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##### Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Racionalizar un denominador de un término
• Racionalizar un denominador de dos términos

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Simplificar:$$\dfrac{30}{48}$$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.24.
2. Simplificar:$$x^{2}⋅x^{4}$$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.12.
3. Multiplicar:$$(7+3x)(7−3x)$$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.32.

Hemos utilizado la Propiedad Cociente de las Expresiones Radales para simplificar las raíces de las fracciones. Tendremos que usar esta propiedad 'a la reversa' para simplificar una fracción con radicales. Damos de nuevo el Cociente Propiedad de las Expresiones Radales para una fácil referencia. Recuerde, suponemos que todas las variables son mayores o iguales a cero de modo que no se necesitan barras de valor absoluto.

Definición$$\PageIndex{1}$$: Quotient Property of Radical Expressions

Si$$\sqrt[n]{a}$$ y$$\sqrt[n]{b}$$ son números reales,$$b≠0$$, y para cualquier entero$$n≥2$$ entonces,

$$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \quad \text { and } \quad \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$$

Utilizaremos la Propiedad Cociente de las Expresiones Radales cuando la fracción con la que empezamos sea el cociente de dos radicales, y ninguno de los radicales sea un poder perfecto del índice. Cuando escribimos la fracción en un solo radical, podemos encontrar factores comunes en el numerador y denominador.

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{\sqrt{72 x^{3}}}{\sqrt{162 x}}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[3]{32 x^{2}}}{\sqrt[3]{4 x^{5}}}$$

Solución:

a.

$$\dfrac{\sqrt{72 x^{3}}}{\sqrt{162 x}}$$

Reescribir usando la propiedad de cociente,

$$\sqrt{\dfrac{72 x^{3}}{162 x}}$$

Eliminar factores comunes.

$$\sqrt{\dfrac{\cancel{18} \cdot 4 \cdot x^{2} \cdot \cancel{x}}{\cancel{18} \cdot 9 \cdot \cancel{x}}}$$

Simplificar.

$$\sqrt{\dfrac{4 x^{2}}{9}}$$

$$\dfrac{2 x}{3}$$

b.

$$\dfrac{\sqrt[3]{32 x^{2}}}{\sqrt[3]{4 x^{5}}}$$

Reescribir usando la propiedad cociente,$$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$$.

$$\sqrt[3]{\dfrac{32 x^{2}}{4 x^{5}}}$$

Simplifica la fracción bajo el radical.

$$\sqrt[3]{\dfrac{8}{x^{3}}}$$

$$\dfrac{2}{x}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{\sqrt{50 s^{3}}}{\sqrt{128 s}}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[3]{56 a}}{\sqrt[3]{7 a^{4}}}$$
Responder
1. $$\dfrac{5s}{8}$$
2. $$\dfrac{2}{a}$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{\sqrt{75 q^{5}}}{\sqrt{108 q}}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[3]{72 b^{2}}}{\sqrt[3]{9 b^{5}}}$$
Responder
1. $$\dfrac{5 q^{2}}{6}$$
2. $$\dfrac{2}{b}$$
##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{\sqrt{147 a b^{8}}}{\sqrt{3 a^{3} b^{4}}}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[3]{-250 m n^{-2}}}{\sqrt[3]{2 m^{-2} n^{4}}}$$

Solución:

a.

$$\dfrac{\sqrt{147 a b^{8}}}{\sqrt{3 a^{3} b^{4}}}$$

Reescribir usando la propiedad de cociente.

$$\sqrt{\dfrac{147 a b^{8}}{3 a^{3} b^{4}}}$$

Eliminar los factores comunes en la fracción.

$$\sqrt{\dfrac{49 b^{4}}{a^{2}}}$$

$$\dfrac{7 b^{2}}{a}$$

b.

$$\dfrac{\sqrt[3]{-250 m n^{-2}}}{\sqrt[3]{2 m^{-2} n^{4}}}$$

Reescribir usando la propiedad de cociente.

