9.2: Potencial de vector magnético

Un problema común en la electromagnetica es determinar los campos radiados por una distribucion de corriente especificada. Este problema se puede resolver usando las ecuaciones de Maxwell junto con las condiciones de límite electromagnético apropiadas. Para las corrientes armónicas de tiempo (variables sinusoidalmente), utilizamos la representación fasorial. ¹ Dada la distribución de corriente especificada\(\widetilde{\bf J}\) y los campos electromagnéticos deseados\(\widetilde{\bf E}\) y\(\widetilde{\bf H}\), las ecuaciones apropiadas son:

\[\nabla \cdot \widetilde{\bf E} = \widetilde{\rho}_v/\epsilon \label{m0195_eMDE0} \]

\[\nabla \times \widetilde{\bf E} = -j\omega\mu\widetilde{\bf H} \label{m0195_eMCE} \]

\[\nabla \cdot \widetilde{\bf H} = 0 \label{m0195_eMDH} \]

\[\nabla \times \widetilde{\bf H} = \widetilde{\bf J} + j\omega\epsilon\widetilde{\bf E} \label{m0195_eMCH} \]

donde\(\widetilde{\rho}_v\) está la densidad de carga volumétrica. En la mayoría de los problemas de ingeniería, uno se ocupa de la propagación a través de medios que están bien modelados como medios homogéneos con carga neutra, como el espacio libre. ² Por lo tanto, en esta sección, limitaremos nuestro alcance a problemas en los que\(\widetilde{\rho}_v=0\). Así, la Ecuación\ ref {M0195_EMDE0} simplifica a:

\[\nabla \cdot \widetilde{\bf E} = 0 \label{m0195_eMDE} \]

Para resolver el sistema lineal de Ecuaciones diferenciales parciales\ ref {M0195_EMCE} -\ ref {M0195_EMDE}, es útil invocar el concepto de potencial vectorial magnético. El potencial de vector magnético es un campo vectorial que tiene la propiedad útil de que es capaz de representar tanto los campos eléctricos como magnéticos como un solo campo. Esto permite que el formidable sistema de ecuaciones identificado anteriormente se reduzca a una sola ecuación que es más simple de resolver. Además, esta ecuación única resulta ser la ecuación de onda, con la ligera diferencia de que la ecuación será matemáticamente no homogénea, con la parte no homogénea representando la corriente fuente.

El potencial del vector magnético\(\widetilde{\bf A}\) se define por la siguiente relación:

\[\boxed{ \widetilde{\bf B} \triangleq \nabla \times \widetilde{\bf A} } \label{m0195_eMVPdef} \]

donde\(\widetilde{\bf B}=\mu\widetilde{\bf H}\) está la densidad de flujo magnético. El campo magnético aparece en tres de las ecuaciones de Maxwell. Para que la Ecuación\ ref {M0195_EMVPdef} sea una definición razonable,\(\nabla \times \widetilde{\bf A}\) debe arrojar resultados razonables cuando se sustituye por\(\mu\widetilde{\bf H}\) en cada una de estas ecuaciones. Comprobemos primero la coherencia con la ley de Gauss para los campos magnéticos, Ecuación\ ref {M0195_EMDH}. Haciendo la sustitución, obtenemos:

\[\nabla \cdot \left( \nabla \times \widetilde{\bf A} \right) = 0 \nonumber \]

Esto resulta ser una identidad matemática que se aplica a cualquier campo vectorial (ver Ecuación 12.3.3 en el Apéndice 12.3). Por lo tanto, la Ecuación\ ref {M0195_EMVPDEF} es consistente con la ley de Gauss para los campos magnéticos.

A continuación comprobamos la consistencia con la Ecuación\ ref {M0195_EMCE}. Haciendo la sustitución:

\[\nabla \times \widetilde{\bf E} = -j\omega\left(\nabla \times \widetilde{\bf A}\right) \nonumber \]

Recogiendo términos a la izquierda, obtenemos

\[\nabla \times \left( \widetilde{\bf E} +j\omega \widetilde{\bf A} \right) = 0 \label{m0195_ephi1} \]

Ahora, por razones que se harán evidentes en un momento, definimos un nuevo campo escalar\(\widetilde{V}\) y lo requerimos para satisfacer la siguiente relación:

\[-\nabla\widetilde{V} \triangleq \widetilde{\bf E} +j\omega \widetilde{\bf A} \label{m0195_ephi2} \]

