8.1: División larga

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 117729

Thomas Tradler and Holly Carley
CUNY New York City College of Technology via New York City College of Technology at CUNY Academic Works

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Ahora mostramos cómo dividir dos polinomios. El método es similar a la división larga de los números naturales. Nuestro primer ejemplo muestra el procedimiento con todo detalle.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Divida las siguientes fracciones por división larga:

$\dfrac{3571}{11}$
$\dfrac{x^3+5x^2+4x+2}{x+3}$

Solución

Recordemos el procedimiento para la división larga de números naturales:

$clipboard_eeb7697e1afc4c40945de83b978221c5a.png$

Los pasos anteriores se realizan de la siguiente manera. Primero, encontramos el múltiplo más grande de$11$ menos o igual a$35$. La respuesta$3$ se escribe como el primer dígito en la línea superior. Multiplicar$3$ tiempos$11$ y restar la respuesta$33$ de los dos primeros dígitos$35$ del dividendo. Los dígitos restantes$71$ se copian a continuación para dar$271$. Ahora repetimos el procedimiento, hasta llegar al resto$7$. En definitiva, lo que hemos demostrado es que:

\[3571=324\cdot 11 +7\quad\text{ or alternatively, }\quad \dfrac{3571}{11}=324+\dfrac{7}{11} \nonumber \]

Repetimos los pasos de la parte (a) de la siguiente manera. Primero, escribe el dividendo y divisor en el formato anterior:

A continuación, considere el plazo más alto$x^3$ del dividendo y el plazo más alto$x$ del divisor. Ya que$\dfrac{x^3}{x}=x^2$, comenzamos con el primer término$x^2$ del cociente:

Paso 1:

\ [\ begin {array} {r}
x^2\ qquad\ quad\ phantom {)}\\
x+3 {\ overline {\ smash {\ big)}\, x ^ {3} + 5 x ^ {2} + 4 x + 2\ phantom {)}}}\
\ fantasma {)}}
\ end {array}\ nonumber\]

Multiplique$x^2$ por el divisor$x+3$ y escríbelo por debajo del dividendo:

Paso 2:

\ [\ begin {array} {r}
x^2\ qquad\ quad\ phantom {)}\\
x+3 {\ overline {\ smash {\ big)}\, x ^ {3} + 5 x ^ {2} + 4 x + 2\ phantom {)}}}\\
{x^3+3x^2\ qquad\ qquad\;}\
\ phantom {)}
\ end {array}\ nonumber\]

Ya que necesitamos restar$x^3+3x^2$, así sumamos equivalentemente su negativo (no olvide distribuir el negativo):

Paso 3:

\ [\ begin {array} {r}
x^2\ qquad\ quad\ phantom {)}\\
x+3 {\ overline {\ smash {\ big)}\, x^3+ 5x^2+4x+2\ phantom {)}}}\\
{\ subrayado {- (x^3+3x^2)\ qquad\ qquad}\;}\\
2x^2\ qquad\ qquad\;\;\\
\ phantom {)}
\ end {array}\ nonumber\]

Ahora, lleve abajo los términos restantes del dividendo:

Paso 4:

\ [\ begin {array} {r}
x^2\ qquad\ quad\ phantom {)}\\
x+3 {\ overline {\ smash {\ big)}\, x^3+ 5x^2+4x+2\ phantom {)}}}\\
{\ subrayado {- (x^3+3x^2)\ qquad\ qquad}\;}\\
2x^2+4x+2\;\\
\ phantom {)}
\ end {array}\ nonumber\]

Ahora, repita los pasos 1-4 para el polinomio restante$2x^2+4x+2$. El resultado después de pasar por los pasos 1-4 es el siguiente:

$clipboard_e0b594a879f1330ce8a859f577355b8f8.png$

Ya que se$x$ puede dividir en$-2x$, podemos continuar con los pasos anteriores 1-4 una vez más. El resultado es el siguiente:

$clipboard_e8c07e409ef28fad6bd113a642c2b826b.png$

Tenga en cuenta que ahora$x$ no se puede dividir en$8$ así que nos detenemos aquí. El término final$8$ se llama el resto. Al término$x^2+2x-2$ se le llama cociente. En analogía con nuestro resultado en la parte (a), podemos escribir nuestra conclusión como:

\[x^3+5x^2+4x+2=(x^2+2x-2)\cdot (x+3)+8 \nonumber \]

Alternativamente, también podríamos dividir esto por$(x+3)$ y escribirlo como:

\[\dfrac{x^3+5x^2+4x+2}{x+3}=x^2+2x-2+\dfrac{8}{x+3} \nonumber \]

Nota

Al igual que con una operación de división que involucra números$\dfrac{f(x)}{g(x)}$, al dividir,$f(x)$ se llama dividendo y$g(x)$ se llama divisor. Como resultado de dividir$f(x)$ por$g(x)$ vía división larga con cociente$q(x)$ y resto$r(x)$, podemos escribir

\[\dfrac{f(x)}{g(x)} = q(x)+\dfrac{r(x)}{g(x)} \nonumber \]

Si multiplicamos esta ecuación por$g(x)$, obtenemos la siguiente versión alternativa:

\[f(x)=q(x)\cdot g(x)+r(x) \nonumber \]

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Divida las siguientes fracciones por división larga.

$\dfrac{x^2+4x+5}{x-4}$
$\dfrac{x^4+3x^3-5x+1}{x+1}$
$\dfrac{4x^3+2x^2+6x+18}{2x+3}$
$\dfrac{x^3+x^2+2x+1}{x^2+3x+1}$

Solución

Para la parte (a), calculamos:

$clipboard_e7d78d13200bacd77e535af21baff3bde.png$

Por lo tanto,$x^2+4x+5=(x+8)\cdot(x-4)+37$.

Ahora, para la parte b), no hay$x^2$ término en el dividendo. Esto se puede resolver sumando$+0\, x^2$ al dividendo:

$clipboard_e9c652f243e301e871d6e01cf0626df24.png$

Por lo tanto, mostramos:

\[\dfrac{x^4+3x^3-5x+1}{x+1}=x^3+2x^2-2x-3+\dfrac{4}{x+1} \nonumber \]

Para (c), calcule:

$clipboard_e91f3b39c060bd6e7b9d3490048dfd1d9.png$

Como el resto es cero, logramos factorizar$4x^3+2x^2+6x+18$:

\[4x^3+2x^2+6x+18=(2x^2-2x+6)\cdot (2x+3) \nonumber \]

d) El último ejemplo tiene un divisor que es un polinomio de grado$2$. Por lo tanto, el resto no es un número, sino un polinomio de grado$1$.

$clipboard_ed618933bb03f74546f3b31012d35898a.png$

Aquí, el resto es$r(x)=7x+3$.

\[\dfrac{x^3+x^2+2x+1}{x^2+3x+1}= x-2+\dfrac{7x+3}{x^2+3x+1} \nonumber \]

Nota

El divisor$g(x)$ es un factor de$f(x)$ exactamente cuando el resto$r(x)$ es cero, es decir:

\[f(x)=q(x)\cdot g(x)\quad \iff\quad r(x)=0 \nonumber \]

Por ejemplo, en el Ejemplo anterior$\PageIndex{3}$, sólo la parte (c) da como resultado una factorización del dividendo, ya que ésta es la única parte con resto cero.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Nota

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Nota