5.8: Promedios y Probabilidad (Parte 1)
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- Encuentra la mediana de un conjunto de números
- Encuentra el modo de un conjunto de números
- Aplicar la definición básica de probabilidad
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Simplificar:\(\dfrac{4 + 9 + 2}{3}\). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.6.12.
- Simplificar: 4 (8) + 6 (3). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.2.8.
- Convertir\(\dfrac{5}{2}\) a decimal. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.5.1.
Una aplicación de decimales que surge a menudo es encontrar el promedio de un conjunto de números. ¿Qué opinas cuando escuchas la palabra promedio? ¿Es tu promedio de calificaciones, el promedio de renta de un departamento en tu ciudad, el promedio de bateo de un jugador de tu equipo de béisbol favorito? El promedio es un valor típico en un conjunto de datos numéricos. Calcular un promedio a veces implica trabajar con números decimales. En esta sección, veremos tres formas diferentes de calcular un promedio.
Calcular la media de un conjunto de números
A la media se le suele llamar promedio aritmético. Se calcula dividiendo la suma de los valores por el número de valores. Los alumnos quieren conocer la media de sus puntuaciones en las pruebas. Los climatólogos reportan que la temperatura media ha cambiado, o no. Los urbanistas están interesados en el tamaño medio de los hogares.
Supongamos que los primeros tres puntajes de las pruebas de Ethan fueron 85, 88 y 94. Para encontrar la puntuación media, los sumaría y dividiría por 3.
\[\dfrac{85 + 88 + 94}{3}\]
\[\dfrac{267}{3}\]
\[89\]
Su puntaje medio en la prueba es de 89 puntos.
La media de un conjunto de n números es el promedio aritmético de los números.
\[mean = \dfrac{sum\; of\; values\; in\; data\; set}{n}\]
Paso 1. Escribe la fórmula para la media\[mean = \dfrac{sum\; of\; values\; in\; data\; set}{n}\]
Paso 2. Encuentra la suma de todos los valores del conjunto. Escribe la suma en el numerador.
Paso 3. Contar el número, n, de valores en el conjunto. Escribe este número en el denominador.
Paso 4. Simplifica la fracción.
Paso 5. Verifica para ver que la media es razonable. Debe ser mayor que el menor número y menor que el mayor número del conjunto.
Encuentra la media de los números 8, 12, 15, 9 y 6.
Solución
| Escribe la fórmula para la media. | $$media =\ dfrac {suma\; de\; valores\; en\; datos\; conjunto} {n} $$ |
| Escribe la suma de los números en el numerador. | $$media =\ dfrac {8 + 12 + 15 + 9 + 6} {n} $$ |
| Cuente cuántos números hay en el conjunto. Hay 5 números en el conjunto, por lo que n = 5. | $$media =\ dfrac {8 + 12 + 15 + 9 + 6} {5} $$ |
| Agrega los números en el numerador. | $$media =\ dfrac {50} {5} $$ |
| Entonces divide. | media = 10 |
| Verifique para ver que la media es 'típica': 10 no es ni menor que 6 ni mayor que 15. | La media es 10. |
Encuentra la media de los números: 8, 9, 7, 12, 10, 5.
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\(8.5\)
Encuentra la media de los números: 9, 13, 11, 7, 5.
- Contestar
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\(9\)
Las edades de los miembros de una familia que se reunieron para una celebración de cumpleaños fueron de 16, 26, 53, 56, 65, 70, 93 y 97 años. Encuentra la edad media.
Solución
| Escribe la fórmula para la media. | $$media =\ dfrac {suma\; de\; valores\; en\; datos\; conjunto} {n} $$ |
| Escribe la suma de los números en el numerador. | $$media =\ dfrac {16 + 26 + 53 + 56 + 65 + 70 + 93 + 97} {n} $$ |
| Cuente cuántos números hay en el conjunto. Llama a esto n y escríbalo en el denominador. | $$media =\ dfrac {16 + 26 + 53 + 56 + 65 + 70 + 93 + 97} {8} $$ |
| Simplifica la fracción. | $$media =\ dfrac {476} {5} $$ |
| media = 59.5 |
¿El 59.5 es 'típico'? Y es, no es ni menor que 16 ni mayor que 97. La edad media es de 59.5 años.
Las edades de los cuatro estudiantes en el viaje compartido de Ben son de 25, 18, 21 y 22 años. Encuentra la edad media de los alumnos.