$$\sqrt[3]{\dfrac{-250 m n^{-2}}{2 m^{-2} n^{4}}}$$

Simplifica la fracción bajo el radical.

$$\sqrt[3]{\dfrac{-125 m^{3}}{n^{6}}}$$

$$-\dfrac{5 m}{n^{2}}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{\sqrt{162 x^{10} y^{2}}}{\sqrt{2 x^{6} y^{6}}}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[3]{-128 x^{2} y^{-1}}}{\sqrt[3]{2 x^{-1} y^{2}}}$$
Responder
1. $$\dfrac{9 x^{2}}{y^{2}}$$
2. $$\dfrac{-4 x}{y}$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{\sqrt{300 m^{3} n^{7}}}{\sqrt{3 m^{5} n}}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[3]{-81 p q^{-1}}}{\sqrt[3]{3 p^{-2} q^{5}}}$$
Responder
1. $$\dfrac{10 n^{3}}{m}$$
2. $$\dfrac{-3 p}{q^{2}}$$
##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Simplificar:$$\dfrac{\sqrt{54 x^{5} y^{3}}}{\sqrt{3 x^{2} y}}$$

Solución:

$$\dfrac{\sqrt{54 x^{5} y^{3}}}{\sqrt{3 x^{2} y}}$$

Reescribir usando la propiedad de cociente.

$$\sqrt{\dfrac{54 x^{5} y^{3}}{3 x^{2} y}}$$

Eliminar los factores comunes en la fracción.

$$\sqrt{18 x^{3} y^{2}}$$

$$\sqrt{9 x^{2} y^{2} \cdot 2 x}$$

$$\sqrt{9 x^{2} y^{2}} \cdot \sqrt{2 x}$$

Simplificar.

$$3 x y \sqrt{2 x}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Simplificar:$$\dfrac{\sqrt{64 x^{4} y^{5}}}{\sqrt{2 x y^{3}}}$$

Responder

$$4 x y \sqrt{2 x}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Simplificar:$$\dfrac{\sqrt{96 a^{5} b^{4}}}{\sqrt{2 a^{3} b}}$$

Responder

$$4 a b \sqrt{3 b}$$

## Racionalizar un denominador de un término

Antes de que la calculadora se convirtiera en una herramienta de la vida cotidiana, ¡aproximar el valor de una fracción con un radical en el denominador era un proceso muy engorroso!

Definición$$\PageIndex{2}$$: Rationalizing the Denominator

Racionalizar el denominador es el proceso de convertir una fracción con un radical en el denominador a una fracción equivalente cuyo denominador es un entero.

• no hay factores en el radicando tienen poderes perfectos del índice
• no hay fracciones en el radicando

Para racionalizar un denominador con una raíz cuadrada, utilizamos la propiedad que$$(\sqrt{a})^{2}=a$$. Si cuadramos una raíz cuadrada irracional, obtenemos un número racional.

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{4}{\sqrt{3}}$$
2. $$\sqrt{\dfrac{3}{20}}$$
3. $$\dfrac{3}{\sqrt{6 x}}$$

Solución:

Para racionalizar un denominador con un término, podemos multiplicar una raíz cuadrada por sí mismo. Para mantener la fracción equivalente, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

a.

 Multiplica tanto el numerador como el denominador por$$\sqrt{3}$$. Simplificar.

b. Siempre simplificamos primero lo radical en el denominador, antes de racionalizarlo. De esta manera los números se mantienen más pequeños y más fáciles de trabajar con ellos.

 La fracción no es un cuadrado perfecto, así que reescribe usando la Propiedad Cociente. Simplifica el denominador. Multiplique el numerador y el denominador por$$\sqrt{5}$$. Simplificar. Simplificar.

c.

