8.6: Dividir expresiones radicales

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Dividir expresiones radicales
• Racionalizar un denominador de un término
• Racionalizar un denominador de dos términos

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Simplificar:$\dfrac{30}{48}$.
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.24.
2. Simplificar:$x^{2}⋅x^{4}$.
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.12.
3. Multiplicar:$(7+3x)(7−3x)$.
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.32.

Dividir expresiones radicales

Hemos utilizado la Propiedad Cociente de las Expresiones Radales para simplificar las raíces de las fracciones. Tendremos que usar esta propiedad 'a la reversa' para simplificar una fracción con radicales. Damos de nuevo el Cociente Propiedad de las Expresiones Radales para una fácil referencia. Recuerde, suponemos que todas las variables son mayores o iguales a cero de modo que no se necesitan barras de valor absoluto.

Definición$\PageIndex{1}$: Quotient Property of Radical Expressions

Si$\sqrt[n]{a}$ y$\sqrt[n]{b}$ son números reales,$b≠0$, y para cualquier entero$n≥2$ entonces,

$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \quad \text { and } \quad \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$

Utilizaremos la Propiedad Cociente de las Expresiones Radales cuando la fracción con la que empezamos sea el cociente de dos radicales, y ninguno de los radicales sea un poder perfecto del índice. Cuando escribimos la fracción en un solo radical, podemos encontrar factores comunes en el numerador y denominador.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Simplificar:

1. $\dfrac{\sqrt{72 x^{3}}}{\sqrt{162 x}}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{32 x^{2}}}{\sqrt[3]{4 x^{5}}}$

Solución:

a.

$\dfrac{\sqrt{72 x^{3}}}{\sqrt{162 x}}$

Reescribir usando la propiedad de cociente,

$\sqrt{\dfrac{72 x^{3}}{162 x}}$

Eliminar factores comunes.

$\sqrt{\dfrac{\cancel{18} \cdot 4 \cdot x^{2} \cdot \cancel{x}}{\cancel{18} \cdot 9 \cdot \cancel{x}}}$

Simplificar.

$\sqrt{\dfrac{4 x^{2}}{9}}$

Simplifica lo radical.

$\dfrac{2 x}{3}$

b.

$\dfrac{\sqrt[3]{32 x^{2}}}{\sqrt[3]{4 x^{5}}}$

Reescribir usando la propiedad cociente,$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$.

$\sqrt[3]{\dfrac{32 x^{2}}{4 x^{5}}}$

Simplifica la fracción bajo el radical.

$\sqrt[3]{\dfrac{8}{x^{3}}}$

Simplifica lo radical.

$\dfrac{2}{x}$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Simplificar:

1. $\dfrac{\sqrt{50 s^{3}}}{\sqrt{128 s}}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{56 a}}{\sqrt[3]{7 a^{4}}}$

Responder

1. $\dfrac{5s}{8}$
2. $\dfrac{2}{a}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Simplificar:

1. $\dfrac{\sqrt{75 q^{5}}}{\sqrt{108 q}}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{72 b^{2}}}{\sqrt[3]{9 b^{5}}}$

Responder

1. $\dfrac{5 q^{2}}{6}$
2. $\dfrac{2}{b}$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Simplificar:

1. $\dfrac{\sqrt{147 a b^{8}}}{\sqrt{3 a^{3} b^{4}}}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{-250 m n^{-2}}}{\sqrt[3]{2 m^{-2} n^{4}}}$

Solución:

a.

$\dfrac{\sqrt{147 a b^{8}}}{\sqrt{3 a^{3} b^{4}}}$

Reescribir usando la propiedad de cociente.

$\sqrt{\dfrac{147 a b^{8}}{3 a^{3} b^{4}}}$

Eliminar los factores comunes en la fracción.

$\sqrt{\dfrac{49 b^{4}}{a^{2}}}$

Simplifica lo radical.

$\dfrac{7 b^{2}}{a}$

b.

$\dfrac{\sqrt[3]{-250 m n^{-2}}}{\sqrt[3]{2 m^{-2} n^{4}}}$

Reescribir usando la propiedad de cociente.

$\sqrt[3]{\dfrac{-250 m n^{-2}}{2 m^{-2} n^{4}}}$

Simplifica la fracción bajo el radical.

$\sqrt[3]{\dfrac{-125 m^{3}}{n^{6}}}$

Simplifica lo radical.