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21.5 años
Yen contó la cantidad de correos electrónicos que recibió la semana pasada. Los números fueron 4, 9, 15, 12, 10, 12 y 8. Encontrar el número medio de correos electrónicos
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10
¿Notó que en el último ejemplo, si bien todos los números eran números enteros, la media era de 59.5, un número con un decimal? Se acostumbra reportar la media a un decimal más que los números originales. En el siguiente ejemplo, todos los números representan dinero, y tendrá sentido reportar la media en dólares y centavos.
Durante los últimos cuatro meses, las facturas del celular de Daisy fueron de 42.75 dólares, 50.12 dólares, 41.54 dólares, 48.15 dólares. Encuentra el costo medio de las facturas de celulares de Daisy.
Solución
| Escribe la fórmula para la media. | $$media =\ dfrac {suma\; de\; todos\; los\; números} {n} $$ |
| Escribe la suma de los números en el numerador. | $$media =\ dfrac {suma\; de\; todos\; los\; números} {4} $$ |
| Cuente cuántos números hay en el conjunto. Llama a esto n y escríbalo en el denominador. | $$media =\ dfrac {42.75 + 50.12 + 41.54 + 48.15} {4} $$ |
| Simplifica la fracción. | $$media =\ dfrac {182.56} {4} $$ |
| media = 45.64 |
¿Los 45.64 dólares parecen 'típicos' de este conjunto de números? Sí, no es ni menos de $41.54 ni superior a $50.12. El costo medio de su factura de celular fue de 45.64 dólares.
La semana pasada Ray registró cuánto gastaba en el almuerzo cada jornada laboral. Gastó $6.50, $7.25, $4.90, $5.30, y $12.00. Encuentra la media de cuánto gastaba cada día.
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$7.19
Lisa ha guardado los recibos de los últimos cuatro viajes a la gasolinera. Los recibos muestran los siguientes montos: $34.87, $42.31, $38.04 y $43.26. Encuentra la media.
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39,62$
Encuentra la mediana de un conjunto de números
Cuando Ann, Bianca, Dora, Eve y Francine cantan juntas en el escenario, se alinean en orden de sus alturas. Sus alturas, en pulgadas, se muestran en la Tabla 5.70.
Cuadro 5.70
| Ann | Bianca | Dora | Eve | Francine |
|---|---|---|---|---|
| 59 | 60 | 65 | 68 | 70 |
Dora está en el medio del grupo. Su estatura, 65″, es la mediana de las alturas de las chicas. La mitad de las alturas son menores o iguales a la altura de Dora, y la mitad son mayores o iguales. La mediana es el valor medio.
La mediana de un conjunto de valores de datos es el valor medio.
- La mitad de los valores de los datos son menores o iguales a la mediana.
- La mitad de los valores de los datos son mayores o iguales a la mediana.
¿Y si Carmen, la pianista, se une al grupo de canto en el escenario? Carmen mide 62 pulgadas de alto, por lo que encaja en el orden de altura entre Bianca y Dora. Ahora el conjunto de datos se ve así:
\[59, 60, 62, 65, 68, 70\]
No hay un solo valor medio. Las alturas de las seis chicas se pueden dividir en dos partes iguales.
\[\underbrace{59, 60, 62} \quad \underbrace{65, 68, 70}\]
Los estadísticos han coincidido en que en casos como este la mediana es la media de los dos valores más cercanos al medio. Entonces la mediana es la media de 62 y 65,\(\dfrac{62 + 65}{2}\). La mediana de la altura es de 63.5 pulgadas.
Observe que cuando el número de niñas era de 5, la mediana era la tercera estatura, pero cuando el número de niñas era de 6, la mediana fue la media de la tercera y cuarta altura. En general, cuando el número de valores es impar, la mediana será el valor uno en el medio, pero cuando el número es par, la mediana es la media de los dos valores medios.
Paso 1. Enumere los números de menor a mayor.
Paso 2. Cuente cuántos números hay en el conjunto. Llama a esto n.
Paso 3. ¿N es par o impar?
- Si n es un número impar, la mediana es el valor medio.
- Si n es un número par, la mediana es la media de los dos valores medios.
Encuentra la mediana de 12, 13, 19, 9, 11, 15 y 18.
Solución
| Enumere los números en orden de menor a mayor. | 9, 11, 12, 13, 15, 18, 19 |
| Cuente cuántos números hay en el conjunto. Llama a esto n. | n = 7 |
| ¿N es par o impar? | impar |
| La mediana es el valor medio. |  |
| El medio es el número en la 4ª posición. | Entonces la mediana de los datos es 13. |
Encuentra la mediana del conjunto de datos: 43, 38, 51, 40, 46.
