2.3: Trading y valor posicional

Necesitará: Base Dos Modelos (Tarjeta de Material 3), Calculadora

Estarás explorando más sobre el valor posicional en este conjunto de ejercicios. Comenzaremos trabajando con los Modelos Base Dos en la Tarjeta de Material 3, que tiene un juego modelo de tazas (C), pintas (P), cuartos de galón (Q), medio galones (H), galones (G) y galones dobles (D). Cortarlos y utilizarlos para hacer ejercicios 1 - 4. Tenga en cuenta que usaremos triángulos para nuestros modelos excepto para un cuadrado grande que representará el doble galón. Al trabajar con estos modelos, debe quedar claro cuántas tazas hay en una pinta, cuántas pintas hay en un cuarto de galón, etc.

Ejercicio 1

Rellene los espacios en blanco con el número correcto.

1. Hay _____ tazas en una pinta.
2. Hay _____ pintas en un cuarto de galón.
3. Hay _____ cuartos en medio galón.
4. Hay _____ medio galón en un galón.
5. Hay _____ galones en un galón doble.

Ejercicio 2

Supongamos que estuviste enfermo nueve días y un amigo se acercaba tres veces al día, cada vez dejándote una taza de sopa. Supongamos que nunca comió nada de la sopa, sino que siguió poniendo cada taza en el refrigerador de su cochera. Después de esos nueve días, su refrigerador estaba abastecido con todas estas tazas individuales de sopa. Usted decide consolidarlos en el menor número de contenedores posible. Tienes cinco tipos diferentes de contenedores, los que contienen tazas, pintas, cuartos de galón, medio galón y galones. Rellene cada pieza en blanco con el número correcto.

1. Usando tus tazas modelo, reserva tres tazas al día durante nueve días en una pila. Hay _____ tazas en esta pila.
2. Comercia las tazas por tantas pintas como puedas. Ahora hay _____ pinta (s) y _____ taza (s) de sopa. Se trata de un total de _____ recipientes de sopa.
3. Comercia las pintas por tantos cuartos como puedas. Ahora hay _____ cuarto (s), _____ pinta (s) y _____ taza (s) de sopa. Se trata de un total de _____ recipientes de sopa.
4. Comercia los cuartos por tantos medios galones como puedas. Ahora hay _____ medio galón (s), _____ cuarto (s), _____ pinta (s) y _____ taza (s) de sopa. Se trata de un total de _____ recipientes de sopa.
5. Comercia los medios galones por tantos galones como puedas. Ahora hay _____ galón (s), _____ medio galón (s), _____ cuarto (s), _____ pinta (s) y _____ taza (s) de sopa. Esto es un total de _____ contenedores de sopa
6. Anote la información de la parte e de manera consolidada rellenando cada espacio del gráfico con el numeral correcto.

   G	H	Q	P	C

7. Originalmente, de la parte (a), había _____ tazas de sopa. Al consolidar (ver parte e y f), el número de contenedores se redujo a sólo _____ ¡recipientes de sopa!

Ejercicio 3

Repita el ejercicio 2, pero cambie las circunstancias para que el amigo solo traiga dos tazas de sopa al día durante nueve días.

a. usando sus tazas modelo, reserve dos tazas al día durante nueve días en una pila. Hay _____ tazas en esta pila

b. intercambiar las tazas por tantas pintas como puedas. Ahora hay _____ pinta (s) y _____ taza (s) de sopa. Esto es un total de _____ contenedores de sopa

c. Intercambien las pintas por tantos cuartos como puedas. Ahora hay _____ cuarto (s), _____ pinta (s) y _____ taza (s) de sopa. Se trata de un total de _____ recipientes de sopa.

d. Intercambien los cuartos por tantos medios galones como puedas. Ahora hay _____ medio galón (s), _____ cuarto (s), _____ pinta (s) y _____ taza (s) de sopa. Esto es un total de _____ contenedores de sopa

e. Intercambien los medios galones por tantos galones como puedas. Ahora hay _____ galón (s), _____ medio galón (s), _____ cuarto (s), _____ pinta (s) y _____ taza (s) de sopa. Esto es un total de _____ contenedores de sopa

f. Anote la información de la parte e rellenando cada espacio del gráfico con el número correcto G H Q P C

