5.11: Ratios y Tasa (Parte 2)
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En el último ejemplo, calculamos que Bob conducía a un ritmo de\(\dfrac{175\; miles}{3\; hours}\). Esto nos dice que cada tres horas, Bob recorrerá 175 millas. Esto es correcto, pero no muy útil. Por lo general, queremos que la tarifa refleje el número de millas en una hora. Una tasa que tiene un denominador de 1 unidad se denomina tasa unitaria.
Una tasa unitaria es una tasa con denominador de 1 unidad.
Las tarifas unitarias son muy comunes en nuestras vidas. Por ejemplo, cuando decimos que estamos manejando a una velocidad de 68 millas por hora nos referimos a que viajamos 68 millas en 1 hora. Escribiríamos esta tarifa como 68 millas/hora (leer 68 millas por hora). La abreviatura común para esto es 68 mph. Tenga en cuenta que cuando no se escribe ningún número antes de una unidad, se supone que es 1. Entonces 68 millas/hora realmente significa 68 millas/1 hora.
Dos tarifas que usamos a menudo al conducir se pueden escribir de diferentes formas, como se muestra:
| Ejemplo | Tarifa | Escribir | Abreviar | Leer |
|---|---|---|---|---|
| 68 millas en 1 hora | $$\ dfrac {68\; millas} {1\; hora} $$ | 68 millas/hora | 68 mph | 68 millas por hora |
| 36 millas a 1 galón | $$\ dfrac {36\; millas} {1\; galón} $$ | 36 millas/galón | 36 mpg | 36 millas por galón |
Otro ejemplo de tarifa unitaria que quizás ya conozcas es la tarifa de pago por hora. Por lo general, se expresa como la cantidad de dinero ganado por una hora de trabajo. Por ejemplo, si te pagan $12.50 por cada hora que trabajes, podrías escribir que tu tarifa de pago por hora (unidad) es de $12.50 por hora (lee $12.50 por hora).
Para convertir una tasa a una tasa unitaria, dividimos el numerador por el denominador. Esto nos da un denominador de 1.
A Anita le pagaron 384 dólares la semana pasada por trabajar 32 horas. ¿Cuál es la tarifa de pago por hora de Anita?
Solución
| Empezar con una tasa de dólares a horas. Entonces divide. | $384 la semana pasada por 32 horas |
| Escribir como tarifa. | $$\ dfrac {$384} {32\; horas} $$ |
| Divide el numerador por el denominador. | $$\ dfrac {$12} {1\; hora} $$ |
| Reescribir como una tasa. | $12/hora |
La tarifa de pago por hora de Anita es de 12 dólares por hora.
Encuentre la tarifa unitaria: $630 por 35 horas.
- Contestar
-
$18/hora
Encuentre la tarifa unitaria: $684 por 36 horas.
- Contestar
-
$19/hora
Sven conduce su auto 455 millas, usando 14 galones de gasolina. ¿Cuántas millas por galón obtiene su auto?
Solución
Comience con una tasa de millas a galones. Entonces divide.
| Escribir como tarifa. | $$\ dfrac {455\; millas} {14\; galones} $$ |
| Divide 455 por 14 para obtener la tarifa unitaria. | $$\ dfrac {32.5\; millas} {1\; galón} $$ |
El auto de Sven obtiene 32.5 millas/galón, o 32.5 mpg.
Encuentre la tarifa unitaria: 423 millas a 18 galones de gas.
- Contestar
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23.5 mpg
Encuentre la tarifa unitaria: 406 millas a 14.5 galones de gas.
- Contestar
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28 mpg
Encuentra Precio por Unidad
En ocasiones compramos artículos comunes para el hogar 'a granel', donde varios artículos se empaquetan juntos y se venden por un solo precio. Para comparar los precios de paquetes de diferentes tamaños, necesitamos encontrar el precio unitario. Para encontrar el precio unitario, divida el precio total por el número de artículos. Un precio unitario es una tarifa unitaria para un artículo.
Un precio unitario es una tarifa unitaria que da el precio de un artículo.
La tienda de abarrotes cobra $3.99 por una caja de 24 botellas de agua. ¿Cuál es el precio unitario?
