7.9: Similitud SAS
- Page ID
- 107449
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Los triángulos son similares si dos pares de lados son proporcionales y los ángulos incluidos son congruentes.
Teorema de similitud SAS
Por definición, dos triángulos son similares si todos sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales. No es necesario revisar todos los ángulos y lados para saber si dos triángulos son similares. De hecho, si solo sabes que dos pares de lados son proporcionales y sus ángulos incluidos son congruentes, esa es información suficiente para saber que los triángulos son similares. Esto se llama Teorema de Similaridad SAS.
Teorema de similitud SAS: Si dos lados en un triángulo son proporcionales a dos lados en otro triángulo y el ángulo incluido en ambos son congruentes, entonces los dos triángulos son similares.
Si\(\dfrac{AB}{XY}=\dfrac{AC}{XZ}\) y\(\angle A\cong \angle X\), entonces\(\Delta ABC\sim \Delta XYZ\).
¿Y si te dieran un par de triángulos, las longitudes de dos de sus lados y la medida del ángulo entre esos dos lados? ¿Cómo podría usar esta información para determinar si los dos triángulos son similares?
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Determinar si los siguientes triángulos son similares. Si es así, escriba el teorema de similitud y la declaración.
Solución
Podemos ver eso\(\angle B\cong \angle F\) y estos son ambos ángulos incluidos. Sólo tenemos que comprobar que los lados alrededor de los ángulos son proporcionales.
\(\begin{aligned} \dfrac{AB}{DF} &=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{BC}{FE}&=\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2} \end{aligned}\)
Dado que las proporciones son las mismas\(\Delta ABC\sim \Delta DFE\) según el Teorema de Similitud SAS.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Determinar si los siguientes triángulos son similares. Si es así, escriba el teorema de similitud y la declaración.
Solución
Los triángulos no son similares porque el ángulo no es el ángulo incluido para ambos triángulos.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
¿Los dos triángulos son similares? ¿Cómo lo sabes?
Solución
Eso lo sabemos\(\angle B\cong \angle Z\) porque ambos son ángulos rectos y\(\dfrac{10}{15}=\dfrac{24}{36}\). Entonces,\(\dfrac{AB}{XZ}=\dfrac{BC}{ZY}\) y\(\Delta ABC\sim \Delta XZY\) por SAS.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
¿Hay algún triángulo similar en la figura? ¿Cómo lo sabes?
Solución
\(\angle A\)es compartido por\(\Delta EAB\) y\(\Delta DAC\), por lo que es congruente consigo mismo. Veamos si\(\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AB}{AC}\).
\(\begin{aligned} \dfrac{9}{9+3}&=\dfrac{12}{12+5} \\ \dfrac{9}{12}&=\dfrac{3}{4}\neq \dfrac{12}{17}\qquad \text{ The two triangles are not similar. }\end{aligned}\)
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Del Ejemplo 4, ¿qué debe ser\(BC\) igual\(\Delta EAB\sim \Delta DAC\)?
Solución
La proporción con la que terminamos fue\(\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\neq \dfrac{12}{17}\). AC necesita igualar 16, para que\(\dfrac{12}{16}=dfrac{3}{4}\). \(AC=AB+BC\)y\(16=12+BC\). \(BC\)debe ser igual a 4.
Revisar
Rellene los espacios en blanco.
- Si dos lados en un triángulo son _________________ a dos lados en otro y los ángulos ________________ son _________________, entonces los triángulos son ______________.
Determinar si los siguientes triángulos son similares. Si es así, escriba el teorema de similitud y la declaración.
-
Figura\(\PageIndex{6}\)
Encuentra el valor de las variables faltantes que hacen que los dos triángulos sean similares.
-
Figura\(\PageIndex{7}\) -
Figura\(\PageIndex{8}\) -
Figura\(\PageIndex{9}\)
Determinar si los triángulos son similares. Si es así, escriba el teorema de similitud y la declaración.
- \(\Delta ABC\)es un triángulo rectángulo con patas que miden 3 y 4. \(\Delta DEF\)es un triángulo rectángulo con patas que miden 6 y 8.
- \(\Delta GHI\)es un triángulo rectángulo con una pierna que mide 12 y una hipotenusa que mide 13. \(\Delta JKL\)es un triángulo rectángulo con patas que miden 1 y 2.
-
Figura\(\PageIndex{10}\) -
Figura\(\PageIndex{11}\) -
Figura\(\PageIndex{12}\) -
Figura\(\PageIndex{13}\) - \(\overline{AC}=3\)
\(\overline{DF}=6\)
-
Figura\(\PageIndex{15}\) -
Figura\(\PageIndex{16}\) -
Figura\ (\ pageIndex {17}\
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 7.7.
Recursos
El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Postulado de similitud AA | Si dos ángulos en un triángulo son congruentes con dos ángulos en otro triángulo, entonces los dos triángulos son similares. |
| Congruente | Las figuras congruentes son idénticas en tamaño, forma y medida. |
| Dilatación | Reducir o agrandar una figura según un factor de escala es una dilatación. |
| SAS | SAS significa lado, ángulo, lado, y se refiere al hecho de que se conocen dos lados y el ángulo incluido de un triángulo. |
| Teorema de similitud SAS | El Teorema de Similitud SAS establece que si dos lados en un triángulo son proporcionales a dos lados en otro triángulo y el ángulo incluido en ambos son congruentes, entonces los dos triángulos son similares. |
| Transformación de similitud | Una transformación de similitud es una o más transformaciones rígidas seguidas de una dilatación. |
Recursos adicionales
Elemento interactivo
Video: Triángulos Congruentes y Similares
Actividades: SAS Similaridad Discusión Preguntas
Ayudas de estudio: Guía de estudio de similitud poligonal
Práctica: Similitud SAS
Mundo Real: Similitud de Triángulos