$-\dfrac{5 m}{n^{2}}$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Simplificar:

1. $\dfrac{\sqrt{162 x^{10} y^{2}}}{\sqrt{2 x^{6} y^{6}}}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{-128 x^{2} y^{-1}}}{\sqrt[3]{2 x^{-1} y^{2}}}$

Responder

1. $\dfrac{9 x^{2}}{y^{2}}$
2. $\dfrac{-4 x}{y}$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Simplificar:

1. $\dfrac{\sqrt{300 m^{3} n^{7}}}{\sqrt{3 m^{5} n}}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{-81 p q^{-1}}}{\sqrt[3]{3 p^{-2} q^{5}}}$

Responder

1. $\dfrac{10 n^{3}}{m}$
2. $\dfrac{-3 p}{q^{2}}$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Simplificar:$\dfrac{\sqrt{54 x^{5} y^{3}}}{\sqrt{3 x^{2} y}}$

Solución:

$\dfrac{\sqrt{54 x^{5} y^{3}}}{\sqrt{3 x^{2} y}}$

Reescribir usando la propiedad de cociente.

$\sqrt{\dfrac{54 x^{5} y^{3}}{3 x^{2} y}}$

Eliminar los factores comunes en la fracción.

$\sqrt{18 x^{3} y^{2}}$

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

$\sqrt{9 x^{2} y^{2} \cdot 2 x}$

Reescribir el radical como producto de dos radicales.

$\sqrt{9 x^{2} y^{2}} \cdot \sqrt{2 x}$

Simplificar.

$3 x y \sqrt{2 x}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Simplificar:$\dfrac{\sqrt{64 x^{4} y^{5}}}{\sqrt{2 x y^{3}}}$

Responder

$4 x y \sqrt{2 x}$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Simplificar:$\dfrac{\sqrt{96 a^{5} b^{4}}}{\sqrt{2 a^{3} b}}$

Responder

$4 a b \sqrt{3 b}$

Racionalizar un denominador de un término

Antes de que la calculadora se convirtiera en una herramienta de la vida cotidiana, ¡aproximar el valor de una fracción con un radical en el denominador era un proceso muy engorroso!

Por ello, se desarrolló un proceso llamado racionalización del denominador. Una fracción con un radical en el denominador se convierte en una fracción equivalente cuyo denominador es un entero. Las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos son números irracionales. Cuando racionalizamos el denominador, escribimos una fracción equivalente con un número racional en el denominador. Este proceso todavía se usa hoy en día, y también es útil en otras áreas de las matemáticas.

Definición$\PageIndex{2}$: Rationalizing the Denominator

Racionalizar el denominador es el proceso de convertir una fracción con un radical en el denominador a una fracción equivalente cuyo denominador es un entero.

A pesar de que tenemos calculadoras disponibles en casi todas partes, todavía hay que racionalizar una fracción con un radical en el denominador. No se considera simplificado si el denominador contiene un radical.

Del mismo modo, una expresión radical no se considera simplificada si el radicando contiene una fracción.

Expresiones radicales simplificadas

Una expresión radical se considera simplificada si hay

• no hay factores en el radicando tienen poderes perfectos del índice
• no hay fracciones en el radicando
• sin radicales en el denominador de una fracción

Para racionalizar un denominador con una raíz cuadrada, utilizamos la propiedad que$(\sqrt{a})^{2}=a$. Si cuadramos una raíz cuadrada irracional, obtenemos un número racional.

Utilizaremos esta propiedad para racionalizar el denominador en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Simplificar:

1. $\dfrac{4}{\sqrt{3}}$
2. $\sqrt{\dfrac{3}{20}}$
3. $\dfrac{3}{\sqrt{6 x}}$

Solución:

Para racionalizar un denominador con un término, podemos multiplicar una raíz cuadrada por sí mismo. Para mantener la fracción equivalente, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

a.

Cuadro 8.5.1

Multiplica tanto el numerador como el denominador por$\sqrt{3}$.
Simplificar.

b. Siempre simplificamos primero lo radical en el denominador, antes de racionalizarlo. De esta manera los números se mantienen más pequeños y más fáciles de trabajar con ellos.

Cuadro 8.5.2

La fracción no es un cuadrado perfecto, así que reescribe usando la Propiedad Cociente.
Simplifica el denominador.
Multiplique el numerador y el denominador por$\sqrt{5}$.
Simplificar.
Simplificar.

c.

