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##### Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, usted será capaz de:

• Racionalizar un denominador de un término
• Racionalizar un denominador de dos términos

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Simplificar: $$\dfrac{30}{48}$$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.24.
2. Simplificar: $$x^{2}⋅x^{4}$$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.12.
3. Multiplicar: $$(7+3x)(7−3x)$$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.32.

Hemos utilizado la Propiedad Cociente de Expresiones Radicales para simplificar las raíces de las fracciones. Tendremos que utilizar esta propiedad 'en reverso' para simplificar una fracción con radicales. Damos nuevamente la Propiedad Cociente de Expresiones Radicales para fácil referencia. Recuerde, asumimos que todas las variables son mayores o iguales a cero para que no se necesiten barras de valor absoluto.

Definición $$\PageIndex{1}$$: Propiedad cociente de expresiones radicales

Si $$\sqrt[n]{a}$$ y $$\sqrt[n]{b}$$ son números reales, $$b≠0$$, y para cualquier entero $$n≥2$$ entonces,

$$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \quad \text { and } \quad \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$$

Utilizaremos la Propiedad Cociente de Expresiones Radicales cuando la fracción con la que comenzamos sea el cociente de dos radicales, y ninguno de los radicando es un poder perfecto del índice. Cuando escribimos la fracción en un solo radical, podemos encontrar factores comunes en el numerador y denominador.

##### Ejemplo $$\PageIndex{1}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{\sqrt{72 x^{3}}}{\sqrt{162 x}}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[3]{32 x^{2}}}{\sqrt[3]{4 x^{5}}}$$

Solución:

a.

$$\dfrac{\sqrt{72 x^{3}}}{\sqrt{162 x}}$$

$$\sqrt{\dfrac{72 x^{3}}{162 x}}$$

Eliminar los factores comunes.

$$\sqrt{\dfrac{\cancel{18} \cdot 4 \cdot x^{2} \cdot \cancel{x}}{\cancel{18} \cdot 9 \cdot \cancel{x}}}$$

Simplificar.

$$\sqrt{\dfrac{4 x^{2}}{9}}$$

$$\dfrac{2 x}{3}$$

b.

$$\dfrac{\sqrt[3]{32 x^{2}}}{\sqrt[3]{4 x^{5}}}$$

Reescribir utilizando la propiedad cociente, $$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$$.

$$\sqrt[3]{\dfrac{32 x^{2}}{4 x^{5}}}$$

Simplificar la fracción bajo el radical.

$$\sqrt[3]{\dfrac{8}{x^{3}}}$$

$$\dfrac{2}{x}$$

##### Ejercicio $$\PageIndex{1}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{\sqrt{50 s^{3}}}{\sqrt{128 s}}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[3]{56 a}}{\sqrt[3]{7 a^{4}}}$$
Responder
1. $$\dfrac{5s}{8}$$
2. $$\dfrac{2}{a}$$
##### Ejercicio $$\PageIndex{2}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{\sqrt{75 q^{5}}}{\sqrt{108 q}}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[3]{72 b^{2}}}{\sqrt[3]{9 b^{5}}}$$
Responder
1. $$\dfrac{5 q^{2}}{6}$$
2. $$\dfrac{2}{b}$$
##### Ejemplo $$\PageIndex{2}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{\sqrt{147 a b^{8}}}{\sqrt{3 a^{3} b^{4}}}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[3]{-250 m n^{-2}}}{\sqrt[3]{2 m^{-2} n^{4}}}$$

Solución:

a.

$$\dfrac{\sqrt{147 a b^{8}}}{\sqrt{3 a^{3} b^{4}}}$$

$$\sqrt{\dfrac{147 a b^{8}}{3 a^{3} b^{4}}}$$

Eliminar factores comunes en la fracción.

$$\sqrt{\dfrac{49 b^{4}}{a^{2}}}$$

$$\dfrac{7 b^{2}}{a}$$

b.

$$\dfrac{\sqrt[3]{-250 m n^{-2}}}{\sqrt[3]{2 m^{-2} n^{4}}}$$

$$\sqrt[3]{\dfrac{-250 m n^{-2}}{2 m^{-2} n^{4}}}$$

Simplificar la fracción bajo el radical.