Ejercicio 4

Repita el ejercicio 2 una vez más, pero cambie las circunstancias para que el amigo traiga cinco tazas de sopa al día durante nueve días. Además, supongamos que también posee un contenedor de 2 galones, al que nos referiremos como un doble galón.

a. usando sus tazas modelo, reserve cinco tazas al día durante nueve días en una pila. Hay _____ tazas en esta pila

b. intercambiar las tazas por tantas pintas como puedas. Ahora hay _____ pinta (s) y _____ taza (s) de sopa. Esto es un total de _____ contenedores de sopa

c. Intercambien las pintas por tantos cuartos como puedas. Ahora hay _____ cuarto (s), _____ pinta (s) y _____ taza (s) de sopa. Esto es un total de _____ contenedores de sopa

d. Intercambien los cuartos por tantos medios galones como puedas. Ahora hay _____ medio galón (s), _____ cuarto (s), _____ pinta (s) y _____ taza (s) de sopa. Esto es un total de _____ contenedores de sopa

e. Intercambien los medios galones por tantos galones como puedas. Ahora hay _____ galón (s), _____ medio galón (s), _____ cuarto (s), _____ pinta (s) y _____ taza (s) de sopa. Esto es un total de _____ contenedores de sopa

f. comercia los galones por tantos galones dobles como puedas. Ahora hay _____ doble galón (s), _____ galones, _____ medio galón (s), _____ cuarto (s), _____ pinta (s) y _____ taza (s) de sopa. Esto es un total de _____ contenedores de sopa

g. Anote la información de la parte f rellenando cada espacio del gráfico con el número correcto. G H Q P C

En los ejercicios anteriores, se hacían intercambios o oficios cada vez que tenías dos de un contenedor. Básicamente estabas empleando la técnica de agrupación que discutimos en el Conjunto de ejercicios 1 (mira hacia atrás en la parte inferior de la página 8 de ese conjunto de ejercicios). Al emplear la técnica de agrupación, estamos trabajando en una base particular, dependiendo de cuántas se necesita para formar un grupo. En los ejercicios que acabas de terminar, estabas trabajando en Base Dos. Las respuestas finales que obtuviste en los Ejercicios 2, 3 y 4 son la forma de expresar el número original de copas como un numeral Base Dos. En el ejercicio 4, cinco tazas de sopa por nueve días se traduce en 45 en nuestro sistema Base Diez (cuatro grupos de diez y cinco unidades). En Base Dos, la respuesta final de 1 galón doble, 0 galones, 1 medio galón, 1 cuarto de galón, 0 pintas y 1 taza está escrita como un numeral Base Dos como este:\(101101_{\text{two}}\). En otras palabras,\(27_{\text{ten}} = 11011_{\text{two}}\). En las páginas siguientes, voy a explicar en detalle qué significa este numeral y cómo funciona el sistema de valor posicional en diversas bases. Pero primero, hay algunos puntos importantes que debes saber sobre cómo escribir, leer y decir números en diferentes bases.

Para escribir un numeral en una base dada, observe que la base está escrita en palabras a la derecha y un poco por debajo del numeral, como en\(11011_{\text{two}}\). ¡La única vez que no tienes que escribir la base es cuando es un numeral Base Diez! Se supone que un número sin la base explícitamente escrita es un número Base Diez.

• En el ejercicio 3, la Base Diez numeral 18 (dos tazas por nueve días) se escribe como\(10010_{\text{two}}\).
• En el ejercicio 4, la Base Diez numeral 45 (cinco tazas por nueve días) se escribe como\(101101_{\text{two}}\).

Es imperativo que leas y digas estos números en diferentes bases correctamente. Es mucho más fácil cometer errores si dices mal el numeral y mucho más fácil evitar errores si dices el numeral correctamente. En el siguiente párrafo se explica la forma correcta de leer o decir los números.

En Base Diez, hemos abreviado formas de decir números en voz alta. Por ejemplo, “13" se lee “trece”. Pero, "\(13_{\text{five}}\)" se lee “Uno, tres, base cinco” y "\(246201_{\text{eight}}\)" se lee “dos, cuatro, seis, dos, cero, uno, base ocho”. Es sumamente importante que aprendas a leer y decir "\(13_{\text{five}}\)" como “uno, tres, base cinco” ¡Y NO COMO “trece, base cinco”! NO HAY TRECE EN BASE CINCO!!! Cuando dices trece, se refiere al numeral base diez que significa un grupo de diez y tres unos. Aunque todavía no he explicado a qué nos referimos cuando decimos y escribimos "\(13_{\text{five}}\)“, o “uno, tres, base cinco”, es importante que practiques decir estos números correctamente desde el principio. A pesar de que cuando lo leemos decimos la palabra “base”, no escribas la palabra “base”.

