10.6: Dividir monomios (Parte 1)

Objetivos de aprendizaje

• Simplificar expresiones usando la propiedad de cociente de exponentes
• Simplifique las expresiones con cero exponentes
• Simplificar expresiones usando la propiedad Cocient to a Power
• Simplificar expresiones aplicando varias propiedades
• Dividir monomios

¡prepárate!

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Simplificar:$\dfrac{8}{24}$. Si te perdiste el problema, revisa el Ejemplo 4.3.1.
2. Simplificar: (2m ³) ⁵. Si te perdiste el problema, revisa el Ejemplo 10.3.13.
3. Simplificar:$\dfrac{12x}{12y}$. Si te perdiste el problema, revisa el Ejemplo 4.3.5.

Simplificar expresiones usando la propiedad de cociente de exponentes

Anteriormente en este capítulo, desarrollamos las propiedades de los exponentes para la multiplicación. Resumimos estas propiedades aquí.

Resumen de Exponent Properties for Multiplication

Si a, b son números reales y m, n son números enteros, entonces

Propiedad del producto	a ^m • a ^n = a ^m + n
Propiedad de energía	(a ^m) ^n = a ^m • n
Producto a una potencia	(ab) ^m = a ^m b ^m

Ahora veremos las propiedades exponentes para la división. Un rápido repaso de la memoria puede ayudar antes de comenzar. En Fracciones aprendiste que las fracciones pueden simplificarse dividiendo los factores comunes del numerador y denominador usando la Propiedad de Fracciones Equivalentes. Esta propiedad también nos ayudará a trabajar con fracciones algebraicas, que también son cocientes.

Definición: Propiedad de Fracciones Equivalentes

Si a, b, c son números enteros donde b ≠ 0, c ≠ 0, entonces

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c}\quad and\quad \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c} = \dfrac{a}{b}$$

Como antes, intentaremos descubrir una propiedad mirando algunos ejemplos.

Considerar	$$\ dfrac {x^ {5}} {x^ {2}}$$	y	$$\ dfrac {x^ {2}} {x^ {3}}$$
¿Qué quieren decir?	$$\ dfrac {x\ cdot x\ cdot x\ cdot x\ cdot x} {x\ cdot x}$$		$$\ dfrac {x\ cdot x} {x\ cdot x\ cdot x}$$
Usar la propiedad Fracciones Equivalentes	$$\ dfrac {\ cancel {x}\ cdot\ cancel {x}\ cdot x\ cdot x\ cdot x} {\ cancel {x}\ cdot\ cancel {x}\ cdot 1}$$		$$\ dfrac {\ cancel {x}\ cdot\ cancel {x}\ cdot 1} {\ cancel {x}\ cdot\ cancel {x}\ cdot x}$$
Simplificar.	$$x^ {3}$$		$$\ dfrac {1} {x}$$

Observe que en cada caso las bases eran las mismas y restamos los exponentes.

• Cuando el exponente mayor estaba en el numerador, nos quedamos con factores en el numerador y 1 en el denominador, lo que simplificamos.
• Cuando el exponente mayor estaba en el denominador, nos quedamos con factores en el denominador, y 1 en el numerador, lo que no pudo simplificarse.

Escribimos:

$$\begin{split} \dfrac{x^{5}}{x^{2}} \qquad &\quad \dfrac{x^{2}}{x^{3}} \\ x^{5-2} \qquad &\; \dfrac{1}{x^{3-2}} \\ x^{3} \qquad \quad &\quad \dfrac{1}{x} \end{split}$$

Definición: Propiedad del cociente de los exponentes

Si a es un número real, a ≠ 0, y m, n son números enteros, entonces

$$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}, \; m>n \quad and \quad \dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n-m}},\; n>m$$

Un par de ejemplos con números pueden ayudar a verificar esta propiedad.

$$\begin{split} \dfrac{3^{4}}{3^{2}} &\stackrel{?}{=} 3^{4-2} \qquad \; \dfrac{5^{2}}{5^{3}} \stackrel{?}{=} \dfrac{1}{5^{3-2}} \\ \dfrac{81}{9} &\stackrel{?}{=} 3^{2} \qquad \; \; \dfrac{25}{125} \stackrel{?}{=} \dfrac{1}{5^{1}} \\ 9 &= 9\; \checkmark \qquad \; \; \; \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{5}\; \checkmark \end{split}$$

Cuando trabajamos con números y el exponente es menor o igual a 3, aplicaremos el exponente. Cuando el exponente es mayor que 3, dejamos la respuesta en forma exponencial.