 Multiplique el numerador y el denominador por$$\sqrt{6x}$$. Simplificar. Simplificar.
##### Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{5}{\sqrt{3}}$$
2. $$\sqrt{\dfrac{3}{32}}$$
3. $$\dfrac{2}{\sqrt{2 x}}$$
Responder
1. $$\dfrac{5 \sqrt{3}}{3}$$
2. $$\dfrac{\sqrt{6}}{8}$$
3. $$\dfrac{\sqrt{2 x}}{x}$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{6}{\sqrt{5}}$$
2. $$\sqrt{\dfrac{7}{18}}$$
3. $$\dfrac{5}{\sqrt{5 x}}$$
Responder
1. $$\dfrac{6 \sqrt{5}}{5}$$
2. $$\dfrac{\sqrt{14}}{6}$$
3. $$\dfrac{\sqrt{5 x}}{x}$$

Seguiremos un proceso similar para racionalizar las raíces superiores. Para racionalizar un denominador con un radical de índice superior, multiplicamos el numerador y el denominador por un radical que nos daría un radicando que es una potencia perfecta del índice. Cuando simplificamos el nuevo radical, el denominador ya no tendrá un radical.

Por ejemplo,

Utilizaremos esta técnica en los siguientes ejemplos.

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{1}{\sqrt[3]{6}}$$
2. $$\sqrt[3]{\dfrac{7}{24}}$$
3. $$\dfrac{3}{\sqrt[3]{4 x}}$$

Solución:

Para racionalizar un denominador con una raíz cúbica, podemos multiplicar por una raíz cúbica que nos dará un cubo perfecto en el radicando en el denominador. Para mantener la fracción equivalente, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

a.

 El radical en el denominador tiene un factor de$$6$$. Multiplicar tanto el numerador como el denominador por$$\sqrt[3]{6^{2}}$$, lo que nos da$$2$$ más factores de$$6$$. Multiplicar. Observe que el radicando en el denominador tiene$$3$$ poderes de$$6$$. Simplifica la raíz cúbica en el denominador.

b. Siempre simplificamos primero lo radical en el denominador, antes de racionalizarlo. De esta manera los números se mantienen más pequeños y más fáciles de trabajar con ellos.

 La fracción no es un cubo perfecto, así que reescribe usando la Propiedad Cociente. Simplifica el denominador. Multiplique el numerador y el denominador por$$\sqrt[3]{3^{2}}$$. Esto nos dará$$3$$ factores de$$3$$. Simplificar. Recuerda,$$\sqrt[3]{3^{3}}=3$$. Simplificar.

c.

 Reescribir el radicando para mostrar los factores. Multiplicar el numerador y denominador por$$\sqrt[3]{2 \cdot x^{2}}$$. Esto nos conseguirá$$3$$ factores de$$2$$ y$$3$$ factores de$$x$$. Simplificar. Simplifica el radical en el denominador.
##### Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{1}{\sqrt[3]{7}}$$
2. $$\sqrt[3]{\dfrac{5}{12}}$$
3. $$\dfrac{5}{\sqrt[3]{9 y}}$$
Responder
1. $$\dfrac{\sqrt[3]{49}}{7}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[3]{90}}{6}$$
3. $$\dfrac{5 \sqrt[3]{3 y^{2}}}{3 y}$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$$
2. $$\sqrt[3]{\dfrac{3}{20}}$$
3. $$\dfrac{2}{\sqrt[3]{25 n}}$$
Responder
1. $$\dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[3]{150}}{10}$$
3. $$\dfrac{2 \sqrt[3]{5 n^{2}}}{5 n}$$
##### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}$$
2. $$\sqrt[4]{\dfrac{5}{64}}$$
3. $$\dfrac{2}{\sqrt[4]{8 x}}$$

Solución:

Para racionalizar un denominador con una cuarta raíz, podemos multiplicar por una cuarta raíz que nos dará un perfecto cuarto poder en el radicando en el denominador. Para mantener la fracción equivalente, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

a.

 El radical en el denominador tiene un factor de$$2$$. Multiplicar tanto el numerador como el denominador por$$\sqrt[4]{2^{3}}$$, lo que nos da$$3$$ más factores de$$2$$. Multiplicar. Observe que el radicando en el denominador tiene$$4$$ poderes de$$2$$. Simplifica la cuarta raíz en el denominador.

b. Siempre simplificamos primero lo radical en el denominador, antes de racionalizarlo. De esta manera los números se mantienen más pequeños y más fáciles de trabajar con ellos.