Los siguientes son incorrectos:\(^{13}5.......^{13}\text{Base } 5........^{13}\text{Base five}\)

Ejercicio 5

Escribe con palabras cómo decir cada uno de los siguientes números.

1. \(302_{\text{six}}\)_____
2. \(1011_{\text{two}}\)_____
3. \(435_{\text{seven}}\)_____

Ejercicio 6

Escribe los números dados

1. “Cinco, cero, uno, seis, base ocho” _____
2. “uno, cero, uno, cero, cero, uno, base dos” _____

Cuando veas un numeral Base Dos como\(11011_{\text{two}}\) del ejercicio 2, necesitas entender lo que representa cada valor posicional. En todas las bases, el valor posicional más a la derecha son las unidades o el lugar de 1. A continuación, el nombre del número “dos” a la derecha del número te dice que este es un número Base Dos, lo que significa que cada valor posicional a medida que te mueves hacia la izquierda aumenta en un múltiplo de 2. A la derecha hay un gráfico que muestra los primeros ocho valores posicional en la Base Dos. Están escritos en Base Diez.

128

64

32

16

8

4

2

1

Para comprobar que el numeral Base Dos\(11011_{\text{two}}\) realmente lo es\(27_{\text{ten}}\), ponlo en un gráfico con solo cinco valores posicionales mostrando (ya que es un numeral de cinco dígitos) y verifica el valor total del numeral. Mira el número escrito a la derecha. El valor posicional de cada dígito se escribe debajo de cada dígito del número. El numeral está escrito en negrita para que no se confunda con los valores posicionados. Comprueba esto exactamente de la manera que lo hiciste para los números mayas:

\[\begin{align*} \text{(1 group of 16)} + \text{(1 group of 8)} + \text{(0 groups of 4)} + \text{(1 group of 2)} + \text{(1 group of 1)} &= (\mathbf{1} \times 16) + (\mathbf{1} \times 8) + (\mathbf{0} \times 4) + (\mathbf{1} \times 2) + (\mathbf{1} \times 1) \\[4pt] &= 16 + 8 + 2 + 1 \\[4pt] &= \mathbf{27}.\end{align*} \nonumber \]

¡Todo bien! ¡Realmente funciona! De hecho, es muy fácil verificar la aritmética para un numeral Base Dos porque para cada valor posicional que contiene un 1, ese valor posicional se agrega al total, mientras que aquellos valores posicionales que contienen un cero no se agregan al total. No hay multiplicación que tengas que hacer —puedes saltar directamente a la suma: 16 + 8 + 2 + 1 = 27.

\[\boxed{\frac{\mathbf{1}}{16} \frac{\mathbf{1}}{8} \frac{\mathbf{0}}{4} \frac{\mathbf{1}}{2} \frac{\mathbf{0}}{1} \ \mathbf{ two}}\nonumber \]

Convertiremos\(\mathbf{10 \ 011 \ 010}_{\mathbf{two}}\) a Base Diez. Nuevamente, lo escribiremos con los valores de posición que se muestran debajo de cada dígito y sumaremos los valores posicionados que contienen un 1. Este numeral se convierte en 128 + 16 + 8 + 2 = 154.

\[\boxed{\frac{\mathbf{1}}{128} \frac{\mathbf{0}}{64} \frac{\mathbf{0}}{32} \frac{\mathbf{1}}{16} \frac{\mathbf{1}}{8} \frac{\mathbf{0}}{4} \frac{\mathbf{1}}{2} \frac{\mathbf{0}}{1} \ \mathbf{ two}}\nonumber \]

Ejercicio 7

Rellene el gráfico para mostrar qué valores faltan en este gráfico de valor posicional Base Dos.

128

64

32

16

8

4

2

1

Ejercicio 8

Convierte cada número Base Dos a Base Diez.

a.\(10 \ 011_{\text{two}}\)

b.\(1 \ 000 \ 001_{\text{two}}\)

c.\(111 \ 111_{\text{two}}\)

Vamos a convertir algunos números en otras bases. Considere el numeral Base Cinco,\(24_{\text{five}}\). Primero, necesitamos establecer los valores posicional en la Base Cinco tal como hicimos para la Base Dos.