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

Simplificar: a$\dfrac{x^{10}}{x^{8}}$) b$\dfrac{2^{9}}{2^{2}}$

Solución

Para simplificar una expresión con un cociente, primero necesitamos comparar los exponentes en el numerador y denominador.

(a)

Desde 10 > 8, hay más factores de x en el numerador.	$$\ dfrac {x^ {10}} {x^ {8}}$$
Utilice la propiedad cociente con m > n,$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m − n}$.	$$x^ {\ textcolor {rojo} {10-8}}$$
Simplificar.	$$x^ {2}$$

b)

Desde 9 > 2, hay más factores de 2 en el numerador.	$$\ dfrac {2^ {9}} {2^ {2}}$$
Utilice la propiedad cociente con m > n,$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m − n}$.	$$2^ {\ textcolor {rojo} {9-2}}$$
Simplificar.	$$2^ {7}$$

Observe que cuando el exponente mayor está en el numerador, nos quedan factores en el numerador.

Ejercicio$\PageIndex{1}$:

Simplificar: a$\dfrac{x^{12}}{x^{9}}$) b$\dfrac{7^{14}}{7^{5}}$

Contestar a

$x^3$

Respuesta b

$7^9$

Ejercicio$\PageIndex{2}$:

Simplificar: a$\dfrac{y^{23}}{y^{17}}$) b$\dfrac{8^{15}}{8^{7}}$

Contestar a

$y^6$

Respuesta b

$8^8$

Ejemplo$\PageIndex{2}$:

Simplificar: a$\dfrac{b^{10}}{b^{15}}$) b$\dfrac{3^{3}}{3^{5}}$

Solución

Para simplificar una expresión con un cociente, primero necesitamos comparar los exponentes en el numerador y denominador.

(a)

Desde 15 > 10, hay más factores de b en el denominador.	$$\ dfrac {b^ {10}} {b^ {15}}$$
Utilice la propiedad cociente con n > m,$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n − m}}$.	$$\ dfrac {\ textcolor {rojo} {1}} {b^ {\ textcolor {rojo} {15-10}}}$$
Simplificar.	$$\ dfrac {1} {b^ {5}}$$

b)

Desde 5 > 3, hay más factores de 3 en el denominador.	$$\ dfrac {3^ {3}} {3^ {5}}$$
Utilice la propiedad cociente con n > m,$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n − m}}$.	$$\ dfrac {\ textcolor {rojo} {1}} {3^ {\ textcolor {rojo} {5-3}}}$$
Simplificar.	$$\ dfrac {1} {3^ {2}}$$
Aplicar el exponente.	$$\ dfrac {1} {9}$$

Observe que cuando el exponente mayor está en el denominador, nos quedan factores en el denominador y 1 en el numerador.

Ejercicio$\PageIndex{3}$:

Simplificar: a$\dfrac{x^{8}}{x^{15}}$) b$\dfrac{12^{11}}{12^{21}}$

Contestar a

$\frac{1}{x^7}$

Respuesta b

$\frac{1}{12^10}$

Ejercicio$\PageIndex{4}$:

Simplificar: a$\dfrac{m^{17}}{m^{26}}$) b$\dfrac{7^{8}}{7^{14}}$

Contestar a

$\frac{1}{m^9}$

Respuesta b

$\frac{1}{7^6}$

Ejemplo$\PageIndex{3}$:

Simplificar: a$\dfrac{a^{5}}{a^{9}}$) b$\dfrac{x^{11}}{x^{7}}$

Solución

(a)

Desde 9 > 5, hay más a's en el denominador y así terminaremos con factores en el denominador.	$$\ dfrac {a^ {5}} {a^ {9}}$$
Utilice la propiedad cociente con n > m,$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n − m}}$.	$$\ dfrac {\ textcolor {rojo} {1}} {a^ {\ textcolor {rojo} {9-5}}}$$
Simplificar.	$$\ dfrac {1} {a^ {4}}$$

b)

