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LibreTexts Español

8.1: División larga

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Ahora mostramos cómo dividir dos polinomios. El método es similar a la división larga de los números naturales. Nuestro primer ejemplo muestra el procedimiento con todo detalle.

Ejemplo8.1.1

Divida las siguientes fracciones por división larga:

  1. 357111
  2. x3+5x2+4x+2x+3

Solución

  1. Recordemos el procedimiento para la división larga de números naturales:

clipboard_eeb7697e1afc4c40945de83b978221c5a.png

Los pasos anteriores se realizan de la siguiente manera. Primero, encontramos el múltiplo más grande de11 menos o igual a35. La respuesta3 se escribe como el primer dígito en la línea superior. Multiplicar3 tiempos11 y restar la respuesta33 de los dos primeros dígitos35 del dividendo. Los dígitos restantes71 se copian a continuación para dar271. Ahora repetimos el procedimiento, hasta llegar al resto7. En definitiva, lo que hemos demostrado es que:

3571=32411+7 or alternatively, 357111=324+711

  1. Repetimos los pasos de la parte (a) de la siguiente manera. Primero, escribe el dividendo y divisor en el formato anterior:

A continuación, considere el plazo más altox3 del dividendo y el plazo más altox del divisor. Ya quex3x=x2, comenzamos con el primer términox2 del cociente:

Paso 1:

\ [\ begin {array} {r}
x^2\ qquad\ quad\ phantom {)}\\
x+3 {\ overline {\ smash {\ big)}\, x ^ {3} + 5 x ^ {2} + 4 x + 2\ phantom {)}}}\
\ fantasma {)}}
\ end {array}\ nonumber\]

Multipliquex2 por el divisorx+3 y escríbelo por debajo del dividendo:

Paso 2:

\ [\ begin {array} {r}
x^2\ qquad\ quad\ phantom {)}\\
x+3 {\ overline {\ smash {\ big)}\, x ^ {3} + 5 x ^ {2} + 4 x + 2\ phantom {)}}}\\
{x^3+3x^2\ qquad\ qquad\;}\
\ phantom {)}
\ end {array}\ nonumber\]

Ya que necesitamos restarx3+3x2, así sumamos equivalentemente su negativo (no olvide distribuir el negativo):

Paso 3:

\ [\ begin {array} {r}
x^2\ qquad\ quad\ phantom {)}\\
x+3 {\ overline {\ smash {\ big)}\, x^3+ 5x^2+4x+2\ phantom {)}}}\\
{\ subrayado {- (x^3+3x^2)\ qquad\ qquad}\;}\\
2x^2\ qquad\ qquad\;\;\\
\ phantom {)}
\ end {array}\ nonumber\]

Ahora, lleve abajo los términos restantes del dividendo:

Paso 4:

\ [\ begin {array} {r}
x^2\ qquad\ quad\ phantom {)}\\
x+3 {\ overline {\ smash {\ big)}\, x^3+ 5x^2+4x+2\ phantom {)}}}\\
{\ subrayado {- (x^3+3x^2)\ qquad\ qquad}\;}\\
2x^2+4x+2\;\\
\ phantom {)}
\ end {array}\ nonumber\]

Ahora, repita los pasos 1-4 para el polinomio restante2x2+4x+2. El resultado después de pasar por los pasos 1-4 es el siguiente:

clipboard_e0b594a879f1330ce8a859f577355b8f8.png

Ya que sex puede dividir en2x, podemos continuar con los pasos anteriores 1-4 una vez más. El resultado es el siguiente:

clipboard_e8c07e409ef28fad6bd113a642c2b826b.png

Tenga en cuenta que ahorax no se puede dividir en8 así que nos detenemos aquí. El término final8 se llama el resto. Al términox2+2x2 se le llama cociente. En analogía con nuestro resultado en la parte (a), podemos escribir nuestra conclusión como:

x3+5x2+4x+2=(x2+2x2)(x+3)+8

Alternativamente, también podríamos dividir esto por(x+3) y escribirlo como:

x3+5x2+4x+2x+3=x2+2x2+8x+3

Nota

Al igual que con una operación de división que involucra númerosf(x)g(x), al dividir,f(x) se llama dividendo yg(x) se llama divisor. Como resultado de dividirf(x) porg(x) vía división larga con cocienteq(x) y restor(x), podemos escribir

f(x)g(x)=q(x)+r(x)g(x)

Si multiplicamos esta ecuación porg(x), obtenemos la siguiente versión alternativa:

f(x)=q(x)g(x)+r(x)

Ejemplo8.1.2

Divida las siguientes fracciones por división larga.

  1. x2+4x+5x4
  2. x4+3x35x+1x+1
  3. 4x3+2x2+6x+182x+3
  4. x3+x2+2x+1x2+3x+1

Solución

Para la parte (a), calculamos:

clipboard_e7d78d13200bacd77e535af21baff3bde.png

Por lo tanto,x2+4x+5=(x+8)(x4)+37.

Ahora, para la parte b), no hayx2 término en el dividendo. Esto se puede resolver sumando+0x2 al dividendo:

clipboard_e9c652f243e301e871d6e01cf0626df24.png

Por lo tanto, mostramos:

x4+3x35x+1x+1=x3+2x22x3+4x+1

Para (c), calcule:

clipboard_e91f3b39c060bd6e7b9d3490048dfd1d9.png

Como el resto es cero, logramos factorizar4x3+2x2+6x+18:

4x3+2x2+6x+18=(2x22x+6)(2x+3)

d) El último ejemplo tiene un divisor que es un polinomio de grado2. Por lo tanto, el resto no es un número, sino un polinomio de grado1.

clipboard_ed618933bb03f74546f3b31012d35898a.png

Aquí, el resto esr(x)=7x+3.

x3+x2+2x+1x2+3x+1=x2+7x+3x2+3x+1

Nota

El divisorg(x) es un factor def(x) exactamente cuando el restor(x) es cero, es decir:

f(x)=q(x)g(x)r(x)=0

Por ejemplo, en el Ejemplo anterior8.1.3, sólo la parte (c) da como resultado una factorización del dividendo, ya que ésta es la única parte con resto cero.


This page titled 8.1: División larga is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Thomas Tradler and Holly Carley (New York City College of Technology at CUNY Academic Works) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.

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