 La fracción no es una cuarta potencia perfecta, así que reescribe usando la Propiedad Cociente. Reescribir el radicando en el denominador para mostrar los factores. Simplifica el denominador. Multiplique el numerador y el denominador por$$\sqrt[4]{2^{2}}$$. Esto nos dará$$4$$ factores de$$2$$. Simplificar. Recuerda,$$\sqrt[4]{2^{4}}=2$$. Simplificar.

c.

 Reescribir el radicando para mostrar los factores. Multiplique el numerador y el denominador por$$\sqrt[4]{2 \cdot x^{3}}$$. Esto nos conseguirá$$4$$ factores de$$2$$ y$$4$$ factores de$$x$$. Simplificar. Simplifica el radical en el denominador. Simplifica la fracción.
##### Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}$$
2. $$\sqrt[4]{\dfrac{3}{64}}$$
3. $$\dfrac{3}{\sqrt[4]{125 x}}$$
Responder
1. $$\dfrac{\sqrt[4]{27}}{3}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[4]{12}}{4}$$
3. $$\dfrac{3 \sqrt[4]{5 x^{3}}}{5 x}$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Simplificar:

1. $$\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}$$
2. $$\sqrt[4]{\dfrac{7}{128}}$$
3. $$\dfrac{4}{\sqrt[4]{4 x}}$$
Responder
1. $$\dfrac{\sqrt[4]{125}}{5}$$
2. $$\dfrac{\sqrt[4]{224}}{8}$$
3. $$\dfrac{\sqrt[4]{64 x^{3}}}{x}$$

## Racionalizar un denominador de dos términos

$$\begin{array}{c c}{(a-b)(a+b)} & {(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} \\ {a^{2}-b^{2}} &{ 2^{2}-(\sqrt{5})^{2}} \\ {}&{4-5} \\ {}&{-1}\end{array}$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

Simplificar:$$\dfrac{5}{2-\sqrt{3}}$$

Solución:

##### Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Simplificar:$$\dfrac{3}{1-\sqrt{5}}$$.

Responder

$$-\dfrac{3(1+\sqrt{5})}{4}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Simplificar:$$\dfrac{2}{4-\sqrt{6}}$$.

Responder

$$\dfrac{4+\sqrt{6}}{5}$$

Observe que no distribuimos el$$5$$ en la respuesta del último ejemplo. Al dejar el resultado factorizado podemos ver si hay algún factor que pueda ser común tanto al numerador como al denominador.

##### Ejemplo$$\PageIndex{8}$$

Simplificar:$$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{u}-\sqrt{6}}$$.

Solución:

##### Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Simplificar:$$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$$.

Responder

$$\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{x}-\sqrt{2})}{x-2}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

Simplificar:$$\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{y}-\sqrt{3}}$$

Responder

$$\dfrac{\sqrt{10}(\sqrt{y}+\sqrt{3})}{y-3}$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{9}$$

Simplificar:$$\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{7}}{\sqrt{x}-\sqrt{7}}$$.

Solución:

##### Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

Simplificar:$$\dfrac{\sqrt{p}+\sqrt{2}}{\sqrt{p}-\sqrt{2}}$$.

Responder

$$\dfrac{(\sqrt{p}+\sqrt{2})^{2}}{p-2}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

Simplificar:$$\dfrac{\sqrt{q}-\sqrt{10}}{\sqrt{q}+\sqrt{10}}$$

Responder

$$\dfrac{(\sqrt{q}-\sqrt{10})^{2}}{q-10}$$

## Conceptos clave

• Si$$\sqrt[n]{a}$$ y$$\sqrt[n]{b}$$ son números reales,$$b≠0$$, y para cualquier entero$$n≥2$$ entonces,$$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$ y$$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$$