8.1: División larga
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Ahora mostramos cómo dividir dos polinomios. El método es similar a la división larga de los números naturales. Nuestro primer ejemplo muestra el procedimiento con todo detalle.
Divida las siguientes fracciones por división larga:
- 357111
- x3+5x2+4x+2x+3
Solución
- Recordemos el procedimiento para la división larga de números naturales:
Los pasos anteriores se realizan de la siguiente manera. Primero, encontramos el múltiplo más grande de11 menos o igual a35. La respuesta3 se escribe como el primer dígito en la línea superior. Multiplicar3 tiempos11 y restar la respuesta33 de los dos primeros dígitos35 del dividendo. Los dígitos restantes71 se copian a continuación para dar271. Ahora repetimos el procedimiento, hasta llegar al resto7. En definitiva, lo que hemos demostrado es que:
3571=324⋅11+7 or alternatively, 357111=324+711
- Repetimos los pasos de la parte (a) de la siguiente manera. Primero, escribe el dividendo y divisor en el formato anterior:
A continuación, considere el plazo más altox3 del dividendo y el plazo más altox del divisor. Ya quex3x=x2, comenzamos con el primer términox2 del cociente:
Paso 1:
\ [\ begin {array} {r}
x^2\ qquad\ quad\ phantom {)}\\
x+3 {\ overline {\ smash {\ big)}\, x ^ {3} + 5 x ^ {2} + 4 x + 2\ phantom {)}}}\
\ fantasma {)}}
\ end {array}\ nonumber\]
Multipliquex2 por el divisorx+3 y escríbelo por debajo del dividendo:
Paso 2:
\ [\ begin {array} {r}
x^2\ qquad\ quad\ phantom {)}\\
x+3 {\ overline {\ smash {\ big)}\, x ^ {3} + 5 x ^ {2} + 4 x + 2\ phantom {)}}}\\
{x^3+3x^2\ qquad\ qquad\;}\
\ phantom {)}
\ end {array}\ nonumber\]
Ya que necesitamos restarx3+3x2, así sumamos equivalentemente su negativo (no olvide distribuir el negativo):
Paso 3:
\ [\ begin {array} {r}
x^2\ qquad\ quad\ phantom {)}\\
x+3 {\ overline {\ smash {\ big)}\, x^3+ 5x^2+4x+2\ phantom {)}}}\\
{\ subrayado {- (x^3+3x^2)\ qquad\ qquad}\;}\\
2x^2\ qquad\ qquad\;\;\\
\ phantom {)}
\ end {array}\ nonumber\]
Ahora, lleve abajo los términos restantes del dividendo:
Paso 4:
\ [\ begin {array} {r}
x^2\ qquad\ quad\ phantom {)}\\
x+3 {\ overline {\ smash {\ big)}\, x^3+ 5x^2+4x+2\ phantom {)}}}\\
{\ subrayado {- (x^3+3x^2)\ qquad\ qquad}\;}\\
2x^2+4x+2\;\\
\ phantom {)}
\ end {array}\ nonumber\]
Ahora, repita los pasos 1-4 para el polinomio restante2x2+4x+2. El resultado después de pasar por los pasos 1-4 es el siguiente:
Ya que sex puede dividir en−2x, podemos continuar con los pasos anteriores 1-4 una vez más. El resultado es el siguiente:
Tenga en cuenta que ahorax no se puede dividir en8 así que nos detenemos aquí. El término final8 se llama el resto. Al términox2+2x−2 se le llama cociente. En analogía con nuestro resultado en la parte (a), podemos escribir nuestra conclusión como:
x3+5x2+4x+2=(x2+2x−2)⋅(x+3)+8
Alternativamente, también podríamos dividir esto por(x+3) y escribirlo como:
x3+5x2+4x+2x+3=x2+2x−2+8x+3
Al igual que con una operación de división que involucra númerosf(x)g(x), al dividir,f(x) se llama dividendo yg(x) se llama divisor. Como resultado de dividirf(x) porg(x) vía división larga con cocienteq(x) y restor(x), podemos escribir
f(x)g(x)=q(x)+r(x)g(x)
Si multiplicamos esta ecuación porg(x), obtenemos la siguiente versión alternativa:
f(x)=q(x)⋅g(x)+r(x)
Divida las siguientes fracciones por división larga.
- x2+4x+5x−4
- x4+3x3−5x+1x+1
- 4x3+2x2+6x+182x+3
- x3+x2+2x+1x2+3x+1
Solución
Para la parte (a), calculamos:
Por lo tanto,x2+4x+5=(x+8)⋅(x−4)+37.
Ahora, para la parte b), no hayx2 término en el dividendo. Esto se puede resolver sumando+0x2 al dividendo:
Por lo tanto, mostramos:
x4+3x3−5x+1x+1=x3+2x2−2x−3+4x+1
Para (c), calcule:
Como el resto es cero, logramos factorizar4x3+2x2+6x+18:
4x3+2x2+6x+18=(2x2−2x+6)⋅(2x+3)
d) El último ejemplo tiene un divisor que es un polinomio de grado2. Por lo tanto, el resto no es un número, sino un polinomio de grado1.
Aquí, el resto esr(x)=7x+3.
x3+x2+2x+1x2+3x+1=x−2+7x+3x2+3x+1
El divisorg(x) es un factor def(x) exactamente cuando el restor(x) es cero, es decir:
f(x)=q(x)⋅g(x)⟺r(x)=0
Por ejemplo, en el Ejemplo anterior8.1.3, sólo la parte (c) da como resultado una factorización del dividendo, ya que ésta es la única parte con resto cero.