Ejercicio 9

Rellene el gráfico para mostrar qué valores faltan en este gráfico de valor posicional Base Cinco.

25

1

En Base Cinco,\(\mathbf{24}_{\mathbf{five}}\) es un número de dos dígitos. Tenga en cuenta que hay 2 grupos de 5 y 4 unidades o\(2 \times 5 + 4 \times 1 = 10 + 4\) = 14.

\[\boxed{\frac{\mathbf{2}}{5} \frac{\mathbf{4}}{1} \ \mathbf{ five}}\nonumber \]

Ejercicio 10

Convertir\(\mathbf{13}_{\mathbf{five}}\) a un numeral Base Diez. Recuerda no leer esto como “trece”!!!

Aquí te explicamos cómo convertir\(\mathbf{31204}_{\mathbf{five}}\) a Base Diez. Mira a continuación para entender este cálculo:

\[\begin{align*} \mathbf{3} \times 625 + \mathbf{1} \times 125 + \mathbf{2} \times 25 + \mathbf{0} \times 5 + \mathbf{4} \times 1 &= 1875 + 125 + 50 + 4 \\[4pt] &= \mathbf{2054}. \end{align*} \nonumber \]

\[\boxed{\frac{\mathbf{3}}{625} \frac{\mathbf{1}}{125} \frac{\mathbf{2}}{25} \frac{\mathbf{0}}{5} \frac{\mathbf{4}}{1} \ \mathbf{ five}} \nonumber \]

Tomemos los números Base Tres\(\mathbf{1 \ 002 \ 021}_{\mathbf{three}}\)\(\mathbf{22122}_{\mathbf{three}}\) y convertiremos a Base Diez. Primero, debemos hacer un gráfico de valor posicional para la Base Tres.

Ejercicio 11

Rellene los valores coloquiales que faltan para la Base Tres.

243

9

Para convertir\(\mathbf{1 \ 002 \ 021}_{\mathbf{three}}\), mira la tabla anterior para entender este cálculo:

\[\mathbf{1} \times 729 + \mathbf{2} \times 27 + \mathbf{2} \times 3 + \mathbf{1} = 729 + 54 + 6 + 1 = \mathbf{790}. \nonumber \]

Para convertir\(\mathbf{22122}_{\mathbf{three}}\), mira la tabla anterior para entender este cálculo:

\[\mathbf{2} \times 81 + \mathbf{2} \times 27 + \mathbf{1} \times 9 + \mathbf{2} \times 3 + \mathbf{2} = 162 + 54 + 9 + 6 + 2 = \mathbf{233}. \nonumber \]

Ejercicio 12

Convierta los siguientes números de Base Tres a Base Diez.

1. \(200 \ 112_{\text{three}}\)= ____
2. \(12 \ 002 \ 110_{\text{three}}\)= ____
3. \(1 \ 111 \ 111_{\text{three}}\)= ____

Ejercicio 13

Calcular la base en cada gráfico de valor posicional y rellenar los valores posicional que faltan para cada uno

a. Base ____ 36

b. Base ____ 7

c. Base ____ 81

d. Base ____ 64

e. Base ____ 64

f. Base ____ 10000

g. Base ____ 12

h. Base ____ 11

Otra forma de escribir los valores en un gráfico de valor posicional para una base dada es mediante el uso de exponentes. Cada valor posiciona es un poder de la base. Al escribirlo de esta manera, los valores reales de Base Diez no se escriben explícitamente. La siguiente es otra forma de escribir un gráfico de valor posicional para Base Siete:

\(7^{11}\)

\(7^{10}\)

\(7^{9}\)

\(7^{8}\)

\(7^{7}\)

\(7^{6}\)

\(7^{5}\)

\(7^{4}\)

\(7^{3}\)

\(7^{2}\)

\(7^{1}\)

\(7^{0}\)

¿Te acordaste de que 70 = 1? Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es igual a 1. Por ejemplo,\(3^{0} = 1, 15^{0} =1, 1^{0} = 1, 10^{0} = 1, 546^{0} = 1\) y así sucesivamente.

