1.11: Notación científica

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Poderes de Diez

La notación decimal se basa en potencias de\(10\):\(0.1\)\(0.01\) es\(\dfrac{1}{10^1}\)\(\dfrac{1}{10^2}\),\(0.001\) es\(\dfrac{1}{10^3}\), y así sucesivamente.

Representamos estas potencias con exponentes negativos:\(\dfrac{1}{10^1}=10^{-1}\)\(\dfrac{1}{10^2}=10^{-2}\),\(\dfrac{1}{10^3}=10^{-3}\),, etc.

Exponentes negativos:\(\dfrac{1}{10^n}=10^{-n}\)

Nota: Esto es cierto para cualquier base, no solo\(10\), sino que nos centraremos únicamente\(10\) en este curso.

Con nuestro sistema\(10\) de números base, cualquier poder de\(10\) puede escribirse como\(1\) en un determinado decimal.

\(10^{4}\)	\(10^{3}\)	\(10^{2}\)	\(10^{1}\)	\(10^{0}\)	\(10^{-1}\)	\(10^{-2}\)	\(10^{-3}\)	\(10^{-4}\)
\(10,000\)	\(1,000\)	\(100\)	\(10\)	\(1\)	\(0.1\)	\(0.01\)	\(0.001\)	\(0.0001\)

Si no has visto el video “Poderes de Diez” de 1977 en YouTube, tómate diez minutos ahora mismo y échale un vistazo. Tu mente nunca volverá a ser la misma.

Notación científica

Consideremos cómo podríamos reescribir algunos números diferentes usando estos poderes de\(10\).

Tomemos\(50,000\) como ejemplo. \(50,000\)es igual a\(5\times10,000\) o\(5\times10^4\). ^[1]

Mirando en la otra dirección, un decimal como\(0.0007\) es igual a\(7\times0.0001\) o\(7\times10^{-4}\).

La idea detrás de la notación científica es que podemos representar números muy grandes o muy pequeños en un formato más compacto: un número entre\(1\) y\(10\), multiplicado por una potencia de\(10\).

Un número se escribe en notación científica si está escrito en la forma\(a\times10^n\), donde\(n\) es un número entero y\(a\) es cualquier número real tal que\(1\leq{a}<10\).

Nota: Un entero es un número sin fracción o parte decimal:...\(-3\),,,\(-2\),\(-1\),\(0\),\(1\),\(2\),\(3\)...

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

1. La masa de la Tierra es de aproximadamente\(5,970,000,000,000,000,000,000,000\) kilogramos. La masa de Marte es de aproximadamente\(639,000,000,000,000,000,000,000\) kilogramos. ¿Se puede determinar qué masa es mayor?

Contestar

Claramente, es difícil hacer un seguimiento de todos esos ceros. Reescribamos esos enormes números usando notación científica.

La masa de la Tierra es mayor porque es un número\(25\) -dígito y la masa de Marte es un número\(24\) -dígito, pero podría tomar mucho trabajo contando los ceros para estar seguro.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

2. La masa de la Tierra es de aproximadamente\(5.97\times10^{24}\) kilogramos. La masa de Marte es de aproximadamente\(6.39\times10^{23}\) kilogramos. ¿Se puede determinar qué masa es mayor?

Contestar: La masa de la Tierra es aproximadamente diez veces mayor, porque el poder de\(10\) es\(1\) mayor que el de Marte.

Es mucho más fácil comparar los poderes de\(10\) y determinar que la masa de la Tierra es mayor porque tiene un mayor poder de\(10\). Usted puede estar familiarizado con el término orden de magnitud; esto simplemente se refiere a la diferencia en los poderes\(10\) de los dos números. La masa de la Tierra es un orden de magnitud mayor porque\(24\) es\(1\) más que\(23\).

También podemos aplicar notación científica a decimales pequeños.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

3. El radio de un átomo de hidrógeno es de aproximadamente\(0.000000000053\) metros. El radio de un átomo de cloro es de aproximadamente\(0.00000000018\) metros. ¿Se puede determinar qué radio es mayor?

Contestar: El radio de un átomo de cloro es mayor porque tiene\(9\) ceros antes de que comiencen los dígitos significativos, pero el radio de un átomo de hidrógeno tiene\(10\) ceros antes de que comiencen los dígitos significativos. Como antes, contar los ceros es un dolor en el cuello.

Nuevamente, hacer un seguimiento de todos esos ceros es una labor. Reescribamos esos números decimales usando notación científica.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

4. El radio de un átomo de hidrógeno es de aproximadamente\(5.3\times10^{-11}\) metros. El radio de un átomo de cloro es de aproximadamente\(1.8\times10^{-10}\) metros. ¿Se puede determinar qué radio es mayor?

Contestar: El átomo de cloro tiene un radio mayor debido a que su potencia de\(10\) es\(1\) mayor que la del átomo de hidrógeno. (Recuerde que\(-10\) es más grande que\(-11\) porque\(-10\) está más a la derecha en una recta numérica.)

El radio del átomo de cloro es mayor porque tiene una mayor potencia de\(10\); los dígitos\(1\) y\(8\) para el cloro comienzan en el décimo decimal, pero los dígitos\(5\) y\(3\) para el hidrógeno comienzan en el undécimo lugar decimal.