Solución
¿Qué se nos pide encontrar? Se nos pide encontrar el precio unitario, que es el precio por botella.
| Escribir como tarifa. | $$\ dfrac {$3.99} {24\; botellas} $$ |
| Dividir para encontrar el precio unitario. | $$\ dfrac {$0.16625} {1\; botella} $$ |
| Redondear el resultado al centavo más cercano. | $$\ dfrac {$0.17} {1\; botella} $$ |
El precio unitario es de aproximadamente $0.17 por botella. Cada botella cuesta alrededor de $0.17.
Encuentra el precio unitario. Redondea tu respuesta al centavo más cercano si es necesario: 24-pack de cajas de jugo por $6.99
- Contestar
-
\(\dfrac{$0.29}{1\; box}\)
Encuentra el precio unitario. Redondea tu respuesta al centavo más cercano si es necesario: paquete de 24 botellas de té helado por $12.72
- Contestar
-
\(\dfrac{$0.53}{1\; bottle}\)
Los precios unitarios son muy útiles si comparas la tienda. La mejor compra es el artículo con el precio unitario más bajo. La mayoría de las tiendas de abarrotes indican el precio unitario de cada artículo en los estantes.
Paul está comprando detergente para la ropa. En la tienda de abarrotes, el detergente líquido tiene un precio de $14.99 por 64 cargas de ropa y la misma marca de detergente en polvo tiene un precio de $15.99 por 80 cargas. ¿Cuál es la mejor compra, el líquido o el detergente en polvo?
Solución
Para comparar los precios, primero encontramos el precio unitario para cada tipo de detergente.
| Líquido | Polvos | |
| Escribir como tarifa. | $$\ dfrac {$14.99} {64\; cargas} $$ | $$\ dfrac {$15.99} {80\; cargas} $$ |
| Encuentra el precio unitario. | $$\ dfrac {$0.234\ ldots} {1\; cargar} $$ | $$\ dfrac {$0.199\ ldots} {1\; cargar} $$ |
| Redondear al centavo más cercano. |
$0.23/carga (23 centavos por carga.) |
$0.20/carga (20 centavos por carga) |
Ahora comparamos los precios unitarios. El precio unitario del detergente líquido es de aproximadamente $0.23 por carga y el precio unitario del detergente en polvo es de aproximadamente $0.20 por carga. El polvo es la mejor compra.
Encuentra cada precio unitario y luego determina la mejor compra. Redondear al centavo más cercano si es necesario.
Bolsas de Almacenamiento Marca A, $4.59 por 40 unidades, o Bolsas de Almacenamiento Marca B, $3.99 por 30 unidades
- Contestar
-
La marca A cuesta $0.12 por bolsa. La marca B cuesta $0.13 por bolsa. Marca A es la mejor compra
Encuentra cada precio unitario y luego determina la mejor compra. Redondear al centavo más cercano si es necesario.
Sopa de pollo con fideos marca C, $1.89 por 26 onzas, o sopa de fideos de pollo marca D, $0.95 por 10.75 onzas
- Contestar
-
La marca C cuesta $0.07 por onza. La marca D cuesta $0.09 por onza. Marca C es la mejor compra
Observe en Ejemplo\(\PageIndex{10}\) que redondeamos el precio unitario al centavo más cercano. A veces es posible que necesitemos llevar la división a un lugar más para ver la diferencia entre los precios unitarios.
Traducir frases a expresiones con fracciones
¿Ha notado que en los ejemplos de esta sección se utilizó la relación de palabras de comparación de, a, per, in, for, on y from? Cuando traduzcas frases que incluyan estas palabras, debes pensar ya sea ratio o rate. Si las unidades miden la misma cantidad (duración, tiempo, etc.), tienes una relación. Si las unidades son diferentes, tienes una tarifa. En ambos casos, escribes una fracción.
