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LibreTexts Español

9.2: Antiderivado

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Has pasado muchas lecciones aprendiendo sobre cómo encontrar la derivada, f′ (x), de una función f (x), y el proceso de diferenciación. No debería sorprender entonces que hubiera un nombre para la función f (x), o familia de funciones, que pueda generar f′ (x) cuando se diferencie: f (x) y f′ (x) son un par de funciones inversas, y f (x) se llama antiderivada de f′ (x). Antes de continuar con la lección, ¿intenta enumerar funciones que son pares antiderivados y derivados?


El Antíderivado

Empecemos e introduzcamos la idea de la antiderivada de una función.

Una función F (x) se denomina antiderivada de una función f si F′ (x) =f (x) para todo x en el dominio de f.

¿Cómo se usa esta definición?

Considera la funciónf(x)=3x2.

¿Se te ocurre una función F (x) tal que F′ (x) =f (x)? Deberías ser capaz de pensar en muchos de ellos.

Ya que diferenciamos F (x) para obtener f (x), vemos queF(x)=x3+C va a funcionar para cualquier constante C. Gráficamente, podemos pensar en el conjunto de todas las antiderivadas como transformaciones verticales de la gráfica deF(x)=x3. La figura muestra dos transformaciones de este tipo.

Screen Shot 2021-01-22 a las 10.19.46 PM.png

CC BY-NC-SA

Con nuestra definición y ejemplo inicial, ahora buscamos formalizar la definición y desarrollar algunas reglas útiles con fines computacionales, y comenzar a ver algunas aplicaciones.

Introducción a Integrales Indefinidas

El proceso de búsqueda de antiderivados se denomina antidiferenciación, más comúnmente denominado integración. Así es como se indica la integración y cómo funciona:

F′ (x) =f (x)... Comienza con la ecuación diferencial que representa la definición de la antiderivada

F(x)dx=f(x)dx... Invoque la operación de integración (antidiferenciación) usando el símbolo especial ∫.

F(x)+C=f(x)dx... Obtener el antiderivado F (x) y una constante de integración, C.

f(x)dx=F(x)+C... Tenga en cuenta que si diferenciamos ambos lados, recuperamos la ecuación original:

ddx[f(x)dx]=f(x)=ddx[F(x)+C]=F(x)

Nos referimos a f (x) dx como “la integral indefinida de f (x) con respecto a x”. La función f (x) se llama integrando y la constante C se llama la constante de integración . Finalmente el símbolo dx indica que vamos a integrar con respecto a x.

Usando esta notación, resumiremos el último ejemplo de la siguiente manera:

3x2dx=x3+C

Ahora, considere la función f (x) =cosx

¿Se te ocurre una función F (x) tal que F′ (x) =f (x)?

Si dijiste F (x) =SINX+C estarías en lo correcto y así es como se escribiría esto.

f (x) =F′ (x). Comienza con la ecuación diferencial que representa la definición de la antiderivada

COSx=F′ (x). Sustituto de f (x)

cosxdx=F(x)dx... Invoque la operación de integración (antidiferenciación) usando el símbolo especial ∫.

cosxdx=F(x)+C... Obtener el antiderivado F (x) y una constante de integración, C.

cosxdx=sinx+C... Sabemos F (x) =sinx porque si diferenciamos ambos lados, recuperamos la ecuación original.

Hemos visto las derivadas de una serie de funciones a través de los conceptos de cálculo y podemos armar una lista de funciones y sus antiderivadas como se muestra a continuación.

Resumen de Integrales Básicos Indefinidos Y Antiderivados

Función f (x)

Antiderivado/intf(x)dx=F(x)+C

1 x+C
x

x22+C

x2

x33+C

xn,

n−1

xn+1n+1+C

1x

lnx+C

sinx

−COSX+C

cosx

Sinx+C

sec2x

Tanx+C

csc2x

−CoTx+C

secxtanx

Secx+C

cscxcotx

−CSCX+C

ex

ex+C

bx

b>0

bxlnb+C

1xlnb

logbx+C

Al igual que con la diferenciación, existen varias reglas para tratar la suma y diferencia de funciones integrables.

Reglas básicas de integración

Si f y g son funciones integrables, y C es una constante, entonces:

[f(x)+g(x)]dx=f(x)dx+g(x)dx

,

[f(x)g(x)]dx=f(x)dxg(x)dx

,

[Cf(x)]dx=Cf(x)dx

Calcular la siguiente integral indefinida.

[2x3+3x21x]dx

Usando nuestras reglas tenemos

[2x3+3x21x]dx=2x3dx+31x2dx1xdx

=2(x44)+3(x11)lnx+C

=x423xlnx+C

.

Tenga en cuenta que a veces nuestras reglas necesitan ser modificadas ligeramente debido a operaciones con constantes.


Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que intentara enumerar funciones que son pares antiderivados y derivados. Al hacerlo estás presentando los resultados de las operaciones de diferenciación e integración. Si todo lo que hiciste fue enumerar la función que se está diferenciando como la antiderivada, esto es correcto. A estas alturas ya te has dado cuenta de que existe una familia de antiderivados entre los que podrías haber elegido, cada uno diferente por una constante de integración.

Ejemplo 2

Calcular la siguiente integral indefinida:

e3xdx

.

Primero notamos que nuestra regla para integrar funciones exponenciales no funciona aquí ya que ddxe3x=3e3x. Sin embargo, si recordamos dividir la función original por la constante entonces obtenemos la antiderivada correcta y tenemos

e3xdx=e3x3+C

.

Ahora podemos reafirmar la regla de una forma más general como

ekxdx=ekx3+C

.


Revisar

Para #1 -6, encuentra una antiderivada de la función

  1. f(x)=13x26x
  2. \boldsymbol{f(x)=x−x^\{frac{2}{3}} \nonumber}
  3. f(x)=(2x+1)15
  4. f(x)=cosxx
  5. f(x)=x57x2+2
  6. f(x)=e2x+ex

Para #7 -12, encuentra la integral indefinida

  1. \ (\ int (2+\ sqrt {5}) dx\ nonumber\]
  2. 2(x3)3dx
  3. (x2x13)dx
  4. (x+1x4x)dx
  5. (cosx+2sinx)dx
  6. 2sinxcosxdx
  7. Resolver la ecuación diferencialf(x)=4x33x2+x3.
  8. Encuentra la antiderivada F (x) de la funciónf(x)=2e2x+x2 que satisface F (0) =5.
  9. Evaluar la integral indefinida|x|dx (Pista: Examinar la gráfica de f (x) =|x|.)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 5.1.


El vocabulario

Término Definición
antiderivado Un antiderivado es una función que invierte una derivada. La función A es la antiderivada de la función B si la función B es la derivada de la función A.
antidiferenciación El proceso de búsqueda de antiderivados se denomina antidiferenciación, más comúnmente denominado integración.
constante de integración La constante de integración es la constante C en la ecuación f (x) dx=F (x) +C relacionando la función f (x) y la antiderivada F.
integrand Un integrando es el argumento f (x) en la integral indefinida f (x) dx.
integración El proceso de búsqueda de antiderivados a veces se llama antidiferenciación, pero más comúnmente se conoce como integración.

Recursos adicionales

PLIX: Jugar, Aprender, Interactuar, EXPLORAR - Antiderivado: Reunirlo

Práctica: Antiderivado

Mundo real: Alto de las Montañas Rocosas


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