Análisis Dimensional

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Habilidades para Desarrollar

Utilice el análisis dimensional para calcular soluciones con las unidades correctas

Una dimensión es cualquier extensión medible, como la longitud, el tiempo y la masa. Las unidades ayudan a describir la medición de acuerdo con ciertos estándares. En el sistema métrico por ejemplo, una longitud unidimensional (1-D) se mide en metros (m) un área bidimensional (2-D) se mide en metros cuadrados (m ²), y un volumen tridimensional (3-D) se mide en metros cúbicos (m ³). Otros tipos de cantidades (tiempo, masa, temperatura) se miden usando diferentes unidades debido a que tienen diferentes dimensiones. El análisis significa pensar en algo, a menudo enfocándose en una parte a la vez. Al juntarlo todo, el análisis dimensional significa pensar en unidades pieza por pieza. El análisis dimensional puede ir correctamente entre diferentes tipos de unidades, detectar errores en los cálculos de uno y hacer muchos cálculos útiles en la vida real.

Esencialmente, el análisis dimensional significa multiplicar por uno. Recoges un conjunto de “factores de conversión” o ratios que son iguales a uno, y luego multiplicas una cantidad que te interesa por esos “unos”. Por ejemplo, si quieres saber cuántos segundos tardarías en llegar de Nueva York a Filadelfia, lo harías así:

Primero, usando el tren expreso se tarda 2.5 horas en llegar a Filadelfia desde una estación en Nueva York. Entonces, sabemos que 1 hora = 60 minutos y 1 minuto = 60 segundos, entonces (1h/60 min) = 1, y (1 min/60 s) = 1. Ahora, todo lo que tenemos que hacer es multiplicar nuestro número inicial (2.5 h) por “uno” dos veces, asegurándonos de que las unidades cancelen correctamente para que solo tengamos segundos al final.

\[(2.5\; \cancel{ h}) \left(\dfrac{60\; \cancel{min}}{1\; \cancel{ h}}\right)\left(\dfrac{60 s}{1 \; \cancel{min}}\right) = 9.0 \times 10^3 s\]

Si cada parte no se pone en el lugar correcto, las unidades saldrán mal. Por ejemplo:

\[\left(\dfrac{1}{2.5\;\cancel{ h}}\right)\left(\dfrac{1 \,\cancel{h}}{60\,m \cancel{ min}}\right)\left(\dfrac{1 \, \cancel{min}}{60 \,s}\right) = 1.1 \times 10^{-4} s^{-1}\]

En este caso, ponemos la cantidad inicial en la parte inferior, así que obtuvimos s ^-1 cuando se cancelan las unidades. Aquí hay un ejemplo de no poder cancelar las unidades correctamente:

\ [(2.5 h)\ izquierda (\ dfrac {1 h} {60 min}\ derecha)\ izquierda (\ dfrac {60 s} {1 min}\ derecha) = 2.5 s\ cdot h^2\ cdot min^ {-2} $$

La parte importante es que si revisas las unidades para asegurarte de que salgan bien, ¡puedes estar bastante seguro de que configuraste bien el cálculo!

Aquí hay un ejemplo de cómo puede ayudar el análisis dimensional. Un estudiante estaba calculando la velocidad inicial (v ₀) a partir de esta ecuación:

\[d = (v_0)t + \dfrac{at^2}{2} \nonumber\]

Pero el estudiante había derivado la ecuación incorrectamente, y usó esta ecuación en su lugar:

\[v_0 = \dfrac{d}{t} - \dfrac{at^2}{2} \nonumber \]

Entonces el estudiante tuvo la respuesta equivocada, pero no lo sabía porque simplemente puso los números para d, t y a en su calculadora usando la ecuación equivocada. Si hubiera comprobado las unidades, habría visto que (d/t) tiene unidades de metros por segundo (m/s) mientras que (a ²) /2 tiene unidades de metros (m).

El análisis dimensional suele ser útil cuando se quiere estimar alguna cantidad en el mundo real. Por ejemplo, tal vez quieras saber cuánto dinero gastas en café cada mes. Si gastas $5 por taza y tienes 2 tazas al día, y hay aproximadamente 30 días en un mes, entonces puedes configurar un cálculo igual que los anteriores para calcular los dólares por mes gastados en café. Esto funciona para muchas situaciones importantes, menos obvias, por ejemplo en los negocios, para tener una idea aproximada de alguna cantidad.

Colaboradores y Atribuciones

Emily V Eames (City College of San Francisco)