Ejercicio 14

No entre en pánico, pero es hora de generalizar solo un poco sobre el sistema de valor posicional para cualquier base dada. Considera Base n —sí, ¡es una variable igual que en álgebra! Mire la tabla de valor posicional a continuación y complete los valores posicional que faltan para Base n.

\(n^{11}\)

\(n^{7}\)

\(n^{3}\)

\(n^{0}\)

Si estás convirtiendo números muy grandes, podría ser útil escribir un gráfico de valor posicional usando la base escrita a un exponente dado para ahorrar tiempo y espacio.

Por ejemplo, digamos que se le pidió que convirtiera el numeral\(100 \ 200 \ 020 \ 000 \ 100_{\text{three}}\) a Base Diez. Esto representa un número muy grande. Pero hay muchos ceros para la mayoría de los valores posicional. De hecho, este número de quince dígitos sólo tiene cuatro dígitos distintos de cero. Entonces, ¿por qué molestarse en escribir un gráfico con todos esos valores posicional? En cambio, sabemos que cada valor posicional es una potencia de tres, ya que se trata de un numeral Base Tres. En Base Diez, este numeral es:

\[\begin{align*} 1 \times 3^{14} + 2 \times 3^{11} + 2 \times 3^{7} + 1 \times 3^{2} &= 1 \times 4782969 + 2 \times 177147 + 2 \times 2187 + 1 \times 9 \\[4pt] &= 4782969+ 354294 + 4374 + 9 \\[4pt] &= 5,141,646 \end{align*} \nonumber \]

Ejercicio 15

\(100 \ 200 \ 020 \ 000 \ 100_{\text{three}}\)se puede escribir como\(1 \times 3^{14} + 2 \times 3^{11} + 2 \times 3^{7} + 1 \times 3^{2}\). Esto se llama notación expandida. Preste mucha atención al hecho de que el 1 en el tercer lugar desde la derecha es 3 hasta el segundo (no el tercero) poder. Escriba los siguientes números en notación expandida:

1. \(3 \ 000 \ 600 \ 020 \ 000 \ 000_{\text{eight}}\)____
2. \(3 \ 000 \ 040 \ 020 \ 000 \ 000_{\text{five}}\)____
3. \(400 \ 030 \ 000 \ 000 \ 002_{\text{eleven}}\)____
4. \(100 \ 100 \ 000 \ 010 \ 000_{\text{two}}\)____

Ejercicio 16

Consulte el numeral,\(3 \ 040 \ 001 \ 000 \ 002_{\text{nine}}\). Por cada dígito distinto de cero en el número, escriba el valor posicional de ese dígito como una potencia de nueve. No escriba el número Base Diez real.

1. 1 ____
2. 2 ____
3. 3 ____
4. 4 ____

Si un número está escrito en notación expandida, puede revertir el proceso y escribirlo como un número en la base utilizada. Por ejemplo, se\(4 \times 7^{13} + 5 \times 7^{10} + 2 \times 7^{8} + 3 \times 7^{3} + 6 \times 7^{0}\) puede escribir como el numeral Base Siete\(40 \ 050 \ 200 \ 003 \ 006_{\text{seven}}\). NOTA: Un número en el noveno lugar desde la derecha es realmente el octavo poder de la base, como lo demuestra la colocación de 2 en el numeral\(40 \ 050 \ 200 \ 003 \ 006_{\text{seven}}\).

Ejercicio 17

Reescribe los siguientes números que están en notación expandida a un numeral en la base indicada:

1. \(2 \times 5^{9} + 4 \times 5^{8} + 1 \times 5^{6} + 3 \times 5^{2}\)en Base Cinco ____
2. \(3 \times 8^{10} + 4 \times 8^{7} + 1 \times 8^{3} + 6 \times 8^{2}\)en Base Ocho ____
3. \(7 \times 12^{9} + 8 \times 12^{5} + 4 \times 12^{3}\)en Base Doce ____
4. \(2 \times 3^{8} + 1 \times 3^{6} + 1 \times 3^{4} + 2 \times 3^{2}\)en Base Tres ____

Ejercicio 18

a. Si un número Base Seis tiene dieciocho dígitos, ¿cuál es el valor posicional del primer dígito (más a la izquierda) escrito como una potencia de seis? ____

b. Si un numeral Base Nueve tiene veinte dígitos, ¿cuál es el valor posicional del primer dígito (más a la izquierda) escrito como una potencia de nueve? ____