Usando esta definición, la ecuación\ ref {m0195_ephi1} se convierte en:

\[\nabla \times \left( -\nabla\widetilde{V} \right) = 0 \nonumber \]

que es simplemente

\[\nabla \times \nabla\widetilde{V} = 0 \nonumber \]

Una vez más hemos obtenido una identidad matemática que aplica a cualquier campo vectorial (ver Ecuación 12.3.4 en el Apéndice 12.3). Por lo tanto,\(\widetilde{V}\) puede ser cualquier campo escalar matemáticamente válido. Posteriormente, la Ecuación\ ref {M0195_EMVPdef} es consistente con la Ecuación\ ref {M0195_EMCE} (ecuación de rizo de Maxwell para el campo eléctrico) para cualquier elección de la\(\widetilde{V}\) que estemos inclinados a hacer.

Los lectores astutos ya podrían darse cuenta de lo que estamos haciendo aquí. La ecuación\ ref {m0195_ephi2} es muy similar a la relación\({\bf E} = -\nabla V\) de la electrostática, ³ en la que\(V\) se encuentra el campo de potencial eléctrico escalar. Evidentemente, la ecuación\ ref {m0195_ephi2} es una versión mejorada de esa relación que da cuenta del acoplamiento con\({\bf H}\) (aquí, representado por\({\bf A}\)) en el caso variable en el tiempo (decididamente no estático). Esa valoración es correcta, pero no nos adelantemos demasiado: Como se demostró en el párrafo anterior, aún no nos vemos obligados a tomar ninguna elección en particular para\(\widetilde{V}\), y esta libertad será explotada más adelante en este apartado.

A continuación comprobamos la consistencia con la Ecuación\ ref {M0195_EMCH}. Haciendo la sustitución:

\[\nabla \times \left(\frac{1}{\mu}\nabla \times \widetilde{\bf A}\right) = \widetilde{\bf J} +j\omega\epsilon\widetilde{\bf E} \nonumber \]

Multiplicando ambos lados de la ecuación por\(\mu\):

\[\nabla \times \nabla \times \widetilde{\bf A} = \mu\widetilde{\bf J} +j\omega\mu\epsilon\widetilde{\bf E} \nonumber \]

A continuación usamos la Ecuación\ ref {m0195_ephi2} para eliminar\(\widetilde{\bf E}\), rindiendo:

\[\nabla \times \nabla \times \widetilde{\bf A} = \mu\widetilde{\bf J} +j\omega\mu\epsilon\left(-\nabla\widetilde V -j\omega \widetilde{\bf A}\right) \nonumber \]

Después de un poco de álgebra, obtenemos

\[\nabla \times \nabla \times \widetilde{\bf A} = \omega^2\mu\epsilon\widetilde{\bf A} - j\omega\mu\epsilon\nabla\widetilde V + \mu\widetilde{\bf J} \label{m0195_e1} \]

Ahora reemplazamos el lado izquierdo de esta ecuación usando identidad vectorial Ecuación 12.3.8 en el Apéndice 12.3:

\[\nabla \times \nabla \times \widetilde{\bf A} \equiv \nabla\left(\nabla \cdot \widetilde{\bf A}\right) - \nabla^2 \widetilde{\bf A} \nonumber \]

La ecuación\ ref {m0195_e1} se convierte en:

\[\nabla\left(\nabla \cdot \widetilde{\bf A}\right) - \nabla^2 \widetilde{\bf A} = \omega^2\mu\epsilon\widetilde{\bf A} - j\omega\mu\epsilon\nabla\widetilde V + \mu\widetilde{\bf J} \nonumber \]

Ahora multiplicando ambos lados por\(-1\) y reordenando términos:

\[\nabla^2 \widetilde{\bf A} +\omega^2\mu\epsilon\widetilde{\bf A} = \nabla\left(\nabla \cdot \widetilde{\bf A}\right) +j\omega\mu\epsilon\nabla\widetilde V -\mu\widetilde{\bf J} \nonumber \]

Combinando términos en el lado derecho:

\[\nabla^2 \widetilde{\bf A} +\omega^2\mu\epsilon\widetilde{\bf A} = \nabla\left( \nabla \cdot \widetilde{\bf A} +j\omega\mu\epsilon\widetilde V\right) -\mu\widetilde{\bf J} \label{m0195_eWEA1} \]

Ahora considere la expresión\(\nabla \cdot \widetilde{\bf A} +j\omega\mu\epsilon\widetilde V\) que aparece entre paréntesis en el lado derecho de la ecuación. Establecimos anteriormente que\(\widetilde V\) puede ser esencialmente cualquier campo escalar —desde una perspectiva matemática, somos libres de elegir. Invocando esta libertad, ahora requerimos\(\widetilde V\) satisfacer la siguiente expresión:

\[\nabla \cdot \widetilde{\bf A} +j\omega\mu\epsilon\widetilde V = 0 \label{m0195_eLGC} \]

