10.7: Directividad y Ganancia
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Una antena transmisora no irradia energía uniformemente en todas las direcciones. Inevitablemente se irradia más poder en algunas direcciones que en otras. La directividad cuantifica este comportamiento. En esta sección, presentamos el concepto de directividad y los conceptos relacionados de directividad máxima y ganancia de antena.
Considera una antena ubicada en el origen. La potencia que se irradia en una sola dirección\((\theta,\phi)\) es formalmente cero. Esto se debe a que una sola dirección corresponde a un ángulo sólido de cero, que intercepta un área de cero a cualquier distancia dada de la antena. Dado que la potencia que fluye a través de cualquier superficie que tenga área cero es cero, la potencia que fluye en una sola dirección es formalmente cero. Claramente necesitamos una métrica diferente de potencia para desarrollar una descripción sensata de la distribución espacial del flujo de energía.
La métrica apropiada es la densidad de potencia espacial; es decir, potencia por unidad de área, teniendo unidades base SI de W/m\(^2\). Por lo tanto, la directividad se define en términos de densidad de potencia espacial en una dirección particular, a diferencia de la potencia en una dirección particular. Específicamente, la directividad en la dirección\((\theta,\phi)\) es:
\[D(\theta,\phi) \triangleq \frac{S({\bf r})}{S_{ave}(r)} \label{m0203_eDirDef} \]
En esta expresión,\(S({\bf r})\) se encuentra la densidad de potencia a\((r,\theta,\phi)\); es decir, a una distancia\(r\) en la dirección\((\theta,\phi)\). \(S_{ave}(r)\)es la densidad de potencia promedio a esa distancia; es decir,\(S({\bf r})\) promediada en todas las direcciones posibles a distancia\(r\). Dado que la directividad es una relación de densidades de potencia, no tiene unidades. Resumiendo:
La directividad es la relación entre la densidad de potencia en una dirección especificada y la densidad de potencia promediada en todas las direcciones a la misma distancia de la antena.
A pesar de la Ecuación\ ref {M0203_EdirDef}, la directividad no depende de la distancia desde la antena. Para ser específicos, la directividad es la misma a cada distancia\(r\). Aunque el numerador y denominador de la Ecuación\ ref {M0203_EdirDef} ambos varían con\(r\), uno encuentra que la dependencia de distancia siempre se cancela porque la densidad de potencia y la densidad de potencia promedio son ambas proporcionales a\(r^{-2}\). Este es un punto clave: La directividad es una manera conveniente de caracterizar una antena porque no cambia con la distancia de la antena.
En general, la directividad es una función de la dirección. Sin embargo, a menudo uno no se preocupa por todas las direcciones, sino más bien solo por la directividad en la dirección en la que es máxima. De hecho es bastante común usar el término “directividad” informalmente para referirse a la directividad máxima de una antena. Esto suele ser lo que se entiende cuando se indica que la directividad es un solo número; en todo caso, el significado pretendido del término suele quedar claro a partir del contexto.
Un dipolo eléctrico corto (ESD) consiste en un cable recto que tiene longitud\(L\ll\lambda/2\). ¿Cuál es la directividad de la EDS?
