5.6: Decimales y Fracciones (Parte 2)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Encuentra la Circunferencia y el Área de Círculos
Las propiedades de los círculos han sido estudiadas desde hace más de 2 mil años. Todos los círculos tienen exactamente la misma forma, pero sus tamaños se ven afectados por la longitud del radio, un segmento de línea desde el centro hasta cualquier punto del círculo. Un segmento de línea que pasa por el centro de un círculo conectando dos puntos en el círculo se llama diámetro. El diámetro es el doble de largo que el radio. Ver Figura5.6.1.
El tamaño de un círculo se puede medir de dos maneras. La distancia alrededor de un círculo se llama su circunferencia.
Figura5.6.1
Arquímedes descubrió que para círculos de todos los tamaños diferentes, dividir la circunferencia por el diámetro siempre da el mismo número. El valor de este número es pi, simbolizado por letra griegaπ (pastel pronunciado). Sin embargo, el valor exacto deπ no se puede calcular ya que el decimal nunca termina ni se repite (aprenderemos más sobre números como este en Las propiedades de los números reales).
Si queremos la circunferencia exacta o área de un círculo, dejamos el símboloπ en la respuesta. Podemos obtener una respuesta aproximada sustituyendo 3.14 como valor deπ. Utilizamos el símbolo ≈ para mostrar que el resultado es aproximado, no exacto.
r es la longitud del radio.
d es la longitud del diámetro.
La circunferencia es de 2π r.C=2πr
El área esπ r 2. A=πr2
Dado que el diámetro es el doble del radio, otra forma de encontrar la circunferencia es usar la fórmula C =π d.
Supongamos que queremos encontrar el área exacta de un círculo de radio 10 pulgadas. Para calcular el área, evaluaríamos la fórmula para el área cuando r = 10 pulgadas y dejaríamos la respuesta en términos deπ.
A=πr2A=π(102)A=π⋅100
Escribimosπ después de los 100. Entonces el valor exacto del área es A = 100 pulgadasπ cuadradas. Para aproximar el área, sustituiríamosπ ≈ 3.14.
A=100π≈100⋅3.14≈314squareinches
Recuerde usar unidades cuadradas, como pulgadas cuadradas, cuando calcule el área.
Un círculo tiene un radio de 10 centímetros. Aproximar su (a) circunferencia y (b) área.
Solución
(a) Encuentra la circunferencia cuando r = 10.
Escribe la fórmula para la circunferencia. | C = 2π r |
Sustituto 3.14 paraπ y 10 para r. | C ≈ 2 (3.14) (10) |
Multiplicar. | C ≈ 62.8 centímetros |
(b) Encontrar el área cuando r = 10.
Escribe la fórmula para el área. | A =π r 2 |
Sustituto 3.14 paraπ y 10 para r. | A ≈ (3.14) (10) 2 |
Multiplicar. | A ≈ 314 centímetros cuadrados |
Un círculo tiene un radio de 50 pulgadas. Aproximar su (a) circunferencia y (b) área.
- Contestar a
-
314 in.
- Respuesta b
-
7850 sq. in.
Un círculo tiene un radio de 100 pies. Aproximar su (a) circunferencia y (b) área.
- Contestar a
-
628 pies
- Respuesta b
-
31,400 pies cuadrados
Un círculo tiene un radio de 42.5 centímetros. Aproximar su (a) circunferencia y (b) área.
Solución
(a) Encuentra la circunferencia cuando r = 42.5.
Escribe la fórmula para la circunferencia. | C = 2π r |
Sustituir 3.14 paraπ y 42.5 por r. | C ≈ 2 (3.14) (42.5) |
Multiplicar. | C ≈ 266.9 centímetros |
(b) Encontrar el área cuando r = 42.5.
Escribe la fórmula para el área. | A =π r 2 |
Sustituir 3.14 paraπ y 42.5 por r. | A ≈ (3.14) (42.5) 2 |
Multiplicar. | A ≈ 5671.625 centímetros cuadrados |
Un círculo tiene un radio de 51.8 centímetros. Aproximar su (a) circunferencia y (b) área.
- Contestar a
-
325.304 cm
- Respuesta b
-
8425.3736 cm cuadrados
Un círculo tiene un radio de 26.4 metros. Aproximar su (a) circunferencia y (b) área.
- Contestar a
-
165.792 m
- Respuesta b
-
2188.4544 Metros cuadrados
Aproximadoπ con una Fracción
Convierte la fracción227 a un decimal. Si usas tu calculadora, el número decimal llenará la pantalla y mostrará 3.14285714. Pero si redondeamos ese número a dos decimales, obtenemos 3.14, la aproximación decimal deπ. Cuando tenemos un círculo con radio dado como fracción, podemos sustituir227 a 3.14.π Y, dado que también227 es una aproximación de π, usaremos el símbolo ≈ para mostrar que tenemos un valor aproximado.
Un círculo tiene radio1415 metro. Aproximar su (a) circunferencia y (b) área.