$$\sqrt[3]{\dfrac{-125 m^{3}}{n^{6}}}$$

$$-\dfrac{5 m}{n^{2}}$$

##### Ejercicio $$\PageIndex{3}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{\sqrt{162 x^{10} y^{2}}}{\sqrt{2 x^{6} y^{6}}}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[3]{-128 x^{2} y^{-1}}}{\sqrt[3]{2 x^{-1} y^{2}}}$$
Responder
1. $$\dfrac{9 x^{2}}{y^{2}}$$
2. $$\dfrac{-4 x}{y}$$
##### Ejercicio $$\PageIndex{4}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{\sqrt{300 m^{3} n^{7}}}{\sqrt{3 m^{5} n}}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[3]{-81 p q^{-1}}}{\sqrt[3]{3 p^{-2} q^{5}}}$$
Responder
1. $$\dfrac{10 n^{3}}{m}$$
2. $$\dfrac{-3 p}{q^{2}}$$
##### Ejemplo $$\PageIndex{3}$$

Simplificar: $$\dfrac{\sqrt{54 x^{5} y^{3}}}{\sqrt{3 x^{2} y}}$$

Solución:

$$\dfrac{\sqrt{54 x^{5} y^{3}}}{\sqrt{3 x^{2} y}}$$

$$\sqrt{\dfrac{54 x^{5} y^{3}}{3 x^{2} y}}$$

Eliminar factores comunes en la fracción.

$$\sqrt{18 x^{3} y^{2}}$$

$$\sqrt{9 x^{2} y^{2} \cdot 2 x}$$

$$\sqrt{9 x^{2} y^{2}} \cdot \sqrt{2 x}$$

Simplificar.

$$3 x y \sqrt{2 x}$$

##### Ejercicio $$\PageIndex{5}$$

Simplificar: $$\dfrac{\sqrt{64 x^{4} y^{5}}}{\sqrt{2 x y^{3}}}$$

Responder

$$4 x y \sqrt{2 x}$$

##### Ejercicio $$\PageIndex{6}$$

Simplificar: $$\dfrac{\sqrt{96 a^{5} b^{4}}}{\sqrt{2 a^{3} b}}$$

Responder

$$4 a b \sqrt{3 b}$$

## Racionalizar un denominador de un término

Antes de que la calculadora se convirtiera en una herramienta de la vida cotidiana, ¡aproximar el valor de una fracción con un radical en el denominador era un proceso muy engorroso!

Definición $$\PageIndex{2}$$: Racionalización del denominador

Racionalizar el denominador es el proceso de convertir una fracción con un radical en el denominador a una fracción equivalente cuyo denominador es un entero.

• no hay factores en la radicanda tienen poderes perfectos del índice
• no hay fracciones en la radicando

Para racionalizar un denominador con raíz cuadrada, utilizamos la propiedad que $$(\sqrt{a})^{2}=a$$. Si cuadramos una raíz cuadrada irracional, obtenemos un número racional.

##### Ejemplo $$\PageIndex{4}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{4}{\sqrt{3}}$$
2. $$\sqrt{\dfrac{3}{20}}$$
3. $$\dfrac{3}{\sqrt{6 x}}$$

Solución:

Para racionalizar un denominador con un término, podemos multiplicar una raíz cuadrada por sí misma. Para mantener la fracción equivalente, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

a.

 Multiplica tanto el numerador como el denominador por $$\sqrt{3}$$. Simplificar.

b. Siempre simplificamos lo radical en el denominador primero, antes de racionalizarlo. De esta manera los números se mantienen más pequeños y más fáciles de trabajar.

 La fracción no es un cuadrado perfecto, por lo que reescribe usando la Propiedad Cociente. Simplifica el denominador. Multiplica el numerador y el denominador por $$\sqrt{5}$$. Simplificar. Simplificar.

c.

