10.5: Multiplicar polinomios (Parte 2)
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Recuerda que cuando multiplicas un binomio por un binomio obtienes cuatro términos. A veces puedes combinar términos similares para obtener un trinomio, pero a veces no hay términos similares para combinar. Veamos nuevamente el último ejemplo y prestemos especial atención a cómo obtuvimos los cuatro términos.
\[\begin{split} (x + 2)&(x - y) \\ x^{2} - xy &+ 2x - 2y \end{split}\]
¿De dónde vino el primer término, x 2,?
Es el producto de x y x, los primeros términos en (x + 2) y (x − y).
El siguiente término, −xy, es el producto de x y − y, los dos términos externos.
El tercer término, +2x, es el producto de 2 y x, los dos términos internos.
Y el último término, −2y, vino de multiplicar los dos últimos términos.
Abreviamos “Primero, Exterior, Interior, Último” como FOIL. Las letras significan 'Primero, Exterior, Interior, Último'. La palabra FOIL es fácil de recordar y asegura que encontremos los cuatro productos. Podríamos decir que usamos el método FOIL para multiplicar dos binomios.
Veamos de nuevo (x + 3) (x + 7). Ahora trabajaremos a través de un ejemplo donde usamos el patrón FOIL para multiplicar dos binomios.
Multiplica usando el método FOIL: (x + 6) (x + 9).
Solución
| Paso 1: Multiplicar los primeros términos. |  |
| Paso 2: Multiplicar los términos externos. |  |
| Paso 3: Multiplicar los términos internos. |  |
| Paso 4: Multiplicar los últimos términos. |  |
| Paso 5: Combina términos similares, cuando sea posible. | x 2 + 15x + 54 |
Multiplica usando el método FOIL: (x + 7) (x + 8).
- Contestar
-
\(x^2+15x+56 \)
Multiplica usando el método FOIL: (y + 14) (y + 2).
- Contestar
-
\(y^2+16y+28\)
A continuación resumimos los pasos del método FOIL. El método FOIL solo se aplica a multiplicar binomios, ¡no a otros polinomios!
Paso 1. Multiplicar los primeros términos.
Paso 2. Multiplicar los términos externos.
Paso 3. Multiplicar los términos internos.
Paso 4. Multiplicar los últimos términos.
Paso 5. Combina términos similares, cuando sea posible.
Multiplicar: (y − 8) (y + 6).
Solución
| Paso 1: Multiplicar los primeros términos. |  |
| Paso 2: Multiplicar los términos externos. |  |
| Paso 3: Multiplicar los términos internos. |  |
| Paso 4: Multiplicar los últimos términos. |  |
| Paso 5: Combina términos similares, cuando sea posible. | y 2 - 2 años - 48 |
Multiplicar: (y − 3) (y + 8).
- Contestar
-
\(y^2+5y-24 \)
Multiplicar: (q − 4) (q + 5).
- Contestar
-
\(q^2+q-20 \)
Multiplicar: (2a + 3) (3a − 1).
Solución
 |
|
| Multiplicar los primeros términos. |  |
| Multiplicar los términos externos. |  |
| Multiplicar los términos internos. |  |
| Multiplicar los últimos términos. |  |
| Combina términos similares. | 6a 2 + 7a - 3 |
Multiplicar: (4a + 9) (5a − 2).
- Contestar
-
\(20a^2+37a-18 \)
Multiplicar: (7x + 4) (7x − 8).
- Contestar
-
\( 49x^2-28x-32\)
Multiplicar: (5x − y) (2x − 7).
Solución
 |
|
| Multiplicar los primeros términos. |  |
| Multiplicar los términos externos. |  |
| Multiplicar los términos internos. |  |
| Multiplicar los últimos términos. |  |
| Combina términos similares. No hay ninguno. | 10x 2 - 35x - 2xy + 7y |
Multiplicar: (12x − y) (x − 5).
- Contestar
-
\(12 x^{2}-60 x-x y+5 y \)
Multiplicar: (6a − b) (2a − 9).