Eche otro vistazo a algunos números en algunas bases además de la Base Diez:

\(1 \ 100 \ 101_{\text{two}}\)

\(212 \ 201_{\text{three}}\)

\(42101_{\text{seven}}\)

\(80034_{\text{nine}}\)

¿Notaste que solo hay 0's y 1's en los números Base Dos? Eso es porque si hubiera un 2 o superior para uno de los marcadores de posición, podría negociarse por el siguiente valor posicional a la izquierda. Usando modelos físicos al inicio de este conjunto de ejercicios, se podrían cambiar dos tazas por una pinta, dos pintas podrían cambiarse por un cuarto de galón, etc. Aunque solo subimos al doble galón que contenía 32 tazas, realmente no hay límite en el número de valores posicionales que tiene un numeral en un sistema de valor posicional. Además, no es necesario que se le ocurra un nuevo nombre para cada valor posicional (como en “hueso del talón” o “scroll” en egipcio).

Piensa en cualquier número Base Diez. Hay diez dígitos (o símbolos) posibles para cada marcador de posición en los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. No hay un solo dígito separado para el número diez (10); está conformado por un 1 y 0, lo que significa ¡un grupo de diez y cero unidades! En la Base Dos, solo hay dos dígitos posibles para cada valor posicional en el numeral: 0 y 1. No hay necesidad ni uso para el símbolo (o dígito) “2" al escribir un numeral en la Base Dos.

Ejercicio 19

¿Cuántos dígitos posibles puede tener cada valor posicional en la Base Tres? _____ ¿Cuáles son esos posibles dígitos? ____

Ejercicio 20

¿Cuántos dígitos posibles puede tener cada valor posicional en Base Cuatro? _____ ¿Cuáles son esos posibles dígitos? ____

Ejercicio 21

¿Cuántos dígitos posibles puede tener cada valor posicional en Base Cinco? _____ ¿Cuáles son esos posibles dígitos? ____

Ejercicio 22

¿Cuántos dígitos posibles puede tener cada valor posicional en Base Seis? _____ ¿Cuáles son esos posibles dígitos? ____

Ejercicio 23

¿Cuántos dígitos posibles puede tener cada valor posicional en Base Ocho? _____ ¿Cuáles son esos posibles dígitos? ____

Ejercicio 24

¿Se puede usar el dígito (símbolo) “7" en un número Base Siete? _____ Explica tu respuesta.

Ejercicio 25

a. ¿Cuál es la base más baja en la que puede aparecer el dígito “6"? _____

b. ¿Cuál es la base más alta en la que puede aparecer el dígito “6"? _____

¿Ves un patrón desarrollándose? ¡Solo espera hasta que veas lo que pasa en la Base Once, Doce y Trece!

Ejercicio 26

¿Cuántos dígitos posibles para cada valor posicional necesitas para Base Eleven? _____

Ejercicio 27

¿Cuántos dígitos posibles para cada valor posicional necesitas para Base Doce? _____

Ejercicio 28

¿Cuántos dígitos posibles para cada valor posicional necesitas para Base Trece? _____

En Base Eleven, necesitas once símbolos (o dígitos) diferentes para posibles marcadores de posición. El problema que encontramos es que solo tenemos estos diez dígitos reconocibles —0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9. Recuerda que 10 se compone de dos dígitos separados, ¡no es un solo símbolo!! Entonces necesitamos introducir un nuevo símbolo para representar diez en Base Once y superior. La convención es usar la letra “T”. De igual manera, utilizamos la letra “E” para representar el número once en la Base Doce y superior y la letra “W” para representar el número doce en la Base Trece y superior. Dado que el segundo valor posicional de la derecha representa la base en la que estás trabajando, nunca necesitas un símbolo separado para representar el valor de la base ni ningún número superior a la base. Por eso solo hay 0's y 1's y no 2's en Base Dos y por qué solo hay 0's, 1's, 2's, 3's y 4's y no 5's en Base Cinco, etc.

Los siguientes problemas se trabajan exactamente igual que los que has hecho hasta ahora, salvo que las bases son superiores a diez. Deberá recordar los valores de los nuevos “dígitos” T, E y W al trabajar estos problemas.