Traducir la palabra frase en una expresión algebraica: (a) 427 millas por h horas (b) x alumnos a 3 profesores (c) y dólares por 18 horas
Solución
(a) 427 millas por h horas
| Escribir como tarifa. | $$\ dfrac {427\; millas} {h\; horas} $$ |
b) x alumnos a 3 profesores
| Escribir como tarifa. | $$\ dfrac {x\; estudiantes} {3\; profesores} $$ |
(c) y dólares por 18 horas
| Escribir como tarifa. | $$\ dfrac {$y} {18\; horas} $$ |
Traducir la palabra frase en una expresión algebraica. (a) 689 millas por h horas (b) y padres a 22 alumnos (c) d dólares por 9 minutos
- Contestar a
-
\(\dfrac{689\; mi}{h\; hours}\)
- Respuesta b
-
\(\dfrac{y\; parents}{22\; students}\)
- Respuesta c
-
\(\dfrac{$d}{9\; min}\)
Traducir la palabra frase en una expresión algebraica. (a) m millas por 9 horas (b) x estudiantes a 8 autobuses (c) y dólares por 40 horas
- Contestar a
-
\(\dfrac{m\; mi}{9\; h}\)
- Respuesta b
-
\(\dfrac{x\; students}{8\; buses}\)
- Respuesta c
-
\(\dfrac{$y}{40\; h}\)
La práctica hace la perfección
Escribir una Relación como Fracción
En los siguientes ejercicios, escribe cada ratio como una fracción.
- 20 a 36
- 20 a 32
- 42 a 48
- 45 a 54
- 49 a 21
- 56 a 16
- 84 a 36
- 6.4 a 0.8
- 0.56 a 2.8
- 1.26 a 4.2
- \(1 \dfrac{2}{3}\)a\(2 \dfrac{5}{6}\)
- \(1 \dfrac{3}{4}\)a\(2 \dfrac{5}{8}\)
- \(4 \dfrac{1}{6}\)a\(3 \dfrac{1}{3}\)
- \(5 \dfrac{3}{5}\)a\(3 \dfrac{3}{5}\)
- $18 a $63
- $16 a $72
- $1.21 a $0.44
- $1.38 a $0.69
- 28 onzas a 84 onzas
- 32 onzas a 128 onzas
- 12 pies a 46 pies
- 15 pies a 57 pies
- 246 miligramos a 45 miligramos
- 304 miligramos a 48 miligramos
- colesterol total de 175 a colesterol HDL de 45
- colesterol total de 215 a colesterol HDL de 55
- 27 pulgadas a 1 pie 430. 28 pulgadas a 1 pie
Escribe una Tasa como Fracción
En los siguientes ejercicios, escribe cada tasa como una fracción.
- 140 calorías por 12 onzas
- 180 calorías por 16 onzas
- 8.2 libras por 3 pulgadas cuadradas
- 9.5 libras por 4 pulgadas cuadradas
- 488 millas en 7 horas
- 527 millas en 9 horas
- $595 por 40 horas
- $798 por 40 horas
Encuentre tarifas unitarias
En los siguientes ejercicios, encuentra la tasa unitaria. Redondear a dos decimales, si es necesario.
- 140 calorías por 12 onzas
- 180 calorías por 16 onzas
- 8.2 libras por 3 pulgadas cuadradas
- 9.5 libras por 4 pulgadas cuadradas
- 488 millas en 7 horas
- 527 millas en 9 horas
- $595 por 40 horas
- $798 por 40 horas
- 576 millas en 18 galones de gas
- 435 millas en 15 galones de gas
- 43 libras en 16 semanas
- 57 libras en 24 semanas
- 46 latidos en 0.5 minutos
- 54 latidos en 0.5 minutos
- La encuadernación en una planta de impresión ensambla 96 mil revistas en 12 horas. ¿Cuántas revistas se ensamblan en una hora?
- La sala de prensa de una planta de impresión imprime 540,000 secciones en 12 horas. ¿Cuántas secciones se imprimen por hora?
Encuentra Precio por Unidad
En los siguientes ejercicios, encuentra el precio unitario. Redondear al centavo más cercano.