- Contestar
-
\(12 a^{2}-54 a-2 a b+9 b \)
Uso del método vertical
El método FOIL suele ser el método más rápido para multiplicar dos binomios, pero solo funciona para binomios. Puede utilizar la Propiedad Distributiva para encontrar el producto de cualquiera de dos polinomios. Otro método que funciona para todos los polinomios es el Método Vertical. Es muy parecido al método que usas para multiplicar números enteros. Observe con atención este ejemplo de multiplicar números de dos dígitos.
Empiezas multiplicando 23 por 6 para obtener 138. Después multiplicas 23 por 4, alineando el producto parcial en las columnas correctas. Por último, se agregan los productos parciales. Ahora aplicaremos este mismo método para multiplicar dos binomios.
Multiplica usando el método vertical: (5x − 1) (2x − 7).
Solución
No importa qué binomio vaya en la parte superior. Alinea las columnas cuando multiplicas como lo hicimos nosotros cuando multiplicamos 23 (46).
 |
|
| Multiplica 2x − 7 por −1. |  |
| Multiplica 2x − 7 por 5x. |  |
| Agregar términos similares. |  |
Observe que los productos parciales son los mismos que los términos en el método FOIL.
Multiplica usando el método vertical: (4m − 9) (3m − 7).
- Contestar
-
\( 12 m^{2}-55 m+63\)
Multiplica usando el método vertical: (6n − 5) (7n − 2).
- Contestar
-
\(42 n^{2}-47 n+10 \)
Ahora hemos utilizado tres métodos para multiplicar binomios. Asegúrate de practicar cada método, y trata de decidir cuál prefieres. Los tres métodos se enumeran aquí para ayudarte a recordarlos.
Para multiplicar binomios, utilice el:
- Propiedad distributiva
- Método FOIL
- Método Vertical
Recuerda, FOIL solo funciona al multiplicar dos binomios.
Multiplicar un Trinomio por un Binomio
Hemos multiplicado los monomios por monomios, los monomios por los polinomios y los binomios por los binomios. Ahora estamos listos para multiplicar un trinomio por un binomio. Recuerde, el método FOIL no funcionará en este caso, pero podemos usar ya sea la Propiedad Distributiva o el Método Vertical. Primero miramos un ejemplo usando la Propiedad Distributiva.
Multiplicar usando la Propiedad Distributiva: (x + 3) (2x 2 − 5x + 8).
Solución
 |
|
| Distribuir. |  |
| Multiplicar. | 2x 3 − 5x 2 + 8x + 6x 2 − 15x + 24 |
| Combina términos similares. | 2x 3 + x 2 − 7x + 24 |
Multiplicar usando la Propiedad Distributiva: (y − 1) (y 2 − 7y + 2).
- Contestar
-
\( y^{3}-8 y^{2}+9 y-2\)
Multiplicar usando la Propiedad Distributiva: (x + 2) (3x 2 − 4x + 5).
- Contestar
-
\( 3 x^{3}+2 x^{2}-3 x+10\)
Ahora hagamos esta misma multiplicación usando el Método Vertical.
Multiplica usando el Método Vertical: (x + 3) (2x 2 − 5x + 8).
Solución
Es más fácil poner el polinomio con menos términos en la parte inferior porque obtenemos menos productos parciales de esta manera.
 |
|
| Multiplica (2x 2 − 5x + 8) por 3. |  |
| Multiplica (2x 2 − 5x + 8) por x. |  |
| Agregar términos similares. |  |
Multiplicar usando el Método Vertical: (y − 1) (y 2 − 7y + 2).
- Contestar
-
\(y^{3}-8 y^{2}+9 y-2 \)
Multiplica usando el Método Vertical: (x + 2) (3x 2 − 4x + 5).
- Contestar
-
\( 3 x^{3}+2 x^{2}-3 x+10\)
La práctica hace la perfección
Multiplicar un polinomio por un monomio
En los siguientes ejercicios, multiplicar.
