1.29: Probabilidad
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Probabilidad es la probabilidad de que ocurra algún evento. Si el suceso ocurre, lo llamamos un resultado favorable. El conjunto de todos los eventos posibles (o resultados) se llama el espacio de muestra del evento. Limitaremos nuestro enfoque a eventos independientes, que no se influencien entre sí. Por ejemplo, si rodamos un 5 en un dado, eso no afecta la probabilidad de rodar un 5 en el otro dado. (No vamos a estar estudiando eventos dependientes, que sí se influyen unos a otros).
Si estamos trabajando con algo simple como dados, cartas o volteretas de monedas donde conocemos todos los resultados posibles, podemos calcular la probabilidad teórica de que ocurra un evento. Para ello, dividimos el número de formas en que el evento puede ocurrir entre el número total de resultados posibles. Podemos optar por escribir la probabilidad como una fracción, un decimal o un porcentaje dependiendo de qué forma nos parezca más útil.
Probabilidad teórica de un evento:
\(P(\text{event})=\dfrac{\text{number of favorable outcomes}}{\text{total number of outcomes}}\)
Supongamos que se rodan dos dados de seis caras\(6\), numerados\(1\) a través, Hay\(6\cdot6=36\) posibles resultados en el espacio muestral. Si estamos jugando un juego donde tomamos la suma de los dados, los únicos resultados posibles son\(2\) a través\(12\). Sin embargo, como muestra la siguiente tabla, estos resultados no son todos igualmente probables. Por ejemplo, hay dos formas diferentes de rodar una\(3\), pero solo una forma de rodar una\(2\).
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) |
| 2 | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) |
| 3 | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) |
| 4 | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |
| 5 | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) | \(11\) |
| 6 | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) | \(11\) | \(12\) |
Se tiran dos dados de seis lados\(6\) numerados\(1\) a través. Encuentra la probabilidad de que ocurra cada evento.
1. La suma de los dados es\(7\).
2. La suma de los dados es\(11\).
3. La suma de los dados es\(7\) o\(11\).
4. La suma de los dados es mayor que\(1\).
5. La suma de los dados es\(13\).
- Responder
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1. \(\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)
2. \(\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}\)
3. \(\dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9}\)
4. \(\dfrac{36}{36}=1\)
5. \(\dfrac{0}{36}=0\)
Algunas cosas para notar...
Si un evento es imposible, su probabilidad es\(0\%\) o\(0\).
Si un evento es seguro que sucederá, su probabilidad es\(100\%\) o\(1\).
Si va a ser tedioso contar todos los resultados favorables, puede ser más fácil contar los desfavorables y restar del total.
Se tiran dos dados de seis lados\(6\) numerados\(1\) a través. Encuentra la probabilidad de que ocurra cada evento.
6. La suma de los dados es\(5\).
7. La suma de los dados no lo es\(5\).
8. La suma de los dados es mayor que\(9\).
9. La suma de los dados es\(9\) o menor.
- Responder
-
6. \(\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}\)
7. \(\dfrac{32}{36}=\dfrac{8}{9}\)
8. \(\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)
9. \(\dfrac{30}{36}=\dfrac{5}{6}\)
El conjunto de resultados en los que no ocurre un evento se denomina el complemento del evento. El evento “la suma no es 5” es el complemento de “la suma es 5”. Dos complementos completan el espacio muestral.
Si la probabilidad de que ocurra un evento es\(p\), la probabilidad del complemento es\(1-p\).
Un tazón de\(60\) Tootsie Rolls Fruit Chews contiene lo siguiente:\(15\) cereza,\(14\) limón,\(13\) lima,\(11\) naranja,\(7\) vainilla.
10. Si se selecciona al azar un Tootsie Roll del tazón, ¿cuál es la probabilidad de que sea cereza?
11. ¿Cuál es la probabilidad de que un Tootsie Roll seleccionado al azar sea limón o lima?
12. ¿Cuál es la probabilidad de que un Tootsie Roll seleccionado al azar no sea naranja o vainilla?
- Responder
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10. \(\dfrac{15}{60}=\dfrac{1}{4}\)
11. \(\dfrac{27}{60}=\dfrac{9}{20}\)
12. \(\dfrac{42}{60}=\dfrac{7}{10}\)
Aquí es donde tratamos de condensar los fundamentos de los cruces genéticos en un solo párrafo.
Cada padre le da un alelo a su hijo. El alelo para ojos marrones es B, y el alelo para ojos azules es b. Si dos padres tienen ambos genotipo Bb, la siguiente tabla (que los biólogos llaman cuadrado Punnett) muestra que hay cuatro resultados igual de probables: BB, Bb, Bb, bb. El alelo para ojos marrones, B, es dominante sobre el gen para ojos azules, b, lo que significa que si un niño tiene algún alelo B, tendrá ojos marrones. El único genotipo para el que el niño tendrá ojos azules es bb.
| B | b | |
| B | BB | B b |
| b | B b | bb |
Dos padres tienen los genotipos Bb y Bb. (B = marrón, b = azul)
13. ¿Cuál es la probabilidad de que su hijo tenga ojos azules?
14. ¿Cuál es la probabilidad de que su hijo tenga ojos marrones?