Solución
El campo irradiado por una ESD se deriva en la Sección 9.5. En esa sección, encontramos que la intensidad del campo eléctrico en el campo lejano de una ESD\(\hat{\bf z}\) orientada ubicada en el origen es:
\[\widetilde{\bf E}({\bf r}) \approx \hat{\bf \theta} j \eta \frac{I_0\cdot\beta L}{8\pi} ~\left(\sin\theta\right) ~\frac{e^{-j\beta r}}{r} \label{m0203_eE} \]
donde\(I_0\) representa la magnitud y fase de la corriente aplicada a los terminales,\(\eta\) es la impedancia de onda del medio, y\(\beta=2\pi/\lambda\). En la Sección 10.2, encontramos que la densidad de potencia de este campo es:
\[S({\bf r}) \approx \eta \frac{\left|I_0\right|^2\left(\beta L\right)^2}{128\pi^2} ~\left(\sin\theta\right)^2 ~\frac{1}{r^2} \label{m0203_eE2} \]
y posteriormente encontramos que la potencia total irradiada es:
\[P_{rad} \approx \eta \frac{\left|I_0\right|^2\left(\beta L\right)^2}{48\pi} \label{m0203_ePT} \]
La densidad de potencia promedio\(S_{ave}\) es simplemente la potencia total dividida por el área de una esfera centrada en la ESD. Coloquemos esta esfera a distancia\(r\), con\(r\gg L\) y\(r\gg \lambda\) como se requiera para la validez de las Ecuaciones\ ref {M0203_EE} y\ ref {M0203_EE2}. Entonces:
\[S_{ave} = \frac{P_{rad}}{4\pi r^2} \approx \eta \frac{\left|I_0\right|^2\left(\beta L\right)^2}{192\pi^2 r^2} \nonumber \]
Finalmente la directividad se determina aplicando la definición:
\ begin {alineado}
D (\ theta,\ phi) &\ triangleq\ frac {S (\ mathbf {r})} {S_ {a v e} (r)}\\
&\ approx 1.5 (\ sin\ theta) ^ {2}
\ end {alineado}
La directividad máxima ocurre en el\(\theta=\pi/2\) plano. Por lo tanto, la directividad máxima es, lo que significa que la densidad de potencia máxima es 1.5 veces mayor que la densidad de potencia promediada en todas las direcciones.
Dado que la directividad es una relación sin unidades, es común expresarla en decibelios. Por ejemplo, la directividad máxima del ESD en el ejemplo anterior es\(10\log_{10} 1.5 \cong 1.76\) dB. (Tenga en cuenta “\(10\log_{10}\)” aquí ya que la directividad es la relación de cantidades similares a la potencia).
Ganancia
La ganancia\(G(\theta,\phi)\) de una antena es su directividad modificada para tener en cuenta la pérdida dentro de la antena. Específicamente:
\[G(\theta,\phi) \triangleq \frac{S({\bf r})~\mbox{for actual antenna}}{S_{ave}(r)~\mbox{for identical but lossless antenna}} \nonumber \]
En esta ecuación, el numerador es la densidad de potencia real radiada por la antena, que es menor que la densidad de potencia nominal debido a las pérdidas dentro de la antena. El denominador es la densidad de potencia promedio para una antena que es idéntica, pero sin pérdidas. Dado que la antena real irradia menos potencia que una versión idéntica pero sin pérdidas de la misma antena, la ganancia en cualquier dirección en particular es siempre menor que la directividad en esa dirección. Por lo tanto, una definición equivalente de ganancia de antena es
\[G(\theta,\phi) \triangleq e_{rad}D(\theta,\phi) \nonumber \]
donde\(e_{rad}\) está la eficiencia de radiación de la antena (Sección 10.5).
La ganancia es la directividad por la eficiencia de la radiación; es decir, la directividad modificada para tener en cuenta la pérdida dentro de la antena.
El caso de recepción
Para concluir esta sección, hacemos un punto adicional sobre la directividad, que se aplica igualmente a la ganancia. La discusión anterior ha supuesto una antena que está radiando; es decir, transmitiendo. También se puede definir directividad para el caso de recepción, en el que cuantifica la efectividad de la antena en la conversión de potencia en una onda incidente en potencia en una carga unida a la antena. La directividad de recepción se introduce formalmente en la Sección 10.13 (“Apertura Efectiva”). Cuando la directividad de recepción se define como se especifica en la Sección 10.13, es igual a la directividad de transmisión tal como se define en esta sección. Así, comúnmente se dice que la directividad de una antena es la misma para recibir y transmitir.
Lectura adicional:
- “Directividad” en Wikipedia.