4.1: Visualizar fracciones (Parte 1)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
- Comprender el significado de las fracciones
- Modele fracciones impropias y números mixtos
- Convertir entre fracciones impropias y números mixtos
- Modelar fracciones equivalentes
- Encuentra fracciones equivalentes
- Localizar fracciones y números mixtos en la recta numérica
- Ordenar fracciones y números mixtos
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Simplificar:5•2+1. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.1.8.
- Rellene el espacio en blanco con< o>:−2 __−5. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.1.2.
Comprender el significado de las fracciones
A Andy y Bobby les encanta la pizza. El lunes por la noche, comparten una pizza por igual. ¿Cuánto de la pizza obtiene cada uno? ¿Estás pensando que cada chico recibe la mitad de la pizza? Así es. Hay una pizza entera, dividida uniformemente en dos partes, por lo que cada niño obtiene una de las dos partes iguales. En matemáticas, escribimos12 para significar una de cada dos partes.
Figura4.1.1
El martes, Andy y Bobby comparten una pizza con sus padres, Fred y Christy, con cada persona recibiendo la misma cantidad de la pizza entera. ¿Cuánto de la pizza obtiene cada persona? Hay una pizza entera, dividida de manera uniforme en cuatro partes iguales. Cada persona tiene una de las cuatro partes iguales, así que cada una tiene14 de la pizza.
Figura4.1.2
El miércoles, la familia invita a algunos amigos a una cena de pizza. Hay un total de12 personas. Si comparten la pizza por igual, cada persona obtendría112 de la pizza.
Figura4.1.3
Se escribe una fracciónab, dondea yb son enteros yb≠0. En una fracción,a se llama numerador yb se llama denominador.
Una fracción es una forma de representar partes de un todo. El denominadorb representa el número de partes iguales en las que se ha dividido el conjunto, y el numeradora representa cuántas partes se incluyen. El denominador,b, no puede ser igual a cero porque la división por cero es indefinida.
En la Figura4.1.4, el círculo se ha dividido en tres partes de igual tamaño. Cada parte representa13 del círculo. Este tipo de modelo se llama círculo de fracción. Otras formas, como los rectángulos, también se pueden usar para modelar fracciones.
Figura4.1.4
¿Qué23 representa la fracción? La fracción23 significa dos de tres partes iguales.
Figura4.1.5
Nombra la fracción de la forma que se sombrea en cada una de las figuras.
Solución
Tenemos que hacer dos preguntas. Primero, ¿cuántas partes iguales hay? Este será el denominador. Segundo, de estas partes iguales, ¿cuántas están sombreadas? Este será el numerador.
¿Cuántas partes iguales hay? | Hay ocho partes iguales. |
¿Cuántos están sombreados? | Cinco partes están sombreadas. |
Cinco de cada ocho partes están sombreadas. Por lo tanto, la fracción del círculo que está sombreada es58.
¿Cuántas partes iguales hay? | Hay nueve partes iguales. |
¿Cuántos están sombreados? | Dos partes están sombreadas. |
Dos de nueve partes están sombreadas. Por lo tanto, la fracción del cuadrado que está sombreada es29.
Nombra la fracción de la forma que está sombreada en cada figura:
- Contestar a
-
38
- Respuesta b
-
49
Nombra la fracción de la forma que está sombreada en cada figura:
- Contestar a
-
35
- Respuesta b
-
34
Sombra34 del círculo.
Solución
El denominador es4, entonces dividimos el círculo en cuatro partes iguales (a). El numerador es3, así que sombreamos tres de las cuatro partes (b).
34del círculo está sombreado.
Sombra68 del círculo.
- Contestar
-
Sombra25 del rectángulo.
- Contestar
-
En Ejemplo4.1.1 y Ejemplo4.1.2, utilizamos círculos y rectángulos para modelar fracciones. Las fracciones también se pueden modelar como manipuladores llamados azulejos de fracción, como se muestra en la Figura4.1.6. Aquí, el conjunto se modela como un azulejo rectangular largo, indiviso. Debajo hay baldosas de igual longitud divididas en diferentes números de partes de igual tamaño.