- Contestar
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43
Encuentra la mediana del conjunto de datos: 15, 35, 20, 45, 50, 25, 30.
- Contestar
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30
Kristen recibió las siguientes puntuaciones en sus cuestionarios semanales de matemáticas: 83, 79, 85, 86, 92, 100, 76, 90, 88 y 64. Encuentra su puntaje medio.
Solución
| Enumere los números en orden de menor a mayor. | 64, 76, 79, 83, 85, 86, 88, 90, 92, 100 |
| Contar el número de valores de datos en el conjunto. Llama a esto n. | n = 10 |
| ¿N es par o impar? | incluso |
| La mediana es la media de los dos valores medios, los números 5 y 6. |  |
| Encuentra la media de 85 y 86. | media = 85.5 |
La mediana de la puntuación de Kristen es de 85.5.
Encuentra la mediana del conjunto de datos: 8, 7, 5, 10, 9, 12.
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8.5
Encuentra la mediana del conjunto de datos: 21, 25, 19, 17, 22, 18, 20, 24.
- Contestar
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20.5
Identificar el modo de un conjunto de números
El promedio es un número en un conjunto de números que de alguna manera es típico de todo el conjunto de números. La media y la mediana se denominan a menudo la media. Sí, puede resultar confuso cuando la palabra promedio se refiere a dos números diferentes, ¡la media y la mediana! De hecho, hay un tercer número que también es un promedio. Este promedio es el modo. El modo de un conjunto de números es el número que más ocurre. La frecuencia, es el número de veces que ocurre un número. Entonces el modo de un conjunto de números es el número con la frecuencia más alta.
El modo de un conjunto de números es el número con la frecuencia más alta.
Supongamos que Jolene hizo un seguimiento del número de millas que recorrió desde el inicio del mes, como se muestra en la Figura 5.7.
Figura 5.7
Si enumeramos los números en orden es más fácil identificar el que tiene la frecuencia más alta.
\[2, 3, 5, 8, 8, 8, 15\]
Jolene corrió 8 millas tres veces, y cada dos distancias se enumeran solo una vez. Entonces el modo de los datos es de 8 millas.
Paso 1. Enumere los valores de los datos en orden numérico.
Paso 2. Contar el número de veces que aparece cada valor.
Paso 3. El modo es el valor con la frecuencia más alta.
Las edades de los estudiantes en una clase universitaria de matemáticas se enumeran a continuación. Identificar el modo.
18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 24, 24, 25, 29, 30, 40, 44
Solución
Las edades ya están listadas en orden. Haremos una tabla de frecuencias para ayudar a identificar la edad con mayor frecuencia.
Ahora busca la frecuencia más alta. La frecuencia más alta es de 7, lo que corresponde a la edad de 20 años. Entonces el modo de las edades en esta clase es de 20 años.
El número de días enfermos que los empleados utilizaron el año pasado: 3, 6, 2, 3, 7, 5, 6, 2, 4, 2. Identificar el modo.
- Contestar
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2
El número de bolsos propiedad de mujeres en un club de lectura: 5, 6, 3, 1, 5, 8, 1, 5, 5, 8, 5. Identificar el modo.
- Contestar
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5
Los datos enumeran las alturas (en pulgadas) de los estudiantes en una clase de estadística. Identificar el modo.
| 56 | 61 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 67 |
| 60 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 70 |
| 60 | 63 | 63 | 64 | 66 | 66 | 67 | 74 |
| 61 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 67 |
Solución
Enumere cada número con su frecuencia.
Ahora busca la frecuencia más alta. La frecuencia más alta es de 6, que corresponde a la altura de 67 pulgadas. Por lo que el modo de este conjunto de alturas es de 67 pulgadas.
Aquí se enumeran las edades de los alumnos en una clase de estadística: 19, 20, 23, 23, 38, 21, 19, 21, 19, 21, 20, 43, 20, 23, 17, 21, 21, 20, 29, 18, 28. ¿Cuál es el modo?
- Contestar
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21
Los alumnos enumeraron el número de integrantes en su hogar de la siguiente manera: 6, 2, 5, 6, 3, 7, 5, 6, 5, 3, 4, 4, 5, 7, 6, 4, 5, 5, 2, 1, 5. ¿Cuál es el modo?
- Contestar
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5
Algunos conjuntos de datos no tienen modo porque ningún valor aparece más que cualquier otro. Y algunos conjuntos de datos tienen más de un modo. En un conjunto dado, si dos o más valores de datos tienen la misma frecuencia más alta, decimos que son todos modos.