1.24: Partículas Libres

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Marc Baldo
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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En el espacio libre, el potencial, V, es constante en todas partes. Por simplicidad estableceremos V = 0.

A continuación resolvemos la Ecuación (1.23.5) con V = 0.

\[ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi(x)=E\psi(x) \nonumber \]

Reorganizar ligeramente da la ecuación diferencial de segundo orden en una forma ligeramente más clara

\[ \frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = -\frac{2mE}{\hbar^{2}}\psi \nonumber \]

Una solución general es

\[ \psi(x)=\psi(0)\text{exp}[ikx] \nonumber \]

donde

\[ k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}} \nonumber \]

Insertar la dependencia del tiempo (ver Ecuación (1.23.7)) da

\[ \psi(x,t)=\psi(0)\text{exp}[i(kx-\omega t)] \nonumber \]

donde

\[ \omega = \frac{E}{\hbar}=\frac{\hbar k^{2}}{2m} \nonumber \]

Así, como se esperaba la solución en el espacio libre es una onda plana.