- Barras de jabón a 8 por $8.69
- Barras de jabón a 4 por $3.39
- Calcetines deportivos para mujer a 6 pares por $7.99
- Calcetines de vestir para hombre a 3 pares por $8.49
- Snack packs de galletas a las 12 por $5.79
- Barras de granola a 5 por $3.69
- Discos CD-RW a 25 por $14.99
- CDs a 50 por $4.49
- La tienda de abarrotes tiene un especial en macarrones y queso. El precio es de $3.87 por 3 cajas. ¿Cuánto cuesta cada caja?
- La tienda de mascotas tiene un especial en comida para gatos. El precio es de $4.32 por 12 latas. ¿Cuánto cuesta cada uno?
En los siguientes ejercicios, encuentra cada precio unitario y luego identifica la mejor compra. Redondear a tres decimales.
- Enjuague bucal, tamaño de 50.7 onzas por $6.99 o 33.8 onzas por $4.79
- Pasta de dientes, tamaño de 6 onzas por $3.19 o 7.8 onzas por $5.19
- Cereal de desayuno, 18 onzas por $3.99 o 14 onzas por $3.29
- Cereal de desayuno, 10.7 onzas por $2.69 o 14.8 onzas por $3.69
- Ketchup, botella regular de 40 onzas por $2.99 o botella exprimible de 64 onzas por $4.39
- Mayonesa, botella regular de 15 onzas por $3.49 o botella exprimible de 22 onzas por $4.99
- Queso, $6.49 por bloque de 1 lb o $3.39 por bloque de\(\dfrac{1}{2}\) lb
- Caramelo, $10.99 por una bolsa de 1 lb o $2.89 por\(\dfrac{1}{4}\) lb de caramelo suelto
Traducir frases a expresiones con fracciones
En los siguientes ejercicios, traducir la frase en inglés a una expresión algebraica.
- 793 millas por p horas
- 78 pies por r segundos
- $3 por 0.5 lbs.
- j late en 0.5 minutos
- 105 calorías en x onzas
- 400 minutos por m dólares
- la relación de y y 5x
- la relación de 12x e y
Matemáticas cotidianas
- Una escuela primaria en Ohio tiene 684 alumnos y 45 profesores. Escribir la relación alumno/maestro como tasa unitaria.
- El estadounidense promedio produce alrededor de 1,600 libras de basura de papel al año (365 días). ¿Cuántas libras de basura de papel produce cada día el estadounidense promedio? (Redondear a la décima de libra más cercana.)
- Una popular hamburguesa de comida rápida pesa 7.5 onzas y contiene 540 calorías, 29 gramos de grasa, 43 gramos de carbohidratos y 25 gramos de proteína. Encuentre la tasa unitaria de (a) calorías por onza (b) gramos de grasa por onza (c) gramos de carbohidratos por onza (d) gramos de proteína por onza. Redondear a dos decimales.
- Un café moca chocolate de 16 onzas con crema batida contiene 470 calorías, 18 gramos de grasa, 63 gramos de carbohidratos y 15 gramos de proteína. Encuentre la tasa unitaria de (a) calorías por onza (b) gramos de grasa por onza (c) gramos de carbohidratos por onza (d) gramos de proteína por onza.
Ejercicios de escritura
- ¿Prefieres que la relación entre tus ingresos y los ingresos de tu amigo sea 3/1 o 1/3? Explica tu razonamiento.
- El estacionamiento en el aeropuerto cobra $0.75 por cada 15 minutos. (a) ¿Cuánto cuesta estacionar por 1 hora? (b) Explique cómo obtuvo su respuesta a la parte (a). ¿Su razonamiento se basó en el costo unitario o utilizó otro método?
- Kathryn se comió una taza de yogurt congelado de 4 onzas y luego se fue a nadar. El yogurt congelado tenía 115 calorías. La natación quema 422 calorías por hora. ¿Durante cuántos minutos debe nadar Kathryn para quemar las calorías en el yogurt congelado? Explica tu razonamiento.
- Mollie tenía un capuchino de 16 onzas en la cafetería de su vecindario. El capuchino tenía 110 calorías. Si Mollie camina durante una hora, quema 246 calorías. ¿Por cuántos minutos debe caminar Mollie para quemar las calorías en el capuchino? Explica tu razonamiento.
Autocomprobación
(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.
(b) Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para tener confianza en todos los objetivos?