Observe que hay más factores de x en el numerador, ya que 11 > 7. Entonces terminaremos con factores en el numerador.	$$\ dfrac {x^ {11}} {x^ {97}}$$
Utilice la propiedad cociente con m > n,$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m − n}$.	$$a^ {\ textcolor {rojo} {11-7}}$$
Simplificar.	$$x^ {4}$$

Ejercicio$\PageIndex{5}$:

Simplificar: a$\dfrac{b^{19}}{b^{11}}$) b$\dfrac{z^{5}}{z^{11}}$

Contestar a

$b^8$

Respuesta b

$\frac{1}{z^6}$

Ejercicio$\PageIndex{6}$:

Simplificar: a$\dfrac{p^{9}}{p^{17}}$) b$\dfrac{w^{13}}{w^{9}}$

Contestar a

$\frac{1}{p^8}$

Respuesta b

$w^4$

Simplifique las expresiones con cero exponentes

Un caso especial de la Propiedad Cociente es cuando los exponentes del numerador y denominador son iguales, como una expresión como$\dfrac{a^{m}}{a^{m}}$. Del trabajo anterior con fracciones, sabemos que

$$\dfrac{2}{2} = 1 \qquad \dfrac{17}{17} = 1 \qquad \dfrac{-43}{-43} = 1$$

En palabras, un número dividido por sí mismo es 1. Así$\dfrac{x}{x}$ = 1, para cualquier x (x ≠ 0), ya que cualquier número dividido por sí mismo es 1.

La Propiedad Cociente de Exponentes nos muestra cómo simplificar$\dfrac{a^{m}}{a^{n}}$ cuando m > n y cuando n < m restando exponentes. ¿Y si m = n?

Ahora vamos a simplificar$\dfrac{a^{m}}{a^{m}}$ de dos maneras para llevarnos a la definición del exponente cero. Consideremos primero$\dfrac{8}{8}$, lo que sabemos es 1.

	$$\ dfrac {8} {8} = 1$$
Escribe 8 como 2 ^3.	$$\ dfrac {2^ {3}} {2^ {3}} = 1$$
Restar exponentes.	$$2^ {3-3} = 1$$
Simplificar.	$$2^ {0} = 1$$

Vemos$\dfrac{a^{m}}{a^{n}}$ simplifica a un ⁰ y a 1. Entonces un ⁰ = 1.

Definición: Zero Exponent

Si a es un número distinto de cero, entonces un ⁰ = 1. Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es 1.

En este texto, asumimos que cualquier variable que elevemos a la potencia cero no es cero.

Ejemplo$\PageIndex{4}$:

Simplificar: (a) 12 ⁰ (b) y ⁰

Solución

La definición dice que cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es 1.

(a) 12 ⁰

Usa la definición del exponente cero.

1

(b) y ⁰

Usa la definición del exponente cero.

1

Ejercicio$\PageIndex{7}$:

Simplificar: (a) 17 ⁰ (b) m ⁰

Contestar a

1

Respuesta b

1

Ejercicio$\PageIndex{8}$:

Simplificar: (a) k ⁰ (b) 29 ⁰

Contestar a

1

Respuesta b

1

Ahora que hemos definido el exponente cero, podemos expandir todas las Propiedades de los Exponentes para incluir exponentes de número entero.

¿Qué pasa con elevar una expresión a la potencia cero? Veamos (2x) ⁰. Podemos usar el producto a una regla de poder para reescribir esta expresión.

	(2x) ^0
Utilice el Producto a una Regla de Potencia.	2 ^0 x ^0
Utilice la propiedad Zero Exponent.	1 • 1
Simplificar.	1

Esto nos dice que cualquier expresión distinta de cero elevada a la potencia cero es una.

Ejemplo$\PageIndex{5}$:

Simplificar: (7z) ⁰.

Solución

Usa la definición del exponente cero.

1

Ejercicio$\PageIndex{9}$:

Simplificar: (−4y) ⁰.

Contestar

1

Ejercicio$\PageIndex{10}$:

Simplificar:$\left(\dfrac{2}{3} x\right)^{0}$.