Figura4.1.6
Utilizaremos fichas de fracciones para descubrir algunos datos básicos sobre las fracciones. Consulte la Figura4.1.6 para responder a las siguientes preguntas:
¿Cuántas12 baldosas se necesitan para hacer una baldosa entera? | Se necesitan dos mitades para hacer un todo, así que dos de cada dos es22 = 1. |
¿Cuántas13 baldosas se necesitan para hacer una baldosa entera? | Se necesitan tres tercios, por lo que tres de cada tres es33 = 1. |
¿Cuántas14 baldosas se necesitan para hacer una baldosa entera? | Se necesitan cuatro cuartas partes, así que cuatro de cada cuatro es44 = 1. |
¿Cuántas15 baldosas se necesitan para hacer una baldosa entera? | Se necesitan seis sextos, por lo que seis de seis es66 = 1. |
¿Y si el conjunto se dividiera en 24 partes iguales? (No hemos mostrado fichas de fracción para representar esto, pero trata de visualizarlo en tu mente). ¿Cuántas124 baldosas se necesitan para hacer una baldosa entera? | Se necesitan 24 veinticuartas partes, por lo que2424 = 1. |
Se necesitan24 veinticinco cuartas partes, entonces2424=1. Esto nos lleva a la Propiedad de Uno.
Cualquier número, excepto cero, dividido por sí mismo es uno.
aa=1(a≠0)
Usa círculos de fracción para hacer enteros usando las siguientes piezas:
- 4cuartas
- 5quintas
- 6sextos
Solución
Usa círculos de fracción para hacer enteros con las siguientes piezas:3 tercios.
- Contestar
-
Use círculos de fracción para hacer enteros con las siguientes piezas:8 octavos.
- Contestar
-
¿Y si tenemos más piezas de fracción de las que necesitamos para1 enteros? Veremos esto en el siguiente ejemplo.
Usa círculos de fracción para hacer enteros usando las siguientes piezas:
- 3mitades
- 8quintas
- 7tercios
Solución
- 3las mitades se hacen1 enteras con1 la mitad sobrante.
- 8quintos hacen1 enteros con3 quintos sobrantes.
- 7los tercios hacen2 enteros con el1 tercio sobrante.
Usa círculos de fracción para hacer enteros con las siguientes piezas:5 tercios.
- Contestar
-
Usa círculos de fracciones para hacer enteros con las siguientes piezas:5 mitades.
- Contestar
-
Modele fracciones impropias y números mixtos
En Ejemplo4.1.4b, tenías ocho quintas piezas iguales. Usaste cinco de ellos para hacer uno entero, y te sobraron tres quintas partes. Usemos notación de fracciones para mostrar lo que sucedió. Tenías ocho piezas, cada una de ellas una quinta parte15, así que en conjunto tenías ocho quintas partes, que podemos escribir como85. La fracción85 es un todo,1, más tres quintos,35, o135, que se lee como uno y tres quintos.
El número135 se llama un número mixto. Un número mixto consiste en un número entero y una fracción.
Un número mixto consiste en un número enteroa y una fracciónbc dondec≠0. Está escrito de la siguiente manera.
abcc≠0
Las fracciones como54,32,55, y73 se denominan fracciones impropias. En una fracción impropia, el numerador es mayor o igual que el denominador, por lo que su valor es mayor o igual a uno. Cuando una fracción tiene un numerador que es menor que el denominador, se llama fracción propia, y su valor es menor que uno. Fracciones como12,37, y1118 son fracciones propias.
La fracciónab es una fracción propia sia<b y una fracción impropia sia≥b.
Nombra la fracción impropia modelada. Después escribe la fracción impropia como un número mixto.
Solución
Cada círculo se divide en tres piezas, por lo que cada pieza es13 del círculo. Hay cuatro piezas sombreadas, por lo que hay cuatro tercios o43. La figura muestra que también tenemos un círculo entero y un tercio, que es113. Entonces,43=113.
Nombra la fracción impropia. Después escríbelo como un número mixto.
- Contestar
-
53=123
Nombra la fracción impropia. Después escríbelo como un número mixto.
- Contestar
-
138=158
Dibuja una figura para modelar118.
Solución
El denominador de la fracción impropia es8. Dibuja un círculo dividido en ocho piezas y sombrea todas ellas. Esto se encarga de ocho octavos, pero tenemos11 octavos. Debemos sombrear tres de las ocho partes de otro círculo.
Entonces,118=138.
Dibuja una figura para modelar76.
- Contestar
-
Dibuja una figura para modelar65.
- Contestar
-
Utilice un modelo para reescribir la fracción impropia116 como un número mixto.
