato debe ser mucho menor que el número unido a dos moléculas de sustrato, lo que resulta enC1≪C2. Dividiendo (6.5.7) por (6.5.8), esta desigualdad se convierte
C1C2=K2S≪1.
Dividiendo el numerador y denominador de(6.5.9) porS2, tenemos
dPdt=(k2K2/S+k4)E0(K1/S)(K2/S)+(K2/S)+1.
Para tomar el límite de esta expresión comoK2/S→0, nos fijamos enK2/S=0 todas partes excepto en el primer término en el denominador, ya queK1/S es inversamente proporcional ak1 y puede llegar al infinito en este límite. Tomando el límite y multiplicando el numerador y denominador porS2,
dPdt=k4E0S2K1K2+S2
Aquí, la velocidad máxima de reacción esVm=k4E0, y la constante MichaelisMenten modificada esKm=√K1K2, de modo que
dPdt=VmS2K2m+S2
En bioquímica, esta velocidad de reacción se generaliza a
dPdt=VmSnKnm+Sn
conocida como la ecuación de Hill, y variandon se utiliza para ajustar los datos experimentales.
En la Fig. 6.5, hemos trazado la velocidad de reaccióndP/dt versusS la obtenida de la ecuación de Hill conn=1 o 2. Al dibujar la figura, hemos tomado ambosVm eKm iguales a la unidad. Es evidente que conn el aumento de la velocidad de reacción se satura más rápidamente a su valor máximo.