9.2: Antiderivado
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Has pasado muchas lecciones aprendiendo sobre cómo encontrar la derivada, f′ (x), de una función f (x), y el proceso de diferenciación. No debería sorprender entonces que hubiera un nombre para la función f (x), o familia de funciones, que pueda generar f′ (x) cuando se diferencie: f (x) y f′ (x) son un par de funciones inversas, y f (x) se llama antiderivada de f′ (x). Antes de continuar con la lección, ¿intenta enumerar funciones que son pares antiderivados y derivados?
El Antíderivado
Empecemos e introduzcamos la idea de la antiderivada de una función.
Una función F (x) se denomina antiderivada de una función f si F′ (x) =f (x) para todo x en el dominio de f.
¿Cómo se usa esta definición?
Considera la funciónf(x)=3x2.
¿Se te ocurre una función F (x) tal que F′ (x) =f (x)? Deberías ser capaz de pensar en muchos de ellos.
Ya que diferenciamos F (x) para obtener f (x), vemos queF(x)=x3+C va a funcionar para cualquier constante C. Gráficamente, podemos pensar en el conjunto de todas las antiderivadas como transformaciones verticales de la gráfica deF(x)=x3. La figura muestra dos transformaciones de este tipo.
CC BY-NC-SA
Con nuestra definición y ejemplo inicial, ahora buscamos formalizar la definición y desarrollar algunas reglas útiles con fines computacionales, y comenzar a ver algunas aplicaciones.
Introducción a Integrales Indefinidas
El proceso de búsqueda de antiderivados se denomina antidiferenciación, más comúnmente denominado integración. Así es como se indica la integración y cómo funciona:
F′ (x) =f (x)... Comienza con la ecuación diferencial que representa la definición de la antiderivada
∫F′(x)dx=∫f(x)dx... Invoque la operación de integración (antidiferenciación) usando el símbolo especial ∫.
F(x)+C=∫f(x)dx... Obtener el antiderivado F (x) y una constante de integración, C.
∫f(x)dx=F(x)+C... Tenga en cuenta que si diferenciamos ambos lados, recuperamos la ecuación original:
ddx[∫f(x)dx]=f(x)=ddx[F(x)+C]=F′(x)
Nos referimos a f (x) dx como “la integral indefinida de f (x) con respecto a x”. La función f (x) se llama integrando y la constante C se llama la constante de integración . Finalmente el símbolo dx indica que vamos a integrar con respecto a x.
Usando esta notación, resumiremos el último ejemplo de la siguiente manera:
∫3x2dx=x3+C
Ahora, considere la función f (x) =cosx
¿Se te ocurre una función F (x) tal que F′ (x) =f (x)?
Si dijiste F (x) =SINX+C estarías en lo correcto y así es como se escribiría esto.
f (x) =F′ (x). Comienza con la ecuación diferencial que representa la definición de la antiderivada
COSx=F′ (x). Sustituto de f (x)
∫cosxdx=∫F′(x)dx... Invoque la operación de integración (antidiferenciación) usando el símbolo especial ∫.
∫cosxdx=F(x)+C... Obtener el antiderivado F (x) y una constante de integración, C.
∫cosxdx=sinx+C... Sabemos F (x) =sinx porque si diferenciamos ambos lados, recuperamos la ecuación original.
Hemos visto las derivadas de una serie de funciones a través de los conceptos de cálculo y podemos armar una lista de funciones y sus antiderivadas como se muestra a continuación.
Función f (x) |
Antiderivado/intf(x)dx=F(x)+C |
1 | x+C |
x |
x22+C |
x2 |
x33+C |
xn, n−1 |
xn+1n+1+C |
1x |
lnx+C |
sinx |
−COSX+C |
cosx |
Sinx+C |
sec2x |
Tanx+C |
csc2x |
−CoTx+C |
secxtanx |
Secx+C |
cscxcotx |
−CSCX+C |
ex |
ex+C |
bx b>0 |
bxlnb+C |
1xlnb |
logbx+C |
Al igual que con la diferenciación, existen varias reglas para tratar la suma y diferencia de funciones integrables.
Reglas básicas de integración
Si f y g son funciones integrables, y C es una constante, entonces:
∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
∫[f(x)−g(x)]dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx
∫[Cf(x)]dx=C∫f(x)dx
Calcular la siguiente integral indefinida.
∫[2x3+3x2−1x]dx
Usando nuestras reglas tenemos
∫[2x3+3x2−1x]dx=2∫x3dx+3∫1x2dx−∫1xdx
=2(x44)+3(x−1−1)−lnx+C
=x42−3x−lnx+C
Tenga en cuenta que a veces nuestras reglas necesitan ser modificadas ligeramente debido a operaciones con constantes.
Ejemplos
Ejemplo 1
Anteriormente, se le pidió que intentara enumerar funciones que son pares antiderivados y derivados. Al hacerlo estás presentando los resultados de las operaciones de diferenciación e integración. Si todo lo que hiciste fue enumerar la función que se está diferenciando como la antiderivada, esto es correcto. A estas alturas ya te has dado cuenta de que existe una familia de antiderivados entre los que podrías haber elegido, cada uno diferente por una constante de integración.
Ejemplo 2
Calcular la siguiente integral indefinida:
∫e3xdx
Primero notamos que nuestra regla para integrar funciones exponenciales no funciona aquí ya que ddxe3x=3e3x. Sin embargo, si recordamos dividir la función original por la constante entonces obtenemos la antiderivada correcta y tenemos
∫e3xdx=e3x3+C
Ahora podemos reafirmar la regla de una forma más general como
∫ekxdx=ekx3+C
Revisar
Para #1 -6, encuentra una antiderivada de la función
- f(x)=1−3x2−6x
- \boldsymbol{f(x)=x−x^\{frac{2}{3}} \nonumber}
- f(x)=(2x+1)15
- f(x)=cosx−x
- f(x)=x5−7x2+2
- f(x)=e−2x+ex
Para #7 -12, encuentra la integral indefinida
- \ (\ int (2+\ sqrt {5}) dx\ nonumber\]
- ∫2(x−3)3dx
- ∫(x2⋅x13)dx
- ∫(x+1x4√x)dx
- (cosx+2sinx)dx
- ∫2sinxcosxdx
- Resolver la ecuación diferencialf′(x)=4x3−3x2+x−3.
- Encuentra la antiderivada F (x) de la funciónf(x)=2e2x+x−2 que satisface F (0) =5.
- Evaluar la integral indefinida∫|x|dx (Pista: Examinar la gráfica de f (x) =|x|.)
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 5.1.
El vocabulario
Término | Definición |
---|---|
antiderivado | Un antiderivado es una función que invierte una derivada. La función A es la antiderivada de la función B si la función B es la derivada de la función A. |
antidiferenciación | El proceso de búsqueda de antiderivados se denomina antidiferenciación, más comúnmente denominado integración. |
constante de integración | La constante de integración es la constante C en la ecuación f (x) dx=F (x) +C relacionando la función f (x) y la antiderivada F. |
integrand | Un integrando es el argumento f (x) en la integral indefinida f (x) dx. |
integración | El proceso de búsqueda de antiderivados a veces se llama antidiferenciación, pero más comúnmente se conoce como integración. |
Recursos adicionales
PLIX: Jugar, Aprender, Interactuar, EXPLORAR - Antiderivado: Reunirlo
Práctica: Antiderivado
Mundo real: Alto de las Montañas Rocosas