- Responder
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13. \(\dfrac{1}{4}=25\%\)
14. \(\dfrac{3}{4}=75\%\)
Ahora supongamos que uno de los progenitores tiene genotipo Bb pero el otro progenitor tiene genotipo bb. La plaza Punnett se verá así.
| B | b | |
| b | B b | bb |
| b | B b | bb |
Dos padres tienen los genotipos Bb y bb. (B = marrón, b = azul)
15. ¿Cuál es la probabilidad de que su hijo tenga ojos azules?
16. ¿Cuál es la probabilidad de que su hijo tenga ojos marrones?
- Responder
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15. \(\dfrac{2}{4}=50\%\)
16. \(\dfrac{2}{4}=50\%\)
Los métodos anteriores funcionan cuando conocemos el número total de resultados y podemos suponer que todos son igualmente probables. (Los dados no están cargados, por ejemplo.) No obstante, la vida suele ser más complicada que un juego de dados o un tazón de Tootsie Rolls. En muchas situaciones, tenemos que observar lo que ha sucedido en el pasado y usar esos datos para predecir lo que podría suceder en el futuro. Si alguien predice que un vuelo de Alaska Airlines tiene una\(95.5\%\) de llegar a tiempo, eso se basa, por supuesto, en la tasa de éxito pasada de Alaska. [1] Cuando calculamos la probabilidad de esta manera, por observación, la llamamos probabilidad empírica.
Probabilidad empírica de un evento:
\(P(\text{event})=\dfrac{\text{number of favorable observations}}{\text{total number of observations}}\)
Si bien la redacción puede parecer complicada, todavía estamos pensando en ello\(\dfrac{\text{part}}{\text{whole}}\).
Una fotocopiadora hace\(250\) copias, pero\(8\) de ellas son inaceptables porque tienen tóner manchado sobre ellas.
17. ¿Cuál es la probabilidad empírica de que una copia sea inaceptable?
18. ¿Cuál es la probabilidad empírica de que una copia sea aceptable?
19. De los siguientes\(1,000\) ejemplares, ¿cuántos debemos esperar que sean aceptables?
Un auditor examinó las declaraciones de\(200\) impuestos y encontró errores en\(44\) ellas.
20. ¿Qué porcentaje de las declaraciones de impuestos contenía errores?
21. ¿Cuántas de las próximas declaraciones de\(1,000\) impuestos debemos esperar que contengan errores?
22. ¿Cuál es la probabilidad de que una declaración de impuestos determinada, elegida al azar, contenga errores?
- Responder
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17. \(\dfrac{8}{250}=3.2\%\)
18. \(\dfrac{242}{250}=96.8\%\)
19. debemos esperar que las\(968\) copias sean aceptables
20. \(\dfrac{44}{200}=22\%\)
21. debemos esperar que las declaraciones de\(220\) impuestos tengan errores
22. \(22\%=0.22\)
Se mencionó anteriormente en este módulo que los eventos independientes no tienen influencia mutua. Algunos ejemplos:
- Lanzar dos dados son eventos independientes porque el resultado del primer dado no afecta la probabilidad de lo que sucederá con el segundo dado.
- Si volteamos una moneda diez veces, cada volteo es independiente del anterior porque la moneda no recuerda cómo aterrizó antes. La probabilidad de cabezas o colas permanece\(\dfrac{1}{2}\) por cada volteo.
- Sacar canicas de una bolsa son eventos independientes solo si volvemos a poner la primera canica en la bolsa antes de dibujar una segunda canica. Si dibujamos dos canicas a la vez, o dibujamos una segunda canica sin sustituir la primera canica, estos son eventos dependientes, que no estamos estudiando en este curso.
- Dibujar dos cartas de una baraja de\(52\) cartas son eventos independientes solo si volvemos a poner la primera carta en la baraja antes de sacar una segunda carta. Si robaremos una segunda carta sin sustituir a la primera, estos son eventos dependientes; las probabilidades cambian porque solo hay\(51\) cartas disponibles en el segundo sorteo.
Si dos eventos son independientes, entonces la probabilidad de que ambos eventos ocurran se puede encontrar multiplicando la probabilidad de que cada evento ocurra por separado.
Nota: Esto se puede extender a tres o más eventos. Simplemente multiplique todas las probabilidades juntas.
Un auditor examinó las declaraciones de\(200\) impuestos y encontró errores en\(44\) ellas.
23. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos siguientes declaraciones de impuestos contengan errores?
24. ¿Cuál es la probabilidad de que las siguientes tres declaraciones de impuestos contengan errores?
25. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente declaración de impuestos contenga errores pero la posterior no?
26. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente declaración de impuestos no contenga errores sino la posterior?
27. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las dos declaraciones siguientes contenga errores?
28. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las siguientes tres declaraciones de impuestos contenga errores?
29. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las siguientes tres declaraciones de impuestos contenga errores? (¡Este es complicado!)
- Responder
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23. \((0.22)^2\approx4.8\%\)
24. \((0.22)^3\approx1.1\%\)
25. \(0.22\cdot0.78\approx17.2\%\)
26. \(0.78\cdot0.22\approx17.2\%\)
27. \((0.78)^2\approx60.8\%\)
28. \((0.78)^3\approx47.5\%\)
29. \(1-(0.78)^3\approx52.5\%\)