Solución
Empezamos con11 sextos(116). Sabemos que seis sextos hacen uno entero.
66=1
Eso nos deja con cinco sextos más, que es56 (11 sextos menos 6 sextos son 5 sextos). Entonces,116=156.
Utilice un modelo para reescribir la fracción impropia como un número mixto:97.
- Contestar
-
127
Utilice un modelo para reescribir la fracción impropia como un número mixto:74.
- Contestar
-
134
Utilice un modelo para reescribir el número mixto145 como una fracción impropia.
Solución
El número mixto145 significa un todo más cuatro quintos. El denominador es5, así lo es el conjunto55. Juntos cinco quintos y cuatro quintos equivalen a nueve quintos. Entonces,145=95.
Utilice un modelo para reescribir el número mixto como una fracción impropia:138.
- Contestar
-
118
Utilice un modelo para reescribir el número mixto como una fracción impropia:156.
- Contestar
-
116
Convertir entre fracciones impropias y números mixtos
En Ejemplo4.1.7, convertimos la fracción impropia116 al número mixto156 usando círculos de fracción. Esto lo hicimos agrupando seis sextos para hacer un todo; luego miramos para ver cuántas de las11 piezas quedaban. Vimos que116 hizo un grupo completo de seis sextos más cinco sextos más, demostrando eso116=156.
La expresión de división116 (que también se puede escribir como6¯)11) nos dice encontrar cuántos grupos de6 hay en11. Para convertir una fracción impropia en un número mixto sin círculos de fracción, dividimos.
Convertir116 a un número mixto.
Solución
Divide el denominador en el numerador. | Recuerda116 significa 11 ÷ 6. |
Identificar el cociente, resto y divisor. | ![]() |
Escribe el número mixto comoquotientremainderdivisor. | 156 |
Entonces,116=156.
Convertir la fracción impropia en un número mixto:137.
- Contestar
-
167
Convertir la fracción impropia en un número mixto:149.
- Contestar
-
159
Paso 1. Divide el denominador en el numerador.
Paso 2. Identificar el cociente, el resto y el divisor.
Paso 3. Escribe el número mixto comoquotientremainderdivisor.
Convertir la fracción impropia338 a un número mixto.
Solución
Divide el denominador en el numerador. | Recuerda,338 significa8¯)33. |
Identificar el cociente, el resto y el divisor. | ![]() |
Escribe el número mixto comoquotientremainderdivisor. | 418 |
Entonces,338=418.
Convertir la fracción impropia en un número mixto:237.
- Contestar
-
327
Convertir la fracción impropia en un número mixto:4811.
- Contestar
-
4411
En Ejemplo4.1.8, cambiamos145 a una fracción impropia al ver primero que el conjunto es un conjunto de cinco quintos. Entonces tuvimos cinco quintas y cuatro quintas más.
55+45=95
¿De dónde salieron los nueve? Hay nueve quintos, un todo (cinco quintos) más cuatro quintos. Usemos esta idea para ver cómo convertir un número mixto en una fracción impropia.
Convertir el número mixto423 en una fracción impropia.
Multiplica el número entero por el denominador. | 423 |
El número entero es 4 y el denominador es 3. | ![]() |
Simplificar. | ![]() |
Agrega el numerador al producto. | |
El numerador del número mixto es 2. | ![]() |
Simplificar. | ![]() |
Escribe la suma final sobre el denominador original. | |
El denominador es 3. | 143 |
Convertir el número mixto en una fracción impropia:357.
- Contestar
-
267
Convertir el número mixto en una fracción impropia:278.
- Contestar
-
238
Paso 1. Multiplica el número entero por el denominador.
Paso 2. Agrega el numerador al producto que se encuentra en el Paso 1.
Paso 3. Escribe la suma final sobre el denominador original.
Convertir el número mixto1027 en una fracción impropia.
Multiplica el número entero por el denominador. | 1027 |
El número entero es 10 y el denominador es 7. | ![]() |
Simplificar. | ![]() |
Agrega el numerador al producto. | |
El numerador del número mixto es 2. | ![]() |
Simplificar. | ![]() |
Escribe la suma final sobre el denominador original. | |
El denominador es 7. | 727 |
Convertir el número mixto en una fracción impropia:4611.
- Contestar
-
5011
Convertir el número mixto en una fracción impropia:1113.
- Contestar
-
343