144

12

1

Convertiremos el numeral\(TE5_{\text{twelve}}\) a Base Diez. Para recordar los valores posicionales, es posible que queramos dibujar un gráfico de valor posicional Base Doce para tres dígitos como se muestra a la derecha.

Entonces,\(TE5_{\text{twelve}} = 10 \times 144 + 11 \times 12 + 5 \times 1 = 1440 + 132 + 5 = \mathbf{1577}\).

Presta mucha atención a la diferencia entre\(2T9_{\text{eleven}}\) y\(2109_{\text{eleven}}\).

Para convertir\(2T9_{\text{eleven}}\) a Base Diez, primero considere la tabla de valor posicional Base Once que se muestra.

1331

121

11

1

\(2T9_{\text{eleven}} = 2 \times 121 + 10 \times 11 + 9 \times 1 = 242 + 110 + 9 = \underline{361}\).

Ahora, convertiremos\(2109_{\text{eleven}}\) a Base Diez. Mirando el gráfico de valor posicional Base Once,\(2109_{\text{eleven}}\) representa\(2 \times 1331 + 1 \times 121 + 0 11 + 9 \times 1 = 2662 + 121 + 0 + 9 = 2792\)

Si alguien le dijera a otra persona que convirtiera “dos, diez, nueve, base once” a diferencia de “dos, T, nueve, base once”, tal vez no quede claro a qué se refería. Una persona podría escribir\(2109_{\text{eleven}}\) (que se convertiría a 2792 en Base Diez, como se ilustra anteriormente) mientras que otra persona podría escribir\(2T9_{\text{eleven}}\) (lo que se convertiría a 361 en Base Diez, como se ilustra anteriormente). Es importante recordar usar la “T” para representar el número diez en Base Once y superior o podría escribirse como “10" que son dos valores posicionales separados. \(2T9_{\text{eleven}}\)es un número de tres dígitos y es claro que hay un diez en el valor posicional del dígito medio. Por otro lado,\(2109_{\text{eleven}}\) es un número de cuatro dígitos —que no es un diez en el medio— y representa un número completamente diferente al\(2T9_{\text{eleven}}\)!

Probemos con otro. Convertiremos\(TEW_{\text{thirteen}}\) a Base Diez. Primero, debemos rellenar un gráfico de valor posicional para Base Trece.

2197

169

13

1

Entonces,\(TEW_{\text{thirteen}} = 10 \times 169 + 11 \times 13 + 12 \times 1 = 1690 + 143 + 12 = \underline{1845}\)

Ejercicio 29

Convierte cada uno de los siguientes a un numeral Base Diez. Muestre su trabajo.

a.\(47E_{\text{twelve}}\) =	b.\(T74_{\text{eleven}}\) =	c.\(TTT_{\text{thirteen}}\) =
d.\(2034_{\text{twelve}}\) =	e.\(1025_{\text{eleven}}\) =	f.\(1028_{\text{thirteen}}\) =

Ejercicio 30

Convierte cada uno de los siguientes a un numeral Base Diez. Mostrar trabajo

a.\(110_{\text{two}}\) =	e.\(110_{\text{six}}\) =	i.\(110_{\text{eleven}}\) =
b.\(110_{\text{three}}\) =	f.\(110_{\text{seven}}\) =	j.\(110_{\text{twelve}}\) =
c.\(110_{\text{four}}\) =	g.\(110_{\text{eight}}\) =	k.\(110_{\text{thirteen}}\) =
d.\(110_{\text{five}}\) =	h.\(110_{\text{nine}}\) =	l.\(110_{\text{twenty}}\) =

Ejercicio 31

Sin hacer ningún cálculo, círculo qué numeral tiene el valor mayor. Explica tu razonamiento. Intenta ser matemáticamente claro en tu explicación. Observe que la secuencia de dígitos es la misma para cada número. Sólo la base es diferente.

[Pista: Tiene que ver con los valores posituales.]

\[13 \ 201 \ 154 \ 320 \ 050 \ 146_{\text{eight}} \ \mathbf{OR} \ 13 \ 201 \ 154 \ 320 \ 050 \ 146_{\text{eleven}} \nonumber \]

Ejercicio 32

Escribir\(4000T00000E000_{\text{twelve}}\) en notación expandida

Ejercicio 33

Escribir\(6 \times 13^{14} + 10 \times 13^{11} + 11 \times 13^{7} + 12 \times 13^{2}\) como un número base trece en forma estándar