Contestar

1

Ejemplo$\PageIndex{6}$:

Simplificar: (a) (−3x ² y) ⁰ (b) −3x ² y ⁰

Solución

(a) (−3x ² y) ⁰

El producto se eleva a la potencia cero.	(−3x ^2 y) ^0
Usa la definición del exponente cero.	1

(b) −3x ² y ⁰

Observe que solo la variable y se está elevando a la potencia cero.	−3x ^2 y ^0
Usa la definición del exponente cero.	−3x ^2 • 1
Simplificar.	−3x ^2

Ejercicio$\PageIndex{11}$:

Simplificar: (a) (7x ² y) ⁰ (b) 7x ² y ⁰

Contestar a

1

Respuesta b

$7x^2$

Ejercicio$\PageIndex{12}$:

Simplificar: (a) −23x ² y ⁰ (b) (−23x ² y) ⁰

Contestar a

$-23x^2$

Respuesta b

1

Simplificar expresiones usando el cociente a una propiedad de potencia

Ahora veremos un ejemplo que nos llevará al Cociente a una Propiedad de Poder.

	$$\ izquierda (\ dfrac {x} {y}\ derecha) ^ {3}$$
Esto significa	$$\ dfrac {x} {y}\ cdot\ dfrac {x} {y}\ cdot\ dfrac {x} {y}$$
Multiplicar las fracciones.	$$\ dfrac {x\ cdot x\ cdot x} {y\ cdot y\ cdot y}$$
Escribe con exponentes.	$$\ dfrac {x^ {3}} {y^ {3}}$$

Observe que el exponente aplica tanto al numerador como al denominador. Vemos que$\left(\dfrac{x}{y}\right)^{3}$ es$\dfrac{x^{3}}{y^{3}}$. Escribimos:

$$\left(\dfrac{x}{y}\right)^{3} = \dfrac{x^{3}}{y^{3}}$$

Esto lleva al Cociente a una Propiedad de Poder para los Exponentes.

Definición: Cociente a una propiedad de potencia de exponentes

Si a y b son números reales, b ≠ 0, y m es un número de conteo, entonces

$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}$$

Para elevar una fracción a una potencia, elevar el numerador y denominador a ese poder.

Un ejemplo con números puede ayudarle a entender esta propiedad:

$$\begin{split} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} &\stackrel{?}{=} \dfrac{2^{3}}{3^{3}} \\ \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} &\stackrel{?}{=} \dfrac{8}{27} \\ \dfrac{8}{27} &= \dfrac{8}{27}\; \checkmark \end{split}$$

Ejemplo$\PageIndex{7}$:

Simplificar: a$\left(\dfrac{5}{8}\right)^{2}$) b$\left(\dfrac{x}{3}\right)^{4}$) c)$\left(\dfrac{y}{m}\right)^{3}$

Solución

(a)$\left(\dfrac{5}{8}\right)^{2}$

Utilizar el Cociente a una Propiedad de Poder,$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}$.	$$\ dfrac {5^ {\ textcolor {rojo} {2}}} {8^ {\ textcolor {rojo} {2}}}$$
Simplificar.	$$\ dfrac {25} {64}$$

b)$\left(\dfrac{x}{3}\right)^{4}$

Utilizar el Cociente a una Propiedad de Poder,$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}$.	$$\ dfrac {x^ {\ textcolor {rojo} {4}}} {3^ {\ textcolor {rojo} {4}}}$$
Simplificar.	$$\ dfrac {x^ {4}} {81}$$

c)$\left(\dfrac{y}{m}\right)^{3}$

Elevar el numerador y el denominador a la tercera potencia.

$$\ dfrac {y^ {\ textcolor {rojo} {3}}} {m^ {\ textcolor {rojo} {3}}}$$

Ejercicio$\PageIndex{13}$:

Simplificar: a$\left(\dfrac{7}{9}\right)^{2}$) b$\left(\dfrac{y}{8}\right)^{3}$) c)$\left(\dfrac{p}{q}\right)^{6}$

Contestar a

$\dfrac{49}{81}$

Respuesta b

$\dfrac{y^3}{512}$

Respuesta c

$\dfrac{p^6}{q^6}$

Ejercicio$\PageIndex{14}$:

Simplificar: a$\left(\dfrac{1}{8}\right)^{2}$) b$\left(\dfrac{-5}{m}\right)^{3}$) c)$\left(\dfrac{r}{s}\right)^{4}$

Contestar a

$\dfrac{1}{64}$

Respuesta b

$-\dfrac{125}{m^3}$

Respuesta c

$\dfrac{r^4}{s^4}$

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