Cuadro 8.5.3

Multiplique el numerador y el denominador por$\sqrt{6x}$.
Simplificar.
Simplificar.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Simplificar:

1. $\dfrac{5}{\sqrt{3}}$
2. $\sqrt{\dfrac{3}{32}}$
3. $\dfrac{2}{\sqrt{2 x}}$

Responder

1. $\dfrac{5 \sqrt{3}}{3}$
2. $\dfrac{\sqrt{6}}{8}$
3. $\dfrac{\sqrt{2 x}}{x}$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Simplificar:

1. $\dfrac{6}{\sqrt{5}}$
2. $\sqrt{\dfrac{7}{18}}$
3. $\dfrac{5}{\sqrt{5 x}}$

Responder

1. $\dfrac{6 \sqrt{5}}{5}$
2. $\dfrac{\sqrt{14}}{6}$
3. $\dfrac{\sqrt{5 x}}{x}$

Cuando racionalizamos una raíz cuadrada, multiplicamos el numerador y el denominador por una raíz cuadrada que nos daría un cuadrado perfecto bajo el radical en el denominador. Cuando tomamos la raíz cuadrada, el denominador ya no tenía un radical.

Seguiremos un proceso similar para racionalizar las raíces superiores. Para racionalizar un denominador con un radical de índice superior, multiplicamos el numerador y el denominador por un radical que nos daría un radicando que es una potencia perfecta del índice. Cuando simplificamos el nuevo radical, el denominador ya no tendrá un radical.

Por ejemplo,

Figura 8.5.14

Utilizaremos esta técnica en los siguientes ejemplos.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Simplificar:

1. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{6}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{7}{24}}$
3. $\dfrac{3}{\sqrt[3]{4 x}}$

Solución:

Para racionalizar un denominador con una raíz cúbica, podemos multiplicar por una raíz cúbica que nos dará un cubo perfecto en el radicando en el denominador. Para mantener la fracción equivalente, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

a.

Cuadro 8.5.4

El radical en el denominador tiene un factor de$6$. Multiplicar tanto el numerador como el denominador por$\sqrt[3]{6^{2}}$, lo que nos da$2$ más factores de$6$.
Multiplicar. Observe que el radicando en el denominador tiene$3$ poderes de$6$.
Simplifica la raíz cúbica en el denominador.

b. Siempre simplificamos primero lo radical en el denominador, antes de racionalizarlo. De esta manera los números se mantienen más pequeños y más fáciles de trabajar con ellos.

Cuadro 8.5.5

La fracción no es un cubo perfecto, así que reescribe usando la Propiedad Cociente.
Simplifica el denominador.
Multiplique el numerador y el denominador por$\sqrt[3]{3^{2}}$. Esto nos dará$3$ factores de$3$.
Simplificar.
Recuerda,$\sqrt[3]{3^{3}}=3$.
Simplificar.

c.

Cuadro 8.5.6

Reescribir el radicando para mostrar los factores.
Multiplicar el numerador y denominador por$\sqrt[3]{2 \cdot x^{2}}$. Esto nos conseguirá$3$ factores de$2$ y$3$ factores de$x$.
Simplificar.
Simplifica el radical en el denominador.

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Simplificar:

1. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{7}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{5}{12}}$
3. $\dfrac{5}{\sqrt[3]{9 y}}$

Responder

1. $\dfrac{\sqrt[3]{49}}{7}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{90}}{6}$
3. $\dfrac{5 \sqrt[3]{3 y^{2}}}{3 y}$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Simplificar:

1. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{3}{20}}$
3. $\dfrac{2}{\sqrt[3]{25 n}}$

Responder

1. $\dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{150}}{10}$
3. $\dfrac{2 \sqrt[3]{5 n^{2}}}{5 n}$

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Simplificar:

1. $\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}$
2. $\sqrt[4]{\dfrac{5}{64}}$
3. $\dfrac{2}{\sqrt[4]{8 x}}$

Solución:

Para racionalizar un denominador con una cuarta raíz, podemos multiplicar por una cuarta raíz que nos dará un perfecto cuarto poder en el radicando en el denominador. Para mantener la fracción equivalente, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

a.

Cuadro 8.5.7

El radical en el denominador tiene un factor de$2$. Multiplicar tanto el numerador como el denominador por$\sqrt[4]{2^{3}}$, lo que nos da$3$ más factores de$2$.
Multiplicar. Observe que el radicando en el denominador tiene$4$ poderes de$2$.
Simplifica la cuarta raíz en el denominador.

b. Siempre simplificamos primero lo radical en el denominador, antes de racionalizarlo. De esta manera los números se mantienen más pequeños y más fáciles de trabajar con ellos.

Cuadro 8.5.8

La fracción no es una cuarta potencia perfecta, así que reescribe usando la Propiedad Cociente.
Reescribir el radicando en el denominador para mostrar los factores.
Simplifica el denominador.
Multiplique el numerador y el denominador por$\sqrt[4]{2^{2}}$. Esto nos dará$4$ factores de$2$.
Simplificar.
Recuerda,$\sqrt[4]{2^{4}}=2$.
Simplificar.

c.