- 4 (x + 10)
- 6 (y + 8)
- 15 (r − 24)
- 12 (v − 30)
- −3 (m + 11)
- −4 (p + 15)
- −8 (z − 5)
- −3 (x − 9)
- u (u + 5)
- q (q + 7)
- n (n 2 − 3n)
- s (s 2 − 6s)
- 12x (x − 10)
- 9m (m − 11)
- −9a (3a + 5)
- −4p (2p + 7)
- 6x (4x + y)
- 5a (9a+b)
- 5p (11p − 5q)
- 12u (3u − 4v)
- 3 (v 2 + 10v + 25)
- 6 (x 2 + 8x + 16)
- 2n (4n 2 − 4n + 1)
- 3r (2r 2 − 6r + 2)
- −8y (y 2 + 2y − 15)
- −5m (m 2 + 3m − 18)
- 5q 3 (q 2 − 2q + 6)
- 9r 3 (r 2 − 3r + 5)
- −4z 2 (3z 2 + 12z − 1)
- −3x 2 (7x 2 + 10x − 1)
- (2y − 9) y
- (8b − 1) b
- (w − 6) • 8
- (k − 4) • 5
Multiplicar un Binomio por un Binomio
En los siguientes ejercicios, multiplique los siguientes binomios usando: (a) la Propiedad Distributiva (b) el método FOIL (c) el método Vertical
- (x + 4) (x + 6)
- (u + 8) (u + 2)
- (n + 12) (n − 3)
- (y + 3) (y − 9)
En los siguientes ejercicios, multiplique los siguientes binomios. Utilice cualquier método.
- (y + 8) (y + 3)
- (x + 5) (x + 9)
- (a + 6) (a + 16)
- (q + 8) (q + 12)
- (u − 5) (u − 9)
- (r − 6) (r − 2)
- (z − 10) (z − 22)
- (b − 5) (b − 24)
- (x − 4) (x + 7)
- (s − 3) (s + 8)
- (v + 12) (v − 5)
- (d + 15) (d − 4)
- (6n + 5) (n + 1)
- (7 años + 1) (y + 3)
- (2m − 9) (10m + 1)
- (5r − 4) (12r + 1)
- (4c − 1) (4c + 1)
- (8n − 1) (8n + 1)
- (3u − 8) (5u − 14)
- (2q − 5) (7q − 11)
- (a + b) (2a + 3b)
- (r + s) (3r + 2s)
- (5x − y) (x − 4)
- (4z − y) (z − 6)
Multiplicar un Trinomio por un Binomio
En los siguientes ejercicios, multiplique usando (a) la Propiedad Distributiva y (b) el Método Vertical.
- (u + 4) (u 2 + 3u + 2)
- (x + 5) (x 2 + 8x + 3)
- (a + 10) (3a 2 + a − 5)
- (n + 8) (4n 2 + n − 7)
En los siguientes ejercicios, multiplicar. Utilice cualquiera de los dos métodos.
- (y − 6) (y 2 − 10y + 9)
- (k − 3) (k 2 − 8k + 7)
- (2x + 1) (x 2 − 5x − 6)
- (5v + 1) (v 2 − 6v − 10)
Matemáticas cotidianas
- Matemáticas mentales Se puede utilizar la multiplicación binomial para multiplicar números sin una calculadora. Digamos que necesitas multiplicar 13 veces 15. Piense en 13 como 10 + 3 y 15 como 10 + 5.
- Multiplica (10 + 3) (10 + 5) por el método FOIL.
- Multiplica 13 • 15 sin usar una calculadora.
- ¿Cuál es la manera más fácil para ti? ¿Por qué?
- Matemáticas mentales Se puede utilizar la multiplicación binomial para multiplicar números sin una calculadora. Digamos que necesitas multiplicar 18 veces 17. Piense en 18 como 20 − 2 y 17 como 20 − 3.
- Multiplica (20 − 2) (20 − 3) por el método FOIL.
- Multiplica 18 • 17 sin usar una calculadora.
- ¿Cuál es la manera más fácil para ti? ¿Por qué?
Ejercicios de escritura
- ¿Qué método prefieres usar al multiplicar dos binomios: la Propiedad Distributiva, el método FOIL o el Método Vertical? ¿Por qué?
- ¿Qué método prefieres usar al multiplicar un trinomio por un binomio, la Propiedad Distributiva o el Método Vertical? ¿Por qué?
Autocomprobación
(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.
(b) ¿Qué te dice esta lista de verificación sobre tu dominio de esta sección? ¿Qué pasos tomarás para mejorar?