 Multiplica el numerador y el denominador por $$\sqrt{6x}$$. Simplificar. Simplificar.
##### Ejercicio $$\PageIndex{7}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{5}{\sqrt{3}}$$
2. $$\sqrt{\dfrac{3}{32}}$$
3. $$\dfrac{2}{\sqrt{2 x}}$$
Responder
1. $$\dfrac{5 \sqrt{3}}{3}$$
2. $$\dfrac{\sqrt{6}}{8}$$
3. $$\dfrac{\sqrt{2 x}}{x}$$
##### Ejercicio $$\PageIndex{8}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{6}{\sqrt{5}}$$
2. $$\sqrt{\dfrac{7}{18}}$$
3. $$\dfrac{5}{\sqrt{5 x}}$$
Responder
1. $$\dfrac{6 \sqrt{5}}{5}$$
2. $$\dfrac{\sqrt{14}}{6}$$
3. $$\dfrac{\sqrt{5 x}}{x}$$

Seguiremos un proceso similar para racionalizar las raíces superiores. Para racionalizar un denominador con un radical de índice superior, multiplicamos el numerador y denominador por un radical que nos daría un radicando que es una potencia perfecta del índice. Cuando simplificamos al nuevo radical, el denominador ya no tendrá un radical.

Por ejemplo,

Utilizaremos esta técnica en los siguientes ejemplos.

##### Ejemplo $$\PageIndex{5}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{1}{\sqrt[3]{6}}$$
2. $$\sqrt[3]{\dfrac{7}{24}}$$
3. $$\dfrac{3}{\sqrt[3]{4 x}}$$

Solución:

Para racionalizar un denominador con una raíz cúbica, podemos multiplicar por una raíz cúbica que nos dará un cubo perfecto en el radicando en el denominador. Para mantener la fracción equivalente, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

a.

 El radical en el denominador tiene un factor de $$6$$. Multiplica tanto el numerador como el denominador por $$\sqrt[3]{6^{2}}$$, lo que nos da $$2$$ más factores de $$6$$. Multiplicar. Note que el radicando en el denominador tiene $$3$$ poderes de $$6$$. Simplifica la raíz cúbica en el denominador.

b. Siempre simplificamos lo radical en el denominador primero, antes de racionalizarlo. De esta manera los números se mantienen más pequeños y más fáciles de trabajar.

 La fracción no es un cubo perfecto, por lo que reescribe usando la Propiedad Cociente. Simplifica el denominador. Multiplica el numerador y el denominador por $$\sqrt[3]{3^{2}}$$. Esto nos dará $$3$$ factores de $$3$$. Simplificar. Recuerda, $$\sqrt[3]{3^{3}}=3$$. Simplificar.

c.

 Reescribir el radicando para mostrar los factores. Multiplica el numerador y el denominador por $$\sqrt[3]{2 \cdot x^{2}}$$. Esto nos conseguirá $$3$$ factores de $$2$$ y $$3$$ factores de $$x$$. Simplificar. Simplificar lo radical en el denominador.
##### Ejercicio $$\PageIndex{9}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{1}{\sqrt[3]{7}}$$
2. $$\sqrt[3]{\dfrac{5}{12}}$$
3. $$\dfrac{5}{\sqrt[3]{9 y}}$$
Responder
1. $$\dfrac{\sqrt[3]{49}}{7}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[3]{90}}{6}$$
3. $$\dfrac{5 \sqrt[3]{3 y^{2}}}{3 y}$$
##### Ejercicio $$\PageIndex{10}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$$
2. $$\sqrt[3]{\dfrac{3}{20}}$$
3. $$\dfrac{2}{\sqrt[3]{25 n}}$$
Responder
1. $$\dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[3]{150}}{10}$$
3. $$\dfrac{2 \sqrt[3]{5 n^{2}}}{5 n}$$
##### Ejemplo $$\PageIndex{6}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}$$
2. $$\sqrt[4]{\dfrac{5}{64}}$$
3. $$\dfrac{2}{\sqrt[4]{8 x}}$$

Solución:

Para racionalizar un denominador con una cuarta raíz, podemos multiplicar por una cuarta raíz que nos dará un cuarto poder perfecto en el radicando en el denominador. Para mantener la fracción equivalente, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

a.

 El radical en el denominador tiene un factor de $$2$$. Multiplica tanto el numerador como el denominador por $$\sqrt[4]{2^{3}}$$, lo que nos da $$3$$ más factores de $$2$$. Multiplicar. Note que el radicando en el denominador tiene $$4$$ poderes de $$2$$. Simplificar la cuarta raíz en el denominador.

b. Siempre simplificamos lo radical en el denominador primero, antes de racionalizarlo. De esta manera los números se mantienen más pequeños y más fáciles de trabajar.