Cuadro 8.5.9

Reescribir el radicando para mostrar los factores.
Multiplique el numerador y el denominador por$\sqrt[4]{2 \cdot x^{3}}$. Esto nos conseguirá$4$ factores de$2$ y$4$ factores de$x$.
Simplificar.
Simplifica el radical en el denominador.
Simplifica la fracción.

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Simplificar:

1. $\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}$
2. $\sqrt[4]{\dfrac{3}{64}}$
3. $\dfrac{3}{\sqrt[4]{125 x}}$

Responder

1. $\dfrac{\sqrt[4]{27}}{3}$
2. $\dfrac{\sqrt[4]{12}}{4}$
3. $\dfrac{3 \sqrt[4]{5 x^{3}}}{5 x}$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Simplificar:

1. $\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}$
2. $\sqrt[4]{\dfrac{7}{128}}$
3. $\dfrac{4}{\sqrt[4]{4 x}}$

Responder

1. $\dfrac{\sqrt[4]{125}}{5}$
2. $\dfrac{\sqrt[4]{224}}{8}$
3. $\dfrac{\sqrt[4]{64 x^{3}}}{x}$

Racionalizar un denominador de dos términos

Cuando el denominador de una fracción es una suma o diferencia con raíces cuadradas, utilizamos el Patrón Producto de Conjugados para racionalizar el denominador.

$\begin{array}{c c}{(a-b)(a+b)} & {(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} \\ {a^{2}-b^{2}} &{ 2^{2}-(\sqrt{5})^{2}} \\ {}&{4-5} \\ {}&{-1}\end{array}$

Cuando se multiplica un binomio que incluye una raíz cuadrada por su conjugado, el producto no tiene raíces cuadradas.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Simplificar:$\dfrac{5}{2-\sqrt{3}}$

Solución:

Cuadro 8.5.10

Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Multiplicar los conjugados en el denominador.
Simplifica el denominador.
Simplifica el denominador.
Simplificar.

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Simplificar:$\dfrac{3}{1-\sqrt{5}}$.

Responder

$-\dfrac{3(1+\sqrt{5})}{4}$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Simplificar:$\dfrac{2}{4-\sqrt{6}}$.

Responder

$\dfrac{4+\sqrt{6}}{5}$

Observe que no distribuimos el$5$ en la respuesta del último ejemplo. Al dejar el resultado factorizado podemos ver si hay algún factor que pueda ser común tanto al numerador como al denominador.

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Simplificar:$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{u}-\sqrt{6}}$.

Solución:

Cuadro 8.5.11

Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Multiplicar los conjugados en el denominador.
Simplifica el denominador.

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Simplificar:$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$.

Responder

$\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{x}-\sqrt{2})}{x-2}$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Simplificar:$\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{y}-\sqrt{3}}$

Responder

$\dfrac{\sqrt{10}(\sqrt{y}+\sqrt{3})}{y-3}$

Tenga cuidado con los signos al multiplicar. El numerador y denominador se ven muy similares cuando multiplicas por el conjugado.

Ejemplo$\PageIndex{9}$

Simplificar:$\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{7}}{\sqrt{x}-\sqrt{7}}$.

Solución:

Cuadro 8.5.12

Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Multiplicar los conjugados en el denominador.
Simplifica el denominador.

No cuadramos el numerador. Dejándolo en forma factorizada, podemos ver que no hay factores comunes que eliminar del numerador y denominador.

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Simplificar:$\dfrac{\sqrt{p}+\sqrt{2}}{\sqrt{p}-\sqrt{2}}$.

Responder

$\dfrac{(\sqrt{p}+\sqrt{2})^{2}}{p-2}$

Ejercicio$\PageIndex{18}$

Simplificar:$\dfrac{\sqrt{q}-\sqrt{10}}{\sqrt{q}+\sqrt{10}}$

Responder

$\dfrac{(\sqrt{q}-\sqrt{10})^{2}}{q-10}$

Conceptos clave

• Propiedad del cociente de las expresiones radicales
  • Si$\sqrt[n]{a}$ y$\sqrt[n]{b}$ son números reales,$b≠0$, y para cualquier entero$n≥2$ entonces,$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ y$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$
• Expresiones radicales simplificadas
  • Una expresión radical se considera simplificada si hay:
    • no hay factores en el radicando que tienen poderes perfectos del índice
    • no hay fracciones en el radicando
    • sin radicales en el denominador de una fracción

Glosario

racionalizar el denominador

Racionalizar el denominador es el proceso de convertir una fracción con un radical en el denominador a una fracción equivalente cuyo denominador es un entero.