Claramente esto es ventajoso en el sentido de que la Ecuación\ ref {M0195_EWEA1} ahora se simplifica drásticamente. Esta ecuación se convierte en:

\[\boxed{ \nabla^2 \widetilde{\bf A} +\omega^2\mu\epsilon\widetilde{\bf A} = -\mu\widetilde{\bf J} } \label{m0195_ePDEA} \]

Tenga en cuenta que esta expresión es una ecuación de onda. De hecho es la misma ecuación de onda la que determina\(\widetilde{\bf E}\) y\(\widetilde{\bf H}\) en regiones libres de fuente, excepto que el lado derecho no es cero. Usando terminología matemática, hemos obtenido una ecuación para\(\widetilde{\bf A}\) en forma de una ecuación diferencial parcial no homogénea, donde la parte no homogénea incluye —no es de sorprender aquí— la corriente fuente\(\widetilde{\bf J}\).

Ahora tenemos lo que necesitamos para encontrar los campos electromagnéticos irradiados por una distribución de corriente. El procedimiento es simplemente el siguiente:

1. Resolver la Ecuación diferencial parcial\ ref {M0195_EPDEA} para\(\widetilde{\bf A}\) junto con las condiciones de límite electromagnéticas apropiadas.
2. \(\widetilde{\bf H} = (1/\mu) \nabla \times \widetilde{\bf A}\)
3. \(\widetilde{\bf E}\)ahora puede determinarse\(\widetilde{\bf H}\) usando la Ecuación\ ref {M0195_EMCH}.

Resumiendo:

El potencial de vector magnético\(\widetilde{\bf A}\) es un campo vectorial, definido por la Ecuación\ ref {M0195_EMVPDEF}, que es capaz de representar simultáneamente los campos eléctrico y magnético.

También:

Para determinar los campos electromagnéticos irradiados por una distribución de corriente\(\widetilde{\bf J}\), se puede resolver la Ecuación\ ref {M0195_EPDEA} para\(\widetilde{\bf A}\) y luego usar la Ecuación\ ref {M0195_EMVPDEF} para determinar\(\widetilde{\bf H}\) y posteriormente\(\widetilde{\bf E}\).

Las técnicas específicas para realizar este procedimiento —en particular, para resolver la ecuación diferencial— varían según el problema, y se discuten en otras secciones de este libro.

Concluimos esta sección con algunos comentarios sobre la Ecuación\ ref {M0195_elGC}. Esta ecuación se conoce como la condición de calibre Lorenz. Esta restricción no es tan arbitraria como implica la derivación anterior; más bien, aquí se está trabajando una física profunda. En concreto, el calibre Lorenz conduce a la interpretación clásica del\(\widetilde{V}\) potencial eléctrico escalar familiar, como se señaló anteriormente en esta sección. (Para obtener información adicional sobre esa idea, los puntos de partida recomendados se incluyen en “Lectura adicional” al final de esta sección).

En este punto, debe quedar claro que los campos eléctrico y magnético no son meramente cantidades acopladas, sino de hecho dos aspectos del mismo campo; a saber, el potencial de vector magnético. De hecho, la física moderna (mecánica cuántica) produce el potencial de vector magnético como una descripción de la “fuerza electromagnética”, una sola entidad que constituye una de las cuatro fuerzas fundamentales reconocidas en la física moderna; las otras son la gravedad, la fuerza nuclear fuerte y la fuerza nuclear débil. Para mayor información sobre ese concepto, un excelente punto de partida es el video “La invarianza cuántica y el origen del modelo estándar” al que se hace referencia al final de esta sección.

Lectura adicional:

• “Condición de calibre Lorenz” en Wikipedia.
• “Potencial magnético” en Wikipedia.
• El video de PBS Space Time “La invarianza cuántica y el origen del modelo estándar”, disponible en YouTube.

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1. Recordemos que no hay pérdida de generalidad al hacerlo, ya que cualquier otra variación en el dominio del tiempo en la distribución de corriente se puede representar usando sumas de soluciones armónicas de tiempo a través de la transformada de Fourier. ↩
2. Un contraejemplo sería la propagación a través de un plasma, que por definición consiste en una carga neta distinta de cero. ↩
3. Nota: No hay tilde en esta expresión. ↩