Solución
(a) Encontrar la circunferencia cuando r =1415
Escribe la fórmula para la circunferencia. | C = 2π r |
Sustitutoπ y2271415 para r. | C aprox2 izquierda( dfrac227 derecha) izquierda( dfrac1415 derecha) |
Multiplicar. | C ≈8815 metros |
. (b) Encontrar el área cuando r =1415.
Escribe la fórmula para el área. | A =π r 2 |
Sustitutoπ y2271415 para r. | A aprox izquierda( dfrac227 derecha) izquierda( dfrac1415 derecha)2 |
Multiplicar. | A ≈ metros616225 cuadrados |
Un círculo tiene521 metros de radio. Aproximar su (a) circunferencia y (b) área.
- Contestar a
-
220147m
- Respuesta b
- 5503087metros cuadrados
Un círculo tiene1033 pulgadas de radio. Aproximar su (a) circunferencia y (b) área.
- Contestar a
-
4021en.
- Respuesta b
- 200693sq. in.
La práctica hace la perfección
Convertir fracciones a decimales
En los siguientes ejercicios, convierte cada fracción a un decimal.
- 25
- 45
- −38
- −58
- 1720
- 1320
- 114
- 174
- −31025
- −28425
- 59
- 29
- 1511
- 1811
- 15111
- 25111
En los siguientes ejercicios, simplificar la expresión.
- 12+ 6.5
- 14+ 10.75
- 2.4 +58
- 3.9 +920
- 9.73 +1720
- 6.29 +2140
Ordene Decimales y Fracciones
En los siguientes ejercicios, ordene cada par de números, utilizando < or >.
- 18___0.8
- 14___0.4
- 25___0.25
- 35___0.35
- 0.725___34
- 0.92___78
- 0.66___23
- 0.83___56
- −0.75___−45
- −0.44___−920
- −34___−0.925
- −23___−0.632
En los siguientes ejercicios, escribe cada conjunto de números en orden de menor a mayor.
- 35,916, 0.55
- 38,720, 0.36
- 0.702,1320,58
- 0.15,316,15
- −0.3,−13,−720
- −0.2,−320,−16
- −34,−79, −0.7
- −89,−45, −0.9
Simplificar las expresiones usando el orden de las operaciones
En los siguientes ejercicios, simplifique.
- 10 (25.1 − 43.8)
- 30 (18.1 − 32.5)
- 62 (9.75 − 4.99)
- 42 (8.45 − 5.97)
- 34(12.4 − 4.2)
- 45(8.6 + 3.9)
- 512(30.58 + 17.9)
- 916(21.96 − 9.8)
- 10 ÷ 0.1 + (1.8) 4 − (0.3) 2
- 5 ÷ 0.5 + (3.9) 6 − (0.7) 2
- (37.1 + 52.7) ÷ (12.5 ÷ 62.5)
- (11.4 + 16.2) ÷ (18 ÷ 60)
- (15)2+ (1.4) (6.5)
- (12)2+ (2.1) (8.3)
- −910⋅815+ 0.25
- −38⋅1415+ 0.72
Práctica Mixta
En los siguientes ejercicios, simplifique. Dar la respuesta como decimal.
- 314− 6.5
- 525− 8.75
- 10.86 ÷23
- 5.79 ÷34
- 78(103.48) +112 (361)
- 516(117.6) +213 (699)
- 3.6(98−2.72)
- 5.1(125−3.91)
Encuentra la Circunferencia y el Área de Círculos
En los siguientes ejercicios, aproximar la (a) circunferencia y (b) área de cada círculo. Si las mediciones se dan en fracciones, deje las respuestas en forma de fracción.
- radio = 5 in.
- radio = 20 pulg.
- radio = 9 ft.
- radio = 4 ft.
- radio = 46 cm
- radio = 38 cm
- radio = 18.6 m
- radio = 57.3 m
- radio =710 milla
- radio =711 milla
- radio =38 yarda
- radio =512 yarda
- diámetro =56 m
- diámetro =34 m
Matemáticas cotidianas
- Kelly quiere comprar un par de botas que están a la venta por23 del precio original. El precio original de las botas es de $84.99. ¿Cuál es el precio de venta de los zapatos?
- Un arquitecto planea poner un mosaico circular en la entrada de un nuevo edificio. El mosaico tendrá la forma de un círculo con un radio de 6 pies. ¿Cuántos pies cuadrados de azulejo se necesitarán para el mosaico? (Redondea tu respuesta hasta el siguiente número entero.)
Ejercicios de escritura
- ¿Te resulta más fácil convertir un decimal a una fracción o una fracción a un decimal? Explique.
- Describe una situación en tu vida en la que podrías necesitar encontrar el área o circunferencia de un círculo.
Autocomprobación
(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección
(b) ¿Qué te dice esta lista de verificación sobre tu dominio de esta sección? ¿Qué pasos tomarás para mejorar?