 La fracción no es una cuarta potencia perfecta, por lo que reescribe usando la Propiedad Cociente. Reescribir el radicando en el denominador para mostrar los factores. Simplifica el denominador. Multiplica el numerador y el denominador por $$\sqrt[4]{2^{2}}$$. Esto nos dará $$4$$ factores de $$2$$. Simplificar. Recuerda, $$\sqrt[4]{2^{4}}=2$$. Simplificar.

c.

 Reescribir el radicando para mostrar los factores. Multiplica el numerador y el denominador por $$\sqrt[4]{2 \cdot x^{3}}$$. Esto nos conseguirá $$4$$ factores de $$2$$ y $$4$$ factores de $$x$$. Simplificar. Simplificar lo radical en el denominador. Simplifica la fracción.
##### Ejercicio $$\PageIndex{11}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}$$
2. $$\sqrt[4]{\dfrac{3}{64}}$$
3. $$\dfrac{3}{\sqrt[4]{125 x}}$$
Responder
1. $$\dfrac{\sqrt[4]{27}}{3}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[4]{12}}{4}$$
3. $$\dfrac{3 \sqrt[4]{5 x^{3}}}{5 x}$$
##### Ejercicio $$\PageIndex{12}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}$$
2. $$\sqrt[4]{\dfrac{7}{128}}$$
3. $$\dfrac{4}{\sqrt[4]{4 x}}$$
Responder
1. $$\dfrac{\sqrt[4]{125}}{5}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[4]{224}}{8}$$
3. $$\dfrac{\sqrt[4]{64 x^{3}}}{x}$$

## Racionalizar un denominador de dos términos

$$\begin{array}{c c}{(a-b)(a+b)} & {(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} \\ {a^{2}-b^{2}} &{ 2^{2}-(\sqrt{5})^{2}} \\ {}&{4-5} \\ {}&{-1}\end{array}$$

##### Ejemplo $$\PageIndex{7}$$

Simplificar: $$\dfrac{5}{2-\sqrt{3}}$$

Solución:

##### Ejercicio $$\PageIndex{13}$$

Simplificar: $$\dfrac{3}{1-\sqrt{5}}$$.

Responder

$$-\dfrac{3(1+\sqrt{5})}{4}$$

##### Ejercicio $$\PageIndex{14}$$

Simplificar: $$\dfrac{2}{4-\sqrt{6}}$$.

Responder

$$\dfrac{4+\sqrt{6}}{5}$$

Note que no distribuimos el $$5$$ en la respuesta del último ejemplo. Al dejar el resultado factorizado podemos ver si hay algún factor que pueda ser común tanto al numerador como al denominador.

##### Ejemplo $$\PageIndex{8}$$

Simplificar: $$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{u}-\sqrt{6}}$$.

Solución:

##### Ejercicio $$\PageIndex{15}$$

Simplificar: $$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$$.

Responder

$$\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{x}-\sqrt{2})}{x-2}$$

##### Ejercicio $$\PageIndex{16}$$

Simplificar: $$\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{y}-\sqrt{3}}$$

Responder

$$\dfrac{\sqrt{10}(\sqrt{y}+\sqrt{3})}{y-3}$$

##### Ejemplo $$\PageIndex{9}$$

Simplificar: $$\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{7}}{\sqrt{x}-\sqrt{7}}$$.

Solución:

##### Ejercicio $$\PageIndex{17}$$

Simplificar: $$\dfrac{\sqrt{p}+\sqrt{2}}{\sqrt{p}-\sqrt{2}}$$.

Responder

$$\dfrac{(\sqrt{p}+\sqrt{2})^{2}}{p-2}$$

##### Ejercicio $$\PageIndex{18}$$

Simplificar: $$\dfrac{\sqrt{q}-\sqrt{10}}{\sqrt{q}+\sqrt{10}}$$

Responder

$$\dfrac{(\sqrt{q}-\sqrt{10})^{2}}{q-10}$$

## Conceptos Clave

• Si $$\sqrt[n]{a}$$ y $$\sqrt[n]{b}$$ son números reales, $$b≠0$$, y para cualquier entero $$n≥2$$ entonces, $$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$ y $$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$$