La notación científica es muy útil para números realmente grandes, como la masa de un planeta, o números realmente pequeños, como el radio de un átomo. Nos permite hacer cálculos o comparar números sin ir a los ojos cruzados contando todos esos ceros.

Ejercicios\(\PageIndex{5}\)

Escribe cada uno de los siguientes números en notación científica.

5. \(1,234\)

6. \(10,200,000\)

7. \(0.00087\)

8. \(0.0732\)

Convierte los siguientes números de notación científica a notación decimal estándar.

9. \(3.5\times10^4\)

10. \(9.012\times10^7\)

11. \(8.25\times10^{-3}\)

12. \(1.4\times10^{-5}\)

Contestar

5. \(1.234 \times 10^3\)

6. \(1.02 \times 10^7\)

7. \(8.7 \times 10^{-4}\)

8. \(7.32 \times 10^{-2}\)

9. \(35,000\)

10. \(90,120,000\)

11. \(0.00825\)

12. \(0.000014\)

Puede estar familiarizado con un atajo para multiplicar números con ceros al final; por ejemplo, para multiplicar\(300\times4,000\), podemos multiplicar los dígitos significativos\(3\times4=12\) y contar hasta el número total de ceros, que es cinco, y escribir cinco ceros en la parte posterior de la\(12\):\(1,200,000\). Este atajo se puede aplicar a números en notación científica.

Para multiplicar potencias de\(10\), sumar los exponentes:\(10^m\cdot10^n=10^{m+n}\)

Ejercicios\(\PageIndex{6}\)

Multiplique cada uno de los siguientes y escriba la respuesta en notación científica.

13. \((2\times10^3)(4\times10^4)\)

14. \((5\times10^4)(7\times10^8)\)

15. \((3\times10^{-2})(2\times10^{-3})\)

16. \((8\times10^{-5})(6\times10^9)\)

Contestar

13. \(8 \times 10^7\)

14. \(3.5 \times 10^{13}\)

15. \(6 \times 10^{-5}\)

16. \(4.8 \times 10^5\)

Cuando los números se desordenan, probablemente sea una buena idea usar una calculadora. Si está dividiendo números en notación científica con una calculadora, es posible que deba usar paréntesis cuidadosamente.

Ejercicios\(\PageIndex{7}\)

La masa de un protón es\(1.67\times10^{-27}\) kg. La masa de un electrón es\(9.11\times10^{-31}\) kg.

17. Divida estos números usando una calculadora para determinar aproximadamente cuántas veces mayor es la masa de un protón que la masa de un electrón.

18. ¿Cuál es la masa aproximada de un millón de protones? (Nota: un millón es\(10^6\).)

19. ¿Cuál es la masa aproximada de mil millones de protones? (Nota: mil millones es\(10^9\).)

Contestar

17. la masa del protón es aproximadamente\(1,830\) o\(1.83 \times 10^3\) veces mayor

18. \(1.67 \times 10^{-21}\)kg

19. \(1.67 \times 10^{-18}\)kg

Notación de ingeniería

Estrechamente relacionada con la notación científica está la notación de ingeniería, que utiliza sólo múltiplos de\(1,000\). Esta es la forma en que a menudo se reportan grandes números en las noticias; si aproximadamente la\(37,000\) gente vive en la ciudad de Oregón, decimos “treinta y siete mil” y podríamos verlo escrito como “37 mil”; sería inusual pensarlo como\(3.7\times10,000\) y reportar el número como “tres punto siete diez miles”.

Mil =\(10^3\), un millón =\(10^6\), mil millones =\(10^9\), un billón =\(10^{12}\), y así sucesivamente.

En la notación de ingeniería, el poder de\(10\) es siempre un múltiplo de\(3\), y la otra parte del número debe estar entre\(1\) y\(1,000\).

Un número se escribe en notación de ingeniería si está escrito en la forma\(a\times10^n\), donde\(n\) es un múltiplo de\(3\) y\(a\) es cualquier número real tal que\(1\leq{a}<1,000\).

Nota: Los prefijos para números grandes como kilo, mega, giga y tera son esencialmente notación de ingeniería, al igual que los prefijos para números pequeños como micro, nano y pico. Veremos estos en otro módulo.

Ejercicios\(\PageIndex{8}\)

Escribe cada número en notación de ingeniería, luego en notación científica.

20. La población de Estados Unidos es de alrededor\(330.2\) de millones de personas. ^[2]

21. La población mundial es de alrededor de\(7.68\) mil millones de personas. ^[3]

22. La deuda nacional de Estados Unidos ronda los\(26.6\) billones de dólares. ^[4]

Contestar

20. \(330.2 \times 10^6\);\(3.302 \times 10^8\)

21. \(7.68 \times 10^9\);\(7.68 \times 10^9\)\

22. (26.6\ times 10^ {12}\);\(2.66 \times 10^{13}\)

Por alguna razón, aunque generalmente tratamos de evitar usar el símbolo de multiplicación en forma de “x”, frecuentemente se usa con notación científica.
Estimación del 27 de agosto de 2020 a partir de [1]https://www.census.gov/popclock/
Estimación del 27 de agosto de 2020 a partir de [2]https://www.census.gov/popclock/
27 de agosto de 2020 datos de fiscaldata.treasury.gov/datasets/debt-to-the-penny/debt-to-the-penny